Derivado

Tasa de cambio instantánea (matemáticas)

La derivada es una herramienta fundamental del cálculo que cuantifica la sensibilidad de cambio de la salida de una función con respecto a su entrada. La derivada de una función de una sola variable en un valor de entrada elegido, cuando existe, es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. La recta tangente es la mejor aproximación lineal de la función cerca de ese valor de entrada. Por esta razón, la derivada a menudo se describe como la tasa de cambio instantánea , la relación entre el cambio instantáneo de la variable dependiente y el de la variable independiente. ^[1] El proceso de encontrar una derivada se llama diferenciación .

Existen múltiples notaciones diferentes para la diferenciación, dos de las más utilizadas son la notación de Leibniz y la notación prima. La notación de Leibniz, que lleva el nombre de Gottfried Wilhelm Leibniz , se representa como la relación de dos diferenciales , mientras que la notación prima se escribe añadiendo una marca prima . Las notaciones de orden superior representan diferenciaciones repetidas y generalmente se denotan en la notación de Leibniz agregando superíndices a los diferenciales, y en la notación prima agregando marcas primos adicionales. Las derivadas de orden superior se pueden aplicar en física; por ejemplo, mientras que la primera derivada de la posición de un objeto en movimiento con respecto al tiempo es la velocidad del objeto , cómo cambia la posición a medida que avanza el tiempo, la segunda derivada es la aceleración del objeto , cómo cambia la velocidad a medida que avanza el tiempo.

Las derivadas se pueden generalizar a funciones de varias variables reales . En esta generalización, la derivada se reinterpreta como una transformación lineal cuya gráfica es (después de una traducción apropiada) la mejor aproximación lineal a la gráfica de la función original. La matriz jacobiana es la matriz que representa esta transformación lineal con respecto a la base dada por la elección de variables independientes y dependientes. Se puede calcular en términos de las derivadas parciales con respecto a las variables independientes. Para una función de valor real de varias variables, la matriz jacobiana se reduce al vector gradiente .

Definición

como limite

Una función de una variable real es derivable en un punto de su dominio , si su dominio contiene un intervalo abierto que contiene , y el límite ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$$

^[2]número real ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle |h|<\delta }$ ${\displaystyle h\neq 0}$ ${\displaystyle f(a+h)}$

$${\displaystyle \left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon ,}$$

valor absolutodefinición (ε, δ) de límite^[3]

Si la función es diferenciable en , es decir, si el límite existe, entonces este límite se llama derivada de en . Existen múltiples notaciones para la derivada. ^[4] La derivada de at puede denotarse y leerse como " primo de "; o puede denotarse , leerse como "la derivada de con respecto a en " o " por (o sobre) en ". Consulte § Notación a continuación. Si es una función que tiene una derivada en cada punto de su dominio , entonces se puede definir una función asignando cada punto al valor de la derivada de at . Esta función se escribe y se llama función derivada o derivada de . La función a veces tiene una derivada en la mayoría de los puntos de su dominio, pero no en todos. La función cuyo valor en es igual siempre está definido y en otros lugares no está definido también se llama derivada de . Sigue siendo una función, pero su dominio puede ser menor que el dominio de . ^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Por ejemplo, sea la función elevar al cuadrado: . Entonces el cociente en la definición de la derivada es ^[6] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=2a+h.}$$

${\displaystyle h\neq 0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle f'(x)=2x}$

La razón en la definición de derivada es la pendiente de la recta que pasa por dos puntos en la gráfica de la función , específicamente los puntos y . A medida que se hace más pequeño, estos puntos se acercan y la pendiente de esta recta se acerca al valor límite, la pendiente de la tangente a la gráfica de at . En otras palabras, la derivada es la pendiente de la tangente. ^[7] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,f(a))}$ ${\displaystyle (a+h,f(a+h))}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

Usando infinitesimales

Una forma de pensar en la derivada es como la relación entre un cambio infinitesimal en la salida de la función y un cambio infinitesimal en su entrada. ^[8] Para que esta intuición sea rigurosa, se requiere un sistema de reglas para manipular cantidades infinitesimales. ^[9] El sistema de números hiperreales es una forma de tratar cantidades infinitas e infinitesimales. Los hiperreales son una extensión de los números reales que contienen números mayores que cualquier cosa de la forma para cualquier número finito de términos. Estos números son infinitos y sus recíprocos son infinitesimales. La aplicación de números hiperreales a los fundamentos del cálculo se denomina análisis no estándar . Esto proporciona una manera de definir los conceptos básicos del cálculo, como la derivada y la integral, en términos de infinitesimales, dando así un significado preciso a la notación de Leibniz. Por lo tanto, la derivada de se convierte en ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1+1+\cdots +1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$$

función parcial estándar^[10] ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle \operatorname {st} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)\\&=2x.\end{aligned}}}$$

Continuidad y diferenciabilidad

Si es diferenciable en , entonces también debe ser continuo en . ^[11] Como ejemplo, elija un punto y sea la función de paso que devuelve el valor 1 para todo menor que y devuelve un valor diferente 10 para todo mayor o igual a . La función no puede tener derivada en . Si es negativo, entonces está en la parte baja del escalón, por lo que la recta secante de a es muy empinada; cuando tiende a cero, la pendiente tiende a infinito. Si es positivo, entonces está en la parte alta del escalón, por lo que la recta secante de a tiene pendiente cero. En consecuencia, las rectas secantes no se aproximan a ninguna pendiente, por lo que el límite del cociente de diferencias no existe. Sin embargo, incluso si una función es continua en un punto, es posible que no sea diferenciable allí. Por ejemplo, la función de valor absoluto dada por es continua en , pero no es diferenciable allí. Si es positiva, entonces la pendiente de la recta secante de 0 a es uno; si es negativa, entonces la pendiente de la recta secante desde a es . ^[12] Esto se puede ver gráficamente como una "torcedura" o una "cúspide" en el gráfico de . Incluso una función con una gráfica suave no es diferenciable en un punto donde su tangente es vertical : por ejemplo, la función dada por no es diferenciable en . En resumen, una función que tiene derivada es continua, pero hay funciones continuas que no tienen derivada. ^[11] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a+h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a+h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a+h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a+h}$ ${\displaystyle f(x)=|x|}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x)=x^{1/3}}$ ${\displaystyle x=0}$

La mayoría de las funciones que ocurren en la práctica tienen derivadas en todos los puntos o en casi todos los puntos. Al principio de la historia del cálculo , muchos matemáticos asumieron que una función continua era diferenciable en la mayoría de los puntos. ^[13] En condiciones leves (por ejemplo, si la función es monótona o una función de Lipschitz ), esto es cierto. Sin embargo, en 1872, Weierstrass encontró el primer ejemplo de una función que es continua en todas partes pero diferenciable en ninguna. Este ejemplo ahora se conoce como función de Weierstrass . ^[14] En 1931, Stefan Banach demostró que el conjunto de funciones que tienen una derivada en algún punto es un conjunto exiguo en el espacio de todas las funciones continuas. Informalmente, esto significa que casi ninguna función continua aleatoria tiene una derivada incluso en un punto. ^[15]

Notación

Un símbolo común para la derivada de una función es la notación de Leibniz . Se escriben como el cociente de dos diferenciales y , ^[16] que fueron introducidos por Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675. ^[17] Todavía se usa comúnmente cuando la ecuación se ve como una relación funcional entre variables dependientes e independientes . La primera derivada se denota por , que se lee como "la derivada de con respecto a ". ^[18] Esta derivada también puede tratarse como la aplicación de un operador diferencial a una función. Las derivadas superiores se expresan utilizando la notación para la derivada -ésima de . Éstas son abreviaturas de múltiples aplicaciones del operador de derivados; por ejemplo, ^[19] A diferencia de algunas alternativas, la notación de Leibniz implica la especificación explícita de la variable para la diferenciación, en el denominador, lo que elimina la ambigüedad cuando se trabaja con múltiples cantidades interrelacionadas. La derivada de una función compuesta se puede expresar usando la regla de la cadena : si y entonces ^[20] ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}f(x).}$ ${\textstyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\textstyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}{\frac {d}{dx}}f(x){\Bigr )}.}$ ${\displaystyle u=g(x)}$ ${\displaystyle y=f(g(x))}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

Otra notación común para la diferenciación es utilizar la marca prima en el símbolo de una función . Esto se conoce como notación prima , debido a Joseph-Louis Lagrange . ^[21] La primera derivada se escribe como " primo de ", o se lee como " primo". ^[22] De manera similar, la segunda y tercera derivadas se pueden escribir como y , respectivamente. ^[23] Para denotar el número de derivadas superiores más allá de este punto, algunos autores utilizan números romanos en superíndice , mientras que otros colocan el número entre paréntesis, como o ^[24] Esta última notación se generaliza para producir la notación para la -ésima derivada de . ^[19] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle f'''}$ ${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }}$ ${\displaystyle f^{(4)}.}$ ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

En la notación de Newton o notación de puntos, se coloca un punto sobre un símbolo para representar una derivada del tiempo. Si es función de , entonces la primera y segunda derivada se pueden escribir como y , respectivamente. Esta notación se utiliza exclusivamente para derivadas con respecto al tiempo o la longitud del arco . Se utiliza normalmente en ecuaciones diferenciales en física y geometría diferencial . ^[25] Sin embargo, la notación de puntos se vuelve inmanejable para derivadas de alto orden (de orden 4 o más) y no puede tratar con múltiples variables independientes. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\dot {y}}}$ ${\displaystyle {\ddot {y}}}$

Otra notación es la notación D , que representa el operador diferencial mediante el símbolo ^[19] La primera derivada se escribe y las derivadas superiores se escriben con un superíndice, por lo que la derivada -ésima es . Esta notación a veces se llama notación de Euler , aunque parece que Leonhard Euler no la utilizó y la notación fue introducida por Louis François Antoine Arbogast . ^[26] Para indicar una derivada parcial, la variable diferenciada por se indica con un subíndice, por ejemplo, dada la función, se puede escribir su derivada parcial con respecto a o Las derivadas parciales superiores se pueden indicar mediante superíndices o subíndices múltiples, por ejemplo, y . ^[27] ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle Df(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D^{n}f(x).}$ ${\displaystyle u=f(x,y),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D_{x}u}$ ${\displaystyle D_{x}f(x,y).}$ ${\textstyle D_{xy}f(x,y)={\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y){\Bigr )}}$ ${\textstyle D_{x}^{2}f(x,y)={\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y){\Bigr )}}$

Reglas de cálculo

En principio, la derivada de una función se puede calcular a partir de la definición considerando el cociente de diferencias y calculando su límite. Una vez que se conocen las derivadas de algunas funciones simples, las derivadas de otras funciones se calculan más fácilmente usando reglas para obtener derivadas de funciones más complicadas a partir de otras más simples. Este proceso de encontrar una derivada se conoce como diferenciación . ^[28]

Reglas para funciones básicas.

Las siguientes son las reglas para las derivadas de las funciones básicas más comunes. Aquí, es un número real y la constante matemática es aproximadamente 2,71828 . ^[29] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$

• Derivadas de potencias :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}}$

• Funciones de logaritmo exponencial , natural y logaritmo de base general :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a)}$, para ${\displaystyle a>0}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}$, para ${\displaystyle x>0}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}$, para ${\displaystyle x,a>0}$

• Funciones trigonométricas :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)}$

• Funciones trigonométricas inversas :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$, para ${\displaystyle -1<x<1}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$, para ${\displaystyle -1<x<1}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Reglas para funciones combinadas.

Dado que y son las funciones. Las siguientes son algunas de las reglas más básicas para deducir la derivada de funciones a partir de derivadas de funciones básicas. ^[30] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

• Regla constante : si es constante, entonces para todos , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

  ${\displaystyle f'(x)=0.}$

• Regla de la suma :

  ${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'}$para todas las funciones y y todos los números reales y . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

• Regla del producto :

  ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$para todas las funciones y . Como caso especial, esta regla incluye el hecho de que siempre es una constante porque por la regla constante. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha 'f=0\cdot f=0}$

• Regla del cociente :

  ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ para todas las funciones y en todas las entradas donde g ≠ 0 . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

• Regla de la cadena para funciones compuestas : si, entonces ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$

  ${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).}$

Ejemplo de cálculo

La derivada de la función dada por es ${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin \left(x^{2}\right)-\ln(x)e^{x}+7}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$$

regla de la cadenaregla del producto ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{4}}$ ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle 7}$

Derivadas de orden superior

Derivadas de orden superior significa que una función se deriva repetidamente. Dado que es una función diferenciable, la derivada de es la primera derivada, denotada como . La derivada de es la segunda derivada , denotada como , y la derivada de es la tercera derivada , denotada como . Al continuar este proceso, si existe, la -ésima derivada como derivada de la -ésima derivada o la derivada de orden . Como se ha comentado anteriormente, la generalización de la derivada de una función puede denotarse como . ^[31] Una función que tiene derivadas sucesivas se llama multiplicable por tiempos . Si la -ésima derivada es continua, entonces se dice que la función es de clase de diferenciabilidad . ^[32] Una función que tiene infinitas derivadas se llama infinitamente diferenciable o suave . ^[33] Un ejemplo de función infinitamente diferenciable es el polinomio ; diferenciar esta función repetidamente da como resultado la función constante y las derivadas infinitamente posteriores de esa función son todas cero. ^[34] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle f'''}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}}$

En una de sus aplicaciones , las derivadas de orden superior pueden tener interpretaciones específicas en física . Supongamos que una función representa la posición de un objeto en ese momento. La primera derivada de esa función es la velocidad de un objeto con respecto al tiempo, la segunda derivada de la función es la aceleración de un objeto con respecto al tiempo, ^[28] y la tercera derivada es el tirón . ^[35]

En otras dimensiones

Funciones con valores vectoriales

Una función con valor vectorial de una variable real envía números reales a vectores en algún espacio vectorial . Una función con valores vectoriales se puede dividir en sus funciones de coordenadas , lo que significa que . Esto incluye, por ejemplo, curvas paramétricas en o . Las funciones de coordenadas son funciones de valores reales, por lo que se les aplica la definición anterior de derivada. La derivada de se define como el vector , llamado vector tangente , cuyas coordenadas son las derivadas de las funciones coordenadas. Es decir, ^[36] ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$

$${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}$$

^[36] ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$

Derivadas parciales

Las funciones pueden depender de más de una variable . Una derivada parcial de una función de varias variables es su derivada con respecto a una de esas variables, manteniendo las demás constantes. Las derivadas parciales se utilizan en cálculo vectorial y geometría diferencial . Al igual que con las derivadas ordinarias, existen múltiples notaciones: la derivada parcial de una función con respecto a la variable se denota de diversas formas por ${\displaystyle f(x,y,\dots )}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f_{x}}$, , , , o , ${\displaystyle f'_{x}}$ ${\displaystyle \partial _{x}f}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

entre otras posibilidades. ^[37] Puede considerarse como la tasa de cambio de la función en la dirección -. ^[38] Aquí ∂ es una d redondeada llamada símbolo de derivada parcial . Para distinguirla de la letra d , ∂ a veces se pronuncia "der", "del" o "parcial" en lugar de "dee". ^[39] Por ejemplo, sean , entonces la derivada parcial de la función con respecto a ambas variables y son, respectivamente: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+y,\qquad {\frac {\partial f}{\partial y}}=x+2y.}$$

^[40] ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.}$$

Esto es fundamental para el estudio de las funciones de varias variables reales . Sea una función de valor real . Si todas las derivadas parciales con respecto a están definidas en el punto , estas derivadas parciales definen el vector ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$

$${\displaystyle \nabla f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})\right),}$$

gradientefunción vectorialcampo vectorial^[41] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \nabla f(a_{1},\dots ,a_{n})}$

Derivadas direccionales

Si es una función de valor real en , entonces las derivadas parciales de miden su variación en la dirección de los ejes de coordenadas. Por ejemplo, si es función de y , entonces sus derivadas parciales miden la variación en la dirección y . Sin embargo, no miden directamente la variación de en ninguna otra dirección, como a lo largo de la línea diagonal . Estos se miden utilizando derivadas direccionales. Elija un vector , entonces la derivada direccional de en la dirección de en el punto es: ^[42] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

$${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$$

Si todas las derivadas parciales de existen y son continuas en , entonces determinan la derivada direccional de en la dirección mediante la fórmula: ^[43] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}$$

Derivada total, diferencial total y matriz jacobiana

Cuando es una función de un subconjunto abierto de a , entonces la derivada direccional de en una dirección elegida es la mejor aproximación lineal a en ese punto y en esa dirección. Sin embargo, cuando , ninguna derivada direccional única puede dar una imagen completa del comportamiento de . La derivada total ofrece una imagen completa al considerar todas las direcciones a la vez. Es decir, para cualquier vector que comience en , la fórmula de aproximación lineal es válida: ^[44] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

$${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .}$$

^[44] ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

$${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-(f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} )\rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0.}$$

^[44]empuje hacia adelante^[45] ${\displaystyle \mathbf {h} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle f}$

Si la derivada total existe en , entonces todas las derivadas parciales y direccionales de existen en , y para todas , es la derivada direccional de en la dirección . Si se escribe usando funciones de coordenadas, de modo que , entonces la derivada total se puede expresar usando las derivadas parciales como matriz . Esta matriz se llama matriz jacobiana de en : ^[46] ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\dots ,f_{m})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

$${\displaystyle f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.}$$

Generalizaciones

El concepto de derivada puede extenderse a muchos otros entornos. El hilo común es que la derivada de una función en un punto sirve como una aproximación lineal de la función en ese punto.

• Una generalización importante de la derivada se refiere a funciones complejas de variables complejas , como funciones de (un dominio en) los números complejos a . La noción de derivada de dicha función se obtiene reemplazando variables reales con variables complejas en la definición. ^[47] Si se identifica con escribiendo un número complejo como , entonces una función diferenciable de a ciertamente es diferenciable como una función de a (en el sentido de que todas sus derivadas parciales existen), pero lo contrario no es cierto en general: el La derivada compleja solo existe si la derivada real es lineal compleja y esto impone relaciones entre las derivadas parciales llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann ; consulte funciones holomorfas . ^[48] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x+iy}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• Otra generalización se refiere a funciones entre variedades diferenciables o suaves . Intuitivamente hablando, tal variedad es un espacio que puede aproximarse cerca de cada punto mediante un espacio vectorial llamado espacio tangente : el ejemplo prototípico es una superficie lisa en . La derivada (o diferencial) de una aplicación (diferenciable) entre variedades, en un punto en , es entonces una aplicación lineal desde el espacio tangente de en al espacio tangente de en . La función derivada se convierte en una aplicación entre los paquetes tangentes de y . Esta definición se utiliza en geometría diferencial . ^[49] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$
• La diferenciación también se puede definir para mapas entre espacios vectoriales , como el espacio de Banach , en el que esas generalizaciones son la derivada de Gateaux y la derivada de Fréchet . ^[50]
• Una deficiencia de la derivada clásica es que muchas funciones no son diferenciables. Sin embargo, existe una manera de ampliar la noción de derivada de modo que todas las funciones continuas y muchas otras funciones puedan diferenciarse utilizando un concepto conocido como derivada débil . La idea es incrustar las funciones continuas en un espacio más grande llamado espacio de distribuciones y solo requiere que una función sea diferenciable "en promedio". ^[51]
• Las propiedades de la derivada han inspirado la introducción y el estudio de muchos objetos similares en álgebra y topología; un ejemplo es el álgebra diferencial . Aquí, consiste en la derivación de algunos temas del álgebra abstracta, como anillos , ideales , campos , etc. ^[52]
• El equivalente discreto de la diferenciación son las diferencias finitas . El estudio del cálculo diferencial se unifica con el cálculo de diferencias finitas en el cálculo de escala de tiempo . ^[53]
• La derivada aritmética implica la función que se define para los números enteros mediante la factorización prima . Esta es una analogía con la regla del producto. ^[54]

Ver también

• Integral

Notas

1. Stewart 2002, pag. 129-130.
2. Stewart 2002, pag. 127; Strang et al. 2023, pág. 220.
3. Gonick 2012, pag. 83.
4. Gonick 2012, pag. 88; Strang et al. 2023, pág. 234.
5. Gonick 2012, pag. 83; Strang et al. 2023, pág. 232.
6. Gonick 2012, págs. 77–80.
7. Thompson 1998, págs.34, 104; Stewart 2002, pág. 128.
8. Thompson 1998, págs. 84–85.
9. Keisler 2012, págs. 902–904.
10. Keisler 2012, pag. 45; Henle y Kleinberg 2003, pág. 66.
11. Gonick 2012, pag. 156.
12. Gonick 2012, pag. 149.
13. Jašek 1922; Jarník 1922; Rychlík 1923.
14. David 2018.
15. Banach 1931, citado en Hewitt y Stromberg 1965.
16. Apóstol 1967, pag. 172.
17. Cajori 2007, pag. 204.
18. Moore y Siegel 2013, pág. 110.
19. Varberg, Purcell y Rigdon 2007, pág. 125–126.
20. En la formulación del cálculo en términos de límites, diversos autores han asignado al símbolo diversos significados. Algunos autores como Varberg, Purcell & Rigdon 2007, p. 119 y Stewart 2002, pág. 177 no asigna un significado por sí mismo, sino sólo como parte del símbolo . Otros la definen como una variable independiente y la definen por ${\displaystyle du}$ ${\displaystyle du}$ ${\textstyle {\frac {du}{dx}}}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle du}$
    $${\displaystyle du=dxf'(x).}$$
    En análisis no estándar se define como infinitesimal. También se interpreta como la derivada exterior de una función . Consulte diferencial (infinitesimal) para obtener más información. ${\displaystyle du}$ ${\displaystyle u}$
21. Schwartzman 1994, pág. 171.
22. Moore y Siegel 2013, pág. 110; Goodman 1963, pág. 78–79.
23. Varberg, Purcell y Rigdon 2007, pág. 125–126; Cajori 2007, pág. 228.
24. Choudary y Niculescu 2014, pag. 222; Apóstol 1967, p. 171.
25. Evans 1999, pág. 63; Kreyszig 1991, pág. 1.
26. Cajori 1923.
27. Apóstol 1967, pag. 172; Varberg, Purcell y Rigdon 2007, pág. 125–126.
28. Apóstol 1967, pag. 160.
29. Varberg, Purcell y Rigdon 2007. Véase pág. 133 para la regla de la potencia, pág. 115-116 para las funciones trigonométricas, pág. 326 para el logaritmo natural, pág. 338–339 para exponencial con base , pág. 343 para el exponencial con base , p. 344 para el logaritmo con base , y p. 369 para la inversa de funciones trigonométricas. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$
30. Para conocer la regla constante y la regla de la suma, consulte Apostol 1967, p. 161, 164, respectivamente. Para conocer la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la cadena, consulte Varberg, Purcell y Rigdon 2007, p. 111–112, 119, respectivamente. Para el caso especial de la regla del producto, es decir, el producto de una constante y una función, consulte Varberg, Purcell & Rigdon 2007, p. 108–109.
31. Apóstol 1967, pag. 160; Varberg, Purcell y Rigdon 2007, pág. 125–126.
32. Warner 1983, pag. 5.
33. Debnath y Shah 2015, pág. 40.
34. Carothers 2000, pag. 176.
35. Stewart 2002, pag. 193.
36. Stewart 2002, pág. 893.
37. Stewart 2002, pag. 947; Cristóbal 2013, pág. 682.
38. Stewart 2002, pag. 949.
39. Silverman 1989, pag. 216; Bhardwaj 2005, ver pág. 6.4.
40. Mathai y Haubold 2017, pag. 52.
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42. Varberg, Purcell y Rigdon 2007, pág. 642.
43. Guzmán 2003, pag. 35.
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49. Gray, Abbena y Salamon 2006, pág. 826.
50. Azegami 2020. Ver pág. 209 para el derivado Gateaux, y p. 211 para el derivado de Fréchet.
51. Funaro 1992, pag. 84–85.
52. Kolchin 1973, pag. 58, 126.
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Referencias

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enlaces externos

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• Academia Khan : "Newton, Leibniz y Usain Bolt"
• Weisstein, Eric W. "Derivado". MundoMatemático .
• Calculadora de derivadas en línea de Wolfram Alpha .