Teoría espectral de álgebras C* normales

En análisis funcional , cada álgebra C * es isomorfa a una subálgebra del álgebra C ^* de operadores lineales acotados en algún espacio de Hilbert. Este artículo describe la teoría espectral de subálgebras normales cerradas de . Una subálgebra de se llama normal si es conmutativa y cerrada bajo la operación: para todo , tenemos y eso . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle x,y\in A}$ ${\displaystyle x^{\ast }\in A}$ ${\displaystyle xy=yx}$

Resolución de identidad

En todo momento, hay un espacio de Hilbert fijo . ${\displaystyle H}$

Una medida valorada en proyección en un espacio medible donde hay un σ-álgebra de subconjuntos de es un mapeo tal que para todos es una proyección autoadjunta en (es decir, es un operador lineal acotado que satisface y ) tal que ${\displaystyle (X,\Omega ),}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ,}$ ${\displaystyle \pi (\omega )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \pi (\omega )}$ ${\displaystyle \pi (\omega ):H\to H}$ ${\displaystyle \pi (\omega )=\pi (\omega )^{*}}$ ${\displaystyle \pi (\omega )\circ \pi (\omega )=\pi (\omega )}$

$${\displaystyle \pi (X)=\operatorname {Id} _{H}\quad }$$

medida complejaaditiva contablemente ${\displaystyle \operatorname {Id} _{H}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x,y\in H,}$ ${\displaystyle \Omega \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \omega \mapsto \langle \pi (\omega )x,y\rangle }$ ${\displaystyle M}$

Una resolución de identidad ^[2] en un espacio medible es una función tal que para cada : ${\displaystyle (X,\Omega )}$ ${\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \Omega }$

1. ${\displaystyle \pi (\varnothing )=0}$;
2. ${\displaystyle \pi (X)=\operatorname {Id} _{H}}$;
3. porque cada es una proyección autoadjunta sobre ; ${\displaystyle \omega \in \Omega ,}$ ${\displaystyle \pi (\omega )}$ ${\displaystyle H}$
4. porque cada mapa definido por es una medida compleja en ; ${\displaystyle x,y\in H,}$ ${\displaystyle \pi _{x,y}:\Omega \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \pi _{x,y}(\omega )=\langle \pi (\omega )x,y\rangle }$ ${\displaystyle \Omega }$
5. ${\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\cap \omega _{2}\right)=\pi \left(\omega _{1}\right)\circ \pi \left(\omega _{2}\right)}$;
6. si entonces ; ${\displaystyle \omega _{1}\cap \omega _{2}=\varnothing }$ ${\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\cup \omega _{2}\right)=\pi \left(\omega _{1}\right)+\pi \left(\omega _{2}\right)}$

Si es el álgebra de todos los conjuntos de Borels en un espacio localmente compacto (o compacto) de Hausdorff, entonces se agrega el siguiente requisito adicional: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \sigma }$

7. para cada, el mapa es una medida de Borel regular (esto se cumple automáticamente en espacios métricos compactos). ${\displaystyle x,y\in H,}$ ${\displaystyle \pi _{x,y}:\Omega \to \mathbb {C} }$

Las condiciones 2, 3 y 4 implican que es una medida valorada en proyección. ${\displaystyle \pi }$

Propiedades

En todo momento, que haya una resolución de identidad. Para todos es una medida positiva con variación total y que satisface para todos ^[2] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x\in H,}$ ${\displaystyle \pi _{x,x}:\Omega \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \left\|\pi _{x,x}\right\|=\pi _{x,x}(X)=\|x\|^{2}}$ ${\displaystyle \pi _{x,x}(\omega )=\langle \pi (\omega )x,x\rangle =\|\pi (\omega )x\|^{2}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega .}$

Para cada : ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \Omega }$

• ${\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\right)\pi \left(\omega _{2}\right)=\pi \left(\omega _{2}\right)\pi \left(\omega _{1}\right)}$(ya que ambos son iguales a ). ^[2] ${\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\cap \omega _{2}\right)}$
• Si entonces los rangos de los mapas y son ortogonales entre sí y ^[2] ${\displaystyle \omega _{1}\cap \omega _{2}=\varnothing }$ ${\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\right)}$ ${\displaystyle \pi \left(\omega _{2}\right)}$ ${\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\right)\pi \left(\omega _{2}\right)=0=\pi \left(\omega _{2}\right)\pi \left(\omega _{1}\right).}$
• ${\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)}$es finitamente aditivo. ^[2]
• Si son elementos disjuntos por pares de cuya unión es y si para todos entonces ^[2] ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \pi \left(\omega _{i}\right)=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \pi (\omega )=0.}$
• Sin embargo, es contablemente aditivo sólo en situaciones triviales como se describe ahora: supongamos que hay elementos disjuntos por pares de cuya unión es y que las sumas parciales convergen a in (con su topología de norma) como ; entonces, dado que la norma de cualquier proyección es cualquiera de las dos , las sumas parciales no pueden formar una secuencia de Cauchy a menos que todas, excepto un número finito de ellas, lo sean ^[2] ${\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)}$ ${\displaystyle \pi (\omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \geq 1,}$ ${\displaystyle \pi \left(\omega _{i}\right)}$ ${\displaystyle 0.}$
• Para cualquier fijo, el mapa definido por es una medida contablemente aditiva en ${\displaystyle x\in H,}$ ${\displaystyle \pi _{x}:\Omega \to H}$ ${\displaystyle \pi _{x}(\omega ):=\pi (\omega )x}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Omega .}$
  • Aquí contablemente aditivo significa que siempre que hay elementos disjuntos por pares de cuya unión es entonces las sumas parciales convergen en Said de manera más sucinta, ^[2] ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)x}$ ${\displaystyle \pi (\omega )x}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\pi \left(\omega _{i}\right)x=\pi (\omega )x.}$
  • En otras palabras, para cada familia de elementos disjuntos por pares cuya unión es , entonces (por aditividad finita de ) converge en la topología de operador fuerte en : para cada , la secuencia de elementos converge en (con respecto a la topología normal). ${\displaystyle \left(\omega _{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle \omega _{\infty }\in \Omega }$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)=\pi \left(\bigcup _{i=1}^{n}\omega _{i}\right)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi \left(\omega _{\infty }\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)x}$ ${\displaystyle \pi \left(\omega _{\infty }\right)x}$ ${\displaystyle H}$

L ∞ (π) - espacio de función esencialmente acotada

El ser una resolución de identidad en ${\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle (X,\Omega ).}$

Funciones esencialmente acotadas

Supongamos que es una función medible de valores complejos . Existe un único subconjunto abierto más grande de (ordenados bajo inclusión de subconjuntos) tal que ^[3] Para ver por qué, sea una base para la topología de 's que consiste en discos abiertos y supongamos que es la subsecuencia (posiblemente finita) que consta de esos conjuntos tales eso ; entonces Tenga en cuenta que, en particular, if es un subconjunto abierto de tal que entonces de modo que (aunque hay otras formas en las que puede ser igual a 0 ). En efecto, ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle V_{f}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \pi \left(f^{-1}\left(V_{f}\right)\right)=0.}$ ${\displaystyle D_{1},D_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D_{i_{1}},D_{i_{2}},\ldots }$ ${\displaystyle \pi \left(f^{-1}\left(D_{i_{k}}\right)\right)=0}$ ${\displaystyle D_{i_{1}}\cup D_{i_{2}}\cup \cdots =V_{f}.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D\cap \operatorname {Im} f=\varnothing }$ ${\displaystyle \pi \left(f^{-1}(D)\right)=\pi (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle D\subseteq V_{f}}$ ${\displaystyle \pi \left(f^{-1}(D)\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \operatorname {cl} (\operatorname {Im} f)\subseteq V_{f}.}$

El rango esencial de se define como el complemento de. Es el subconjunto cerrado más pequeño de que contiene para casi todos (es decir, para todos excepto aquellos en algún conjunto tal que ). ^[3] El rango esencial es un subconjunto cerrado de modo que si también es un subconjunto acotado de entonces es compacto. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V_{f}.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle \pi (\omega )=0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

La función está esencialmente acotada si su rango esencial está acotado, en cuyo caso defina su supremo esencial , denotado por ser el supremo de todos los rangos sobre el rango esencial de ^[3] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|^{\infty },}$ ${\displaystyle |\lambda |}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f.}$

Espacio de funciones esencialmente acotadas.

Sea el espacio vectorial de todas las funciones medibles de valores complejos acotadas que se convierte en un álgebra de Banach cuando está normada por La función es una seminorma pero no necesariamente una norma. El núcleo de esta seminorma es un subespacio vectorial que es un ideal cerrado de dos lados del álgebra de Banach ^[3] Por lo tanto, el cociente de by también es un álgebra de Banach, denotado por donde la norma de cualquier elemento es igual a (ya que si entonces ) y esta norma se convierte en un álgebra de Banach. El espectro de in es el rango esencial de ^[3] Este artículo seguirá la práctica habitual de escritura en lugar de representar elementos de ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \|f\|_{\infty }:=\sup _{x\in X}|f(x)|.}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\Omega ),}$ ${\displaystyle N^{\infty }:=\left\{f\in {\mathcal {B}}(X,\Omega ):\|f\|^{\infty }=0\right\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\Omega )}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {B}}(X,\Omega ),\|\cdot \|_{\infty }\right).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\Omega )}$ ${\displaystyle N^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\pi ):={\mathcal {B}}(X,\Omega )/N^{\infty }}$ ${\displaystyle f+N^{\infty }\in L^{\infty }(\pi )}$ ${\displaystyle \|f\|^{\infty }}$ ${\displaystyle f+N^{\infty }=g+N^{\infty }}$ ${\displaystyle \|f\|^{\infty }=\|g\|^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\pi )}$ ${\displaystyle f+N^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\pi )}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f+N^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\pi ).}$

Teorema ^[3]  —  Sea una resolución de identidad en Existe una subálgebra normal cerrada de y un isomorfismo ^* isométrico que satisface las siguientes propiedades: ${\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle (X,\Omega ).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle \Psi :L^{\infty }(\pi )\to A}$

1. ${\displaystyle \langle \Psi (f)x,y\rangle =\int _{X}f\operatorname {d} \pi _{x,y}}$para todos y que justifica la notación ; ${\displaystyle x,y\in H}$ ${\displaystyle f\in L^{\infty }(\pi ),}$ ${\displaystyle \Psi (f)=\int _{X}f\operatorname {d} \pi }$
2. ${\displaystyle \|\Psi (f)x\|^{2}=\int _{X}|f|^{2}\operatorname {d} \pi _{x,x}}$para todos y ; ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle f\in L^{\infty }(\pi )}$
3. un operador conmuta con cada elemento de si y sólo si conmuta con cada elemento de ${\displaystyle R\in \mathbb {B} (H)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \pi }$ ${\displaystyle A=\operatorname {Im} \Psi .}$
4. si es una función simple igual a donde es una partición de y son números complejos, entonces (aquí está la función característica); ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\mathbb {1} _{\omega _{i}},}$ ${\displaystyle \omega _{1},\ldots \omega _{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \Psi (f)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\pi \left(\omega _{i}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {1} }$
5. si es el límite (en la norma de ) de una secuencia de funciones simples en entonces converge a en y ; ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\pi )}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$ ${\displaystyle L^{\infty }(\pi )}$ ${\displaystyle \left(\Psi \left(s_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \Psi (f)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle \|\Psi (f)\|=\|f\|^{\infty }}$
6. ${\displaystyle \left(\|f\|^{\infty }\right)^{2}=\sup _{\|h\|\leq 1}\int _{X}\operatorname {d} \pi _{h,h}}$para cada ${\displaystyle f\in L^{\infty }(\pi ).}$

Teorema espectral

El espacio ideal máximo de un álgebra de Banach es el conjunto de todos los homomorfismos complejos que denotaremos por. Para cada en la transformada de Gelfand, el mapa definido por tiene la topología más débil, lo que hace que cada sea continuo. Con esta topología, es un espacio de Hausdorff compacto y cada in pertenece al cual es el espacio de funciones continuas de valores complejos en El rango de es el espectro y el radio espectral es igual al cual es ^[4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \sigma _{A}.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G(T):\sigma _{A}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle G(T)(h):=h(T).}$ ${\displaystyle \sigma _{A}}$ ${\displaystyle G(T):\sigma _{A}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \sigma _{A}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle G(T)}$ ${\displaystyle C\left(\sigma _{A}\right),}$ ${\displaystyle \sigma _{A}.}$ ${\displaystyle G(T)}$ ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle \max \left\{|G(T)(h)|:h\in \sigma _{A}\right\},}$ ${\displaystyle \leq \|T\|.}$

Teorema ^[5]  -  Supongamos que es una subálgebra normal cerrada de que contiene el operador identidad y sea el espacio ideal máximo de Sean los subconjuntos de Borel de Para cada in, denotemos la transformada de Gelfand de, por lo que es un mapa inyectivo. Existe un único resolución de identidad que satisfaga: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{H}}$ ${\displaystyle \sigma =\sigma _{A}}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \sigma .}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle G(T):\sigma _{A}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G:A\to C\left(\sigma _{A}\right).}$ ${\displaystyle \pi :\Omega \to A}$

$${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\int _{\sigma _{A}}G(T)\operatorname {d} \pi _{x,y}\quad {\text{ for all }}x,y\in H{\text{ and all }}T\in A;}$$

la notación se utiliza para resumir esta situación. Sea la inversa de la transformada de Gelfand donde puede identificarse canónicamente como un subespacio de Sea el cierre (en la topología normal de ) del tramo lineal de Entonces lo siguiente es cierto: ${\displaystyle T=\int _{\sigma _{A}}G(T)\operatorname {d} \pi }$ ${\displaystyle I:\operatorname {Im} G\to A}$ ${\displaystyle G:A\to C\left(\sigma _{A}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} G}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\pi ).}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \pi .}$

1. ${\displaystyle B}$es una subálgebra cerrada de contener ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle A.}$
2. Existe un isomorfismo isométrico ^* (multiplicativo lineal) que se extiende tal que para todos ${\displaystyle \Phi :L^{\infty }(\pi )\to B}$ ${\displaystyle I:\operatorname {Im} G\to A}$ ${\displaystyle \Phi f=\int _{\sigma _{A}}f\operatorname {d} \pi }$ ${\displaystyle f\in L^{\infty }(\pi ).}$
   • Recuerde que la notación significa que para todos ; ${\displaystyle \Phi f=\int _{\sigma _{A}}f\operatorname {d} \pi }$ ${\displaystyle \langle (\Phi f)x,y\rangle =\int _{\sigma _{A}}f\operatorname {d} \pi _{x,y}}$ ${\displaystyle x,y\in H}$
   • Tenga en cuenta en particular que para todos ${\displaystyle T=\int _{\sigma _{A}}G(T)\operatorname {d} \pi =\Phi (G(T))}$ ${\displaystyle T\in A.}$
   • Explícitamente, satisface y para todos (por lo que si se valora realmente, entonces es autoadjunto). ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi \left({\overline {f}}\right)=(\Phi f)^{*}}$ ${\displaystyle \|\Phi f\|=\|f\|^{\infty }}$ ${\displaystyle f\in L^{\infty }(\pi )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Phi (f)}$
3. Si está abierto y no vacío (lo que implica que ), entonces ${\displaystyle \omega \subseteq \sigma _{A}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle \pi (\omega )\neq 0.}$
4. Un operador lineal acotado conmuta con cada elemento de si y sólo si conmuta con cada elemento de ${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \pi .}$

El resultado anterior se puede especializar en un único operador acotado normal.

Ver también

• Medida de valor de proyección  : medida de valor de operador matemático de interés en mecánica cuántica y análisis funcional
• Teoría espectral de operadores compactos.
• Teorema espectral  : resultado sobre cuándo se puede diagonalizar una matriz

Referencias

1. Rudin, Walter (1991). Análisis funcional (2ª ed.). Nueva York: McGraw Hill. págs. 292-293. ISBN 0-07-100944-2.
2. Rudin 1991, págs. 316–318.
3. Rudin 1991, págs. 318–321.
4. Rudin 1991, pag. 280.
5. Rudin 1991, págs. 321–325.

• Robertson, AP (1973). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Inglaterra: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC  589250.
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 53. Cambridge Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.