La geometría diferencial es una disciplina matemática que estudia la geometría de formas suaves y espacios suaves, también conocidos como variedades suaves . Utiliza las técnicas de cálculo diferencial , cálculo integral , álgebra lineal y álgebra multilineal . El campo tiene sus orígenes en el estudio de la geometría esférica ya en la antigüedad . También se relaciona con la astronomía , la geodesia de la Tierra y, más tarde, el estudio de la geometría hiperbólica de Lobachevsky . Los ejemplos más simples de espacios suaves son las curvas y superficies planas y espaciales en el espacio euclidiano tridimensional , y el estudio de estas formas formó la base para el desarrollo de la geometría diferencial moderna durante los siglos XVIII y XIX.
Desde finales del siglo XIX, la geometría diferencial se ha convertido en un campo que se ocupa más generalmente de las estructuras geométricas en variedades diferenciables . Una estructura geométrica es aquella que define alguna noción de tamaño, distancia, forma, volumen u otra estructura rígidora. Por ejemplo, en la geometría de Riemann se especifican las distancias y los ángulos, en la geometría simpléctica se pueden calcular los volúmenes, en la geometría conforme solo se especifican los ángulos y en la teoría de calibre se dan ciertos campos en el espacio. La geometría diferencial está estrechamente relacionada con la topología diferencial , y a veces se considera que la incluye , que se ocupa de las propiedades de variedades diferenciables que no dependen de ninguna estructura geométrica adicional (consulte ese artículo para obtener más información sobre la distinción entre los dos temas). La geometría diferencial también está relacionada con los aspectos geométricos de la teoría de ecuaciones diferenciales , también conocida como análisis geométrico .
La geometría diferencial encuentra aplicaciones en las matemáticas y las ciencias naturales . De manera más destacada, el lenguaje de la geometría diferencial fue utilizado por Albert Einstein en su teoría de la relatividad general y, posteriormente, por los físicos en el desarrollo de la teoría cuántica de campos y el modelo estándar de la física de partículas . Fuera de la física, la geometría diferencial encuentra aplicaciones en química , economía , ingeniería , teoría de control , gráficos por computadora y visión por computadora , y recientemente en aprendizaje automático .
La historia y el desarrollo de la geometría diferencial como tema comienzan al menos desde la antigüedad clásica . Está íntimamente ligado al desarrollo de la geometría en general, de la noción de espacio y forma, y de la topología , especialmente el estudio de las variedades . En esta sección nos centramos principalmente en la historia de la aplicación de métodos infinitesimales a la geometría, y más tarde a las ideas de espacios tangentes , y eventualmente al desarrollo del formalismo moderno del tema en términos de tensores y campos tensoriales .
El estudio de la geometría diferencial, o al menos el estudio de la geometría de formas suaves, se remonta al menos a la antigüedad clásica . En particular, se sabía mucho sobre la geometría de la Tierra , una geometría esférica , en la época de los antiguos matemáticos griegos . Es famoso que Eratóstenes calculó la circunferencia de la Tierra alrededor del año 200 a. C., y alrededor del año 150 d. C. Ptolomeo en su Geografía introdujo la proyección estereográfica con el fin de mapear la forma de la Tierra. [1] Implícitamente a lo largo de este tiempo se utilizaron en geodesia los principios que forman la base de la geometría diferencial y el cálculo , aunque de una forma mucho más simplificada. Es decir, ya en los Elementos de Euclides se entendía que una línea recta podía definirse por su propiedad de proporcionar la distancia más corta entre dos puntos, y aplicando este mismo principio a la superficie de la Tierra se llega a la conclusión de que los grandes círculos , que sólo son similares localmente a las líneas rectas en un plano, proporcionan el camino más corto entre dos puntos de la superficie de la Tierra. De hecho, las mediciones de distancia a lo largo de tales caminos geodésicos realizadas por Eratóstenes y otros pueden considerarse una medida rudimentaria de la longitud de arco de las curvas, un concepto que no tuvo una definición rigurosa en términos de cálculo hasta el siglo XVII.
Por esta época hubo sólo mínimas aplicaciones abiertas de la teoría de los infinitesimales al estudio de la geometría, un precursor del estudio moderno de la materia basado en el cálculo. En Los Elementos de Euclides se analiza la noción de tangencia de una línea a un círculo, y Arquímedes aplicó el método de agotamiento para calcular las áreas de formas suaves como el círculo y los volúmenes de sólidos tridimensionales lisos como la esfera. , conos y cilindros. [1]
Hubo poco desarrollo en la teoría de la geometría diferencial entre la antigüedad y los inicios del Renacimiento . Antes del desarrollo del cálculo por parte de Newton y Leibniz , el avance más significativo en la comprensión de la geometría diferencial provino del desarrollo de Gerardus Mercator de la proyección de Mercator como una forma de mapear la Tierra. Mercator comprendía las ventajas y desventajas del diseño de su mapa y, en particular, era consciente de la naturaleza conforme de su proyección, así como de la diferencia entre praga , las líneas de distancia más corta en la Tierra, y la directio , las líneas rectas. trazar rutas en su mapa. Mercator notó que las praga tenían una curvatura oblicua en esta proyección. [1] Este hecho refleja la falta de un mapa que preserve la métrica de la superficie de la Tierra en un plano, una consecuencia del posterior Teorema Egregium de Gauss .
El primer tratamiento sistemático o riguroso de la geometría utilizando la teoría de los infinitesimales y nociones del cálculo comenzó alrededor del siglo XVII, cuando el cálculo fue desarrollado por primera vez por Gottfried Leibniz e Isaac Newton . En este momento, el trabajo reciente de René Descartes que introdujo coordenadas analíticas en la geometría permitió describir rigurosamente formas geométricas de complejidad creciente. En particular, por esta época Pierre de Fermat , Newton y Leibniz comenzaron el estudio de las curvas planas y la investigación de conceptos como puntos de inflexión y círculos de osculación , que ayudan en la medición de la curvatura . De hecho, ya en su primer artículo sobre los fundamentos del cálculo, Leibniz señala que la condición infinitesimal indica la existencia de un punto de inflexión. Poco después de esta época, los hermanos Bernoulli , Jacob y Johann hicieron importantes contribuciones al uso de infinitesimales para estudiar geometría. En las conferencias de Johann Bernoulli de la época, recopiladas más tarde por L'Hopital en el primer libro de texto sobre cálculo diferencial , se calculan las tangentes a curvas planas de varios tipos utilizando la condición , y de manera similar se calculan los puntos de inflexión. [1] Al mismo tiempo, se realiza la ortogonalidad entre los círculos osculadores de una curva plana y las direcciones tangentes, y se escribe la primera fórmula analítica para el radio de un círculo osculador, esencialmente la primera fórmula analítica para la noción de curvatura . abajo.
A raíz del desarrollo de la geometría analítica y las curvas planas, Alexis Clairaut comenzó el estudio de las curvas espaciales apenas a la edad de 16 años. [2] [1] En su libro, Clairaut introdujo la noción de direcciones tangentes y subtangentes a las curvas espaciales en relación con las direcciones que se encuentran a lo largo de una superficie en la que se encuentra la curva espacial. Así, Clairaut demostró una comprensión implícita del espacio tangente de una superficie y estudió esta idea utilizando el cálculo por primera vez. Es importante destacar que Clairaut introdujo la terminología de curvatura y doble curvatura , esencialmente la noción de curvatura principal estudiada más tarde por Gauss y otros.
Por esta misma época, Leonhard Euler , originalmente alumno de Johann Bernoulli, aportó muchas contribuciones significativas no sólo al desarrollo de la geometría, sino también a las matemáticas en general. [3] En lo que respecta a la geometría diferencial, Euler estudió la noción de una geodésica en una superficie derivando la primera ecuación geodésica analítica , y luego introdujo el primer conjunto de sistemas de coordenadas intrínsecas en una superficie, iniciando la teoría de la geometría intrínseca sobre la cual se basa la geometría moderna. se basan las ideas. [1] Alrededor de esta época, el estudio de la mecánica de Euler en Mechanica condujo a la comprensión de que una masa que se desplazara a lo largo de una superficie no bajo el efecto de ninguna fuerza atravesaría una trayectoria geodésica, un precursor temprano de las importantes ideas fundacionales de la relatividad general de Einstein . y también a las ecuaciones de Euler-Lagrange y la primera teoría del cálculo de variaciones , que sustenta en la geometría diferencial moderna muchas técnicas de geometría simpléctica y análisis geométrico . Esta teoría fue utilizada por Lagrange , codesarrollador del cálculo de variaciones, para derivar la primera ecuación diferencial que describe una superficie mínima en términos de la ecuación de Euler-Lagrange. En 1760, Euler demostró un teorema que expresaba la curvatura de una curva espacial sobre una superficie en términos de las curvaturas principales, conocido como teorema de Euler .
Más tarde, en el siglo XVIII, la nueva escuela francesa dirigida por Gaspard Monge comenzó a hacer contribuciones a la geometría diferencial. Monge hizo importantes contribuciones a la teoría de curvas planas, superficies y estudió superficies de revolución y envolventes de curvas planas y curvas espaciales. Varios estudiantes de Monge hicieron contribuciones a esta misma teoría y, por ejemplo, Charles Dupin proporcionó una nueva interpretación del teorema de Euler en términos de las curvaturas principales, que es la forma moderna de la ecuación. [1]
El campo de la geometría diferencial se convirtió en un área de estudio considerada por derecho propio, distinta de la idea más amplia de geometría analítica, en el siglo XIX, principalmente a través del trabajo fundacional de Carl Friedrich Gauss y Bernhard Riemann , y también en las importantes contribuciones de Nikolai Lobachevsky sobre la geometría hiperbólica y la geometría no euclidiana y durante el mismo período el desarrollo de la geometría proyectiva .
Considerada la obra más importante en la historia de la geometría diferencial, [4] Gauss produjo en 1827 las Disquisitiones generales circa superficies curvas , que detallan la teoría general de las superficies curvas. [5] [4] [6] En este trabajo y sus artículos posteriores y notas inéditas sobre la teoría de superficies, Gauss ha sido apodado el inventor de la geometría no euclidiana y el inventor de la geometría diferencial intrínseca. [6] En su artículo fundamental, Gauss introdujo el mapa de Gauss , la curvatura gaussiana , la primera y segunda formas fundamentales , demostró el Teorema Egregium que muestra la naturaleza intrínseca de la curvatura gaussiana y estudió las geodésicas, calculando el área de un triángulo geodésico en varios puntos no geodésicos. Geometrías euclidianas en superficies.
En ese momento, Gauss ya opinaba que el paradigma estándar de la geometría euclidiana debería descartarse y estaba en posesión de manuscritos privados sobre geometría no euclidiana que informaron su estudio de los triángulos geodésicos. [6] [7] Alrededor de esta misma época, János Bolyai y Lobachevsky descubrieron de forma independiente la geometría hiperbólica y así demostraron la existencia de geometrías consistentes fuera del paradigma de Euclides. Eugenio Beltrami produjo modelos concretos de geometría hiperbólica más tarde en la década de 1860, y Felix Klein acuñó el término geometría no euclidiana en 1871 y, a través del programa de Erlangen , puso las geometrías euclidiana y no euclidiana en el mismo plano. [8] Implícitamente, la geometría esférica de la Tierra que se había estudiado desde la antigüedad era una geometría no euclidiana, una geometría elíptica .
El desarrollo de la geometría diferencial intrínseca en el lenguaje de Gauss fue impulsado por su alumno Bernhard Riemann en su Habilitationsschrift , Sobre las hipótesis que se encuentran en la base de la geometría . [9] En este trabajo, Riemann introdujo por primera vez la noción de métrica de Riemann y el tensor de curvatura de Riemann , y comenzó el estudio sistemático de la geometría diferencial en dimensiones superiores. Este punto de vista intrínseco en términos de la métrica de Riemann, denotado por Riemann, fue el desarrollo de una idea de Gauss sobre el elemento lineal de una superficie. En este momento Riemann comenzó a introducir el uso sistemático del álgebra lineal y el álgebra multilineal en la materia, haciendo un gran uso de la teoría de formas cuadráticas en su investigación de la métrica y la curvatura. En ese momento, Riemann aún no había desarrollado la noción moderna de variedad, ya que ni siquiera se había encontrado la noción de un espacio topológico , pero propuso que podría ser posible investigar o medir las propiedades de la métrica del espacio-tiempo a través de la análisis de masas dentro del espacio-tiempo, vinculándolo con la observación anterior de Euler de que las masas bajo el efecto de ninguna fuerza viajarían a lo largo de geodésicas en superficies, y prediciendo la observación fundamental de Einstein del principio de equivalencia 60 años antes de que apareciera en la literatura científica. [6] [4]
A raíz de la nueva descripción de Riemann, el enfoque de las técnicas utilizadas para estudiar la geometría diferencial pasó de los métodos ad hoc y extrínsecos del estudio de curvas y superficies a un enfoque más sistemático en términos de cálculo tensorial y el programa Erlangen de Klein, y el progreso aumentó. en el campo. La noción de grupos de transformaciones fue desarrollada por Sophus Lie y Jean Gaston Darboux , dando lugar a importantes resultados en la teoría de los grupos de Lie y la geometría simpléctica . La noción de cálculo diferencial en espacios curvos fue estudiada por Elwin Christoffel , quien introdujo los símbolos de Christoffel que describen la derivada covariante en 1868, y por otros, incluido Eugenio Beltrami , que estudió muchas cuestiones analíticas sobre variedades. [10] En 1899 Luigi Bianchi produjo sus Lecturas sobre geometría diferencial que estudiaban la geometría diferencial desde la perspectiva de Riemann, y un año después Tullio Levi-Civita y Gregorio Ricci-Curbastro produjeron su libro de texto desarrollando sistemáticamente la teoría del cálculo diferencial absoluto y el cálculo tensorial . [11] [4] Fue en este lenguaje que Einstein utilizó la geometría diferencial en el desarrollo de la relatividad general y la geometría pseudo-riemanniana .
El tema de la geometría diferencial moderna surgió a principios del siglo XX en respuesta a las contribuciones fundamentales de muchos matemáticos, incluido el trabajo de Henri Poincaré sobre los fundamentos de la topología . [12] A principios de la década de 1900 hubo un movimiento importante dentro de las matemáticas para formalizar los aspectos fundamentales de la materia para evitar crisis de rigor y precisión, conocido como el programa de Hilbert . Como parte de este movimiento más amplio, Felix Hausdorff destiló la noción de espacio topológico en 1914, y en 1942 había muchas nociones diferentes de variedad de naturaleza combinatoria y geométrica diferencial. [12]
El interés en el tema también se centró en el surgimiento de la teoría de la relatividad general de Einstein y la importancia de las ecuaciones de campo de Einstein. La teoría de Einstein popularizó el cálculo tensorial de Ricci y Levi-Civita e introdujo la notación para una métrica riemanniana y para los símbolos de Christoffel, ambos provenientes de G en Gravitación . Élie Cartan ayudó a reformular los fundamentos de la geometría diferencial de variedades suaves en términos de cálculo exterior y la teoría de marcos móviles , lo que llevó en el mundo de la física a la teoría de Einstein-Cartan . [13] [4]
Después de este desarrollo inicial, muchos matemáticos contribuyeron al desarrollo de la teoría moderna, incluido Jean-Louis Koszul , quien introdujo conexiones en haces de vectores , Shiing-Shen Chern , quien introdujo clases características en el tema y comenzó el estudio de variedades complejas , Sir William Vallance. Douglas Hodge y Georges de Rham , quienes ampliaron la comprensión de las formas diferenciales , Charles Ehresmann , quien introdujo la teoría de los haces de fibras y las conexiones de Ehresmann , y otros. [13] [4] De particular importancia fue Hermann Weyl , quien hizo importantes contribuciones a los fundamentos de la relatividad general, introdujo el tensor de Weyl proporcionando información sobre la geometría conforme y definió por primera vez la noción de calibre que condujo al desarrollo de la teoría de calibre en física. y matemáticas .
A mediados y finales del siglo XX, la geometría diferencial como materia amplió su alcance y desarrolló vínculos con otras áreas de las matemáticas y la física. El desarrollo de la teoría de calibres y la teoría de Yang-Mills en física puso de relieve los paquetes y conexiones, lo que llevó a desarrollos en la teoría de calibres . Se investigaron muchos resultados analíticos, incluida la prueba del teorema del índice Atiyah-Singer . El desarrollo de la geometría compleja fue impulsado por resultados paralelos en geometría algebraica , y Shing-Tung Yau y otros probaron los resultados en la geometría y el análisis global de variedades complejas . En la segunda mitad del siglo XX se desarrollaron nuevas técnicas analíticas con respecto a los flujos de curvatura, como el flujo de Ricci , que culminó con la prueba de Grigori Perelman de la conjetura de Poincaré . Durante este mismo período, debido principalmente a la influencia de Michael Atiyah , se formaron nuevos vínculos entre la física teórica y la geometría diferencial. Los matemáticos utilizaron técnicas del estudio de las ecuaciones de Yang-Mills y la teoría de calibre para desarrollar nuevas invariantes de variedades suaves. Físicos como Edward Witten , el único físico que recibió una medalla Fields , lograron nuevos impactos en las matemáticas al utilizar la teoría cuántica de campos topológica y la teoría de cuerdas para hacer predicciones y proporcionar marcos para nuevas matemáticas rigurosas, lo que ha dado como resultado, por ejemplo, el espejo conjetural. simetría y las invariantes de Seiberg-Witten .
La geometría de Riemann estudia las variedades de Riemann , variedades suaves con una métrica de Riemann . Este es un concepto de distancia expresado mediante una forma bilineal simétrica definida positiva suave definida en el espacio tangente en cada punto. La geometría de Riemann generaliza la geometría euclidiana a espacios que no son necesariamente planos, aunque todavía se parecen al espacio euclidiano en cada punto de manera infinitesimal, es decir, en el primer orden de aproximación . Varios conceptos basados en la longitud, como la longitud del arco de las curvas, el área de las regiones planas y el volumen de los sólidos, poseen análogos naturales en la geometría de Riemann. La noción de derivada direccional de una función del cálculo multivariable se extiende a la noción de derivada covariante de un tensor . Muchos conceptos de análisis y ecuaciones diferenciales se han generalizado al entorno de variedades de Riemann.
Un difeomorfismo que preserva la distancia entre variedades de Riemann se llama isometría . Esta noción también puede definirse localmente , es decir, para pequeñas vecindades de puntos. Dos curvas regulares cualesquiera son localmente isométricas. Sin embargo, el Teorema Egregium de Carl Friedrich Gauss demostró que para las superficies, la existencia de una isometría local impone que las curvaturas gaussianas en los puntos correspondientes deben ser las mismas. En dimensiones superiores, el tensor de curvatura de Riemann es un invariante puntual importante asociado con una variedad de Riemann que mide qué tan cerca está de ser plano. Una clase importante de variedades de Riemann son los espacios simétricos de Riemann , cuya curvatura no es necesariamente constante. Estos son los análogos más cercanos al plano y al espacio "ordinarios" considerados en la geometría euclidiana y no euclidiana .
La geometría pseudo-riemanniana generaliza la geometría de Riemann al caso en el que el tensor métrico no necesita ser definido positivo . Un caso especial de esto es una variedad de Lorentz , que es la base matemática de la teoría de la gravedad de la relatividad general de Einstein .
La geometría de Finsler tiene como principal objeto de estudio las variedades de Finsler . Se trata de una variedad diferencial con una métrica de Finsler , es decir, una norma de Banach definida en cada espacio tangente. Las variedades de Riemann son casos especiales de las variedades de Finsler más generales. Una estructura de Finsler en una variedad M es una función F : T M → [0, ∞) tal que:
La geometría simpléctica es el estudio de variedades simplécticas . Una variedad casi simpléctica es una variedad diferenciable equipada con una forma bilineal sesgada- simétrica no degenerada que varía suavemente en cada espacio tangente, es decir, una forma 2 no degenerada ω , llamada forma simpléctica . Una variedad simpléctica es una variedad casi simpléctica para la cual la forma simpléctica ω es cerrada: d ω = 0 .
Un difeomorfismo entre dos variedades simplécticas que conserva la forma simpléctica se llama simplectomorfismo . Las formas bilineales asimétricas no degeneradas solo pueden existir en espacios vectoriales de dimensión par, por lo que las variedades simplécticas necesariamente tienen dimensión par. En la dimensión 2, una variedad simpléctica es solo una superficie dotada de una forma de área y un simplectomorfismo es un difeomorfismo que conserva el área. El espacio de fases de un sistema mecánico es una variedad simpléctica y ya hizo una aparición implícita en el trabajo de Joseph Louis Lagrange sobre mecánica analítica y más tarde en las formulaciones de la mecánica clásica de Carl Gustav Jacobi y William Rowan Hamilton .
En contraste con la geometría de Riemann, donde la curvatura proporciona una invariante local de las variedades de Riemann, el teorema de Darboux establece que todas las variedades simplécticas son localmente isomorfas. Los únicos invariantes de una variedad simpléctica son de naturaleza global y los aspectos topológicos juegan un papel destacado en la geometría simpléctica. El primer resultado en topología simpléctica es probablemente el teorema de Poincaré-Birkhoff , conjeturado por Henri Poincaré y luego demostrado por GD Birkhoff en 1912. Afirma que si un área que preserva el mapa de un anillo tuerce cada componente de límite en direcciones opuestas, entonces el mapa tiene al menos dos puntos fijos. [14]
La geometría de contacto se ocupa de ciertas variedades de dimensión impar. Está cerca de la geometría simpléctica y, como esta última, se originó en cuestiones de la mecánica clásica. Una estructura de contacto en una variedad M (2 n + 1) -dimensional está dada por un campo hiperplano suave H en el paquete tangente que está lo más lejos posible de estar asociado con los conjuntos de niveles de una función diferenciable en M (el término técnico es "distribución de hiperplano tangente completamente no integrable"). Cerca de cada punto p , una distribución de hiperplano está determinada por una forma 1 que no desaparece en ninguna parte , que es única hasta la multiplicación por una función que no desaparece en ninguna parte:
Una forma 1 local en M es una forma de contacto si la restricción de su derivada exterior a H es una forma dos no degenerada y, por lo tanto, induce una estructura simpléctica en H p en cada punto. Si la distribución H puede definirse mediante una forma única global , entonces esta forma es de contacto si y solo si la forma de dimensión superior
es una forma de volumen en M , es decir, no desaparece en ninguna parte. Se cumple un análogo de contacto del teorema de Darboux: todas las estructuras de contacto en una variedad de dimensiones impares son localmente isomorfas y pueden llevarse a una cierta forma normal local mediante una elección adecuada del sistema de coordenadas.
La geometría diferencial compleja es el estudio de variedades complejas . Una variedad casi compleja es una variedad real , dotada de un tensor de tipo (1, 1), es decir, un endomorfismo de haz vectorial (llamado estructura casi compleja ).
De esta definición se deduce que una variedad casi compleja es de dimensión par.
Una variedad casi compleja se llama compleja si , donde hay un tensor de tipo (2, 1) relacionado con , llamado tensor de Nijenhuis (o, a veces, torsión ). Una variedad casi compleja es compleja si y sólo si admite un atlas de coordenadas holomorfas . Una estructura casi hermitiana viene dada por una estructura casi compleja J , junto con una métrica de Riemann g , que satisface la condición de compatibilidad
Una estructura casi hermitiana define naturalmente una biforma diferencial.
Las dos condiciones siguientes son equivalentes:
¿ Dónde está la conexión Levi-Civita de ? En este caso, se llama estructura de Kähler , y una variedad de Kähler es una variedad dotada de una estructura de Kähler. En particular, una variedad de Kähler es a la vez una variedad compleja y simpléctica . Una gran clase de variedades de Kähler (la clase de variedades de Hodge ) está dada por todas las variedades proyectivas complejas suaves .
La geometría CR es el estudio de la geometría intrínseca de los límites de dominios en variedades complejas .
La geometría conforme es el estudio del conjunto de transformaciones (conformes) que preservan los ángulos en un espacio.
La topología diferencial es el estudio de invariantes geométricos globales sin forma métrica o simpléctica.
La topología diferencial comienza a partir de operaciones naturales como la derivada de Lie de haces de vectores naturales y el diferencial de formas de De Rham . Además de los algebroides de Lie , también los algebroides de Courant empiezan a desempeñar un papel más importante.
Un grupo de Lie es un grupo en la categoría de variedades suaves. Además de las propiedades algebraicas, también goza de propiedades geométricas diferenciales. La construcción más obvia es la de un álgebra de Lie, que es el espacio tangente en la unidad dotado del corchete de Lie entre campos vectoriales invariantes a la izquierda . Además de la teoría de la estructura, existe también el amplio campo de la teoría de la representación .
El análisis geométrico es una disciplina matemática donde se utilizan herramientas de ecuaciones diferenciales, especialmente ecuaciones diferenciales parciales elípticas, para establecer nuevos resultados en geometría diferencial y topología diferencial.
La teoría de calibre es el estudio de las conexiones en haces de vectores y haces principales, y surge de problemas de física matemática y teorías de calibre físico que sustentan el modelo estándar de física de partículas . La teoría de calibre se ocupa del estudio de ecuaciones diferenciales para conexiones en haces y los espacios de módulos geométricos resultantes de las soluciones de estas ecuaciones, así como las invariantes que pueden derivarse de ellas. Estas ecuaciones a menudo surgen como las ecuaciones de Euler-Lagrange que describen las ecuaciones de movimiento de ciertos sistemas físicos en la teoría cuántica de campos , por lo que su estudio es de considerable interés en la física.
El aparato de haces vectoriales , haces principales y conexiones sobre haces juega un papel extraordinariamente importante en la geometría diferencial moderna. Una variedad suave siempre lleva un paquete de vectores naturales, el paquete tangente . En términos generales, esta estructura por sí sola es suficiente sólo para desarrollar análisis sobre la variedad, mientras que hacer geometría requiere, además, alguna forma de relacionar los espacios tangentes en diferentes puntos, es decir, una noción de transporte paralelo . Un ejemplo importante lo proporcionan las conexiones afines . Para una superficie en R 3 , los planos tangentes en diferentes puntos se pueden identificar utilizando un paralelismo natural inducido por el espacio euclidiano ambiental, que tiene una definición estándar bien conocida de métrica y paralelismo. En la geometría de Riemann , la conexión Levi-Civita tiene un propósito similar. De manera más general, los geómetras diferenciales consideran espacios con un paquete de vectores y una conexión afín arbitraria que no está definida en términos de una métrica. En física, la variedad puede ser el espacio-tiempo y los paquetes y conexiones están relacionados con varios campos físicos.
Desde principios y hasta mediados del siglo XIX, la geometría diferencial se estudió desde el punto de vista extrínseco : se consideraba que las curvas y las superficies se encontraban en un espacio euclidiano de dimensión superior (por ejemplo, una superficie en un espacio ambiental de tres dimensiones). . Los resultados más simples son los de la geometría diferencial de curvas y la geometría diferencial de superficies. A partir de la obra de Riemann se desarrolló el punto de vista intrínseco , en el que no se puede hablar de moverse "fuera" del objeto geométrico porque se considera dado de forma autónoma. El resultado fundamental aquí es el teorema egregium de Gauss , en el sentido de que la curvatura gaussiana es una invariante intrínseca.
El punto de vista intrínseco es más flexible. Por ejemplo, es útil en relatividad, donde el espacio-tiempo no puede considerarse naturalmente extrínseco. Sin embargo, hay un precio que pagar en complejidad técnica: las definiciones intrínsecas de curvatura y conexiones se vuelven mucho menos intuitivas visualmente.
Estos dos puntos de vista pueden conciliarse, es decir, la geometría extrínseca puede considerarse como una estructura adicional a la intrínseca. (Ver el teorema de incrustación de Nash .) En el formalismo del cálculo geométrico, tanto la geometría extrínseca como la intrínseca de una variedad se pueden caracterizar por una única forma única con valor bivector llamada operador de forma . [15]
A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo se aplica la geometría diferencial a otros campos de las ciencias y las matemáticas.
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