medida de lebesgue

Concepto de área en cualquier dimensión.

En la teoría de la medida , una rama de las matemáticas , la medida de Lebesgue , llamada así en honor al matemático francés Henri Lebesgue , es la forma estándar de asignar una medida a subconjuntos de n -espacios euclidianos de dimensiones superiores . Para dimensiones inferiores n = 1, 2 o 3, coincide con la medida estándar de longitud , área o volumen . En general, también se le llama volumen n -dimensional , n -volumen , hipervolumen o simplemente volumen . ^[1] Se utiliza en todo el análisis real , en particular para definir la integración de Lebesgue . Los conjuntos a los que se les puede asignar una medida de Lebesgue se denominan mensurables de Lebesgue ; la medida del conjunto A mensurable de Lebesgue se denota aquí por λ ( A ).

Henri Lebesgue describió esta medida en el año 1901 a la que, un año después, siguió su descripción de la integral de Lebesgue . Ambos fueron publicados como parte de su disertación en 1902. ^[2]

Definición

Para cualquier intervalo , o , en el conjunto de números reales, denotemos su longitud. Para cualquier subconjunto , la medida exterior de Lebesgue ^[3] se define como un mínimo ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle I=(a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ell (I)=b-a}$ ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)}$

${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\ell (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.}$

La definición anterior se puede generalizar a dimensiones superiores de la siguiente manera. ^[4] Para cualquier cuboide rectangular que sea producto de intervalos abiertos, denotemos su volumen. Para cualquier subconjunto , ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=I_{1}\times \cdots \times I_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} (C)=\ell (I_{1})\times \cdots \times \ell (I_{n})}$ ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R^{n}} }$

${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {vol} (C_{k}):{(C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of products of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }C_{k}\right\}.}$

Algunos conjuntos satisfacen el criterio de Carathéodory , que requiere que para cada , ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(A)=\lambda ^{\!*\!}(A\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(A\cap E^{c}).}$

Se dice que los conjuntos que satisfacen el criterio de Carathéodory son mensurables de Lebesgue, definiéndose su medida de Lebesgue como su medida exterior de Lebesgue: . El conjunto de todos estos forma una σ -álgebra . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \lambda (E)=\lambda ^{\!*\!}(E)}$ ${\displaystyle E}$

Un conjunto que no satisface el criterio de Carathéodory no es medible según Lebesgue. ZFC demuestra que existen conjuntos no mensurables ; un ejemplo son los conjuntos de Vitali . ${\displaystyle E}$

Intuición

La primera parte de la definición establece que el subconjunto de los números reales se reduce a su medida exterior cubriéndolo por conjuntos de intervalos abiertos. Cada uno de estos conjuntos de intervalos cubre en cierto sentido, ya que la unión de estos intervalos contiene . La longitud total de cualquier conjunto de intervalos de cobertura puede sobreestimar la medida de porque es un subconjunto de la unión de los intervalos y, por lo tanto, los intervalos pueden incluir puntos que no están en . La medida exterior de Lebesgue surge como el límite inferior más grande (ínfimo) de las longitudes de entre todos estos conjuntos posibles. Intuitivamente, es la longitud total de aquellos conjuntos de intervalos que se ajustan más estrechamente y no se superponen. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Esto caracteriza la medida exterior de Lebesgue. Que esta medida exterior se traduzca en la medida de Lebesgue propiamente dicha depende de una condición adicional. Esta condición se prueba tomando subconjuntos de números reales utilizando como instrumento dividirlos en dos particiones: la parte de los cuales se cruza con y la parte restante no está en : la diferencia de conjuntos de y . Estas particiones de están sujetas a la medida exterior. Si para todos los posibles subconjuntos de números reales, las particiones de cortadas por tienen medidas exteriores cuya suma es la medida exterior de , entonces la medida exterior de Lebesgue de da su medida de Lebesgue. Intuitivamente, esta condición significa que el conjunto no debe tener algunas propiedades curiosas que provoquen una discrepancia en la medida de otro conjunto cuando se usa como "máscara" para "recortar" ese conjunto, insinuando la existencia de conjuntos para los cuales el exterior de Lebesgue La medida no da la medida de Lebesgue. (Estos conjuntos, de hecho, no son mensurables según Lebesgue.) ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Ejemplos

• Cualquier intervalo cerrado [ a , b ] de números reales es medible según Lebesgue, y su medida de Lebesgue es la longitud b − a . El intervalo abierto ( a , b ) tiene la misma medida, ya que la diferencia entre los dos conjuntos consiste únicamente en los puntos finales a y b , cada uno de los cuales tiene medida cero .
• Cualquier producto cartesiano de intervalos [ a , b ] y [ c , d ] es medible según Lebesgue, y su medida de Lebesgue es ( b − a )( d − c ) , el área del rectángulo correspondiente .
• Además, cada conjunto de Borel es medible según Lebesgue. Sin embargo, hay conjuntos medibles según Lebesgue que no son conjuntos de Borel. ^{[5] [6]}
• Cualquier conjunto contable de números reales tiene medida de Lebesgue 0. En particular, la medida de Lebesgue del conjunto de números algebraicos es 0, aunque el conjunto sea denso en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El conjunto de Cantor y el conjunto de números de Liouville son ejemplos de conjuntos incontables que tienen medida de Lebesgue 0.
• Si se cumple el axioma de determinabilidad, entonces todos los conjuntos de reales son mensurables según Lebesgue. Sin embargo, la determinación no es compatible con el axioma de elección .
• Los conjuntos de Vitali son ejemplos de conjuntos que no son mensurables con respecto a la medida de Lebesgue. Su existencia se basa en el axioma de elección .
• Las curvas de Osgood son curvas planas simples con medida de Lebesgue positiva ^[7] (se pueden obtener mediante una pequeña variación de la construcción de la curva de Peano ). La curva del dragón es otro ejemplo inusual.
• Cualquier línea en , para , tiene una medida de Lebesgue cero. En general, todo hiperplano adecuado tiene una medida de Lebesgue cero en su espacio ambiental . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$
• El volumen de una n -bola se puede calcular en términos de la función gamma de Euler.

Propiedades

Invariancia de traducción: La medida de Lebesgue de y son iguales. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+t}$

La medida de Lebesgue sobre R ⁿ tiene las siguientes propiedades:

1. Si A es un producto cartesiano de intervalos I ₁ × I ₂ × ⋯ × In , entonces A _es medible según Lebesgue y ${\displaystyle \lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|.}$
2. Si A es una unión disjunta de muchos conjuntos disjuntos mensurables según Lebesgue, entonces A es en sí mismo mensurable según Lebesgue y λ ( A ) es igual a la suma (o serie infinita ) de las medidas de los conjuntos mensurables involucrados.
3. Si A es medible según Lebesgue, entonces también lo es su complemento .
4. λ ( A ) ≥ 0 para cada conjunto A medible por Lebesgue .
5. Si A y B son medibles según Lebesgue y A es un subconjunto de B , entonces λ ( A ) ≤ λ ( B ). (Una consecuencia de 2.)
6. Las uniones contables y las intersecciones de conjuntos medibles según Lebesgue son mensurables según Lebesgue. (No es una consecuencia de 2 y 3, porque una familia de conjuntos que está cerrada bajo complementos y uniones contables disjuntas no necesita estar cerrada bajo uniones contables: . ) ${\displaystyle \{\emptyset ,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}\}}$
7. Si A es un subconjunto abierto o cerrado de R ⁿ (o incluso el conjunto de Borel , ver espacio métrico ), entonces A es medible según Lebesgue.
8. Si A es un conjunto medible según Lebesgue, entonces es "aproximadamente abierto" y "aproximadamente cerrado" en el sentido de la medida de Lebesgue.
9. Un conjunto medible según Lebesgue se puede "comprimir" entre un conjunto abierto contenedor y un conjunto cerrado contenido. Esta propiedad se ha utilizado como una definición alternativa de mensurabilidad de Lebesgue. Más precisamente, ¿es medible según Lebesgue si y sólo si para cada existe un conjunto abierto y un conjunto cerrado tal que y ? ^[8] ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\subset E\subset G}$ ${\displaystyle \lambda (G\setminus F)<\varepsilon }$
10. Un conjunto medible según Lebesgue se puede "comprimir" entre un conjunto G δ contenedor y un F σ contenido . Es decir, si A es medible según Lebesgue, entonces existe un conjunto G δ G y un F σ F tal que G  ⊇  A  ⊇  F y λ ( G  \  A ) =  λ ( A  \  F ) = 0.
11. La medida de Lebesgue es localmente finita y regular internamente , por lo que es una medida de radón .
12. La medida de Lebesgue es estrictamente positiva en conjuntos abiertos no vacíos, por lo que su soporte es el conjunto de R ⁿ .
13. Si A es un conjunto medible según Lebesgue con λ( A ) = 0 (un conjunto nulo ), entonces cada subconjunto de A también es un conjunto nulo. A fortiori , cada subconjunto de A es mensurable.
14. Si A es medible según Lebesgue y x es un elemento de R ⁿ , entonces la traslación de A por x , definida por A + x = { a + x  : a ∈ A }, también es medible según Lebesgue y tiene la misma medida que A .
15. Si A es medible según Lebesgue y , entonces la dilatación de by definida por también es medible según Lebesgue y tiene medida ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta A=\{\delta x:x\in A\}}$ ${\displaystyle \delta ^{n}\lambda \,(A).}$
16. De manera más general, si T es una transformación lineal y A es un subconjunto medible de R ⁿ , entonces T ( A ) también es medible según Lebesgue y tiene la medida . ${\displaystyle \left|\det(T)\right|\lambda (A)}$

Todo lo anterior se puede resumir sucintamente de la siguiente manera (aunque las dos últimas afirmaciones están vinculadas de manera no trivial a lo siguiente):

Los conjuntos medibles de Lebesgue forman una σ -álgebra que contiene todos los productos de intervalos, y λ es la única medida invariante de traducción completa en esa σ -álgebra con ${\displaystyle \lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1.}$

La medida de Lebesgue también tiene la propiedad de ser σ -finita .

Conjuntos nulos

Un subconjunto de R ⁿ es un conjunto nulo si, para cada ε > 0, puede cubrirse con un número contable de productos de n intervalos cuyo volumen total es como máximo ε. Todos los conjuntos contables son conjuntos nulos.

Si un subconjunto de R ⁿ tiene una dimensión de Hausdorff menor que n , entonces es un conjunto nulo con respecto a la medida de Lebesgue de n dimensiones. Aquí la dimensión de Hausdorff es relativa a la métrica euclidiana en R ⁿ (o cualquier métrica de Lipschitz equivalente a ella). Por otro lado, un conjunto puede tener una dimensión topológica menor que n y tener una medida de Lebesgue n -dimensional positiva. Un ejemplo de esto es el conjunto de Smith-Volterra-Cantor que tiene dimensión topológica 0 pero tiene una medida de Lebesgue unidimensional positiva.

Para demostrar que un conjunto dado A es medible según Lebesgue, normalmente se intenta encontrar un conjunto B "mejor" que difiera de A sólo por un conjunto nulo (en el sentido de que la diferencia simétrica ( A − B ) ∪ ( B − A ) es un conjunto nulo) y luego mostrar que B se puede generar usando uniones e intersecciones contables de conjuntos abiertos o cerrados.

Construcción de la medida Lebesgue

La construcción moderna de la medida de Lebesgue es una aplicación del teorema de extensión de Carathéodory . Se procede de la siguiente manera.

Fijar norte ∈ norte . Una caja en R ⁿ es un conjunto de la forma

${\displaystyle B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]\,,}$

donde b _i ≥ a _i , y el símbolo del producto aquí representa un producto cartesiano. El volumen de esta caja se define como

${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,.}$

Para cualquier subconjunto A de R ⁿ , podemos definir su medida exterior λ *( A ) por:

${\displaystyle \lambda ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}{\text{ is a countable collection of boxes whose union covers }}A\right\}.}$

Luego definimos el conjunto A como medible según Lebesgue si para cada subconjunto S de R ⁿ ,

${\displaystyle \lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S\setminus A)\,.}$

Estos conjuntos mensurables de Lebesgue forman una σ -álgebra , y la medida de Lebesgue se define por λ ( A ) = λ *( A ) para cualquier conjunto A mensurable de Lebesgue .

La existencia de conjuntos que no son medibles según Lebesgue es una consecuencia del axioma de elección de la teoría de conjuntos , que es independiente de muchos de los sistemas convencionales de axiomas de la teoría de conjuntos . El teorema de Vitali , que se deriva del axioma, establece que existen subconjuntos de R que no son medibles mediante Lebesgue. Asumiendo el axioma de elección, se han demostrado conjuntos no mensurables con muchas propiedades sorprendentes, como las de la paradoja de Banach-Tarski .

En 1970, Robert M. Solovay demostró que la existencia de conjuntos que no son medibles mediante Lebesgue no es demostrable en el marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en ausencia del axioma de elección (ver el modelo de Solovay ). ^[9]

Relación con otras medidas

La medida de Borel concuerda con la medida de Lebesgue en aquellos conjuntos para los que está definida; sin embargo, hay muchos más conjuntos mensurables según Lebesgue que conjuntos mensurables según Borel. La medida de Borel es invariante en la traducción, pero no completa .

La medida de Haar se puede definir en cualquier grupo localmente compacto y es una generalización de la medida de Lebesgue ( R ⁿ con suma es un grupo localmente compacto).

La medida de Hausdorff es una generalización de la medida de Lebesgue que es útil para medir los subconjuntos de R ⁿ de dimensiones inferiores a n , como subvariedades , por ejemplo, superficies o curvas en R ³ y conjuntos fractales . La medida de Hausdorff no debe confundirse con la noción de dimensión de Hausdorff .

Se puede demostrar que no existe un análogo de dimensión infinita de la medida de Lebesgue .

Ver también

• 4 volúmenes
• Edison Farah
• Teorema de densidad de Lebesgue
• Medida de Lebesgue del conjunto de números de Liouville
• Conjunto no medible
  • conjunto vitali
• Medida Peano-Jordania

Referencias

1. El término volumen también se utiliza, más estrictamente, como sinónimo de volumen tridimensional.
2. Lebesgue, H. (1902). "Intégrale, Longueur, Aire". Annali di Matematica Pura ed Applicata . 7 : 231–359. doi :10.1007/BF02420592. S2CID  121256884.
3. Royden, HL (1988). Análisis real (3ª ed.). Nueva York: Macmillan. pag. 56.ISBN _ 0-02-404151-3.
4. "Lebesgue-Maß". 29 de agosto de 2022 . Consultado el 9 de marzo de 2023 , a través de Wikipedia.
5. Asaf Karagila. "¿Qué conjuntos son medibles según Lebesgue?". intercambio de pila de matemáticas . Consultado el 26 de septiembre de 2015 .
6. Asaf Karagila. "¿Existe un álgebra sigma en R estrictamente entre las álgebras de Borel y Lebesgue?". intercambio de pila de matemáticas . Consultado el 26 de septiembre de 2015 .
7. Osgood, William F. (enero de 1903). "Una curva de Jordan de área positiva". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . Sociedad Matemática Estadounidense. 4 (1): 107–112. doi : 10.2307/1986455 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1986455.
8. Carothers, Países Bajos (2000). Análisis real. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs.293 . ISBN 9780521497565.
9. Solováy, Robert M. (1970). "Un modelo de teoría de conjuntos en el que cada conjunto de reales es mensurable según Lebesgue". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 92 (1): 1–56. doi :10.2307/1970696. JSTOR  1970696.