Teoría espectral

Colección de teorías matemáticas.

En matemáticas , teoría espectral es un término inclusivo para las teorías que extienden la teoría de vectores propios y valores propios de una única matriz cuadrada a una teoría mucho más amplia de la estructura de operadores en una variedad de espacios matemáticos . ^[1] Es el resultado de estudios de álgebra lineal y las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y sus generalizaciones. ^[2] La teoría está relacionada con la de las funciones analíticas porque las propiedades espectrales de un operador están relacionadas con las funciones analíticas del parámetro espectral. ^[3]

Antecedentes matemáticos

El nombre teoría espectral fue introducido por David Hilbert en su formulación original de la teoría espacial de Hilbert , que se expresó en términos de formas cuadráticas en infinitas variables. Por lo tanto, el teorema espectral original fue concebido como una versión del teorema sobre los ejes principales de un elipsoide , en un entorno de dimensión infinita. Por lo tanto , el descubrimiento posterior en mecánica cuántica de que la teoría espectral podía explicar características de los espectros atómicos fue fortuito. El propio Hilbert se sorprendió por la inesperada aplicación de esta teoría, señalando que "Desarrollé mi teoría de infinitas variables a partir de intereses puramente matemáticos, e incluso la llamé 'análisis espectral' sin ningún presentimiento de que más tarde encontraría aplicación al espectro real de física." ^[4]

Ha habido tres formas principales de formular la teoría espectral, cada una de las cuales encuentra uso en diferentes dominios. Después de la formulación inicial de Hilbert, el desarrollo posterior de los espacios abstractos de Hilbert y la teoría espectral de operadores normales únicos sobre ellos se adaptaron bien a los requisitos de la física , ejemplificado por el trabajo de von Neumann . ^[5] La teoría adicional se basó en esto para abordar las álgebras de Banach en general. Este desarrollo conduce a la representación de Gelfand , que cubre el caso conmutativo , y más adelante al análisis armónico no conmutativo .

La diferencia se puede ver al establecer la conexión con el análisis de Fourier . La transformada de Fourier en la recta real es, en cierto sentido, la teoría espectral de diferenciación como operador diferencial . Pero para que eso cubra los fenómenos, uno ya tiene que lidiar con funciones propias generalizadas (por ejemplo, mediante un espacio de Hilbert amañado ). Por otro lado, es sencillo construir un álgebra de grupos , cuyo espectro capture las propiedades básicas de la transformada de Fourier, y esto se lleva a cabo mediante la dualidad de Pontryagin .

También se pueden estudiar las propiedades espectrales de los operadores en los espacios de Banach . Por ejemplo, los operadores compactos en espacios de Banach tienen muchas propiedades espectrales similares a las de las matrices .

Antecedentes físicos

Los antecedentes de la física de las vibraciones se han explicado de la siguiente manera: ^[6]

La teoría espectral está relacionada con la investigación de vibraciones localizadas de una variedad de objetos diferentes, desde átomos y moléculas en química hasta obstáculos en guías de ondas acústicas . Estas vibraciones tienen frecuencias , y la cuestión es decidir cuándo ocurren dichas vibraciones localizadas y cómo calcular las frecuencias. Este es un problema muy complicado ya que cada objeto tiene no sólo un tono fundamental sino también una complicada serie de matices , que varían radicalmente de un cuerpo a otro.

Estas ideas físicas no tienen nada que ver con la teoría matemática a nivel técnico, pero hay ejemplos de implicación indirecta (ver, por ejemplo, la pregunta de Mark Kac ¿Puedes oír la forma de un tambor? ). La adopción del término "espectro" por parte de Hilbert se ha atribuido a un artículo de 1897 de Wilhelm Wirtinger sobre la ecuación diferencial de Hill (por Jean Dieudonné ), y fue retomado por sus estudiantes durante la primera década del siglo XX, entre ellos Erhard Schmidt y Hermann Weyl . La base conceptual del espacio de Hilbert fue desarrollada a partir de las ideas de Hilbert por Erhard Schmidt y Frigyes Riesz . ^{[7] [8]} Fue casi veinte años después, cuando la mecánica cuántica se formuló en términos de la ecuación de Schrödinger , que se hizo la conexión con los espectros atómicos ; Anteriormente se había sospechado una conexión con la física matemática de la vibración, como señaló Henri Poincaré , pero se rechazó por simples razones cuantitativas, en ausencia de una explicación de la serie de Balmer . ^[9] El descubrimiento posterior en mecánica cuántica de que la teoría espectral podía explicar características de los espectros atómicos fue, por lo tanto, fortuito, en lugar de ser un objeto de la teoría espectral de Hilbert.

Una definición de espectro

Considere una transformación lineal acotada T definida en todas partes sobre un espacio de Banach general . Formamos la transformación:

$${\displaystyle R_{\zeta }=\left(\zeta I-T\right)^{-1}.}$$

Aquí I es el operador identidad y ζ es un número complejo . La inversa de un operador T , es decir T ⁻¹ , se define por:

$${\displaystyle TT^{-1}=T^{-1}T=I.}$$

Si existe lo inverso, T se llama regular . Si no existe, T se llama singular .

Con estas definiciones, el conjunto resolutivo de T es el conjunto de todos los números complejos ζ tales que R _ζ existe y está acotado . Este conjunto a menudo se denota como ρ ( T ). El espectro de T es el conjunto de todos los números complejos ζ tales que R _ζ no existe o es ilimitado. A menudo, el espectro de T se denota por σ ( T ). La función R _ζ para todo ζ en ρ ( T ) (es decir, siempre que R _ζ exista como operador acotado) se denomina resolutiva de T . El espectro de T es por tanto el complemento del conjunto resolutivo de T en el plano complejo. ^[10] Cada valor propio de T pertenece a σ ( T ), pero σ ( T ) puede contener valores no propios. ^[11]

Esta definición se aplica a un espacio de Banach, pero, por supuesto, también existen otros tipos de espacio; por ejemplo, los espacios vectoriales topológicos incluyen espacios de Banach, pero pueden ser más generales. ^{[12] [13]} Por otro lado, los espacios de Banach incluyen los espacios de Hilbert , y son estos espacios los que encuentran la mayor aplicación y los resultados teóricos más ricos. ^[14] Con las restricciones adecuadas, se puede decir mucho sobre la estructura de los espectros de transformaciones en un espacio de Hilbert. En particular, para los operadores autoadjuntos , el espectro se encuentra en la línea real y (en general) es una combinación espectral de un espectro puntual de valores propios discretos y un espectro continuo . ^[15]

Teoría espectral brevemente

En análisis funcional y álgebra lineal, el teorema espectral establece condiciones bajo las cuales un operador puede expresarse en forma simple como una suma de operadores más simples. Como una presentación completamente rigurosa no es apropiada para este artículo, adoptamos un enfoque que evita gran parte del rigor y la satisfacción de un tratamiento formal con el objetivo de ser más comprensible para un no especialista.

Este tema es más fácil de describir introduciendo la notación bracket de Dirac para los operadores. ^{[16] [17]} Como ejemplo, un operador lineal L muy particular podría escribirse como un producto diádico : ^{[18] [19]}

${\displaystyle L=|k_{1}\rangle \langle b_{1}|,}$

en términos del "sujetador" ⟨ b ₁ | y el "ket" | k ₁ ⟩. Una función f se describe mediante un ket como | f ⟩. La función f ( x ) definida en las coordenadas se denota como ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )}$

${\displaystyle f(x)=\langle x,f\rangle }$

y la magnitud de f por

${\displaystyle \|f\|^{2}=\langle f,f\rangle =\int \langle f,x\rangle \langle x,f\rangle \,dx=\int f^{*}(x)f(x)\,dx}$

donde la notación (*) denota un conjugado complejo . Esta elección de producto interno define un espacio de producto interno muy específico , restringiendo la generalidad de los argumentos que siguen. ^[14]

El efecto de L sobre una función f se describe entonces como:

${\displaystyle L|f\rangle =|k_{1}\rangle \langle b_{1}|f\rangle }$

expresando el resultado de que el efecto de L sobre f es producir una nueva función multiplicada por el producto interno representado por . ${\displaystyle |k_{1}\rangle }$ ${\displaystyle \langle b_{1}|f\rangle }$

Un operador lineal más general L podría expresarse como:

${\displaystyle L=\lambda _{1}|e_{1}\rangle \langle f_{1}|+\lambda _{2}|e_{2}\rangle \langle f_{2}|+\lambda _{3}|e_{3}\rangle \langle f_{3}|+\dots ,}$

donde son escalares y son una base y una base recíproca para el espacio. La relación entre la base y la base recíproca se describe, en parte, por: ${\displaystyle \{\,\lambda _{i}\,\}}$ ${\displaystyle \{\,|e_{i}\rangle \,\}}$ ${\displaystyle \{\,\langle f_{i}|\,\}}$

${\displaystyle \langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}}$

Si se aplica tal formalismo, son valores propios de L y las funciones son funciones propias de L. Los valores propios están en el espectro de L. ^[20] ${\displaystyle \{\,\lambda _{i}\,\}}$ ${\displaystyle \{\,|e_{i}\rangle \,\}}$

Algunas preguntas naturales son: ¿bajo qué circunstancias funciona este formalismo y para qué operadores L son posibles expansiones en series de otros operadores como este? ¿Se puede expresar cualquier función f en términos de funciones propias (son una base de Schauder ) y bajo qué circunstancias surge un espectro puntual o un espectro continuo? ¿En qué se diferencian o difieren los formalismos para espacios de dimensiones infinitas y espacios de dimensiones finitas? ¿Se pueden extender estas ideas a una clase más amplia de espacios? Responder a estas preguntas es competencia de la teoría espectral y requiere una considerable formación en análisis funcional y álgebra matricial .

Resolución de la identidad

Esta sección continúa en la forma aproximada y sencilla de la sección anterior utilizando la notación bracket y pasando por alto los muchos detalles importantes de un tratamiento riguroso. ^[21] Un tratamiento matemático riguroso se puede encontrar en varias referencias. ^[22] En particular, la dimensión n del espacio será finita.

Utilizando la notación entre corchetes de la sección anterior, el operador de identidad se puede escribir como:

${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|}$

donde se supone como arriba que son una base y una base recíproca para el espacio que satisface la relación: ${\displaystyle \{|e_{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle \{\langle f_{i}|\}}$

${\displaystyle \langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

Esta expresión de la operación de identidad se denomina representación o resolución de la identidad. ^{[21] [22]} Esta representación formal satisface la propiedad básica de la identidad:

${\displaystyle I^{k}=I}$

válido para todo entero positivo k .

Aplicando la resolución de la identidad a cualquier función en el espacio , se obtiene: ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle I|\psi \rangle =|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}|e_{i}\rangle }$

que es la expansión de Fourier generalizada de ψ en términos de las funciones básicas {e _i  }. ^[23] Aquí . ${\displaystyle c_{i}=\langle f_{i}|\psi \rangle }$

Dada alguna ecuación de operador de la forma:

${\displaystyle O|\psi \rangle =|h\rangle }$

con h en el espacio, esta ecuación se puede resolver de la manera anterior mediante las manipulaciones formales:

${\displaystyle O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\left(O|e_{i}\rangle \right)=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle ,}$

${\displaystyle \langle f_{j}|O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle =\sum _{i=1}^{n}\langle f_{j}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle =\langle f_{j}|h\rangle ,\quad \forall j}$

que convierte la ecuación del operador en una ecuación matricial que determina los coeficientes desconocidos c _j en términos de los coeficientes de Fourier generalizados de h y los elementos matriciales del operador O. ${\displaystyle \langle f_{j}|h\rangle }$ ${\displaystyle O_{ji}=\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle }$

El papel de la teoría espectral surge al establecer la naturaleza y existencia de la base y la base recíproca. En particular, la base podría consistir en las funciones propias de algún operador lineal L :

${\displaystyle L|e_{i}\rangle =\lambda _{i}|e_{i}\rangle \,;}$

con {  λ _i  } los valores propios de L del espectro de L . Entonces la resolución de la identidad anterior proporciona la expansión de díada de L :

${\displaystyle LI=L=\sum _{i=1}^{n}L|e_{i}\rangle \langle f_{i}|=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|.}$

Operador solvente

Usando la teoría espectral, el operador resolutivo R :

${\displaystyle R=(\lambda I-L)^{-1},\,}$

se puede evaluar en términos de las funciones propias y los valores propios de L , y se puede encontrar la función de Green correspondiente a L.

Aplicando R a alguna función arbitraria en el espacio, digamos , ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle R|\varphi \rangle =(\lambda I-L)^{-1}|\varphi \rangle =\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\lambda -\lambda _{i}}}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\varphi \rangle .}$

Esta función tiene polos en el plano λ complejo en cada valor propio de L. Así, utilizando el cálculo de residuos :

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}R|\varphi \rangle d\lambda =-\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\varphi \rangle =-|\varphi \rangle ,}$

donde la integral de línea está sobre un contorno C que incluye todos los valores propios de L .

Supongamos que nuestras funciones están definidas sobre algunas coordenadas { x _j }, es decir:

${\displaystyle \langle x,\varphi \rangle =\varphi (x_{1},x_{2},...).}$

Introduciendo la notación

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\delta (x-y),}$

donde δ(x − y) = δ(x ₁ − y ₁ , x ₂ − y ₂ , x ₃ − y ₃ , ...) es la función delta de Dirac , ^[24] podemos escribir

${\displaystyle \langle x,\varphi \rangle =\int \langle x,y\rangle \langle y,\varphi \rangle dy.}$

Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle x,{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\varphi }{\lambda I-L}}d\lambda \right\rangle &={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}d\lambda \left\langle x,{\frac {\varphi }{\lambda I-L}}\right\rangle \\&={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}d\lambda \int dy\left\langle x,{\frac {y}{\lambda I-L}}\right\rangle \langle y,\varphi \rangle \end{aligned}}}$

La función G(x, y; λ) definida por:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y;\lambda )&=\left\langle x,{\frac {y}{\lambda I-L}}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle \left\langle f_{i},{\frac {e_{j}}{\lambda I-L}}\right\rangle \langle f_{j},y\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\langle x,e_{i}\rangle \langle f_{i},y\rangle }{\lambda -\lambda _{i}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(y)}{\lambda -\lambda _{i}}},\end{aligned}}}$

se llama función de Green para el operador L y satisface: ^[25]

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}G(x,y;\lambda )\,d\lambda =-\sum _{i=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle \langle f_{i},y\rangle =-\langle x,y\rangle =-\delta (x-y).}$

Ecuaciones del operador

Considere la ecuación del operador:

${\displaystyle (O-\lambda I)|\psi \rangle =|h\rangle ;}$

en términos de coordenadas:

${\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,\psi \rangle \,dy=h(x).}$

Un caso particular es λ = 0.

La función del Green del apartado anterior es:

${\displaystyle \langle y,G(\lambda )z\rangle =\left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle =G(y,z;\lambda ),}$

y satisface:

${\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,G(\lambda )z\rangle \,dy=\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle \,dy=\langle x,z\rangle =\delta (x-z).}$

Usando la propiedad de esta función de Green:

${\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )\,dy=\delta (x-z).}$

Luego, multiplicando ambos lados de esta ecuación por h ( z ) e integrando:

${\displaystyle \int dz\,h(z)\int dy\,\langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )=\int dy\,\langle x,(O-\lambda I)y\rangle \int dz\,h(z)G(y,z;\lambda )=h(x),}$

lo que sugiere que la solución es:

${\displaystyle \psi (x)=\int h(z)G(x,z;\lambda )\,dz.}$

Es decir, la función ψ ( x ) que satisface la ecuación del operador se encuentra si podemos encontrar el espectro de O y construir G , por ejemplo usando:

${\displaystyle G(x,z;\lambda )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(z)}{\lambda -\lambda _{i}}}.}$

Por supuesto, hay muchas otras formas de encontrar G. ^[26] Véanse los artículos sobre funciones de Green y sobre ecuaciones integrales de Fredholm . Debe tenerse en cuenta que las matemáticas anteriores son puramente formales y un tratamiento riguroso implica algunas matemáticas bastante sofisticadas, incluido un buen conocimiento previo de análisis funcional , espacios de Hilbert , distribuciones , etc. Consulte estos artículos y las referencias para más detalles.

Teorema espectral y cociente de Rayleigh

Los problemas de optimización pueden ser los ejemplos más útiles sobre el significado combinatorio de los valores propios y vectores propios en matrices simétricas, especialmente para el cociente de Rayleigh con respecto a una matriz M.

Teorema Sea M una matriz simétrica y sea x el vector distinto de cero que maximiza el cociente de Rayleigh con respecto a M. Entonces, x es un vector propio de M con valor propio igual al cociente de Rayleigh . Además, este valor propio es el valor propio más grande  de M.

Demostración Suponga el teorema espectral. Sean los valores propios de M. Dado que la forma es una base ortonormal , cualquier vector x se puede expresar en esta base como ${\displaystyle \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots \leq \lambda _{n}}$ ${\displaystyle \{v_{i}\}}$

${\displaystyle x=\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{i}}$

La forma de probar esta fórmula es bastante sencilla. A saber,

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{j}^{T}\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{i}={}&\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{j}^{T}v_{i}\\[4pt]={}&(v_{j}^{T}x)v_{j}^{T}v_{j}\\[4pt]={}&v_{j}^{T}x\end{aligned}}}$

evaluar el cociente de Rayleigh con respecto a x :

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{T}Mx={}&\left(\sum _{i}(v_{i}^{T}x)v_{i}\right)^{T}M\left(\sum _{j}(v_{j}^{T}x)v_{j}\right)\\[4pt]={}&\left(\sum _{i}(v_{i}^{T}x)v_{i}^{T}\right)\left(\sum _{j}(v_{j}^{T}x)v_{j}\lambda _{j}\right)\\[4pt]={}&\sum _{i,j}(v_{i}^{T}x)v_{i}^{T}(v_{j}^{T}x)v_{j}\lambda _{j}\\[4pt]={}&\sum _{j}(v_{j}^{T}x)(v_{j}^{T}x)\lambda _{j}\\[4pt]={}&\sum _{j}(v_{j}^{T}x)^{2}\lambda _{j}\leq \lambda _{n}\sum _{j}(v_{j}^{T}x)^{2}\\[4pt]={}&\lambda _{n}x^{T}x,\end{aligned}}}$

donde usamos la identidad de Parseval en la última línea. Finalmente obtenemos que

${\displaystyle {\frac {x^{T}Mx}{x^{T}x}}\leq \lambda _{n}}$

entonces el cociente de Rayleigh siempre es menor que . ^[27] ${\displaystyle \lambda _{n}}$

Ver también

• Portal de matemáticas

• Funciones de los operadores , Teoría del operador.
• pares laxos
• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• Proyector Riesz
• Operador autoadjunto
• Espectro (análisis funcional) , Formalismo solvente , Descomposición del espectro (análisis funcional)
• Radio espectral , Espectro de un operador , Teorema espectral
• Teoría espectral de operadores compactos.
• Teoría espectral de álgebras C* normales
• Teoría de Sturm-Liouville , Ecuaciones integrales , Teoría de Fredholm
• Operadores compactos , Operadores isoespectrales , Completitud
• Geometría espectral
• Teoría de grafos espectrales
• Lista de temas de análisis funcional.

Notas

1. Jean Alexandre Dieudonné (1981). Historia del análisis funcional. Elsevier. ISBN 0-444-86148-3.
2. William Arveson (2002). "Capítulo 1: teoría espectral y álgebras de Banach". Un curso breve sobre teoría espectral. Saltador. ISBN 0-387-95300-0.
3. Viktor Antonovich Sadovnichiĭ (1991). "Capítulo 4: La geometría del espacio de Hilbert: la teoría espectral de los operadores". Teoría de Operadores . Saltador. pag. 181 y siguientes . ISBN 0-306-11028-8.
4. Steen, Lynn Arthur. "Aspectos destacados de la historia de la teoría espectral" (PDF) . Colegio San Olaf . Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 14 de diciembre de 2015 .
5. John von Neumann (1996). Los fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica; Volumen 2 de la serie Princeton Landmarks in Mathematics (Reimpresión de la traducción de la edición original de 1932). Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-02893-1.
6. E. Brian Davies , citado en el sitio web del grupo de análisis del King's College London "Investigación en el grupo de análisis".
7. Nicolás joven (1988). Una introducción al espacio de Hilbert. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 3.ISBN​ 0-521-33717-8.
8. Jean-Luc Dorier (2000). Sobre la enseñanza del álgebra lineal; vol. 23 de la biblioteca de educación matemática. Saltador. ISBN 0-7923-6539-9.
9. Cfr. Espectros en matemáticas y en física Archivado el 27 de julio de 2011 en Wayback Machine por Jean Mawhin , p.4 y pp. 10-11.
10. Edgar Raymond Lorch (2003). Teoría espectral (Reimpresión de Oxford 1962 ed.). Editores de libros de texto. pag. 89.ISBN​ 0-7581-7156-0.
11. Nicolás joven (21 de julio de 1988). op. cit. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 81.ISBN​ 0-521-33717-8.
12. Helmut H. Schaefer; Manfred PH Wolff (1999). Espacios vectoriales topológicos (2ª ed.). Saltador. pag. 36.ISBN​ 0-387-98726-6.
13. Dmitriĭ Petrovich Zhelobenko (2006). Principales estructuras y métodos de la teoría de la representación. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0821837311.
14. Edgar Raymond Lorch (2003). "Capítulo III: Espacio Hilbert". Teoría espectral. pag. 57.ISBN​ 0-7581-7156-0.
15. Edgar Raymond Lorch (2003). "Capítulo V: La estructura de las transformaciones autoadjuntas". Teoría espectral. pag. 106 y sigs . ISBN 0-7581-7156-0.
16. Bernard Friedman (1990). Principios y técnicas de matemáticas aplicadas (reimpresión de Wiley ed. de 1956). Publicaciones de Dover. pag. 26.ISBN​ 0-486-66444-9.
17. PAM Dirac (1981). Los principios de la mecánica cuántica (4ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 29 y sigs . ISBN 0-19-852011-5.
18. Jürgen Audretsch (2007). "Capítulo 1.1.2: Operadores lineales en el espacio de Hilbert". Sistemas entrelazados: nuevas direcciones en la física cuántica . Wiley-VCH. pag. 5.ISBN​ 978-3-527-40684-5.
19. RA Howland (2006). Dinámica intermedia: un enfoque algebraico lineal (2ª ed.). Birkhäuser. pag. 69 y sigs . ISBN 0-387-28059-6.
20. Bernard Friedman (1990). "Capítulo 2: Teoría espectral de operadores". op. cit. pag. 57.ISBN​ 0-486-66444-9.
21. Véase la discusión en el libro de Dirac mencionado anteriormente y Milan Vujičić (2008). Álgebra lineal explicada detalladamente. Saltador. pag. 274.ISBN​ 978-3-540-74637-9.
22. Véase, por ejemplo, el texto fundamental de John von Neumann (1955). op. cit. Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-02893-1.y Arch W. Naylor, George R. Sell (2000). Teoría del Operador Lineal en Ingeniería y Ciencias; vol. 40 de Ciencias Matemáticas Aplicadas. Saltador. pag. 401.ISBN​ 0-387-95001-X., Steven Romano (2008). Álgebra lineal avanzada (3ª ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-72828-5., I︠U︡riĭ Makarovich Berezanskiĭ (1968). Expansiones en funciones propias de operadores autoadjuntos; vol. 17 en Traducciones de monografías matemáticas. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1567-9.
23. Véase, por ejemplo, Gerald B Folland (2009). "Convergencia e integridad". Análisis de Fourier y sus aplicaciones (Reimpresión de Wadsworth & Brooks/Cole 1992 ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 77 y siguientes . ISBN 978-0-8218-4790-9.
24. PAM Dirac (1981). op. cit. Prensa de Clarendon. pag. 60 y siguientes . ISBN 0-19-852011-5.
25. Bernard Friedman (1956). op. cit. Publicaciones de Dover. pag. 214, ecuación. 2.14. ISBN 0-486-66444-9.
26. Por ejemplo, consulte Sadri Hassani (1999). "Capítulo 20: Funciones de Green en una dimensión". Física matemática: una introducción moderna a sus fundamentos . Saltador. pag. 553 y siguientes . ISBN 0-387-98579-4.y Qing-Hua Qin (2007). Función de Green y elementos límite de materiales multicampo. Elsevier. ISBN 978-0-08-045134-3.
27. Spielman, Daniel A. "Notas de conferencias sobre la teoría de grafos espectrales" Universidad de Yale (2012) http://cs.yale.edu/homes/spielman/561/.

Referencias

• Edward Brian Davies (1996). Teoría Espectral y Operadores Diferenciales; Volumen 42 de los Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-58710-7.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T (1988). Operadores lineales, teoría espectral, operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert (Parte 2) (Reimpresión en rústica de la edición de 1967). Wiley. ISBN 0-471-60847-5.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T (1988). Operadores lineales, operadores espectrales (Parte 3) (Reimpresión en rústica de la edición de 1971). Wiley. ISBN 0-471-60846-7.
• Sadri Hassani (1999). "Capítulo 4: Descomposición espectral". Física Matemática: una introducción moderna a sus fundamentos . Saltador. ISBN 0-387-98579-4.
• "Teoría espectral de operadores lineales", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Shmuel Kantorovitz (1983). Teoría espectral de los operadores espaciales de Banach; . Saltador.
• Arch W. Naylor, George R. Sell (2000). "Capítulo 5, Parte B: El espectro". Teoría del Operador Lineal en Ingeniería y Ciencias; Volumen 40 de Ciencias matemáticas aplicadas. Saltador. pag. 411.ISBN​ 0-387-95001-X.
• Gerald Teschl (2009). Métodos Matemáticos en Mecánica Cuántica; Con aplicaciones para operadores de Schrödinger. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-4660-5.
• Valter Moretti (2017). Teoría Espectral y Mecánica Cuántica; Fundamentos Matemáticos de Teorías Cuánticas, Simetrías e Introducción a la Formulación Algebraica 2ª Edición. Saltador. ISBN 978-3-319-70705-1.

enlaces externos

• Evans M. Harrell II: una breve historia de la teoría del operador
• Gregorio H. Moore (1995). "La axiomatización del álgebra lineal: 1875-1940". Historia Matemática . 22 (3): 262–303. doi : 10.1006/hmat.1995.1025 .
• Steen, LA (abril de 1973). "Aspectos destacados de la historia de la teoría espectral". El Mensual Matemático Estadounidense . 80 (4): 359–381. doi :10.2307/2319079. JSTOR  2319079.