Análisis funcional

Área de matemáticas

Uno de los posibles modos de vibración de un parche de tambor circular idealizado . Estos modos son funciones propias de un operador lineal en un espacio funcional, una construcción común en el análisis funcional.

El análisis funcional es una rama del análisis matemático , cuyo núcleo está formado por el estudio de espacios vectoriales dotados de algún tipo de estructura relacionada con los límites (por ejemplo, producto interno , norma o topología ) y las funciones lineales definidas en estos espacios. y respetando adecuadamente dichas estructuras. Las raíces históricas del análisis funcional se encuentran en el estudio de espacios de funciones y la formulación de propiedades de transformaciones de funciones como la transformada de Fourier como transformaciones que definen, por ejemplo, operadores continuos o unitarios entre espacios funcionales. Este punto de vista resultó particularmente útil para el estudio de ecuaciones diferenciales e integrales .

El uso de la palabra funcional como sustantivo se remonta al cálculo de variaciones , implicando una función cuyo argumento es una función . El término se utilizó por primera vez en el libro de Hadamard de 1910 sobre ese tema. Sin embargo, el concepto general de funcional había sido introducido previamente en 1887 por el matemático y físico italiano Vito Volterra . ^{[1] [2]} La teoría de los funcionales no lineales fue continuada por los estudiantes de Hadamard, en particular Fréchet y Lévy . Hadamard también fundó la escuela moderna de análisis funcional lineal desarrollada por Riesz y el grupo de matemáticos polacos en torno a Stefan Banach .

En los textos introductorios modernos sobre análisis funcional, el tema se considera el estudio de espacios vectoriales dotados de una topología, en particular espacios de dimensión infinita . ^{[3] [4]} Por el contrario, el álgebra lineal se ocupa principalmente de espacios de dimensión finita y no utiliza topología. Una parte importante del análisis funcional es la extensión de las teorías de la medida , la integración y la probabilidad a espacios de dimensiones infinitas, también conocido como análisis de dimensiones infinitas .

Espacios vectoriales normados

La clase básica e históricamente primera de espacios estudiados en el análisis funcional son espacios vectoriales normados completos sobre números reales o complejos . Estos espacios se denominan espacios de Banach . Un ejemplo importante es un espacio de Hilbert , donde la norma surge de un producto interno. Estos espacios son de fundamental importancia en muchas áreas, incluida la formulación matemática de la mecánica cuántica , el aprendizaje automático , las ecuaciones diferenciales parciales y el análisis de Fourier .

De manera más general, el análisis funcional incluye el estudio de los espacios de Fréchet y otros espacios vectoriales topológicos no dotados de norma.

Un importante objeto de estudio en el análisis funcional son los operadores lineales continuos definidos en los espacios de Banach y Hilbert. Esto conduce naturalmente a la definición de álgebras C* y otras álgebras de operadores .

Espacios de Hilbert

Los espacios de Hilbert se pueden clasificar completamente: existe un espacio de Hilbert único hasta el isomorfismo para cada cardinalidad de la base ortonormal . ^[5] Los espacios de Hilbert de dimensión finita se entienden completamente en álgebra lineal , y los espacios de Hilbert separables de dimensión infinita son isomorfos a . Como la separabilidad es importante para las aplicaciones, el análisis funcional de los espacios de Hilbert se ocupa principalmente de este espacio. Uno de los problemas abiertos en el análisis funcional es demostrar que todo operador lineal acotado en un espacio de Hilbert tiene un subespacio invariante adecuado . Ya se han demostrado muchos casos especiales de este problema subespacial invariante . ${\displaystyle \ell ^{\,2}(\aleph _{0})\,}$

espacios de banach

Los espacios generales de Banach son más complicados que los espacios de Hilbert y no se pueden clasificar de una manera tan simple como esos. En particular, muchos espacios de Banach carecen de una noción análoga a una base ortonormal .

Ejemplos de espacios de Banach son los espacios para cualquier número real . Dada también una medida en un conjunto , entonces , a veces también denotada o , tiene como vectores clases de equivalencia de funciones medibles cuyo valor absoluto -ésima potencia tiene integral finita; es decir, funciones para las cuales uno tiene ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{p}(X)}$ ${\displaystyle L^{p}(X,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle [\,f\,]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \int _{X}\left|f(x)\right|^{p}\,d\mu (x)<\infty .}$$

Si es la medida de conteo , entonces la integral puede reemplazarse por una suma. Es decir, requerimos ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \sum _{x\in X}\left|f(x)\right|^{p}<\infty .}$$

Entonces no es necesario tratar con clases de equivalencia, y el espacio se denota , escrito más simplemente en el caso en que es el conjunto de números enteros no negativos . ${\displaystyle \ell ^{p}(X)}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle X}$

En los espacios de Banach, una gran parte del estudio involucra el espacio dual : el espacio de todos los mapas lineales continuos desde el espacio hasta su campo subyacente, los llamados funcionales. Un espacio de Banach puede identificarse canónicamente con un subespacio de su bidual, que es el dual de su espacio dual. El mapa correspondiente es una isometría pero en general no es una línea. Un espacio de Banach general y su bidual ni siquiera necesitan ser isométricamente isomórficos de ninguna manera, contrariamente a la situación de dimensión finita. Esto se explica en el artículo sobre el espacio dual.

Además, la noción de derivada puede extenderse a funciones arbitrarias entre espacios de Banach. Véase, por ejemplo, el artículo derivado de Fréchet .

Análisis funcional lineal

^[6]

Resultados principales y fundamentales

Hay cuatro teoremas principales que a veces se denominan los cuatro pilares del análisis funcional:

• el teorema de Hahn-Banach
• el teorema de mapeo abierto
• el teorema del grafo cerrado
• el principio de acotación uniforme , también conocido como teorema de Banach-Steinhaus .

Los resultados importantes del análisis funcional incluyen:

Principio de acotación uniforme

El principio de acotación uniforme o teorema de Banach-Steinhaus es uno de los resultados fundamentales del análisis funcional. Junto con el teorema de Hahn-Banach y el teorema de mapeo abierto , se considera una de las piedras angulares del campo. En su forma básica, afirma que para una familia de operadores lineales continuos (y por tanto operadores acotados) cuyo dominio es un espacio de Banach , la acotación puntual es equivalente a la acotación uniforme en la norma del operador.

El teorema fue publicado por primera vez en 1927 por Stefan Banach y Hugo Steinhaus , pero también fue demostrado de forma independiente por Hans Hahn .

Teorema (principio de acotación uniforme)  :  sea un espacio de Banach y sea un espacio vectorial normado . Supongamos que es una colección de operadores lineales continuos desde hasta . Si por todo en uno tiene ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}$$

entonces

$${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .}$$

Teorema espectral

Existen muchos teoremas conocidos como teorema espectral , pero uno en particular tiene muchas aplicaciones en el análisis funcional.

Teorema espectral ^[7]  -  Sea un operador autoadjunto acotado en un espacio de Hilbert . Entonces hay un espacio de medida y una función mensurable esencialmente acotada de valor real y un operador unitario tal que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U:H\to L_{\mu }^{2}(X)}$

$${\displaystyle U^{*}TU=A}$$

donde T es el operador de multiplicación :

$${\displaystyle [T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x).}$$

y . ${\displaystyle \|T\|=\|f\|_{\infty }}$

Este es el comienzo de la vasta área de investigación del análisis funcional llamada teoría del operador ; ver también la medida espectral .

También existe un teorema espectral análogo para operadores normales acotados en espacios de Hilbert. La única diferencia en la conclusión es que ahora puede tener valores complejos. ${\displaystyle f}$

Teorema de Hahn-Banach

El teorema de Hahn-Banach es una herramienta central en el análisis funcional. Permite la extensión de funcionales lineales acotados definidos en un subespacio de algún espacio vectorial a todo el espacio, y también muestra que hay "suficientes" funcionales lineales continuos definidos en cada espacio vectorial normado para hacer que el estudio del espacio dual sea "interesante". ".

Teorema de Hahn-Banach: ^[8]  -  Si es una función sublineal y es un funcional lineal en un subespacio lineal dominado por on ; eso es, ${\displaystyle p:V\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\subseteq V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in U}$$

entonces existe una extensión lineal de a todo el espacio que está dominado por on ; es decir, existe un funcional lineal tal que ${\displaystyle \psi :V\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=\varphi (x)&\forall x\in U,\\\psi (x)&\leq p(x)&\forall x\in V.\end{aligned}}}$$

Teorema de mapeo abierto

El teorema de mapeo abierto , también conocido como teorema de Banach-Schauder (llamado así por Stefan Banach y Juliusz Schauder ), es un resultado fundamental que establece que si un operador lineal continuo entre espacios de Banach es sobreyectivo entonces es un mapeo abierto . Más precisamente, ^[8]

Teorema de mapeo abierto  :  si y son espacios de Banach y es un operador lineal continuo sobreyectivo, entonces es un mapeo abierto (es decir, si es un conjunto abierto en , entonces está abierto en ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A(U)}$ ${\displaystyle Y}$

La prueba utiliza el teorema de la categoría de Baire , y la integridad de ambos es esencial para el teorema. El enunciado del teorema ya no es cierto si se supone que cualquiera de los espacios es un espacio normado , pero es cierto si y se consideran espacios de Fréchet . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Teorema del gráfico cerrado

El teorema de la gráfica cerrada establece lo siguiente: Si es un espacio topológico y es un espacio compacto de Hausdorff , entonces la gráfica de una aplicación lineal desde a es cerrada si y solo si es continua . ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$

Otros temas

Fundamentos de las consideraciones matemáticas.

La mayoría de los espacios considerados en el análisis funcional tienen dimensión infinita. Para mostrar la existencia de una base espacial vectorial para tales espacios es posible que se requiera el lema de Zorn . Sin embargo, un concepto algo diferente, la base de Schauder , suele ser más relevante en el análisis funcional. Muchos teoremas requieren el teorema de Hahn-Banach , generalmente demostrado mediante el axioma de elección , aunque basta con el teorema del ideal primo booleano estrictamente más débil . El teorema de la categoría de Baire , necesario para demostrar muchos teoremas importantes, también requiere una forma de axioma de elección.

Puntos de vista

El análisis funcional en su forma actual ^[update]incluye las siguientes tendencias:

• Análisis abstracto . Una aproximación al análisis basada en grupos topológicos , anillos topológicos y espacios vectoriales topológicos .
• La geometría de los espacios de Banach contiene muchos temas. Uno es el enfoque combinatorio relacionado con Jean Bourgain ; otra es una caracterización de los espacios de Banach en los que se cumplen diversas formas de la ley de los grandes números .
• Geometría no conmutativa . Desarrollado por Alain Connes , basándose en parte en nociones anteriores, comoel enfoque de George Mackey sobre la teoría ergódica .
• Conexión con la mecánica cuántica . Ya sea definido de manera estricta como en la física matemática , o interpretado de manera amplia, por ejemplo, por Israel Gelfand , para incluir la mayoría de los tipos de teoría de la representación .

Ver también

• Lista de temas de análisis funcional.
• Teoría espectral

Referencias

1. Lawvere, F. William. "Funcionalidades de Volterra y cohesión covariante del espacio" (PDF) . acsu.buffalo.edu . Actas de la reunión de mayo de 1997 en Perugia. Archivado (PDF) desde el original el 7 de abril de 2003.
2. Saraiva, Luís (octubre de 2004). Historia de las Ciencias Matemáticas. CIENTÍFICO MUNDIAL. pag. 195. doi : 10.1142/5685. ISBN 978-93-86279-16-3.
3. Bowers, Adán; Kalton, Nigel J. (2014). Un curso de introducción al análisis funcional . Medios de ciencia y negocios de Springer . pag. 1.
4. Cadetes, Vladimir (2018). Un curso de análisis funcional y teoría de medidas [ КУРС ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА ]. Saltador . págs. xvi.
5. Riesz, Frigyes (1990). Análisis funcional. Béla Szőkefalvi-Nagy, Leo F. Boron (Dover ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 195-199. ISBN 0-486-66289-6. OCLC  21228994.
6. Rynne, Bryan; Youngson, Martin A. Análisis funcional lineal . Consultado el 30 de diciembre de 2023 .
7. Hall, Brian C. (19 de junio de 2013). Teoría cuántica para matemáticos. Medios de ciencia y negocios de Springer . pag. 147.ISBN _ 978-1-4614-7116-5.
8. Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5.
9. Munkres, James R. (2000). Topología. Prentice Hall, incorporada. pag. 171.ISBN _ 978-0-13-181629-9.

Otras lecturas

• Aliprantis, CD, Border, KC: Análisis dimensional infinito: una guía para el autoestopista , 3.ª ed., Springer 2007, ISBN 978-3-540-32696-0 . Doi en línea :10.1007/3-540-29587-9 (por suscripción) 
• Bachman, G., Narici, L.: Análisis funcional , Academic Press, 1966. (reimpresión de Dover Publications)
• Banach S. Teoría de las operaciones lineales. Volumen 38, Biblioteca de Matemáticas de Holanda Septentrional, 1987, ISBN 0-444-70184-2 
• Brezis, H .: Analizar Fonctionnelle , Dunod ISBN 978-2-10-004314-9 o ISBN 978-2-10-049336-4  
• Conway, JB : Un curso de análisis funcional , segunda edición, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5 
• Dunford, N. y Schwartz, JT : Operadores lineales, Teoría general, John Wiley & Sons y otros 3 volúmenes, incluye gráficos de visualización
• Edwards, RE: Análisis funcional, teoría y aplicaciones , Hold, Rinehart y Winston, 1965.
• Eidelman, Yuli, Vitali Milman y Antonis Tsolomitis: Análisis funcional: Introducción , Sociedad Matemática Estadounidense, 2004.
• Friedman, A .: Fundamentos del análisis moderno , Dover Publications, edición de bolsillo, 21 de julio de 2010
• Giles, JR: Introducción al análisis de espacios lineales normados , Cambridge University Press, 2000
• Hirsch F., Lacombe G. - "Elementos de análisis funcional", Springer 1999.
• Hutson, V., Pym, JS, Cloud MJ: Aplicaciones del análisis funcional y la teoría del operador , 2.ª edición, Elsevier Science, 2005, ISBN 0-444-51790-1 
• Kantorovitz, S., Introducción al análisis moderno , Oxford University Press, 2003, 2ª ed.2006.
• Kolmogorov, AN y Fomin, SV : Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional , Publicaciones de Dover, 1999
• Kreyszig, E .: Análisis funcional introductorio con aplicaciones , Wiley, 1989.
• Lax, P .: Análisis funcional , Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1 
• Lebedev, LP y Vorovich, II: Análisis funcional en mecánica , Springer-Verlag, 2002
• Michel, Anthony N. y Charles J. Herget: Álgebra aplicada y análisis funcional , Dover, 1993.
• Pietsch, Albrecht: Historia de los espacios de Banach y los operadores lineales , Birkhäuser Boston Inc., 2007, ISBN 978-0-8176-4367-6 
• Reed, M. , Simon, B .: "Análisis funcional", Academic Press 1980.
• Riesz, F. y Sz.-Nagy, B.: Análisis funcional , Publicaciones de Dover, 1990
• Rudin, W .: Análisis funcional , McGraw-Hill Science, 1991
• Saxe, Karen: Inicio del análisis funcional , Springer, 2001
• Schechter, M.: Principios de análisis funcional , AMS, 2.ª edición, 2001
• Shilov, Georgi E.: Análisis funcional elemental , Dover, 1996.
• Sobolev, SL : Aplicaciones del análisis funcional en física matemática , AMS, 1963
• Vogt, D., Meise, R.: Introducción al análisis funcional , Oxford University Press, 1997.
• Yosida, K .: Análisis funcional , Springer-Verlag, sexta edición, 1980

enlaces externos

• "Análisis funcional", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Temas de análisis real y funcional por Gerald Teschl , Universidad de Viena.
• Apuntes de conferencias sobre análisis funcional de Yevgeny Vilensky, Universidad de Nueva York.
• Vídeos de conferencias sobre análisis funcional de Greg Morrow Archivado el 1 de abril de 2017 en Wayback Machine de la Universidad de Colorado Colorado Springs.