Campo vectorial

Asignación de un vector a cada punto de un subconjunto del espacio euclidiano

Una porción del campo vectorial (sin  y , sin  x )

En cálculo vectorial y física , un campo vectorial es una asignación de un vector a cada punto en un espacio , más comúnmente el espacio euclidiano . ^[1] Un campo vectorial en un plano se puede visualizar como una colección de flechas con magnitudes y direcciones dadas, cada una de ellas unida a un punto en el plano. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y dirección de un fluido en movimiento a lo largo del espacio tridimensional , como el viento , o la fuerza y ​​dirección de alguna fuerza , como la fuerza magnética o gravitacional , a medida que cambia de un punto a otro punto. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Los elementos del cálculo diferencial e integral se extienden naturalmente a los campos vectoriales. Cuando un campo vectorial representa fuerza , la integral de línea de un campo vectorial representa el trabajo realizado por una fuerza que se mueve a lo largo de una trayectoria, y bajo esta interpretación la conservación de la energía se exhibe como un caso especial del teorema fundamental del cálculo . Es útil pensar que los campos vectoriales representan la velocidad de un flujo en movimiento en el espacio, y esta intuición física conduce a nociones como la divergencia (que representa la tasa de cambio de volumen de un flujo) y la curvatura (que representa la rotación de un flujo).

Un campo vectorial es un caso especial de una función con valores vectoriales , cuya dimensión de dominio no tiene relación con la dimensión de su rango; por ejemplo, el vector de posición de una curva espacial se define sólo para un subconjunto más pequeño del espacio ambiental. Asimismo, n coordenadas , un campo vectorial en un dominio en un espacio euclidiano de n dimensiones , se puede representar como una función con valores vectoriales que asocia una n -tupla de números reales a cada punto del dominio. Esta representación de un campo vectorial depende del sistema de coordenadas, y existe una ley de transformación bien definida ( covarianza y contravarianza de vectores ) al pasar de un sistema de coordenadas a otro. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Los campos vectoriales a menudo se analizan en subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, pero también tienen sentido en otros subconjuntos como las superficies , donde asocian una flecha tangente a la superficie en cada punto (un vector tangente ). De manera más general, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables , que son espacios que parecen espacio euclidiano en escalas pequeñas, pero que pueden tener una estructura más complicada en escalas mayores. En esta configuración, un campo vectorial proporciona un vector tangente en cada punto de la variedad (es decir, una sección del paquete tangente a la variedad). Los campos vectoriales son un tipo de campo tensorial .

Definición

Campos vectoriales en subconjuntos del espacio euclidiano

Dos representaciones del mismo campo vectorial: v ( x , y ) = − r . Las flechas representan el campo en puntos discretos; sin embargo, el campo existe en todas partes.

Dado un subconjunto S de R ⁿ , un campo vectorial está representado por una función vectorial V : S → R ⁿ en coordenadas cartesianas estándar ( x ₁ ,…, x _n ) . Si cada componente de V es continua, entonces V es un campo vectorial continuo. Es común centrarse en campos vectoriales suaves , lo que significa que cada componente es una función suave (diferenciable cualquier número de veces). Se puede visualizar un campo vectorial como la asignación de un vector a puntos individuales dentro de un espacio de n dimensiones. ^[1]

Una notación estándar es escribir los vectores unitarios en las direcciones de las coordenadas. En estos términos, cada campo vectorial suave en un subconjunto abierto de puede escribirse como ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathbf {R} }^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}V_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$

para algunas funciones fluidas en . ^[2] La razón de esta notación es que un campo vectorial determina una aplicación lineal desde el espacio de funciones suaves hacia sí mismo, dada al diferenciar en la dirección del campo vectorial. ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V\colon C^{\infty }(S)\to C^{\infty }(S)}$

Ejemplo : el campo vectorial describe una rotación en sentido antihorario alrededor del origen en . Para demostrar que la función es rotacionalmente invariante, calcule: ${\displaystyle -x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}$

${\displaystyle {\bigg (}-x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\bigg )}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=-x_{2}(2x_{1})+x_{1}(2x_{2})=0.}$

Dados los campos vectoriales V , W definidos en S y una función suave f definida en S , las operaciones de multiplicación escalar y suma de vectores,

$${\displaystyle (fV)(p):=f(p)V(p)}$$

$${\displaystyle (V+W)(p):=V(p)+W(p),}$$

móduloanillo

Ley de transformación de coordenadas.

En física, un vector se distingue además por cómo cambian sus coordenadas cuando se mide el mismo vector con respecto a un sistema de coordenadas de fondo diferente. Las propiedades de transformación de los vectores distinguen un vector como una entidad geométricamente distinta de una simple lista de escalares o de un covector .

Por tanto, supongamos que ( x ₁ , ..., x _n ) es una elección de coordenadas cartesianas, en términos de las cuales las componentes del vector V son

$${\displaystyle V_{x}=(V_{1,x},\dots ,V_{n,x})}$$

y ₁y _nnx _iV

Esta ley de transformación se llama contravariante . Una ley de transformación similar caracteriza los campos vectoriales en física: específicamente, un campo vectorial es una especificación de n funciones en cada sistema de coordenadas sujetas a la ley de transformación ( 1 ) que relaciona los diferentes sistemas de coordenadas.

Los campos vectoriales se contrastan así con los campos escalares , que asocian un número o escalar a cada punto en el espacio, y también se contrastan con listas simples de campos escalares, que no se transforman bajo cambios de coordenadas.

Campos vectoriales en colectores

Un campo vectorial en una esfera .

Dada una variedad diferenciable , un campo vectorial en es una asignación de un vector tangente a cada punto en . ^[2] Más precisamente, un campo vectorial es un mapeo desde dentro del paquete tangente , por lo que es el mapeo de identidad donde denota la proyección desde hasta . En otras palabras, un campo vectorial es una sección del paquete tangente . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle p\circ F}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

Una definición alternativa: un campo vectorial suave en una variedad es un mapa lineal tal que es una derivación : para todos . ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X(fg)=fX(g)+X(f)g}$ ${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M)}$

Si la variedad es suave o analítica , es decir, el cambio de coordenadas es suave (analítico), entonces se puede entender la noción de campos vectoriales suaves (analíticos). La colección de todos los campos vectoriales suaves en una variedad suave a menudo se denota por o (especialmente cuando se piensa en campos vectoriales como secciones ); la colección de todos los campos vectoriales suaves también se indica con (una fractura "X"). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M,TM)}$ ${\textstyle {\mathfrak {X}}(M)}$

Ejemplos

El campo de flujo alrededor de un avión es un campo vectorial en R ³ , aquí visualizado por burbujas que siguen las líneas de corriente que muestran un vórtice en la punta de un ala .

Los campos vectoriales se utilizan comúnmente para crear patrones en gráficos por computadora . Aquí: composición abstracta de curvas siguiendo un campo vectorial generado con ruido OpenSimplex .

• Un campo vectorial para el movimiento del aire en la Tierra asociará para cada punto de la superficie de la Tierra un vector con la velocidad y dirección del viento para ese punto. Esto se puede dibujar usando flechas para representar el viento; la longitud ( magnitud ) de la flecha será una indicación de la velocidad del viento. Un "alto" en el mapa de presión barométrica habitual actuaría entonces como una fuente (flechas apuntando hacia afuera), y un "bajo" sería un sumidero (flechas apuntando hacia), ya que el aire tiende a moverse de áreas de alta presión a áreas de baja presión. .
• Campo de velocidades de un fluido en movimiento . En este caso, a cada punto del fluido se le asocia un vector de velocidad .
• Las líneas de corriente, las líneas de raya y las líneas de trayectoria son 3 tipos de líneas que se pueden crear a partir de campos vectoriales (dependientes del tiempo). Ellos son:
  • líneas de raya: la línea producida por partículas que pasan a través de un punto fijo específico durante varios tiempos
  • Líneas de trayectoria: que muestran el camino que seguiría una partícula determinada (de masa cero).
  • líneas de corriente (o líneas de campo): la trayectoria de una partícula influenciada por el campo instantáneo (es decir, la trayectoria de una partícula si el campo se mantiene fijo).
• Campos magnéticos . Las líneas de campo se pueden revelar utilizando pequeñas limaduras de hierro .
• Las ecuaciones de Maxwell nos permiten utilizar un conjunto dado de condiciones iniciales y de contorno para deducir, para cada punto del espacio euclidiano , una magnitud y dirección de la fuerza experimentada por una partícula de prueba cargada en ese punto; el campo vectorial resultante es el campo electromagnético .
• Un campo gravitacional generado por cualquier objeto masivo también es un campo vectorial. Por ejemplo, todos los vectores del campo gravitacional para un cuerpo esféricamente simétrico apuntarían hacia el centro de la esfera y la magnitud de los vectores se reduciría a medida que aumenta la distancia radial desde el cuerpo.

Campo degradado en espacios euclidianos.

Un campo vectorial que tiene circulación alrededor de un punto no puede escribirse como el gradiente de una función.

Los campos vectoriales se pueden construir a partir de campos escalares usando el operador de gradiente (indicado por del : ∇). ^[4]

Un campo vectorial V definido en un conjunto abierto S se llama campo gradiente o campo conservador si existe una función de valor real (un campo escalar) f en S tal que

$${\displaystyle V=\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).}$$

El flujo asociado se llamaflujo de gradiente , y se utiliza en el método dedescenso de gradiente.

La integral de trayectoria a lo largo de cualquier curva cerrada γ ( γ (0) = γ (1)) en un campo conservador es cero:

$${\displaystyle \oint _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\oint _{\gamma }\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =f(\gamma (1))-f(\gamma (0)).}$$

Campo central en espacios euclidianos

Un campo vectorial C ^{∞ sobre} R ⁿ \ {0} se llama campo central si

$${\displaystyle V(T(p))=T(V(p))\qquad (T\in \mathrm {O} (n,\mathbb {R} ))}$$

O( n , R )grupo ortogonalinvariantestransformaciones ortogonales

El punto 0 se llama centro del campo.

Dado que las transformaciones ortogonales son en realidad rotaciones y reflexiones, las condiciones de invariancia significan que los vectores de un campo central siempre están dirigidos hacia 0 o alejándose de él; esta es una definición alternativa (y más simple). Un campo central es siempre un campo gradiente, ya que definirlo en un semieje e integrarlo da un antigradiente.

Operaciones en campos vectoriales

Integral de línea

Una técnica común en física es integrar un campo vectorial a lo largo de una curva , también llamada determinación de su integral de línea . Intuitivamente, esto es sumar todos los componentes del vector en línea con las tangentes a la curva, expresados ​​como sus productos escalares. Por ejemplo, dada una partícula en un campo de fuerza (por ejemplo, gravitación), donde cada vector en algún punto del espacio representa la fuerza que actúa allí sobre la partícula, la integral de línea a lo largo de una determinada trayectoria es el trabajo realizado sobre la partícula cuando viaja. por este camino. Intuitivamente, es la suma de los productos escalares del vector fuerza y ​​el vector tangente pequeño en cada punto de la curva.

La integral de línea se construye de manera análoga a la integral de Riemann y existe si la curva es rectificable (tiene una longitud finita) y el campo vectorial es continuo.

Dado un campo vectorial V y una curva γ , parametrizada por t en [ a , b ] (donde a y b son números reales ), la integral de línea se define como

$${\displaystyle \int _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{a}^{b}V(\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t.}$$

Para mostrar la topología del campo vectorial se puede utilizar la convolución integral de línea .

Divergencia

La divergencia de un campo vectorial en el espacio euclidiano es una función (o campo escalar). En tres dimensiones, la divergencia se define por

$${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}},}$$

con la obvia generalización a dimensiones arbitrarias. La divergencia en un punto representa el grado en que un pequeño volumen alrededor del punto es una fuente o un sumidero para el flujo vectorial, un resultado que se precisa mediante el teorema de la divergencia .

La divergencia también se puede definir sobre una variedad de Riemann , es decir, una variedad con una métrica de Riemann que mide la longitud de los vectores.

Rizo en tres dimensiones

El curl es una operación que toma un campo vectorial y produce otro campo vectorial. El rizo se define sólo en tres dimensiones, pero algunas propiedades del rizo se pueden capturar en dimensiones superiores con la derivada exterior . En tres dimensiones, está definido por

$${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}-\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}.}$$

El rizo mide la densidad del momento angular del flujo vectorial en un punto, es decir, la cantidad en la que el flujo circula alrededor de un eje fijo. Esta descripción intuitiva se precisa mediante el teorema de Stokes .

Índice de un campo vectorial

El índice de un campo vectorial es un número entero que ayuda a describir su comportamiento alrededor de un cero aislado (es decir, una singularidad aislada del campo). En el plano, el índice toma el valor −1 en una singularidad de silla pero +1 en una singularidad de fuente o sumidero.

Sea n la dimensión de la variedad en la que se define el campo vectorial. Tome una superficie cerrada (homeomorfa a la (n-1)-esfera) S alrededor del cero, de modo que no haya otros ceros en el interior de S. Se  puede construir un mapa desde esta esfera a una esfera unitaria de dimensión n − 1. dividiendo cada vector en esta esfera por su longitud para formar un vector de longitud unitaria, que es un punto en la esfera unitaria S ^{n −1} . Esto define un mapa continuo de S a S ^{n −1} . El índice del campo vectorial en el punto es el grado de este mapa. Se puede demostrar que este número entero no depende de la elección de S y, por tanto, depende sólo del propio campo vectorial.

El índice no está definido en ningún punto no singular (es decir, un punto donde el vector es distinto de cero). Es igual a +1 alrededor de una fuente y, más generalmente, igual a (−1) ^k alrededor de una silla que tiene k dimensiones de contracción y n − k dimensiones de expansión.

El índice del campo vectorial en su conjunto se define cuando tiene un número finito de ceros. En este caso, todos los ceros están aislados y el índice del campo vectorial se define como la suma de los índices en todos los ceros.

Para una esfera ordinaria (bidimensional) en un espacio tridimensional, se puede demostrar que el índice de cualquier campo vectorial en la esfera debe ser 2. Esto muestra que cada campo vectorial debe tener un cero. Esto implica el teorema de la bola peluda .

Para un campo vectorial en una variedad compacta con un número finito de ceros, el teorema de Poincaré-Hopf establece que el índice del campo vectorial es la característica de Euler de la variedad .

Intuición física

Líneas de campo magnético de una barra de hierro ( dipolo magnético )

Michael Faraday , en su concepto de líneas de fuerza , enfatizó que el campo en sí debería ser un objeto de estudio, lo que se ha convertido en toda la física en forma de teoría de campos .

Además del campo magnético, otros fenómenos modelados por Faraday incluyen el campo eléctrico y el campo luminoso .

En las últimas décadas, muchas formulaciones fenomenológicas de dinámica irreversible y ecuaciones de evolución en física, desde la mecánica de fluidos y sólidos complejos hasta la cinética química y la termodinámica cuántica, han convergido hacia la idea geométrica del "ascenso de entropía más pronunciado" o "flujo gradiente" como una constante. marco de modelado universal que garantiza la compatibilidad con la segunda ley de la termodinámica y extiende resultados conocidos de casi equilibrio, como la reciprocidad de Onsager, al ámbito del desequilibrio lejano. ^[5]

Curvas de flujo

Considere el flujo de un fluido a través de una región del espacio. En cualquier momento dado, cualquier punto del fluido tiene asociada una velocidad particular; por tanto existe un campo vectorial asociado a cualquier flujo. Lo contrario también es cierto: es posible asociar un flujo a un campo vectorial que tenga ese campo vectorial como velocidad.

Dado un campo vectorial definido en , se definen curvas en tal que para cada una en un intervalo , ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle \gamma '(t)=V(\gamma (t))\,.}$$

Según el teorema de Picard-Lindelöf , si Lipschitz es continua , hay una curva única para cada punto de modo que, para algunos , ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{x}(0)&=x\\\gamma '_{x}(t)&=V(\gamma _{x}(t))\qquad \forall t\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\subset \mathbb {R} .\end{aligned}}}$$

Las curvas se denominan curvas integrales o trayectorias (o menos comúnmente, líneas de flujo) del campo vectorial y se dividen en clases de equivalencia . No siempre es posible extender el intervalo a toda la recta numérica real . El flujo puede, por ejemplo, alcanzar el límite de en un tiempo finito. En dos o tres dimensiones se puede visualizar el campo vectorial dando lugar a un flujo en . Si dejamos caer una partícula en este flujo en un punto, se moverá a lo largo de la curva del flujo dependiendo del punto inicial . Si es un punto estacionario (es decir, el campo vectorial es igual al vector cero en el punto ), entonces la partícula permanecerá en . ${\displaystyle \gamma _{x}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (-\varepsilon ,+\varepsilon )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Las aplicaciones típicas son líneas de trayectoria en fluidos , flujo geodésico y subgrupos de un parámetro y el mapa exponencial en grupos de Lie .

Campos vectoriales completos

Por definición, un campo vectorial se llama completo si cada una de sus curvas de flujo existe en todo momento. ^[6] En particular, los campos vectoriales soportados de forma compacta en una variedad están completos. Si es un campo vectorial completo en , entonces el grupo de difeomorfismos de un parámetro generado por el flujo existe para siempre; se describe mediante un mapeo suave ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathbf {R} \times M\to M.}$

En una variedad compacta sin límite, cada campo vectorial suave está completo. Un ejemplo de un campo vectorial incompleto en la recta real lo da . Pues, la ecuación diferencial , con condición inicial , tiene como solución única si (y para todo si ). Por lo tanto , for no está definido en, por lo que no se puede definir para todos los valores de . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V(x)=x^{2}}$ ${\textstyle x'(t)=x^{2}}$ ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ ${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$ ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$ ${\displaystyle x(t)=0}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\textstyle t={\frac {1}{x_{0}}}}$ ${\displaystyle t}$

El soporte de la mentira

Los flujos asociados a dos campos vectoriales no necesitan conmutar entre sí. Su incapacidad para conmutar se describe mediante el corchete de Lie de dos campos vectoriales, que nuevamente es un campo vectorial. El corchete de Lie tiene una definición simple en términos de la acción de los campos vectoriales sobre funciones suaves : ${\displaystyle f}$

${\displaystyle [X,Y](f):=X(Y(f))-Y(X(f)).}$

f -relación

Dada una función suave entre variedades, la derivada es un mapa inducido en paquetes tangentes ,. Dados los campos vectoriales y , decimos que está relacionado con si la ecuación se cumple. ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle f_{*}:TM\to TN}$ ${\displaystyle V:M\to TM}$ ${\displaystyle W:N\to TN}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W\circ f=f_{*}\circ V}$

Si está relacionado con , entonces el corchete de Lie está relacionado con . ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2}$ ${\displaystyle [V_{1},V_{2}]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [W_{1},W_{2}]}$

Generalizaciones

Reemplazar vectores por p -vectores ( p ésima potencia exterior de los vectores) produce p -campos vectoriales; tomando las potencias duales espacial y exterior se obtienen formas k diferenciales , y al combinarlas se obtienen campos tensoriales generales .

Algebraicamente, los campos vectoriales se pueden caracterizar como derivaciones del álgebra de funciones suaves sobre la variedad, lo que lleva a definir un campo vectorial sobre un álgebra conmutativa como una derivación sobre el álgebra, que se desarrolla en la teoría del cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas .

Ver también

• Portal de matemáticas

• Fórmula distintiva de Eisenbud-Levine-Khimshiashvili
• linea de campo
• Campo de fuerza
• Flujo gradiente y flujo equilibrado en dinámica atmosférica.
• Derivado de mentira
• campo escalar
• Campo vectorial dependiente del tiempo
• Campos vectoriales en coordenadas cilíndricas y esféricas.
• Campos tensoriales

Referencias

1. , Antonio; Maestre, Manuel (2012). Análisis vectorial versus cálculo vectorial. Saltador. pag. 12.ISBN _ 978-1-4614-2199-3.
2. Tu, Loring W. (2010). "Campos vectoriales". Introducción a las variedades . Saltador. pag. 149.ISBN _ 978-1-4419-7399-3.
3. Lerman, Eugene (19 de agosto de 2011). "Introducción a la geometría diferencial" (PDF) . Definición 3.23.
4. Dawber, PG (1987). Vectores y operadores vectoriales. Prensa CRC. pag. 29.ISBN _ 978-0-85274-585-4.
5. Beretta, Gian Paolo (1 de mayo de 2020). "La cuarta ley de la termodinámica: el mayor ascenso de entropía". Transacciones filosóficas de la Royal Society A. 378 (2170): 20190168. arXiv : 1908.05768 . Código Bib : 2020RSPTA.37890168B. doi :10.1098/rsta.2019.0168. ISSN  1471-2962. S2CID  201058607.
6. Sharpe, R. (1997). Geometría diferencial . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94732-9.

Bibliografía

• Hubbard, JH ; Hubbard, BB (1999). Cálculo vectorial, álgebra lineal y formas diferenciales. Un enfoque unificado . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-657446-7.
• Warner, Frank (1983) [1971]. Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie . Nueva York-Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90894-3.
• Bootby, William (1986). "Una introducción a las variedades diferenciables y la geometría de Riemann ". Matemática Pura y Aplicada, volumen 120 (segunda ed.). Orlando, FL: Prensa académica. ISBN 0-12-116053-X.

enlaces externos

• Editor de campos vectoriales en línea
• "Campo vectorial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Campo vectorial — Mathworld
• Campo vectorial — PlanetMath
• Visor de campo magnético 3D
• Campos vectoriales y líneas de campo.
• Simulación de campos vectoriales Una aplicación interactiva para mostrar los efectos de los campos vectoriales.