Operador normal

(en un espacio complejo de Hilbert) operador lineal continuo

En matemáticas , especialmente en análisis funcional , un operador normal en un espacio de Hilbert complejo H es un operador lineal continuo N  : H → H que conmuta con su adjunto hermitiano N* , es decir: NN* = N*N . ^[1]

Los operadores normales son importantes porque el teorema espectral se cumple para ellos. Se comprende bien la clase de operadores normales. Ejemplos de operadores normales son

• operadores unitarios : N* = N ⁻¹
• Operadores hermitianos (es decir, operadores autoadjuntos): N* = N
• Operadores sesgados-hermitianos : N* = − N
• Operadores positivos : N = MM* para algunos M (por lo que N es autoadjunto).

Una matriz normal es la expresión matricial de un operador normal en el espacio de Hilbert C ⁿ .

Propiedades

Los operadores normales se caracterizan por el teorema espectral . Un operador normal compacto (en particular, un operador normal en un espacio de producto interno de dimensión finita ) es unitariamente diagonalizable. ^[2]

Sea un operador acotado. Los siguientes son equivalentes. ${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle T}$es normal.
• ${\displaystyle T^{\star }}$es normal.
• ${\displaystyle \|Tx\|=\|T^{*}x\|}$para todos (uso ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \|Tx\|^{2}=\langle T^{*}Tx,x\rangle =\langle TT^{*}x,x\rangle =\|T^{*}x\|^{2}}$
• Las partes autoadjuntas y antiautoadjuntas del viaje. Es decir, si se escribe como con y luego ^{[nota 1]} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=T_{1}+iT_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}}$ ${\displaystyle i\,T_{2}:={\frac {T-T^{*}}{2}},}$ ${\displaystyle T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.}$

Si es un operador normal, entonces y tiene el mismo núcleo y el mismo rango. En consecuencia, el rango de es denso si y sólo si es inyectivo. ^{[ se necesita aclaración ]} Dicho de otra manera, el núcleo de un operador normal es el complemento ortogonal de su rango. De ello se deduce que el núcleo del operador coincide con el de para cualquier. Por tanto, cada valor propio generalizado de un operador normal es genuino. es un valor propio de un operador normal si y sólo si su conjugado complejo es un valor propio de Los vectores propios de un operador normal correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales, y un operador normal estabiliza el complemento ortogonal de cada uno de sus espacios propios. ^[3] Esto implica el teorema espectral habitual: cada operador normal en un espacio de dimensión finita es diagonalizable por un operador unitario. También existe una versión de dimensión infinita del teorema espectral expresada en términos de medidas valoradas en proyección . El espectro residual de un operador normal está vacío. ^[3] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{*}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{k}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$ ${\displaystyle N^{*}.}$

El producto de los operadores normales que se desplazan vuelve a ser normal; Esto no es trivial, pero se deriva directamente del teorema de Fuglede , que establece (en una forma generalizada por Putnam):

Si y son operadores normales y si es un operador lineal acotado tal que entonces . ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle N_{1}A=AN_{2},}$ ${\displaystyle N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}}$

La norma del operador de un operador normal es igual a su radio numérico ^{[ se necesita aclaración ]} y su radio espectral .

Un operador normal coincide con su transformada de Aluthge .

Propiedades en caso de dimensión finita

Si un operador normal T en un espacio de Hilbert real ^{[ se necesita aclaración ] o complejo (espacio producto interno)} H de dimensión finita estabiliza un subespacio V , entonces también estabiliza su complemento ortogonal V ^⊥ . (Esta afirmación es trivial en el caso en que T es autoadjunto).

Prueba. Sea P _V la proyección ortogonal sobre V . Entonces la proyección ortogonal sobre V ^⊥ es 1 _H − P _V . El hecho de que T estabilice V se puede expresar como ( 1 _H − P _V ) TP _V = 0, o TP _V = P _V TP _V . El objetivo es demostrar que P _V T ( 1 _H − P _V ) = 0.

Sea X = P _V T ( 1 _H − P _V ). Dado que ( A , B ) ↦ tr( AB* ) es un producto interno en el espacio de endomorfismos de H , basta con demostrar que tr( XX* ) = 0. Primero observamos que

${\displaystyle {\begin{aligned}XX^{*}&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})^{2}T^{*}P_{V}\\&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})T^{*}P_{V}\\&=P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}.\end{aligned}}}$

Ahora usando propiedades de la traza y de proyecciones ortogonales tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (XX^{*})&=\operatorname {tr} \left(P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}\right)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*}P_{V})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (TP_{V}T^{*})&&{\text{using the hypothesis that }}T{\text{ stabilizes }}V\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}T^{*}T)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}(TT^{*}-T^{*}T))\\&=0.\end{aligned}}}$

El mismo argumento se aplica a los operadores normales compactos en espacios de Hilbert de dimensión infinita, donde se hace uso del producto interno de Hilbert-Schmidt , definido por tr( AB* ) interpretado adecuadamente. ^[4] Sin embargo, para operadores normales acotados, el complemento ortogonal de un subespacio estable puede no ser estable. ^[5] De ello se deduce que, en general, el espacio de Hilbert no puede abarcarse mediante vectores propios de un operador normal. Considere, por ejemplo, el desplazamiento bilateral (o desplazamiento bilateral) que actúa sobre , que es normal, pero no tiene valores propios. ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Los subespacios invariantes de un desplazamiento que actúa sobre el espacio de Hardy se caracterizan por el teorema de Beurling .

Elementos normales de álgebras.

La noción de operadores normales se generaliza a un álgebra involutiva:

Un elemento x de un álgebra involutiva se dice que es normal si xx* = x*x .

Los elementos autoadjuntos y unitarios son normales.

El caso más importante es cuando dicho álgebra es un álgebra C* .

Operadores normales ilimitados

La definición de operadores normales se generaliza naturalmente a alguna clase de operadores ilimitados. Explícitamente, se dice que un operador cerrado N es normal si

${\displaystyle N^{*}N=NN^{*}.}$

Aquí, la existencia del adjunto N* requiere que el dominio de N sea denso, y la igualdad incluye la afirmación de que el dominio de N*N es igual al de NN* , lo que no es necesariamente el caso en general.

Los operadores equivalentemente normales son precisamente aquellos para los cuales ^[6]

${\displaystyle \|Nx\|=\|N^{*}x\|\qquad }$

con

${\displaystyle {\mathcal {D}}(N)={\mathcal {D}}(N^{*}).}$

El teorema espectral sigue siendo válido para operadores ilimitados (normales). Las pruebas funcionan por reducción a operadores acotados (normales). ^{[7] [8]}

Generalización

El éxito de la teoría de los operadores normales condujo a varios intentos de generalización debilitando el requisito de conmutatividad. Las clases de operadores que incluyen operadores normales son (en orden de inclusión)

• Operadores hiponormales
• Normaloides
• Operadores paranormales
• Operadores cuasinormales
• Operadores subnormales

Ver también

• Operador lineal continuo
• Contracción (teoría del operador)  : operadores acotados con norma de subunidad

Notas

1. Por el contrario, para la importante clase de operadores de creación y aniquilación de, por ejemplo, la teoría cuántica de campos , no conmutan

Referencias

1. Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Álgebra lineal (2ª ed.), Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, Inc., p. 312, SEÑOR  0276251
2. Hoffman y Kunze (1971), pág. 317.
3. Naylor, Arco W.; Vender George R. (1982). Teoría del Operador Lineal en Ingeniería y Ciencias. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-95001-3. Archivado desde el original el 26 de junio de 2021 . Consultado el 26 de junio de 2021 .
4. Andô, Tsuyoshi (1963). "Nota sobre los subespacios invariantes de un operador normal compacto". Archiv der Mathematik . 14 : 337–340. doi :10.1007/BF01234964. S2CID  124945750.
5. Garrett, Paul (2005). "Operadores de espacios de Hilbert" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 18 de septiembre de 2011 . Consultado el 1 de julio de 2011 .
6. Weidmann, Lineare Operadores en Hilberträumen, Capítulo 4, Sección 3
7. Alexander Frei, Medidas espectrales, Intercambio de pilas de matemáticas, Existencia Archivado el 26 de junio de 2021 en Wayback Machine , Unicidad Archivado el 26 de junio de 2021 en Wayback Machine.
8. John B. Conway , Un curso de análisis funcional, segunda edición, capítulo X, sección §4