Medida (matemáticas)

Generalización de masa, longitud, área y volumen.

Informalmente, una medida tiene la propiedad de ser monótona en el sentido de que si es un subconjunto de la medida de es menor o igual que la medida de Además, se requiere que la medida del conjunto vacío sea 0. Un ejemplo simple es una Volumen (qué tan grande es un objeto que ocupa un espacio) como medida. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

En matemáticas , el concepto de medida es una generalización y formalización de medidas geométricas ( longitud , área , volumen ) y otras nociones comunes, como magnitud , masa y probabilidad de eventos. Estos conceptos aparentemente distintos tienen muchas similitudes y, a menudo, pueden tratarse juntos en un único contexto matemático. Las medidas son fundamentales en la teoría de la probabilidad y la teoría de la integración y pueden generalizarse para asumir valores negativos , como ocurre con la carga eléctrica . Las generalizaciones de gran alcance (como las medidas espectrales y las medidas con valores de proyección ) de medida se utilizan ampliamente en la física cuántica y la física en general.

La intuición detrás de este concepto se remonta a la antigua Grecia , cuando Arquímedes intentó calcular el área de un círculo . ^[1] Pero no fue hasta finales del siglo XIX y principios del XX que la teoría de la medida se convirtió en una rama de las matemáticas. Las bases de la teoría de la medida moderna se sentaron en las obras de Émile Borel , Henri Lebesgue , Nikolai Luzin , Johann Radon , Constantin Carathéodory y Maurice Fréchet , entre otros.

Definición

Aditividad contable de una medida : la medida de una unión disjunta contable es la misma que la suma de todas las medidas de cada subconjunto. ${\displaystyle \mu }$

Sea un conjunto y un -álgebra sobre Una función de conjunto desde hasta la recta numérica real extendida se llama medida si se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$

• No negatividad : Para todos ${\displaystyle E\in \Sigma ,\ \ \mu (E)\geq 0.}$
• ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$
• Aditividad contable (o -aditividad ): para todas las colecciones contables de conjuntos disjuntos por pares en Σ, ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$
  $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{k}).}$$

Si al menos un conjunto tiene medida finita, entonces el requisito se cumple automáticamente debido a la aditividad contable: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$

$${\displaystyle \mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing ),}$$

${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$

Si la condición de no negatividad se elimina y toma como máximo uno de los valores de entonces se llama medida con signo . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \pm \infty ,}$ ${\displaystyle \mu }$

El par se llama espacio medible y los miembros de se llaman conjuntos medibles . ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Un triple se llama espacio de medida . Una medida de probabilidad es una medida con una medida total uno, es decir, un espacio de probabilidad es un espacio de medida con una medida de probabilidad. ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \mu (X)=1.}$

Para espacios de medida que también son espacios topológicos, se pueden colocar varias condiciones de compatibilidad para la medida y la topología. La mayoría de las medidas que se encuentran en la práctica en el análisis (y en muchos casos también en la teoría de la probabilidad ) son medidas de radón . Las medidas de radón tienen una definición alternativa en términos de funcionales lineales en el espacio vectorial topológico localmente convexo de funciones continuas con soporte compacto . Bourbaki (2004) y varias otras fuentes adoptan este enfoque . Para más detalles, consulte el artículo sobre medidas de radón .

Instancias

Algunas medidas importantes se enumeran aquí.

• La medida de conteo se define por = número de elementos en ${\displaystyle \mu (S)}$ ${\displaystyle S.}$
• La medida de Lebesgue es una medida invariante de traducción completa en un σ -álgebra que contiene los intervalos de modo que ; y cualquier otra medida con estas propiedades extiende la medida de Lebesgue. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu ([0,1])=1}$
• La medida del ángulo circular es invariante bajo rotación y la medida del ángulo hiperbólico es invariante bajo mapeo de compresión .
• La medida de Haar para un grupo topológico localmente compacto es una generalización de la medida de Lebesgue (y también de la medida de conteo y la medida de ángulo circular) y tiene propiedades de unicidad similares.
• La medida de Hausdorff es una generalización de la medida de Lebesgue a conjuntos con dimensión no entera, en particular, conjuntos fractales.
• Todo espacio de probabilidad da lugar a una medida que toma el valor 1 en todo el espacio (y por tanto toma todos sus valores en el intervalo unitario [0, 1]). Esta medida se llama medida o distribución de probabilidad . Consulte la lista de distribuciones de probabilidad para ver ejemplos.
• La medida de Dirac δ _a (cf. función delta de Dirac ) está dada por δ _a ( S ) = χ _S (a), donde χ _S es la función indicadora de La medida de un conjunto es 1 si contiene el punto y 0 en caso contrario . ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle a}$

Otras medidas 'nombradas' utilizadas en varias teorías incluyen: medida de Borel , medida de Jordan , medida ergódica , medida de Gauss , medida de Baire , medida de radón , medida de Young y medida de Loeb .

En física, un ejemplo de medida es la distribución espacial de la masa (ver, por ejemplo, potencial de gravedad ), u otra propiedad extensiva no negativa , conservada (ver ley de conservación para obtener una lista de ellas) o no. Los valores negativos conducen a medidas firmadas; consulte "generalizaciones" a continuación.

• La medida de Liouville , conocida también como forma de volumen natural en una variedad simpléctica, es útil en la mecánica estadística clásica y hamiltoniana.
• La medida de Gibbs se utiliza ampliamente en mecánica estadística, a menudo bajo el nombre de conjunto canónico .

La teoría de la medida se utiliza en el aprendizaje automático. Un ejemplo es la medida de probabilidad inducida por flujo en GFlowNet. ^[2]

Propiedades básicas

Sea una medida. ${\displaystyle \mu }$

monotonicidad

Si y son conjuntos medibles con entonces ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}$

$${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2}).}$$

Medida de uniones e intersecciones contables.

Subaditividad contable

Para cualquier secuencia contable de conjuntos mensurables (no necesariamente separados) en ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma :}$

$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).}$$

Continuidad desde abajo

Si hay conjuntos medibles que son crecientes (lo que significa que ), entonces la unión de los conjuntos es medible y ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$ ${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq E_{3}\subseteq \ldots }$ ${\displaystyle E_{n}}$

$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)~=~\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\sup _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}$$

Continuidad desde arriba

Si hay conjuntos medibles que son decrecientes (lo que significa que ), entonces la intersección de los conjuntos es medible; Además, si al menos uno de ellos tiene medida finita, entonces ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$ ${\displaystyle E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq E_{3}\supseteq \ldots }$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$

$${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\inf _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}$$

Esta propiedad es falsa sin el supuesto de que al menos uno de ellos tenga medida finita. Por ejemplo, para cada uno , todos tienen una medida de Lebesgue infinita, pero la intersección está vacía. ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} ,}$

Otras propiedades

Lo completo

Un conjunto mensurable se llama conjunto nulo si un subconjunto de un conjunto nulo se llama conjunto insignificante . Un conjunto insignificante no tiene por qué ser mensurable, pero todo conjunto insignificante mensurable es automáticamente un conjunto nulo. Una medida se llama completa si cada conjunto insignificante es mensurable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu (X)=0.}$

Una medida puede extenderse a una completa considerando el σ-álgebra de subconjuntos que difieren en un conjunto insignificante de un conjunto medible, es decir, de modo que la diferencia simétrica de y esté contenida en un conjunto nulo. Uno define igual ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu (Y)}$ ${\displaystyle \mu (X).}$

"Dejando caer el borde"

Si es medible, entonces ${\displaystyle f:X\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle (\Sigma ,{\cal {B}}([0,+\infty ]))}$

$${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=\mu \{x\in X:f(x)>t\}}$$

casi todos ^[3]la integral de Lebesgue ${\displaystyle t\in [-\infty ,\infty ].}$

Prueba

Ambos y son funciones monótonamente no crecientes de, por lo que ambos tienen como máximo un número contable de discontinuidades y, por lo tanto, son continuos en casi todas partes, en relación con la medida de Lebesgue. Si entonces es como se desea. ${\displaystyle F(t):=\mu \{x\in X:f(x)>t\}}$ ${\displaystyle G(t):=\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle t<0}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\geq t\}=X=\{x\in X:f(x)>t\},}$ ${\displaystyle F(t)=G(t),}$

Si es tal que entonces la monotonicidad implica ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)>t\}=+\infty }$

$${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=+\infty ,}$$

para que según sea necesario. Si es así , entonces hemos terminado, así que asuma lo contrario. Entonces hay un tal único que es infinito a la izquierda de (lo que sólo puede ocurrir cuando ) y finito a la derecha. Argumentando como arriba, cuando De manera similar, si y entonces ${\displaystyle F(t)=G(t),}$ ${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)>t\}=+\infty }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{0}\in \{-\infty \}\cup [0,+\infty )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{0}\geq 0}$ ${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=+\infty }$ ${\displaystyle t<t_{0}.}$ ${\displaystyle t_{0}\geq 0}$ ${\displaystyle F\left(t_{0}\right)=+\infty }$ ${\displaystyle F\left(t_{0}\right)=G\left(t_{0}\right).}$

Porque sea una secuencia monótonamente no decreciente que converge a La secuencia monótonamente no creciente de miembros de tiene al menos un componente finitamente mensurable, y ${\displaystyle t>t_{0},}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)>t_{n}\}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \{x\in X:f(x)\geq t\}=\bigcap _{n}\{x\in X:f(x)>t_{n}\}.}$$

La continuidad desde arriba garantiza que

$${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=\lim _{t_{n}\uparrow t}\mu \{x\in X:f(x)>t_{n}\}.}$$

El lado derecho entonces es igual a if es un punto de continuidad de Dado que es continuo en casi todas partes, esto completa la prueba. ${\displaystyle \lim _{t_{n}\uparrow t}F\left(t_{n}\right)}$ ${\displaystyle F(t)=\mu \{x\in X:f(x)>t\}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$

Aditividad

Se requiere que las medidas sean contablemente aditivas. Sin embargo, la condición se puede reforzar de la siguiente manera. Para cualquier conjunto y cualquier conjunto de definiciones no negativas: ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle r_{i},i\in I}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}=\sup \left\lbrace \sum _{i\in J}r_{i}:|J|<\infty ,J\subseteq I\right\rbrace .}$$

${\displaystyle r_{i}}$

Una medida en es -aditiva si para cualquier familia de disjuntos establece la siguiente retención: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda <\kappa }$ ${\displaystyle X_{\alpha },\alpha <\lambda }$

$${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\in \Sigma }$$

$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\right)=\sum _{\alpha \in \lambda }\mu \left(X_{\alpha }\right).}$$

ideal ${\displaystyle \kappa }$

Medidas sigma-finitas

Un espacio de medidas se llama finito si es un número real finito (en lugar de ). Las medidas finitas distintas de cero son análogas a las medidas de probabilidad en el sentido de que cualquier medida finita es proporcional a la medida de probabilidad. Una medida se llama σ-finita si se puede descomponer en una unión contable de conjuntos mensurables de medidas finitas. De manera análoga, se dice que un conjunto en un espacio de medidas tiene una medida σ-finita si es una unión contable de conjuntos con medida finita. ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \mu (X)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\frac {1}{\mu (X)}}\mu .}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$

Por ejemplo, los números reales con la medida estándar de Lebesgue son σ-finitos pero no finitos. Considere los intervalos cerrados para todos los números enteros; hay muchos intervalos de este tipo, cada uno tiene medida 1 y su unión es la línea real completa. Alternativamente, considere los números reales con la medida de conteo , que asigna a cada conjunto finito de reales el número de puntos del conjunto. Este espacio de medidas no es σ-finito, porque cada conjunto con medida finita contiene sólo un número finito de puntos, y se necesitarían incontables conjuntos de este tipo para cubrir toda la línea real. Los espacios de medidas finitas σ tienen algunas propiedades muy convenientes; La σ-finitud se puede comparar a este respecto con la propiedad de Lindelöf de los espacios topológicos. ^{[ ¿ investigacion original? ]} También se pueden considerar como una vaga generalización de la idea de que un espacio de medidas puede tener "medidas incontables". ${\displaystyle [k,k+1]}$ ${\displaystyle k;}$

Medidas estrictamente localizables

Medidas semifinitas

Sea un conjunto, sea un álgebra sigma y sea una medida. Decimos que es semifinito para significar que para todos ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}}.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \},}$ ${\displaystyle {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})\neq \emptyset .}$

Las medidas semifinitas generalizan las medidas sigma-finitas, de tal manera que algunos grandes teoremas de la teoría de la medida que son válidos para medidas sigma-finitas pero no arbitrarias pueden ampliarse con pocas modificaciones para que sean válidos para medidas semifinitas. (Tarea pendiente: agregar ejemplos de tales teoremas; consulte la página de discusión).

Ejemplos básicos

• Cada medida sigma finita es semifinita.
• Asumir dejar y asumir para todos ${\displaystyle {\cal {A}}={\cal {P}}(X),}$ ${\displaystyle f:X\to [0,+\infty ],}$ ${\displaystyle \mu (A)=\sum _{a\in A}f(a)}$ ${\displaystyle A\subseteq X.}$
  • Tenemos que es sigma-finito si y sólo si para todos y es contable. Tenemos que es semifinito si y sólo si para todos ^[5] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f(x)<+\infty }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f(x)<+\infty }$ ${\displaystyle x\in X.}$
  • Tomando lo anterior (es decir, contar la medida en adelante ), vemos que contar la medida en adelante es ${\displaystyle f=X\times \{1\}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$ ${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$
    • sigma-finito si y sólo si es contable; y ${\displaystyle X}$
    • semifinito (sin importar si es contable). (Por lo tanto, contar la medida, en el conjunto de potencias de un conjunto incontable arbitrario, da un ejemplo de una medida semifinita que no es sigma-finita). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X,}$
• Sea una métrica completa y separable en sea el álgebra sigma de Borel inducida por y sea entonces la medida de Hausdorff es semifinita. ^[6] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\cal {B}}}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$ ${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$
• Sea una métrica completa y separable, sea el álgebra sigma de Borel inducida por y sea Entonces la medida de empaquetamiento es semifinita. ^[7] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\cal {B}}}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$ ${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$

Ejemplo involucrado

La medida cero es sigma-finita y, por tanto, semifinita. Además, la medida cero es claramente menor o igual a. Se puede demostrar que existe una medida mayor con estas dos propiedades: ${\displaystyle \mu .}$

Teorema (parte semifinita) ^[8]  -  Para cualquier medida existe , entre medidas semifinitas que son menores o iguales a un elemento mayor ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}.}$

Decimos que la parte semifinita de significa la medida semifinita definida en el teorema anterior. Damos algunas fórmulas bonitas y explícitas, que algunos autores pueden tomar como definición, para la parte semifinita: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$

• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$^[8]
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (A\cap B):B\in \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}\}.}$^[9]
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=\mu |_{\mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}=+\infty \}\times \{+\infty \}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}<+\infty \}\times \{0\}.}$^[10]

Como es semifinito, se sigue que si entonces es semifinito. También es evidente que si es semifinito entonces ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}.}$

No ejemplos

Toda medida que no sea la medida cero no es semifinita. (Aquí decimos medida para referirnos a una medida cuyo rango se encuentra en : ) A continuación damos ejemplos de medidas que no son medidas cero. ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle \{0,+\infty \}}$ ${\displaystyle (\forall A\in {\cal {A}})(\mu (A)\in \{0,+\infty \}).}$ ${\displaystyle 0-\infty }$

• Sea no vacía, sea un álgebra, sea no la función cero y sea. Se puede demostrar que es una medida. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:X\to \{0,+\infty \}}$ ${\displaystyle \mu =(\sum _{x\in A}f(x))_{A\in {\cal {A}}}.}$ ${\displaystyle \mu }$
  • ${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0)\}\cup ({\cal {A}}\setminus \{\emptyset \})\times \{+\infty \}.}$^[11]
    • ${\displaystyle X=\{0\},}$ ${\displaystyle {\cal {A}}=\{\emptyset ,X\},}$ ${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0),(X,+\infty )\}.}$^[12]
• Sean incontables, sean un álgebra, sean los elementos contables de y se pueda demostrar que es una medida. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\cal {C}}=\{A\in {\cal {A}}:A{\text{ is countable}}\}}$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle \mu ={\cal {C}}\times \{0\}\cup ({\cal {A}}\setminus {\cal {C}})\times \{+\infty \}.}$ ${\displaystyle \mu }$

Involucrado no ejemplo

Las medidas que no son semifinitas son muy descabelladas cuando se restringen a ciertos conjuntos. ^{[Nota 1]} Cada medida es, en cierto sentido, semifinita una vez que se le quita su parte (la parte salvaje). ${\displaystyle 0-\infty }$

—  A. Mukherjea y K. Pothoven, Análisis real y funcional, Parte A: Análisis real (1985)

Teorema (descomposición de Lutero) ^{[13] [14]}  —  Para cualquier medida de existe una medida tal que para alguna medida semifinita de De hecho, entre tales medidas existe una medida mínima Además, tenemos ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \mu =\nu +\xi }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\cal {A}}.}$ ${\displaystyle \xi ,}$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }.}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}+\mu _{0-\infty }.}$

Decimos que la parte de significa la medida definida en el teorema anterior. Aquí hay una fórmula explícita para : ${\displaystyle \mathbf {0-\infty } }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }=(\sup\{\mu (B)-\mu _{\text{sf}}(B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu _{\text{sf}}^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$

Resultados sobre medidas semifinitas

• Sea o y sea Entonces es semifinito si y sólo si es inyectivo. ^{[15] [16]} (Este resultado tiene importancia en el estudio del espacio dual de ). ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L^{1}=L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}$
• Sea o y sea la topología de convergencia en medida en Entonces es semifinita si y sólo si es Hausdorff. ^{[17] [18]} ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\cal {T}}}$ ${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{0}(\mu ).}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {T}}}$
• (Johnson) Sea un conjunto, sea un álgebra sigma en sea una medida en sea un conjunto, sea un álgebra sigma en y sea una medida en Si ambos no son una medida, entonces ambos y son semifinitos si y solo si para todos y (Aquí, está la medida definida en el Teorema 39.1 en Berberian '65. ^[19] ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\cal {B}}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\cal {B}}.}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (\mu \times _{\text{cld}}\nu )}$ ${\displaystyle (A\times B)=\mu (A)\nu (B)}$ ${\displaystyle A\in {\cal {A}}}$ ${\displaystyle B\in {\cal {B}}.}$ ${\displaystyle \mu \times _{\text{cld}}\nu }$

Medidas localizables

Las medidas localizables son un caso especial de medidas semifinitas y una generalización de medidas sigma-finitas.

Sea un conjunto, sea un álgebra sigma y sea una medida ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}}.}$

• Sea o y sea Entonces es localizable si y sólo si es biyectivo (si y sólo si "es" ). ^{[20] [16]} ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )^{*}}$

s-medidas finitas

Se dice que una medida es s-finita si es una suma contable de medidas finitas. Las medidas S-finitas son más generales que las sigma-finitas y tienen aplicaciones en la teoría de procesos estocásticos .

Conjuntos no medibles

Si se supone que el axioma de elección es verdadero, se puede demostrar que no todos los subconjuntos del espacio euclidiano son mensurables según Lebesgue ; ejemplos de tales conjuntos incluyen el conjunto de Vitali y los conjuntos no mensurables postulados por la paradoja de Hausdorff y la paradoja de Banach-Tarski .

Generalizaciones

Para ciertos propósitos, es útil tener una "medida" cuyos valores no estén restringidos a los reales no negativos o al infinito. Por ejemplo, una función de conjunto aditivo contable con valores en números reales (con signo) se denomina medida con signo , mientras que una función con valores en números complejos se denomina medida compleja . Observe, sin embargo, que la medida compleja es necesariamente de variación finita, por lo tanto, las medidas complejas incluyen medidas finitas con signo pero no, por ejemplo, la medida de Lebesgue .

Las medidas que toman valores en espacios de Banach se han estudiado ampliamente. ^[21] Una medida que toma valores en el conjunto de proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert se llama medida valorada en proyección ; estos se utilizan en el análisis funcional del teorema espectral . Cuando es necesario distinguir las medidas habituales que toman valores no negativos de las generalizaciones, se utiliza el término medida positiva . Las medidas positivas se cierran bajo una combinación cónica pero no una combinación lineal general , mientras que las medidas firmadas son el cierre lineal de medidas positivas.

Otra generalización es la medida finitamente aditiva , también conocida como contenido . Esto es lo mismo que una medida excepto que en lugar de requerir aditividad contable solo requerimos aditividad finita . Históricamente, esta definición se utilizó primero. Resulta que, en general, las medidas finitamente aditivas están relacionadas con nociones como los límites de Banach , el dual de y la compactación de Stone-Čech . Todos estos están vinculados de una forma u otra al axioma de elección . Los contenidos siguen siendo útiles en ciertos problemas técnicos de la teoría de medidas geométricas ; esta es la teoría de las medidas de Banach . ${\displaystyle L^{\infty }}$

Una carga es una generalización en ambas direcciones: es una medida con signo, finitamente aditiva. ^[22] (Cf. ba espacio para información sobre cargas acotadas , donde decimos que una carga está acotada significa que su rango es un subconjunto acotado de R ).

Ver también

• Portal de matemáticas

• Álgebra abeliana de von Neumann
• Casi en cualquier parte
• Teorema de extensión de Carathéodory
• Contenido (teoría de la medida)
• teorema de fubini
• El lema de Fatou
• Teoría de la medida difusa
• Teoría de la medida geométrica
• medida de Hausdorff
• medida interior
• Integración de Lebesgue
• medida de lebesgue
• espacio de lorentz
• Teoría del levantamiento
• Cardinal mensurable
• Función medible
• Contenido de Minkowski
• medida exterior
• Medida del producto
• Medida de avance
• Medida regular
• Medida vectorial
• Valoración (teoría de la medida)
• forma de volumen

Notas

1. Una forma de reformular nuestra definición es que es semifinita si y solo si. Al negar esta reformulación, encontramos que no es semifinita si y solo si. Para cada conjunto de este tipo, la medida subespacial inducida por el álgebra sigma subespacial inducida por, es decir, la restricción de a dicha sigma-álgebra subespacial, es una medida que no es la medida cero. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (\forall A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \})(\exists B\subseteq A)(0<\mu (B)<+\infty ).}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (\exists A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \})(\forall B\subseteq A)(\mu (B)\in \{0,+\infty \}).}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 0-\infty }$

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• Nielsen, Ole A (1997). Introducción a la integración y la teoría de la medida . Wiley. ISBN 0-471-59518-7.
• KPS Bhaskara Rao y M. Bhaskara Rao (1983), Teoría de las cargas: un estudio de medidas finitamente aditivas , Londres: Academic Press, págs. x + 315, ISBN 0-12-095780-9
• Royden, HL ; Fitzpatrick, PM (2010). Análisis real (Cuarta ed.). Prentice Hall. pag. 342, Ejercicio 17.8.Primera impresión. Hay una segunda impresión posterior (2017). Aunque normalmente hay poca diferencia entre la primera impresión y las posteriores, en este caso la segunda impresión no sólo elimina de la página 53 los Ejercicios 36, 40, 41 y 42 del Capítulo 2 sino que también ofrece una (ligeramente, pero aún sustancialmente) diferente. presentación de la parte (ii) del Ejercicio 17.8. (La presentación de la segunda impresión de la parte (ii) del Ejercicio 17.8 (sobre la descomposición de Lutero ^[13] ) concuerda con las presentaciones habituales, ^{[4] [23]} mientras que la presentación de la primera impresión proporciona una nueva perspectiva.)
• Shilov, GE y Gurevich, BL, 1978. Integral, medida y derivada: un enfoque unificado , Richard A. Silverman, trad. Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-63519-8 . Destaca la integral de Daniell . 
• Teschl, Gerald , Temas de análisis real y funcional, (notas de clase)
• Tao, Terence (2011). Una introducción a la teoría de la medida . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 9780821869192.
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Referencias

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7. Edgar 1998, Teorema 1.5.3, p. 42.
8. Nielsen 1997, ejercicio 11.30, p. 159.
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19. Berberian 1965, Teorema 39.1, p. 129.
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21. Rao, MM (2012), Medidas aleatorias y vectoriales , Serie sobre análisis multivariado, vol. 9, Científico Mundial , ISBN 978-981-4350-81-5, señor  2840012.
22. Bhaskara Rao, KPS (1983). Teoría de cargas: un estudio de medidas finitamente aditivas. M. Bhaskara Rao. Londres: Academic Press. pag. 35.ISBN​ 0-12-095780-9. OCLC  21196971.
23. Folland 1999, pag. 27, Ejercicio 1.15.a.

enlaces externos

• "Medida", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Tutorial: Teoría de la medida para principiantes