En matemáticas , la teoría de operadores es el estudio de operadores lineales en espacios funcionales , comenzando con operadores diferenciales y operadores integrales . Los operadores pueden presentarse de manera abstracta por sus características, como operadores lineales acotados u operadores cerrados , y se puede dar consideración a los operadores no lineales . El estudio, que depende en gran medida de la topología de los espacios funcionales, es una rama del análisis funcional .
Si una colección de operadores forma un álgebra sobre un campo , entonces es un álgebra de operadores . La descripción de las álgebras de operadores es parte de la teoría de operadores.
La teoría del operador único se ocupa de las propiedades y clasificación de los operadores, considerados uno a la vez. Por ejemplo, la clasificación de los operadores normales en términos de sus espectros entra en esta categoría.
El teorema espectral es cualquiera de varios resultados sobre operadores lineales o sobre matrices . [1] En términos generales, el teorema espectral proporciona condiciones bajo las cuales un operador o una matriz pueden diagonalizarse (es decir, representarse como una matriz diagonal en alguna base). Este concepto de diagonalización es relativamente sencillo para operadores en espacios de dimensión finita, pero requiere algunas modificaciones para operadores en espacios de dimensión infinita. En general, el teorema espectral identifica una clase de operadores lineales que pueden modelarse mediante operadores de multiplicación , que son tan simples como se puede esperar encontrar. En un lenguaje más abstracto, el teorema espectral es una afirmación sobre álgebras C* conmutativas . Véase también teoría espectral para una perspectiva histórica.
Ejemplos de operadores a los que se aplica el teorema espectral son los operadores autoadjuntos o, más generalmente, los operadores normales en espacios de Hilbert .
El teorema espectral también proporciona una descomposición canónica , llamada descomposición espectral , descomposición de valores propios o descomposición propia , del espacio vectorial subyacente sobre el que actúa el operador.
Un operador normal en un espacio de Hilbert complejo H es un operador lineal continuo N : H → H que conmuta con su adjunto hermitiano N* , es decir: NN* = N*N . [2]
Los operadores normales son importantes porque el teorema espectral se cumple para ellos. Hoy en día, se comprende bien la clase de operadores normales. Ejemplos de operadores normales son
El teorema espectral se extiende a una clase más general de matrices. Sea A un operador en un espacio producto interno de dimensión finita. Se dice que A es normal si A * A = AA * . Se puede demostrar que A es normal si y sólo si es unitariamente diagonalizable: por la descomposición de Schur , tenemos A = UTU * , donde U es unitario y T triangular superior. Como A es normal, TT * = T * T . Por lo tanto, T debe ser diagonal ya que las matrices triangulares superiores normales son diagonales. Lo contrario es obvio.
En otras palabras, A es normal si y sólo si existe una matriz unitaria U tal que
La descomposición polar de cualquier operador lineal acotado A entre espacios de Hilbert complejos es una factorización canónica como producto de una isometría parcial y un operador no negativo. [3]
La descomposición polar para matrices se generaliza de la siguiente manera: si A es un operador lineal acotado, entonces existe una factorización única de A como producto A = UP donde U es una isometría parcial, P es un operador autoadjunto no negativo y el operador inicial el espacio de U es el cierre del rango de P .
El operador U debe debilitarse a una isometría parcial, en lugar de unitaria, debido a las siguientes cuestiones. Si A es el desplazamiento unilateral en l 2 ( N ), entonces | Un | = ( A*A ) 1/2 = Yo . Entonces si A = U | A |, U debe ser A , que no es unitario.
La existencia de una descomposición polar es consecuencia del lema de Douglas :
Lema : si A , B son operadores acotados en un espacio de Hilbert H y A*A ≤ B*B , entonces existe una contracción C tal que A = CB . Además, C es único si Ker ( B* ) ⊂ Ker ( C ).
El operador C puede definirse por C ( Bh ) = Ah , extendido por continuidad hasta el cierre de Ran ( B ) y por cero en el complemento ortogonal de Ran( B ) . El operador C está bien definido ya que A*A ≤ B*B implica Ker( B ) ⊂ Ker( A ) . Luego sigue el lema.
En particular, si A*A = B*B , entonces C es una isometría parcial, que es única si Ker( B* ) ⊂ Ker( C ). En general, para cualquier operador acotado A ,
Cuando H es de dimensión finita, U puede extenderse a un operador unitario; esto no es cierto en general (ver ejemplo arriba). Alternativamente, la descomposición polar se puede mostrar utilizando la versión del operador de descomposición en valores singulares .
Por propiedad del cálculo funcional continuo , | Un | está en el C*-álgebra generada por A . Una afirmación similar pero más débil es válida para la isometría parcial: la parte polar U está en el álgebra de von Neumann generada por A. Si A es invertible, U también estará en el álgebra C* generada por A.
Muchos operadores que se estudian son operadores en espacios de Hilbert de funciones holomorfas , y el estudio del operador está íntimamente ligado a cuestiones de teoría de funciones. Por ejemplo, el teorema de Beurling describe los subespacios invariantes del desplazamiento unilateral en términos de funciones internas, que son funciones holomorfas acotadas en el disco unitario con valores límite unimodulares en casi todas partes del círculo. Beurling interpretó el desplazamiento unilateral como una multiplicación por la variable independiente en el espacio de Hardy . [4] El éxito en el estudio de los operadores de multiplicación y, más generalmente, de los operadores de Toeplitz (que son una multiplicación seguida de una proyección en el espacio de Hardy) ha inspirado el estudio de cuestiones similares en otros espacios, como el espacio de Bergman .
La teoría de las álgebras de operadores pone en primer plano las álgebras de operadores como las álgebras C* .
AC*-álgebra, A , es un álgebra de Banach sobre el campo de números complejos , junto con un mapa * : A → A. Se escribe x* para la imagen de un elemento x de A . El mapa * tiene las siguientes propiedades: [5]
Observación. Las primeras tres identidades dicen que A es un *-álgebra . La última identidad se llama identidad C* y equivale a:
La identidad C* es un requisito muy estricto. Por ejemplo, junto con la fórmula del radio espectral , implica que la norma C* está determinada únicamente por la estructura algebraica:
