Base ortonormal

Base lineal específica (matemáticas)

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , una base ortonormal para un espacio producto interno V con dimensión finita es una base cuyos vectores son ortonormales , es decir, todos son vectores unitarios y ortogonales entre sí. ^{[1] [2] [3]} Por ejemplo, la base estándar para un espacio euclidiano es una base ortonormal, donde el producto interno relevante es el producto escalar de los vectores. La imagen de la base estándar bajo una rotación o reflexión (o cualquier transformación ortogonal ) también es ortonormal, y toda base ortonormal surge de esta manera. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Para un espacio de producto interno general, se puede usar una base ortonormal para definir coordenadas ortogonales normalizadas. Bajo estas coordenadas, el producto interno se convierte en un producto escalar de vectores. Por lo tanto, la presencia de una base ortonormal reduce el estudio de un espacio de producto interno de dimensión finita al estudio del producto escalar. Todo espacio producto interno de dimensión finita tiene una base ortonormal, que puede obtenerse a partir de una base arbitraria mediante el proceso de Gram-Schmidt . ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En análisis funcional , el concepto de base ortonormal se puede generalizar a espacios de productos internos arbitrarios (de dimensión infinita) . ^[4] Dado un espacio anterior a Hilbert, una base ortonormal es un conjunto ortonormal de vectores con la propiedad de que cada vector puede escribirse como una combinación lineal infinita de los vectores en la base. En este caso, la base ortonormal a veces se denomina base de Hilbert. Tenga en cuenta que una base ortonormal en este sentido generalmente no es una base de Hamel , ya que se requieren infinitas combinaciones lineales. ^[5] Específicamente, el tramo lineal de la base debe ser denso aunque no necesariamente en todo el espacio. ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle H,}$

Si pasamos a los espacios de Hilbert , un conjunto de vectores no ortonormales que tengan el mismo tramo lineal que una base ortonormal puede no ser una base en absoluto. Por ejemplo, cualquier función integrable al cuadrado en el intervalo se puede expresar ( casi en todas partes ) como una suma infinita de polinomios de Legendre (una base ortonormal), pero no necesariamente como una suma infinita de monomios. ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle x^{n}.}$

Una generalización diferente es a los espacios producto pseudointernos, espacios vectoriales de dimensión finita equipados con una forma bilineal simétrica no degenerada conocida como tensor métrico . En tal base, la métrica toma la forma de positivas y negativas. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Ejemplos

• Para , el conjunto de vectores se llama base estándar y forma una base ortonormal con respecto al producto escalar estándar. Tenga en cuenta que tanto la base estándar como el producto escalar estándar se basan en la visualización como producto cartesiano. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left\{e_{1}=(1,0,0),e_{2}=(0,1,0),e_{3}=(0,0,1)\right\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$

  Prueba: un cálculo sencillo muestra que los productos internos de estos vectores son iguales a cero y que cada una de sus magnitudes es igual a uno. Esto significa que es un conjunto ortonormal. Todos los vectores se pueden expresar como una suma de los vectores base escalados. ${\displaystyle \left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle =\left\langle e_{1},e_{3}\right\rangle =\left\langle e_{2},e_{3}\right\rangle =0}$ ${\displaystyle \left\|e_{1}\right\|=\left\|e_{2}\right\|=\left\|e_{3}\right\|=1.}$ ${\displaystyle \left\{e_{1},e_{2},e_{3}\right\}}$ ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$

  $${\displaystyle (x,y,z)=xe_{1}+ye_{2}+ze_{3},}$$

  entonces se extiende y por lo tanto debe ser una base. También se puede demostrar que la base estándar girada alrededor de un eje que pasa por el origen o reflejada en un plano que pasa por el origen también forma una base ortonormal de . ${\displaystyle \left\{e_{1},e_{2},e_{3}\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• Para , la base estándar y el producto interno se definen de manera similar. Cualquier otra base ortonormal está relacionada con la base estándar mediante una transformación ortogonal en el grupo O(n). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Para el espacio pseudoeuclidiano , una base ortogonal con métrica satisface if , if y if . Dos bases ortonormales cualesquiera están relacionadas mediante una transformación pseudoortogonal. En el caso , se trata de transformaciones de Lorentz. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q},}$ ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=0}$ ${\displaystyle \mu \neq \nu }$ ${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=+1}$ ${\displaystyle 1\leq \mu \leq p}$ ${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=-1}$ ${\displaystyle p+1\leq \mu \leq p+q}$ ${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$
• El conjunto con donde denota la función exponencial , forma una base ortonormal del espacio de funciones con integrales finitas de Lebesgue, con respecto a la norma 2 . Esto es fundamental para el estudio de las series de Fourier . ${\displaystyle \left\{f_{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle f_{n}(x)=\exp(2\pi inx),}$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle L^{2}([0,1]),}$
• El conjunto con if y else forma una base ortonormal de ${\displaystyle \left\{e_{b}:b\in B\right\}}$ ${\displaystyle e_{b}(c)=1}$ ${\displaystyle b=c}$ ${\displaystyle e_{b}(c)=0}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(B).}$
• "Funciones propias de un problema propio de Sturm-Liouville" .
• Los vectores columna de una matriz ortogonal forman un conjunto ortonormal.

Fórmula básica

Si es una base ortogonal de entonces cada elemento puede escribirse como ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle x\in H}$

$${\displaystyle x=\sum _{b\in B}{\frac {\langle x,b\rangle }{\lVert b\rVert ^{2}}}b.}$$

Cuando es ortonormal, esto se simplifica a ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle x=\sum _{b\in B}\langle x,b\rangle b}$$

norma ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle x,b\rangle |^{2}.}$$

Incluso si es incontable , solo un número contable de términos en esta suma serán distintos de cero y, por lo tanto, la expresión está bien definida. Esta suma también se llama expansión de Fourier y la fórmula suele conocerse como identidad de Parseval . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x,}$

Si es una base ortonormal de entonces es isomorfa en el siguiente sentido: existe un mapa lineal biyectivo tal que ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(B)}$ ${\displaystyle \Phi :H\to \ell ^{2}(B)}$

$${\displaystyle \langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle =\langle x,y\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H.}$$

Conjuntos ortogonales incompletos

Dado un espacio de Hilbert y un conjunto de vectores mutuamente ortogonales, podemos tomar el subespacio lineal cerrado más pequeño que contiene. Entonces será una base ortogonal de la cual, por supuesto, puede ser más pequeña que ella misma, al ser un conjunto ortogonal incompleto , o serlo cuando es un conjunto ortogonal completo . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V;}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H,}$

Existencia

Utilizando el lema de Zorn y el proceso de Gram-Schmidt (o, más simplemente, recursividad transfinita y de buen orden), se puede demostrar que todo espacio de Hilbert admite una base ortonormal; ^[6] además, dos bases ortonormales cualesquiera del mismo espacio tienen la misma cardinalidad (esto se puede demostrar de una manera similar a la prueba del teorema de dimensión habitual para espacios vectoriales , con casos separados dependiendo de si la base candidata más grande es contable o no). Un espacio de Hilbert es separable si y sólo si admite una base ortonormal contable . (Se puede probar esta última afirmación sin utilizar el axioma de elección).

Elección de base como elección de isomorfismo.

Para ser más concretos, analizamos las bases ortonormales para un espacio vectorial dimensional real con una forma bilineal simétrica definida positiva . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi =\langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Una forma de ver una base ortonormal con respecto a es como un conjunto de vectores , que nos permiten escribir para , y o . Respecto a esta base, los componentes de son especialmente sencillos: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{i}\}}$ ${\displaystyle v=v^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle v^{i}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (v^{i})\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (e_{i},e_{j})=\delta _{ij}.}$

Ahora podemos ver la base como un mapa que es un isomorfismo de espacios de productos internos: para hacer esto más explícito podemos escribir ${\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:V\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:(V,\phi )\rightarrow (\mathbb {R} ^{n},\delta _{ij}).}$

Explícitamente podemos escribir dónde está el elemento de base dual . ${\displaystyle (\psi _{\mathcal {B}}(v))^{i}=e^{i}(v)=\phi (e_{i},v)}$ ${\displaystyle e^{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

El inverso es un mapa de componentes.

${\displaystyle C_{\mathcal {B}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V,(v^{i})\mapsto \sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}.}$

Estas definiciones ponen de manifiesto que existe una biyección

${\displaystyle \{{\text{Space of orthogonal bases }}{\mathcal {B}}\}\leftrightarrow \{{\text{Space of isomorphisms }}V\leftrightarrow \mathbb {R} ^{n}\}.}$

El espacio de isomorfismos admite acciones de grupos ortogonales ya sea al lado o al lado. Para ser más concretos, fijamos los isomorfismos para que apunten en la dirección y consideramos el espacio de dichos mapas . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow V}$ ${\displaystyle {\text{Iso}}(\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V)}$

Este espacio admite una acción hacia la izquierda por el grupo de isometrías de , es decir, tal que , con la acción dada por composición: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle R\in {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle \phi (\cdot ,\cdot )=\phi (R\cdot ,R\cdot )}$ ${\displaystyle R*C=R\circ C.}$

Este espacio también admite una acción correcta por parte del grupo de isometrías de , es decir , con la acción nuevamente dada por la composición: . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle R_{ij}\in {\text{O}}(n)\subset {\text{Mat}}_{n\times n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C*R_{ij}=C\circ R_{ij}}$

Como espacio principal homogéneo

El conjunto de bases ortonormales para el producto interno estándar es un espacio homogéneo principal o torsor G para el grupo ortogonal y se llama variedad de Stiefel de marcos ortonormales . ^[7] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G={\text{O}}(n),}$ ${\displaystyle V_{n}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle n}$

En otras palabras, el espacio de bases ortonormales es como el grupo ortogonal, pero sin elección de punto base: dado el espacio de bases ortonormales, no hay elección natural de base ortonormal, pero una vez que se le da una, hay una. Correspondencia uno a uno entre bases y el grupo ortogonal. Concretamente, una aplicación lineal está determinada por dónde envía una base determinada: así como una aplicación invertible puede llevar cualquier base a cualquier otra base, una aplicación ortogonal puede llevar cualquier base ortogonal a cualquier otra base ortogonal .

Las otras variedades de Stiefel para bases ortonormales incompletas ( marcos ortonormales ) siguen siendo espacios homogéneos para el grupo ortogonal, pero no espacios homogéneos principales : cualquier marco puede llevarse a cualquier otro marco mediante un mapa ortogonal, pero este mapa no es unívocamente determinado. ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

• El conjunto de bases ortonormales para es un torsor G para . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle G={\text{O}}(p,q)}$
• El conjunto de bases ortonormales para es un torsor G para . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle G={\text{U}}(n)}$
• El conjunto de bases ortonormales para es un torsor G para . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{p,q}}$ ${\displaystyle G={\text{U}}(p,q)}$
• El conjunto de bases ortonormales diestras para es un torsor G para ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G={\text{SO}}(n)}$

Ver también

• Base ortogonal
• Base (álgebra lineal)  : conjunto de vectores utilizados para definir coordenadas
• Marco ortonormal  : espacio euclidiano sin distancias ni ángulos
• Base Schauder  – Herramienta computacional
• Conjunto total  : subconjunto de un espacio vectorial topológico cuyo tramo lineal es densoPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

1. Lay, David C. (2006). Álgebra lineal y sus aplicaciones (3ª ed.). Addison-Wesley . ISBN 0-321-28713-4.
2. Strang, Gilbert (2006). Álgebra lineal y sus aplicaciones (4ª ed.). Brooks Cole . ISBN 0-03-010567-6.
3. Axler, Sheldon (2002). Álgebra lineal bien hecha (2ª ed.). Saltador . ISBN 0-387-98258-2.
4. Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo . McGraw-Hill . ISBN 0-07-054234-1.
5. Romano 2008, pag. 218, cap. 9.
6. Autores del análisis funcional lineal: Rynne, Bryan, Youngson, MA página 79
7. "Facultad de CU". engfac.cooper.edu . Consultado el 15 de abril de 2021 .

• Romano, Stephen (2008). Álgebra lineal avanzada . Textos de Posgrado en Matemáticas (Tercera ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-72828-5.(página 218, cap.9)
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.

enlaces externos

• Esta publicación de Stack Exchange analiza por qué el conjunto de funciones Dirac Delta no es una base de L ² ([0,1]).