Traza (álgebra lineal)

Suma de elementos en la diagonal principal.

En álgebra lineal , la traza de una matriz cuadrada A , denotada tr( A ) , ^[1] se define como la suma de elementos en la diagonal principal (de la parte superior izquierda a la inferior derecha) de A. La traza solo se define para una matriz cuadrada ( n × n ).

Se puede demostrar que la traza de una matriz real es la suma de sus valores propios (complejos) (contados con multiplicidades). También se puede demostrar que tr( AB ) = tr( BA ) para dos matrices cualesquiera A y B de tamaños apropiados. Esto implica que matrices similares tienen la misma traza. Como consecuencia, se puede definir la traza de un operador lineal que mapea un espacio vectorial de dimensión finita en sí mismo, ya que todas las matrices que describen dicho operador con respecto a una base son similares.

La traza está relacionada con la derivada del determinante (ver fórmula de Jacobi ).

Definición

La traza de una matriz cuadrada A de n × n se define como ^{[1] [2] [3] : 34}

$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}}$$

a _iii-la i-A. Anúmeros realescomplejoscampo F.

Ejemplo

Sea A una matriz, con

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix}}}$$

Entonces

$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+5+(-5)=1}$$

Propiedades

Propiedades básicas

La traza es un mapeo lineal . Es decir, ^{[1] [2]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\end{aligned}}}$$

ABlos escalares c^{[3] : 34}

Una matriz y su transpuesta tienen la misma traza: ^{[1] [2] [3] : 34}

$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right).}$$

Esto se desprende inmediatamente del hecho de que la transposición de una matriz cuadrada no afecta a los elementos a lo largo de la diagonal principal.

rastro de un producto

La traza de una matriz cuadrada que es producto de dos matrices reales se puede reescribir como la suma de los productos por entradas de sus elementos, es decir, como la suma de todos los elementos de su producto de Hadamard . Dicho directamente, si A y B son dos matrices reales de m × n , entonces:

$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}\;.}$$

Si uno ve cualquier matriz real m × n como un vector de longitud mn (una operación llamada vectorización ), entonces la operación anterior en A y B coincide con el producto escalar estándar . Según la expresión anterior, tr( A ^⊤ A ) es una suma de cuadrados y, por tanto, no es negativa, igual a cero si y sólo si A es cero. ^{[4] : 7} Además, como se indica en la fórmula anterior, tr( A ^⊤ B ) = tr( B ^⊤ A ) . Estos demuestran la definición positiva y la simetría requeridas de un producto interno ; es común llamar a tr( A ^⊤ B ) el producto interno de Frobenius de A y B. Este es un producto interno natural en el espacio vectorial de todas las matrices reales de dimensiones fijas. La norma derivada de este producto interno se llama norma de Frobenius y satisface una propiedad submultiplicativa, como se puede demostrar con la desigualdad de Cauchy-Schwarz :

$${\displaystyle 0\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )\right]^{2}\leq \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{2}\right)\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{2}\right)\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\right]^{2}\left[\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\right]^{2}\ ,}$$

AB son matrices semidefinidas positivasel cálculo matricialla estadística

El producto interno de Frobenius puede extenderse a un producto interno hermitiano en el espacio vectorial complejo de todas las matrices complejas de un tamaño fijo, reemplazando B por su conjugado complejo .

La simetría del producto interno de Frobenius se puede expresar de manera más directa de la siguiente manera: las matrices en la traza de un producto se pueden cambiar sin cambiar el resultado. Si A y B son m × n y n × m matrices reales o complejas, respectivamente, entonces ^{[1] [2] [3] : 34  [nota 1]}

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}$

Esto es notable tanto por el hecho de que AB no suele ser igual a BA , como también porque la traza de cualquiera de los dos no suele ser igual a tr( A )tr( B ) . ^{[nota 2]} La invariancia de similitud de la traza, lo que significa que tr( A ) = tr( P ⁻¹ AP ) para cualquier matriz cuadrada A y cualquier matriz invertible P de las mismas dimensiones, es una consecuencia fundamental. Esto se prueba por

$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {P} )\right)=\operatorname {tr} \left((\mathbf {A} \mathbf {P} )\mathbf {P} ^{-1}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).}$$

transformaciones lineales

Además, para vectores de columna reales y , la traza del producto exterior es equivalente al producto interior: ${\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {a} ^{\textsf {T}}\mathbf {b} }$

Propiedad cíclica

De manera más general, la traza es invariante bajo cambios circulares , es decir,

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} ).}$

Esto se conoce como propiedad cíclica .

No se permiten permutaciones arbitrarias: en general,

$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )\neq \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ).}$$

Sin embargo, si se consideran productos de tres matrices simétricas , se permite cualquier permutación, ya que:

$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )=\operatorname {tr} \left(\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \right)^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {B} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ),}$$

Rastro de un producto Kronecker

La traza del producto de Kronecker de dos matrices es el producto de sus trazas:

$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\operatorname {tr} (\mathbf {B} ).}$$

Caracterización de la traza.

Las siguientes tres propiedades:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} ),\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} ),\\\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ),\end{aligned}}}$$

hastafuncional lineal^{[nota 3]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(xy)=f(yx),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} }$

Para matrices, imponer la normalización iguala la traza. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle f(\mathbf {I} )=n}$ ${\displaystyle f}$

Trazar como suma de valores propios

Dada cualquier matriz A real o compleja de n × n , existe

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}$

donde λ ₁ , ..., λ _n son los valores propios de A contados con multiplicidad. Esto es válido incluso si A es una matriz real y algunos (o todos) los valores propios son números complejos. Esto puede considerarse como una consecuencia de la existencia de la forma canónica de Jordan , junto con la similitud-invariancia de la traza discutida anteriormente.

Rastro del conmutador

Cuando tanto A como B son matrices n × n , la traza del conmutador (teórico de anillo) de A y B desaparece: tr([ A , B ]) = 0 , porque tr( AB ) = tr( BA ) y tr es lineal. Se puede afirmar esto como "la traza es un mapa de álgebras de Lie gl _n → k de operadores a escalares", ya que el conmutador de escalares es trivial (es un álgebra de Lie abeliana ). En particular, utilizando la invariancia de similitud, se deduce que la matriz identidad nunca es similar al conmutador de ningún par de matrices.

Por el contrario, cualquier matriz cuadrada con traza cero es una combinación lineal de los conmutadores de pares de matrices. ^{[nota 4]} Además, cualquier matriz cuadrada con traza cero es unitariamente equivalente a una matriz cuadrada con una diagonal compuesta exclusivamente de ceros.

Rastros de tipos especiales de matrices.

• La traza de la matriz identidad n × n es la dimensión del espacio, es decir, n .

$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n}$$

Esto lleva a generalizaciones de dimensión utilizando trace .

• La traza de una matriz hermitiana es real, porque los elementos de la diagonal son reales.
• La traza de una matriz de permutación es el número de puntos fijos de la permutación correspondiente, porque el término diagonal a _ii es 1 si el i -ésimo punto es fijo y 0 en caso contrario.
• La traza de una matriz de proyección es la dimensión del espacio objetivo.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{\mathbf {X} }&=\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\\[3pt]\Longrightarrow \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} _{\mathbf {X} }\right)&=\operatorname {rank} (\mathbf {X} ).\end{aligned}}}$$

La matriz P _X es idempotente.

• De manera más general, la traza de cualquier matriz idempotente , es decir, una con A ² = A , es igual a su propio rango .
• La traza de una matriz nilpotente es cero.

Cuando la característica del campo base es cero, lo contrario también se cumple: si tr( A ^k ) = 0 para todo k , entonces A es nilpotente.

Cuando la característica n > 0 es positiva, la identidad en n dimensiones es un contraejemplo, como , pero la identidad no es nilpotente. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0}$

Relación con el polinomio característico

La traza de una matriz es el coeficiente de en el polinomio característico , posiblemente cambiado de signo, según la convención en la definición del polinomio característico. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t^{n-1}}$

Relación con los valores propios

Si A es un operador lineal representado por una matriz cuadrada con entradas reales o complejas y si λ ₁ , ..., λ _n son los valores propios de A (enumerados según sus multiplicidades algebraicas ), entonces

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i}\lambda _{i}}$

Esto se desprende del hecho de que A es siempre similar a su forma de Jordan , una matriz triangular superior que tiene λ ₁ , ..., λ _n en la diagonal principal. En contraste, el determinante de A es el producto de sus valores propios; eso es,

$${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\prod _{i}\lambda _{i}.}$$

Todo lo expuesto en la presente sección se aplica también a cualquier matriz cuadrada con coeficientes en un campo algebraicamente cerrado .

Relaciones derivadas

Si ΔA es una matriz cuadrada con entradas pequeñas e I denota la matriz identidad , entonces tenemos aproximadamente

$${\displaystyle \det(\mathbf {I} +\mathbf {\Delta A} )\approx 1+\operatorname {tr} (\mathbf {\Delta A} ).}$$

Precisamente esto significa que la traza es la derivada de la función determinante en la matriz identidad. la fórmula de jacobi

$${\displaystyle d\det(\mathbf {A} )=\operatorname {tr} {\big (}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\cdot d\mathbf {A} {\big )}}$$

es más general y describe el diferencial del determinante en una matriz cuadrada arbitraria, en términos de la traza y el adjunto de la matriz.

De esto (o de la conexión entre la traza y los valores propios), se puede derivar una relación entre la función traza, la función exponencial matricial y el determinante:

$${\displaystyle \det(\exp(\mathbf {A} ))=\exp(\operatorname {tr} (\mathbf {A} )).}$$

Una caracterización relacionada de la traza se aplica a los campos vectoriales lineales . Dada una matriz A , defina un campo vectorial F en R ⁿ mediante F ( x ) = Ax . Los componentes de este campo vectorial son funciones lineales (dadas por las filas de A ). Su divergencia div F es una función constante, cuyo valor es igual a tr( A ) .

Según el teorema de divergencia , se puede interpretar esto en términos de flujos: si F ( x ) representa la velocidad de un fluido en la ubicación x y U es una región en R ⁿ , el flujo neto del fluido que sale de U viene dado por tr ( A ) · vol( U ) , donde vol( U ) es el volumen de U .

La traza es un operador lineal, por lo tanto conmuta con la derivada:

$${\displaystyle d\operatorname {tr} (\mathbf {X} )=\operatorname {tr} (d\mathbf {X} ).}$$

Traza de un operador lineal

En general, dado algún mapa lineal f  : V → V (donde V es un espacio vectorial de dimensión finita ), podemos definir la traza de este mapa considerando la traza de una representación matricial de f , es decir, eligiendo una base para V y describiendo f como una matriz relativa a esta base, y tomando la traza de esta matriz cuadrada. El resultado no dependerá de la base elegida, ya que diferentes bases darán lugar a matrices similares , permitiendo la posibilidad de una definición independiente de la base para la traza de un mapa lineal.

Tal definición se puede dar usando el isomorfismo canónico entre el espacio End( V ) de aplicaciones lineales en V y V ⊗ V * , donde V * es el espacio dual de V . Sea v en V y g en V * . Entonces la traza del elemento indescomponible v ⊗ g se define como g ( v ) ; la traza de un elemento general está definida por la linealidad. La traza de una aplicación lineal f  : V → V puede entonces definirse como la traza, en el sentido anterior, del elemento de V ⊗ V * correspondiente a f según el isomorfismo canónico mencionado anteriormente. Usando una base explícita para V y la base dual correspondiente para V * , se puede demostrar que esto da la misma definición de la traza que se dio anteriormente.

Algoritmos numéricos

estimador estocástico

La traza puede estimarse de forma imparcial mediante el "truco de Hutchinson": ^[5]

Dada cualquier matriz y cualquier aleatorio con , tenemos . (Prueba: amplíe la expectativa directamente). ${\displaystyle W\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle E[uu^{T}]=I}$ ${\displaystyle E[u^{T}Wu]=tr(W)}$

Por lo general, el vector aleatorio se toma como muestra de (distribución normal) o ( distribución de Rademacher ). ${\displaystyle N(0,I)}$ ${\displaystyle \{\pm n^{-1/2}\}^{n}}$

Se han desarrollado estimadores estocásticos de traza más sofisticados. ^[6]

Aplicaciones

Si una matriz real de 2 x 2 tiene traza cero, su cuadrado es una matriz diagonal .

La traza de una matriz compleja de 2 × 2 se utiliza para clasificar las transformaciones de Möbius . Primero, la matriz se normaliza para que su determinante sea igual a uno. Entonces, si el cuadrado de la traza es 4, la transformación correspondiente es parabólica . Si el cuadrado está en el intervalo [0,4) , es elíptico . Finalmente, si el cuadrado es mayor que 4, la transformación es loxodrómica . Ver clasificación de las transformaciones de Möbius .

La traza se utiliza para definir caracteres de representaciones de grupos . Dos representaciones A , B  : G → GL ( V ) de un grupo G son equivalentes (hasta el cambio de base en V ) si tr( A ( g )) = tr( B ( g )) para todo g ∈ G .

La traza también juega un papel central en la distribución de formas cuadráticas .

álgebra de mentiras

La traza es un mapa de álgebras de Lie desde el álgebra de Lie de operadores lineales en un espacio n -dimensional ( n × n matrices con entradas en ) hasta el álgebra de Lie K de escalares; como K es abeliano (el corchete de Lie desaparece), el hecho de que este sea un mapa de álgebras de Lie es exactamente la afirmación de que la traza de un corchete desaparece: ${\displaystyle \operatorname {tr} :{\mathfrak {gl}}_{n}\to K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} ([\mathbf {A} ,\mathbf {B} ])=0{\text{ for each }}\mathbf {A} ,\mathbf {B} \in {\mathfrak {gl}}_{n}.}$$

A menudo se dice que el núcleo de este mapa, una matriz cuya traza es cero , essin rastro otrace free , y estas matrices forman elálgebra de Lie simple , que es elálgebra de Liedelgrupo lineal especialde matrices con determinante 1. El grupo lineal especial consta de matrices que no cambian de volumen, mientras que elálgebra de Lie lineal especiales el matrices que no alteran el volumen deinfinitesimales. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$

De hecho, existe una descomposición interna de suma directa de operadores/matrices en operadores/matrices sin rastro y operadores/matrices escalares. El mapa de proyección sobre operadores escalares se puede expresar en términos de traza, concretamente como: ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K}$

$${\displaystyle \mathbf {A} \mapsto {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\mathbf {I} .}$$

Formalmente, se puede componer la traza (el mapa de unidades ) con el mapa de unidades de "inclusión de escalares " para obtener un mapeo de mapas en escalares y multiplicar por n . Dividir por n hace que esto sea una proyección, lo que produce la fórmula anterior. ${\displaystyle K\to {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}}$

En términos de secuencias cortas exactas , se tiene

$${\displaystyle 0\to {\mathfrak {sl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}K\to 0}$$

$${\displaystyle 1\to \operatorname {SL} _{n}\to \operatorname {GL} _{n}{\overset {\det }{\to }}K^{*}\to 1}$$

grupos de Lieenésima ${\displaystyle K^{*}=K\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K}$

$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}\neq \operatorname {SL} _{n}\times K^{*}.}$$

Formas bilineales

La forma bilineal (donde X , Y son matrices cuadradas)

$${\displaystyle B(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\operatorname {ad} (\mathbf {Y} ))\quad {\text{where }}\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\mathbf {Y} =[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\mathbf {X} \mathbf {Y} -\mathbf {Y} \mathbf {X} }$$

forma Killing

La traza define una forma bilineal:

$${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mapsto \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} ).}$$

La forma es simétrica, no degenerada ^{[nota 5]} y asociativa en el sentido de que:

$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {X} [\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ])=\operatorname {tr} ([\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]\mathbf {Z} ).}$$

Para un álgebra de Lie simple y compleja (como _n ), cada forma bilineal es proporcional entre sí; en particular, a la forma Killing ^{[ cita necesaria ]} . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$

Se dice que dos matrices X e Y son traza ortogonales si

$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} )=0.}$$

Existe una generalización a una representación general de un álgebra de Lie , tal que es un homomorfismo de álgebras de Lie. La forma de traza se define como anteriormente. La forma bilineal ${\displaystyle (\rho ,{\mathfrak {g}},V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V).}$ ${\displaystyle {\text{tr}}_{V}}$ ${\displaystyle {\text{End}}(V)}$

$${\displaystyle \phi (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )={\text{tr}}_{V}(\rho (\mathbf {X} )\rho (\mathbf {Y} ))}$$

Generalizaciones

El concepto de traza de una matriz se generaliza a la clase de traza de operadores compactos en espacios de Hilbert , y el análogo de la norma de Frobenius se llama norma de Hilbert-Schmidt .

Si K es un operador de clase de traza, entonces, para cualquier base ortonormal , la traza viene dada por ${\displaystyle (e_{n})_{n}}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} (K)=\sum _{n}\left\langle e_{n},Ke_{n}\right\rangle ,}$$

^[7]

La traza parcial es otra generalización de la traza valorada por el operador. La traza de un operador lineal Z que vive en un espacio producto A ⊗ B es igual a las trazas parciales sobre A y B :

$${\displaystyle \operatorname {tr} (Z)=\operatorname {tr} _{A}\left(\operatorname {tr} _{B}(Z)\right)=\operatorname {tr} _{B}\left(\operatorname {tr} _{A}(Z)\right).}$$

Para obtener más propiedades y una generalización de la traza parcial, consulte categorías monoidales trazadas .

Si A es un álgebra asociativa general sobre un campo k , entonces una traza en A a menudo se define como cualquier aplicación tr: A ↦ k que desaparece en los conmutadores; tr([ a , b ]) = 0 para todo a , b ∈ A . Semejante rastro no está definido de manera única; siempre puede al menos modificarse mediante la multiplicación por un escalar distinto de cero.

Una supertraza es la generalización de una traza al entorno de superálgebras .

La operación de contracción tensorial generaliza la traza a tensores arbitrarios.

Huellas en el lenguaje de los productos tensoriales.

Dado un espacio vectorial V , existe un mapa bilineal natural V × V ^∗ → F dado enviando ( v , φ) al escalar φ( v ) . La propiedad universal del producto tensorial V ⊗ V ^∗ implica automáticamente que este mapa bilineal es inducido por un funcional lineal en V ⊗ V ^∗ . ^[8]

De manera similar, existe un mapa bilineal natural V × V ^∗ → Hom( V , V ) dado enviando ( v , φ) al mapa lineal w ↦ φ( w ) v . La propiedad universal del producto tensorial, tal como se usó anteriormente, dice que esta aplicación bilineal es inducida por una aplicación lineal V ⊗ V ^∗ → Hom( V , V ) . Si V es de dimensión finita, entonces este mapa lineal es un isomorfismo lineal . ^[8] Este hecho fundamental es una consecuencia directa de la existencia de una base (finita) de V , y también puede expresarse como si dijera que cualquier aplicación lineal V → V puede escribirse como la suma de (finitos) rango uno mapas lineales. Componer la inversa del isomorfismo con el funcional lineal obtenido anteriormente da como resultado un funcional lineal en Hom( V , V ) . Esta funcional lineal es exactamente igual que la traza.

Utilizando la definición de traza como la suma de elementos diagonales, la fórmula matricial tr( AB ) = tr( BA ) es sencilla de probar y se proporcionó anteriormente. En la perspectiva actual, se consideran aplicaciones lineales S y T , y se las ve como sumas de aplicaciones de rango uno, de modo que hay funcionales lineales φ _i y ψ _j y vectores distintos de cero v _i y w _j tales que S ( u ) = Σ φ _i ( u ) v _i y T ( u ) = Σ ψ _j ( u ) w _j para cualquier u en V . Entonces

${\displaystyle (S\circ T)(u)=\sum _{i}\varphi _{i}\left(\sum _{j}\psi _{j}(u)w_{j}\right)v_{i}=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(u)\varphi _{i}(w_{j})v_{i}}$

para cualquier u en V . El mapa lineal de rango uno u ↦ ψ _j ( u ) φ _i ( w _j ) v _i tiene traza ψ _j ( v _i ) φ _i ( w _j ) y así

${\displaystyle \operatorname {tr} (S\circ T)=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(v_{i})\varphi _{i}(w_{j})=\sum _{j}\sum _{i}\varphi _{i}(w_{j})\psi _{j}(v_{i}).}$

Siguiendo el mismo procedimiento con S y T invertidos, se encuentra exactamente la misma fórmula, demostrando que tr( S ∘ T ) es igual a tr( T ∘ S ) .

Se puede considerar que la prueba anterior se basa en productos tensoriales, dado que la identidad fundamental de End( V ) con V ⊗ V ^∗ es equivalente a la expresabilidad de cualquier aplicación lineal como suma de aplicaciones lineales de rango uno. Como tal, la prueba puede escribirse en la notación de productos tensoriales. Entonces se puede considerar el mapa multilineal V × V ^∗ × V × V ^∗ → V ⊗ V ^∗ dado enviando ( v , φ , w , ψ ) a φ ( w ) v ⊗ ψ . Una composición adicional con el mapa de seguimiento da como resultado φ ( w ) ψ ( v ) , y esto no cambia si uno hubiera comenzado con ( w , ψ , v , φ ) en su lugar. También se puede considerar el mapa bilineal End( V ) × End( V ) → End( V ) dado enviando ( f , g ) a la composición f ∘ g , que luego es inducida por un mapa lineal End( V ) ⊗ End ( V ) → Fin ( V ) . Se puede ver que esto coincide con el mapa lineal V ⊗ V ^∗ ⊗ V ⊗ V ^∗ → V ⊗ V ^∗ . La simetría establecida al componerse con el mapa de huellas establece entonces la igualdad de las dos huellas. ^[8]

Para cualquier espacio vectorial de dimensión finita V , existe una aplicación lineal natural F → V ⊗ V ' ; en el lenguaje de aplicaciones lineales, asigna a un escalar c la aplicación lineal c ⋅id _V . A veces esto se llama mapa de coevaluación , y la traza V ⊗ V ' → F se llama mapa de evaluación . ^[8] Estas estructuras pueden axiomatizarse para definir rastros categóricos en el marco abstracto de la teoría de categorías .

Ver también

• Traza de un tensor con respecto a un tensor métrico
• Función característica
• Seguimiento de campo
• Desigualdad de Golden-Thompson
• rastro singular
• teorema de Specht
• Clase de seguimiento
• Rastrear identidad
• Trazar desigualdades
• Rastro de desigualdad de von Neumann

Notas

1. Esto es inmediato de la definición del producto matricial :
   $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{i=1}^{m}\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}b_{ji}a_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {B} \mathbf {A} \right)_{jj}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ).}$$
2. Por ejemplo, si
   $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},}$$
   entonces el producto es
   $${\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},}$$
   y las trazas son tr( AB ) = 1 ≠ 0 ⋅ 0 = tr( A )tr( B ) .
3. Prueba: Dejemos que la base estándar y tenga en cuenta que si y sólo si y ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle f\left(e_{ij}\right)=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)}$
   $${\displaystyle f(\mathbf {A} )=\sum _{i,j}[\mathbf {A} ]_{ij}f\left(e_{ij}\right)=\sum _{i}[\mathbf {A} ]_{ii}f\left(e_{11}\right)=f\left(e_{11}\right)\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).}$$
   De manera más abstracta, esto corresponde a la descomposición
   $${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus k,}$$
   como (de manera equivalente, ) define la traza en la que se complementan las matrices escalares y deja un grado de libertad: cualquier mapa de este tipo está determinado por su valor en los escalares, que es un parámetro escalar y, por lo tanto, todos son múltiplos de la traza, un valor distinto de cero. tal mapa. ${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} ([A,B])=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n},}$
4. Prueba: es un álgebra de Lie semisimple y, por lo tanto, cada elemento que contiene es una combinación lineal de conmutadores de algunos pares de elementos; de lo contrario, el álgebra derivada sería un ideal adecuado. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$
5. Esto se desprende del hecho de que tr( A * A ) = 0 si y sólo si A = 0 .

Referencias

1. "Rango, traza, determinante, transpuesta e inversa de matrices". fourier.eng.hmc.edu . Consultado el 9 de septiembre de 2020 .
2. Weisstein, Eric W. (2003). "Traza (matriz)". En Weisstein, Eric W (ed.). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (Segunda edición de la edición original de 1999). Boca Ratón, FL: Chapman & Hall . doi :10.1201/9781420035223. ISBN 1-58488-347-2. SEÑOR  1944431. Zbl  1079.00009 . Consultado el 9 de septiembre de 2020 .
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enlaces externos

• "Traza de una matriz cuadrada", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]