El criterio de Carathéodory

El criterio de Carathéodory es un resultado de la teoría de la medida que fue formulado por el matemático griego Constantin Carathéodory que caracteriza cuándo un conjunto es medible según el método de Lebesgue .

Declaración

Criterio de Carathéodory : Sea la medida exterior de Lebesgue en donde denota el conjunto potencia de y sea Entonces es Lebesgue medible si y sólo si para cada donde denota el complemento de Nótese que no se requiere que sea un conjunto medible. ^[1] ${\displaystyle \lambda ^{*}:{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap M)+\lambda ^{*}\left(S\cap M^{c}\right)}$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle M^{c}}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle S}$

Generalización

El criterio de Carathéodory es de considerable importancia porque, en contraste con la formulación original de Lebesgue de mensurabilidad, que se basa en ciertas propiedades topológicas de este criterio, se generaliza fácilmente a una caracterización de mensurabilidad en espacios abstractos. De hecho, en la generalización a medidas abstractas, este teorema a veces se extiende a una definición de mensurabilidad. ^[1] Así, tenemos la siguiente definición: Si es una medida externa en un conjunto donde denota el conjunto potencia de entonces un subconjunto se llama –medible o Carathéodory-medible si para cada se cumple la igualdad donde es el complemento de ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mu ^{*}:{\mathcal {P}}(\Omega )\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle M\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle S\subseteq \Omega ,}$ $${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}\left(S\cap M^{c}\right)}$$ ${\displaystyle M^{c}:=\Omega \setminus M}$ ${\displaystyle M.}$

La familia de todos los subconjuntos –medibles es una σ-álgebra (por ejemplo, el complemento de un conjunto –medible es –medible, y lo mismo es cierto para las intersecciones y uniones contables de conjuntos –medibles) y la restricción de la medida externa a esta familia es una medida . ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$

Véase también

• Teorema de extensión de Carathéodory  – Teorema que extiende las premedidas a las medidas
• Conjunto no boreliano  : clase de conjuntos matemáticosPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Conjunto no medible  : conjunto al que no se le puede asignar un "volumen" significativo.
• Medida exterior  – Función matemática
• Conjunto de Vitali  : conjunto de números reales que no son medibles según Lebesgue

Referencias

1. Pugh, Charles C. Análisis matemático real (2.ª ed.). Springer. pág. 388. ISBN 978-3-319-17770-0.