Álgebra abeliana de von Neumann

En análisis funcional , un álgebra abeliana de von Neumann es un álgebra de operadores de von Neumann en un espacio de Hilbert en el que todos los elementos conmutan .

El ejemplo prototípico de un álgebra abeliana de von Neumann es el álgebra L ^∞ ( X , μ ) para μ una medida σ-finita en X realizada como un álgebra de operadores en el espacio de Hilbert L ² ( X , μ ) de la siguiente manera: Cada f ∈ L ^∞ ( X , μ) se identifica con el operador de multiplicación

${\displaystyle \psi \mapsto f\psi .}$

De particular importancia son las álgebras abelianas de von Neumann en espacios de Hilbert separables , sobre todo porque son completamente clasificables mediante invariantes simples.

Aunque existe una teoría para las álgebras de von Neumann en espacios de Hilbert no separables (y de hecho, gran parte de la teoría general todavía se mantiene en ese caso), la teoría es considerablemente más simple para las álgebras de espacios separables y la mayoría de las aplicaciones a otras áreas de las matemáticas o la física únicamente. Utilice espacios de Hilbert separables. Tenga en cuenta que si los espacios de medida ( X , μ ) es un espacio de medida estándar (es decir, X − N es un espacio de Borel estándar para algún conjunto nulo N y μ es una medida σ-finita), entonces L ² ( X , μ ) es separable.

Clasificación

La relación entre las álgebras conmutativas de von Neumann y los espacios de medida es análoga a la que existe entre las álgebras C* conmutativas y los espacios de Hausdorff localmente compactos . Cada álgebra conmutativa de von Neumann en un espacio de Hilbert separable es isomorfa a L ∞ ( X ) para algún espacio de medida estándar ( X , μ ) y a la inversa, para cada espacio de medida estándar X , L ^∞ ( X ) es un álgebra de von Neumann. Este isomorfismo como se indicó es un isomorfismo algebraico. De hecho, podemos expresar esto con mayor precisión de la siguiente manera:

Teorema . Cualquier álgebra abeliana de operadores de von Neumann en un espacio de Hilbert separable es *-isomorfa exactamente a uno de los siguientes

• ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\{1,2,\ldots ,n\}),\quad n\geq 1}$
• ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$
• ${\displaystyle L^{\infty }([0,1])}$
• ${\displaystyle L^{\infty }([0,1]\cup \{1,2,\ldots ,n\}),\quad n\geq 1}$
• ${\displaystyle L^{\infty }([0,1]\cup \mathbf {N} ).}$

Se puede elegir el isomorfismo para preservar la topología del operador débil .

En la lista anterior, el intervalo [0,1] tiene medida de Lebesgue y los conjuntos {1, 2, ..., n } y N tienen medida de conteo. Los sindicatos son sindicatos disjuntos. Esta clasificación es esencialmente una variante del teorema de clasificación de Maharam para álgebras de medidas separables. La versión del teorema de clasificación de Maharam que es más útil implica una realización puntual de la equivalencia y es algo así como un teorema popular .

Aunque cada espacio de medidas estándar es isomorfo a uno de los anteriores y la lista es exhaustiva en este sentido, existe una elección más canónica para el espacio de medidas en el caso de las álgebras abelianas de von Neumann A : el conjunto de todos los proyectores es un -completo Álgebra booleana, que es un álgebra libre de puntos. En el caso especial se recupera el álgebra abstracta . Este enfoque sin puntos puede convertirse en un teorema de dualidad análogo a la dualidad de Gelfand entre la categoría de álgebras abelianas de von Neumann y la categoría de álgebras abstractas. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle A=L^{\infty }(X,{\mathfrak {A}},\mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}/\{A\mid \mu (A)=0\}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Sean μ y ν medidas de probabilidad no atómica en los espacios estándar de Borel X e Y respectivamente. Entonces hay un subconjunto nulo μ N de X , un subconjunto nulo ν M de Y y un isomorfismo de Borel

${\displaystyle \phi :X\setminus N\rightarrow Y\setminus M,\quad }$

que lleva μ a ν. ^[1]

Observe que en el resultado anterior, es necesario recortar conjuntos de compás cero para que el resultado funcione.

En el teorema anterior, se requiere el isomorfismo para preservar la topología del operador débil. Como resulta (y se desprende fácilmente de las definiciones), para álgebras L ^∞ ( X , μ), las siguientes topologías concuerdan en conjuntos acotados por normas:

1. La topología del operador débil en L ^∞ ( X , μ);
2. La topología del operador ultradébil en L ^∞ ( X , μ);
3. La topología de la convergencia débil* en L ^∞ ( X , μ ) considerada como el espacio dual de L ¹ ( X , μ ).

Sin embargo, para un álgebra A abeliana de von Neumann, la realización de A como un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert separable es altamente no única. La clasificación completa de las realizaciones del álgebra de operadores de A viene dada por la teoría de la multiplicidad espectral y requiere el uso de integrales directas .

Isomorfismo espacial

Utilizando la teoría integral directa, se puede demostrar que las álgebras abelianas de von Neumann de la forma L ^∞ ( X , μ ) que actúan como operadores en L ² ( X , μ ) son todas abelianas máximas. Esto significa que no pueden extenderse a álgebras abelianas propiamente mayores. También se les conoce como álgebras autoadjuntas abelianas máximas (o MASA). Otra frase utilizada para describirlas es álgebras abelianas de von Neumann de multiplicidad uniforme 1 ; esta descripción sólo tiene sentido en relación con la teoría de la multiplicidad que se describe a continuación.

Las álgebras de Von Neumann A en H , B en K son espacialmente isomórficas (o unitariamente isomórficas ) si y sólo si existe un operador unitario U : H → K tal que

${\displaystyle UAU^{*}=B.}$

En particular, las álgebras de von Neumann espacialmente isomórficas son algebraicamente isomórficas.

Para describir el álgebra abeliana de von Neumann más general en un espacio de Hilbert separable H hasta el isomorfismo espacial, debemos referirnos a la descomposición integral directa de H. Los detalles de esta descomposición se analizan en Descomposición de álgebras abelianas de von Neumann . En particular:

Teorema Cualquier álgebra abeliana de von Neumann en un espacio de Hilbert separable H es espacialmente isomorfa a L ^∞ ( X , μ ) que actúa sobre

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H(x)\,d\mu (x)}$

para alguna familia mensurable de espacios de Hilbert { H _x } _{x ∈ X} .

Tenga en cuenta que para las álgebras abelianas de von Neumann que actúan sobre espacios integrales directos, la equivalencia de la topología del operador débil, la topología ultradébil y la topología débil* en conjuntos acotados por normas aún se mantiene.

Realización puntual y espacial de automorfismos.

Muchos problemas de la teoría ergódica se reducen a problemas sobre automorfismos de álgebras abelianas de von Neumann. En ese sentido, los siguientes resultados son útiles:

Teorema . ^[2] Supongamos que μ, ν son medidas estándar en X , Y respectivamente. Entonces cualquier isomorfismo involutivo

${\displaystyle \Phi :L^{\infty }(X,\mu )\rightarrow L^{\infty }(Y,\nu )}$

que es débil*- bicontinua corresponde a una transformación puntual en el siguiente sentido: Hay subconjuntos nulos de Borel M de X y N de Y y un isomorfismo de Borel

${\displaystyle \eta :X\setminus M\rightarrow Y\setminus N}$

tal que

1. η lleva la medida μ a una medida μ' en Y que es equivalente a ν en el sentido de que μ' y ν tienen los mismos conjuntos de medida cero;
2. η realiza la transformación Φ, es decir

${\displaystyle \Phi (f)=f\circ \eta ^{-1}.}$

Tenga en cuenta que, en general, no podemos esperar que η lleve μ a ν.

El siguiente resultado se refiere a transformaciones unitarias que inducen un isomorfismo débil*-bicontinuo entre álgebras abelianas de von Neumann.

Teorema . ^[3] Supongamos que μ, ν son medidas estándar en X , Y y

${\displaystyle H=\int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x),\quad K=\int _{Y}^{\oplus }K_{y}d\nu (y)}$

para familias medibles de espacios de Hilbert { H _x } _{x ∈ X} , { K _y } _{y ∈ Y} . Si U  : H → K es un unitario tal que

${\displaystyle U\,L^{\infty }(X,\mu )\,U^{*}=L^{\infty }(Y,\nu )}$

entonces hay una transformación de punto de Borel definida casi en todas partes η : X → Y como en el teorema anterior y una familia mensurable { U _x } _{x ∈ X} de operadores unitarios

${\displaystyle U_{x}:H_{x}\rightarrow K_{\eta (x)}}$

tal que

${\displaystyle U{\bigg (}\int _{X}^{\oplus }\psi _{x}d\mu (x){\bigg )}=\int _{Y}^{\oplus }{\sqrt {{\frac {d(\mu \circ \eta ^{-1})}{d\nu }}(y)}}\ U_{\eta ^{-1}(y)}{\bigg (}\psi _{\eta ^{-1}(y)}{\bigg )}d\nu (y),}$

donde la expresión en signo de raíz cuadrada es la derivada radón-Nikodym de μ η ⁻¹ con respecto a ν. La afirmación sigue combinando el teorema sobre la realización puntual de automorfismos expuesto anteriormente con el teorema que caracteriza el álgebra de operadores diagonalizables expuesto en el artículo sobre integrales directas .

Notas

1. Bogachev, VI (2007). Teoría de la medida. vol. II . Springer-Verlag. pag. 275.ISBN​ 978-3-540-34513-8.
2. Takesaki, Masamichi (2001), Teoría de las álgebras de operadores I , Springer-Verlag , ISBN 3-540-42248-X, Capítulo IV, Lema 8.22, p. 275
3. Takesaki, Masamichi (2001), Teoría de las álgebras de operadores I , Springer-Verlag , ISBN 3-540-42248-X, Capítulo IV, Teorema 8.23, p. 277

Referencias

• J. Dixmier, Les algèbres d'opérateurs dans l'espace Hilbertien , Gauthier-Villars, 1969. Véase el capítulo I, sección 6.
• Masamichi Takesaki Theory of Operador Algebras I,II,III", enciclopedia de ciencias matemáticas, Springer-Verlag, 2001-2003 (el primer volumen se publicó en 1979 en 1. edición) ISBN 3-540-42248-X