Infinitesimal

Cantidad extremadamente pequeña en cálculo; cosa tan pequeña que no hay manera de medirla

Infinitesimales (ε) e infinitos (ω) en la recta numérica hiperreal (ε = 1/ω)

En matemáticas , un número infinitesimal es una cantidad que está más cerca de que cualquier número real estándar , pero que no es 0. La palabra infinitesimal proviene de una acuñación latina moderna del siglo XVII, infinitesimus , que originalmente se refería al " infinito - ésimo ". elemento en una secuencia .

Los infinitesimales no existen en el sistema de números reales estándar, pero sí existen en otros sistemas numéricos, como el sistema numérico surrealista y el sistema numérico hiperreal , que pueden considerarse como números reales aumentados con cantidades tanto infinitesimales como infinitas; los aumentos son recíprocos entre sí.

Los números infinitesimales se introdujeron en el desarrollo del cálculo , en el que la derivada se concibió por primera vez como una relación de dos cantidades infinitesimales. Esta definición no fue rigurosamente formalizada . A medida que el cálculo se desarrolló más, los infinitesimales fueron reemplazados por límites , que se pueden calcular utilizando los números reales estándar.

Los infinitesimales recuperaron popularidad en el siglo XX con el desarrollo del análisis no estándar y los números hiperrealistas por parte de Abraham Robinson , que, después de siglos de controversia, demostró que era posible un tratamiento formal del cálculo infinitesimal. Después de esto, los matemáticos desarrollaron números surrealistas, una formalización relacionada de números infinitos e infinitesimales que incluyen números cardinales y ordinales hiperrealistas , que es el campo ordenado más grande .

Vladimir Arnold escribió en 1990:

Hoy en día, cuando se enseña análisis, no es muy popular hablar de cantidades infinitesimales. En consecuencia, los estudiantes actuales no dominan plenamente esta lengua. Sin embargo, todavía es necesario dominarlo. ^[1]

La idea crucial ^{[ ¿de quién? ]} para hacer factibles entidades matemáticas infinitesimales fue que aún podían conservar ciertas propiedades como el ángulo o la pendiente , incluso si estas entidades fueran infinitamente pequeñas. ^[2]

Los infinitesimales son un ingrediente básico en el cálculo desarrollado por Leibniz , incluida la ley de continuidad y la ley trascendental de homogeneidad . En el lenguaje común, un objeto infinitesimal es un objeto que es más pequeño que cualquier medida factible, pero no de tamaño cero, o tan pequeño que no puede distinguirse de cero por ningún medio disponible. Por lo tanto, cuando se usa como adjetivo en matemáticas, infinitesimal significa infinitamente pequeño, más pequeño que cualquier número real estándar. Los infinitesimales a menudo se comparan con otros infinitesimales de tamaño similar, como al examinar la derivada de una función. Se suma un número infinito de infinitesimales para calcular una integral .

El concepto de infinitesimales fue introducido originalmente alrededor de 1670 por Nicolaus Mercator o Gottfried Wilhelm Leibniz . ^[3] Arquímedes utilizó lo que eventualmente llegó a conocerse como el método de los indivisibles en su trabajo El método de los teoremas mecánicos para encontrar áreas de regiones y volúmenes de sólidos. ^[4] En sus tratados formales publicados, Arquímedes resolvió el mismo problema utilizando el método de agotamiento . El siglo XV vio el trabajo de Nicolás de Cusa , desarrollado en el siglo XVII por Johannes Kepler , en particular, el cálculo del área de un círculo representándolo como un polígono de lados infinitos. El trabajo de Simon Stevin sobre la representación decimal de todos los números en el siglo XVI preparó el terreno para el continuo real. El método de los indivisibles de Bonaventura Cavalieri condujo a una extensión de los resultados de los autores clásicos. El método de los indivisibles se relacionaba con las figuras geométricas como compuestas de entidades de codimensión 1. ^{[ se necesita aclaración ] Los infinitesimales de} John Wallis se diferenciaban de los indivisibles en que descomponía las figuras geométricas en bloques de construcción infinitamente delgados de la misma dimensión que la figura, preparando la base para los métodos generales del cálculo integral. Explotó un infinitesimal denotado 1/∞ en los cálculos de área.

El uso de infinitesimales por parte de Leibniz se basó en principios heurísticos, como la ley de continuidad: lo que tiene éxito para los números finitos también lo es para los números infinitos y viceversa; y la ley trascendental de homogeneidad que especifica procedimientos para reemplazar expresiones que involucran cantidades no asignables, por expresiones que involucran sólo cantidades asignables. El siglo XVIII vio el uso rutinario de infinitesimales por parte de matemáticos como Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange . Augustin-Louis Cauchy explotó los infinitesimales tanto al definir la continuidad en su Cours d'Analyse como al definir una forma temprana de una función delta de Dirac . Mientras Cantor y Dedekind desarrollaban versiones más abstractas del continuo de Stevin, Paul du Bois-Reymond escribió una serie de artículos sobre continuos enriquecidos en infinitesimales basados ​​en tasas de crecimiento de funciones. El trabajo de Du Bois-Reymond inspiró tanto a Émile Borel como a Thoralf Skolem . Borel vinculó explícitamente el trabajo de du Bois-Reymond con el trabajo de Cauchy sobre las tasas de crecimiento de infinitesimales. Skolem desarrolló los primeros modelos aritméticos no estándar en 1934. Abraham Robinson logró una implementación matemática tanto de la ley de continuidad como de los infinitesimales en 1961, quien desarrolló un análisis no estándar basado en trabajos anteriores de Edwin Hewitt en 1948 y Jerzy Łoś en 1955. Los hiperreales implementan un continuo enriquecido infinitamente y el principio de transferencia implementa la ley de continuidad de Leibniz. La función de pieza estándar implementa la calidad de Fermat .

Historia de lo infinitesimal

La noción de cantidades infinitamente pequeñas fue discutida por la Escuela Eleática . El matemático griego Arquímedes (c. 287 a. C. – c. 212 a. C.), en El método de los teoremas mecánicos , fue el primero en proponer una definición lógicamente rigurosa de los infinitesimales. ^[5] Su propiedad de Arquímedes define un número x como infinito si satisface las condiciones | x |>1, | x |>1+1, | x |>1+1+1, ..., e infinitesimal si x ≠0 y un conjunto similar de condiciones se cumple para x y los recíprocos de los números enteros positivos. Un sistema numérico se dice que es de Arquímedes si no contiene miembros infinitos o infinitesimales.

El matemático inglés John Wallis introdujo la expresión 1/∞ en su libro de 1655 Tratado sobre las secciones cónicas . El símbolo, que denota el recíproco o inverso de  ∞ , es la representación simbólica del concepto matemático de un infinitesimal. En su Tratado sobre las secciones cónicas , Wallis también analiza el concepto de una relación entre la representación simbólica del infinitesimal 1/∞ que introdujo y el concepto de infinito para el que introdujo el símbolo ∞. El concepto sugiere un experimento mental de sumar un número infinito de paralelogramos de ancho infinitesimal para formar un área finita. Este concepto fue el predecesor del método moderno de integración utilizado en el cálculo integral . Los orígenes conceptuales del concepto de infinitesimal 1/∞ se remontan al filósofo griego Zenón de Elea , cuya paradoja de la dicotomía de Zenón fue el primer concepto matemático en considerar la relación entre un intervalo finito y un intervalo que se aproxima al de un intervalo de tamaño infinitesimal.

Los infinitesimales fueron objeto de controversias políticas y religiosas en la Europa del siglo XVII, incluida una prohibición de los infinitesimales emitida por los clérigos en Roma en 1632. ^[6]

Antes de la invención del cálculo, los matemáticos podían calcular rectas tangentes utilizando el método de adecuación de Pierre de Fermat y el método de normales de René Descartes . Existe un debate entre los estudiosos sobre si el método era de naturaleza infinitesimal o algebraica. Cuando Newton y Leibniz inventaron el cálculo , hicieron uso de los infinitesimales, las fluxiones de Newton y el diferencial de Leibniz . El uso de infinitesimales fue atacado como incorrecto por el obispo Berkeley en su obra The Analyst . ^[7] Los matemáticos, científicos e ingenieros continuaron usando infinitesimales para producir resultados correctos. En la segunda mitad del siglo XIX, el cálculo fue reformulado por Augustin-Louis Cauchy , Bernard Bolzano , Karl Weierstrass , Cantor , Dedekind y otros utilizando la definición (ε, δ) de límite y teoría de conjuntos . Mientras que los seguidores de Cantor, Dedekind y Weierstrass intentaron librarse del análisis de los infinitesimales, y sus aliados filosóficos como Bertrand Russell y Rudolf Carnap declararon que los infinitesimales son pseudoconceptos , Hermann Cohen y su escuela de neokantismo de Marburg buscaron desarrollar una lógica operativa de infinitesimales. ^[8] El estudio matemático de sistemas que contienen infinitesimales continuó a través del trabajo de Levi-Civita , Giuseppe Veronese , Paul du Bois-Reymond y otros, a lo largo de finales del siglo XIX y el XX, como lo documenta Philip Ehrlich (2006). En el siglo XX, se descubrió que los infinitesimales podían servir como base para el cálculo y el análisis (ver números hiperreales ).

Propiedades de primer orden

Al extender los números reales para incluir cantidades infinitas e infinitesimales, normalmente se desea ser lo más conservador posible y no cambiar ninguna de sus propiedades elementales. Esto garantiza que todavía estén disponibles tantos resultados familiares como sea posible. Normalmente, elemental significa que no hay cuantificación sobre conjuntos , sino sólo sobre elementos. Esta limitación permite declaraciones del tipo "para cualquier número x...". Por ejemplo, el axioma que dice "para cualquier número  x , x  + 0 =  x " aún se aplicaría. Lo mismo ocurre con la cuantificación de varios números, por ejemplo, "para cualquier número  x e y , xy  =  yx ". Sin embargo, las afirmaciones del tipo "para cualquier conjunto  S  de números..." no pueden trasladarse. La lógica con esta limitación en la cuantificación se denomina lógica de primer orden .

El sistema numérico extendido resultante no puede concordar con los reales en todas las propiedades que pueden expresarse mediante cuantificación sobre conjuntos, porque el objetivo es construir un sistema no arquimediano y el principio de Arquímedes puede expresarse mediante cuantificación sobre conjuntos. Se puede ampliar de manera conservadora cualquier teoría que incluya los reales, incluida la teoría de conjuntos, para incluir los infinitesimales, simplemente añadiendo una lista infinita y numerable de axiomas que afirmen que un número es menor que 1/2, 1/3, 1/4, etc. De manera similar, no se puede esperar que la propiedad de completitud se mantenga, porque los reales son el único campo ordenado completo hasta el isomorfismo.

Podemos distinguir tres niveles en los que un sistema numérico no arquimediano podría tener propiedades de primer orden compatibles con las de los reales:

1. Un cuerpo ordenado obedece a todos los axiomas habituales del sistema de números reales que pueden expresarse en lógica de primer orden. Por ejemplo, se cumple el axioma de conmutatividad x  +  y  =  y  +  x .
2. Un campo cerrado real tiene todas las propiedades de primer orden del sistema de números reales, independientemente de si generalmente se toman como axiomáticas, para declaraciones que involucran las relaciones básicas de campos ordenados +, × y ≤. Ésta es una condición más fuerte que obedecer los axiomas del campo ordenado. Más específicamente, se incluyen propiedades adicionales de primer orden, como la existencia de una raíz para cada polinomio de grado impar. Por ejemplo, todo número debe tener raíz cúbica .
3. El sistema podría tener todas las propiedades de primer orden del sistema de números reales para declaraciones que involucran cualquier relación (independientemente de si esas relaciones se pueden expresar usando +, × y ≤). Por ejemplo, tendría que haber una función seno que esté bien definida para entradas infinitas; Lo mismo ocurre con todas las funciones reales.

Los sistemas de la categoría 1, en el extremo débil del espectro, son relativamente fáciles de construir, pero no permiten un tratamiento completo del análisis clásico utilizando infinitesimales en el espíritu de Newton y Leibniz. Por ejemplo, las funciones trascendentales se definen en términos de procesos limitantes infinitos y, por lo tanto, normalmente no hay forma de definirlas en lógica de primer orden. Al aumentar la fuerza analítica del sistema al pasar a las categorías 2 y 3, encontramos que el tono del tratamiento tiende a volverse menos constructivo y se vuelve más difícil decir algo concreto sobre la estructura jerárquica de infinitos e infinitesimales.

Sistemas numéricos que incluyen infinitesimales

series formales

serie laurent

Un ejemplo de la categoría 1 anterior es el campo de la serie de Laurent con un número finito de términos de potencia negativa. Por ejemplo, la serie de Laurent que consta únicamente del término constante 1 se identifica con el número real 1, y la serie que contiene únicamente el término lineal  x se considera el infinitesimal más simple, a partir del cual se construyen los demás infinitesimales. Se utiliza el orden del diccionario, lo que equivale a considerar potencias superiores de  x como insignificantes en comparación con potencias inferiores. David O. Tall ^[9] se refiere a este sistema como superreal, que no debe confundirse con el sistema numérico superreal de Dales y Woodin. Dado que una serie de Taylor evaluada con una serie de Laurent como argumento sigue siendo una serie de Laurent, el sistema se puede utilizar para hacer cálculos sobre funciones trascendentales si son analíticas. Estos infinitesimales tienen propiedades de primer orden diferentes a las de los reales porque, por ejemplo, el infinitesimal básico  x no tiene raíz cuadrada.

El campo Levi-Civita

El campo de Levi-Civita es similar a la serie de Laurent, pero algebraicamente es cerrado. Por ejemplo, el infinitesimal básico x tiene una raíz cuadrada. Este campo es lo suficientemente rico como para permitir que se realice una cantidad significativa de análisis, pero sus elementos aún se pueden representar en una computadora en el mismo sentido en que los números reales se pueden representar en punto flotante. ^[10]

Transserie

El campo de transseries es mayor que el campo de Levi-Civita. ^[11] Un ejemplo de una transserie es:

${\displaystyle e^{\sqrt {\ln \ln x}}+\ln \ln x+\sum _{j=0}^{\infty }e^{x}x^{-j},}$

donde para efectos de ordenar x se considera infinito.

Números surrealistas

Los números surrealistas de Conway caen en la categoría 2, excepto que los números surrealistas forman una clase adecuada y no un conjunto. ^[12] Son un sistema diseñado para ser lo más rico posible en diferentes tamaños de números, pero no necesariamente por conveniencia al hacer análisis, en el sentido de que cada campo ordenado es un subcampo de los números surrealistas. ^[13] Existe una extensión natural de la función exponencial a los números surrealistas. ^{[14] : cap. 10}

Hiperrealistas

La técnica más extendida para manejar infinitesimales son los hiperreales, desarrollados por Abraham Robinson en los años 1960. Caen en la categoría 3 anterior, ya que fueron diseñados de esa manera para que todo el análisis clásico pueda trasladarse desde los reales. Esta propiedad de poder trasladar todas las relaciones de forma natural se conoce como principio de transferencia , demostrado por Jerzy Łoś en 1955. Por ejemplo, la función trascendental sin tiene una contraparte natural *sin que toma una entrada hiperreal y da una entrada hiperreal. salida, y de manera similar, el conjunto de números naturales tiene una contraparte natural , que contiene números enteros finitos e infinitos. Una proposición como se traslada a los hiperreales como . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {N} }$ ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\sin n\pi =0}$ ${\displaystyle \forall n\in {}^{*}\mathbb {N} ,{}^{*}\!\!\sin n\pi =0}$

Superrealistas

El sistema numérico superreal de Dales y Woodin es una generalización de los hiperrealistas. Es diferente del sistema superreal definido por David Tall .

números duales

En álgebra lineal , los números duales extienden los reales al unir un infinitesimal, el nuevo elemento ε con la propiedad ε ² = 0 (es decir, ε es nilpotente ). Todo número dual tiene la forma z = a + b ε, siendo a y b números reales determinados de forma única.

Una aplicación de los números duales es la diferenciación automática . Esta aplicación se puede generalizar a polinomios en n variables, utilizando el álgebra exterior de un espacio vectorial n-dimensional.

Análisis infinitesimal suave

La geometría diferencial sintética o el análisis infinitesimal suave tienen sus raíces en la teoría de categorías . Este enfoque se aparta de la lógica clásica utilizada en las matemáticas convencionales al negar la aplicabilidad general de la ley del tercero excluido , es decir, no ( a ≠ b ) no tiene por qué significar a = b . Entonces se puede definir un nilcuadrado o un infinitesimal nilpotente . Este es un número x donde x ² = 0 es verdadero, pero no es necesario que x = 0 sea verdadero al mismo tiempo. Dado que la lógica de fondo es la lógica intuicionista , no está inmediatamente claro cómo clasificar este sistema con respecto a las clases 1, 2 y 3. Primero habría que desarrollar análogos intuicionistas de estas clases.

Funciones delta infinitesimales

Cauchy utilizó una función delta de tipo Dirac infinitamente alta y estrecha para escribir un impulso unitario, que satisfacía en varios artículos en 1827, ver Laugwitz (1989). Cauchy definió un infinitesimal en 1821 (Cours d'Analyse) en términos de una secuencia que tiende a cero. Es decir, tal secuencia nula se vuelve infinitesimal en la terminología de Cauchy y Lazare Carnot . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \delta _{\alpha }}$ ${\displaystyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)}$

Los enfoques modernos de la teoría de conjuntos permiten definir infinitesimales a través de la construcción de ultrapotencia , donde una secuencia nula se convierte en infinitesimal en el sentido de un módulo de clase de equivalencia, una relación definida en términos de un ultrafiltro adecuado . El artículo de Yamashita (2007) contiene bibliografía sobre las funciones delta de Dirac modernas en el contexto de un continuo enriquecido infinitamente proporcionado por los hiperreales .

Propiedades lógicas

El método para construir infinitesimales del tipo utilizado en el análisis no estándar depende del modelo y del conjunto de axiomas que se utilice. Consideramos aquí sistemas donde se puede demostrar que existen infinitesimales.

En 1936 Maltsev demostró el teorema de la compacidad . Este teorema es fundamental para la existencia de infinitesimales ya que demuestra que es posible formalizarlos. Una consecuencia de este teorema es que si hay un sistema numérico en el que es cierto que para cualquier entero positivo n existe un número positivo x tal que 0 <  x  < 1/ n , entonces existe una extensión de ese sistema numérico en lo cual es cierto que existe un número positivo x tal que para cualquier entero positivo n tenemos 0 <  x  < 1/ n . La posibilidad de cambiar "por cualquiera" y "existe" es crucial. La primera afirmación es cierta en los números reales como se indica en la teoría de conjuntos ZFC  : para cualquier entero positivo n es posible encontrar un número real entre 1/ n y cero, pero este número real depende de n . Aquí, primero se elige n , luego se encuentra la x correspondiente . En la segunda expresión, el enunciado dice que hay una x (al menos una), elegida primero, que está entre 0 y 1/ n para cualquier n . En este caso x es infinitesimal. Esto no es cierto en los números reales ( R ) dados por ZFC. No obstante, el teorema demuestra que existe un modelo (un sistema numérico) en el que esto es cierto. La pregunta es: ¿cuál es este modelo? ¿Cuáles son sus propiedades? ¿Existe sólo uno de esos modelos?

De hecho, hay muchas formas de construir un conjunto unidimensional de números ordenados linealmente , pero fundamentalmente, existen dos enfoques diferentes:

1) Ampliar el sistema numérico para que contenga más números que los números reales.

2) Ampliar los axiomas (o ampliar el lenguaje) de modo que la distinción entre infinitesimales y no infinitesimales pueda hacerse en los propios números reales.

En 1960, Abraham Robinson proporcionó una respuesta siguiendo el primer planteamiento. El conjunto extendido se llama hiperreal y contiene números menores en valor absoluto que cualquier número real positivo. El método puede considerarse relativamente complejo, pero demuestra que existen infinitesimales en el universo de la teoría de conjuntos ZFC. Los números reales se llaman números estándar y los nuevos hiperreales no reales se llaman no estándar .

En 1977, Edward Nelson proporcionó una respuesta siguiendo el segundo enfoque. Los axiomas extendidos son IST, que significa Teoría de conjuntos internos o las iniciales de los tres axiomas adicionales: Idealización, Estandarización y Transferencia. En este sistema consideramos que el lenguaje se extiende de tal manera que podemos expresar hechos sobre infinitesimales. Los números reales son estándar o no estándar. Un infinitesimal es un número real no estándar que es menor, en valor absoluto, que cualquier número real estándar positivo.

En 2006, Karel Hrbacek desarrolló una extensión del enfoque de Nelson en el que los números reales se estratifican en (infinitos) niveles; es decir, en el nivel más burdo, no hay infinitesimales ni números ilimitados. Los infinitesimales están en un nivel más fino y también los hay con respecto a este nuevo nivel y así sucesivamente.

Infinitesimales en la enseñanza

Los libros de texto de cálculo basados ​​en infinitesimales incluyen el clásico Calculus Made Easy de Silvanus P. Thompson (que lleva el lema "Lo que un tonto puede hacer otro puede" ^[15] ) y el texto alemán Mathematik fur Mittlere Technische Fachschulen der Maschinenindustrie de R. Neuendorff. ^[16] Las obras pioneras basadas en los infinitesimales de Abraham Robinson incluyen textos de Stroyan (que datan de 1972) y Howard Jerome Keisler ( Cálculo elemental: un enfoque infinito ). Los estudiantes se identifican fácilmente con la noción intuitiva de una diferencia infinitesimal 1-" 0,999... ", donde "0,999..." difiere de su significado estándar como número real 1, y se reinterpreta como un decimal extendido infinito que es estrictamente menos de 1. ^{[17] [18]}

Otro texto de cálculo elemental que utiliza la teoría de los infinitesimales desarrollada por Robinson es Infinitesimal Calculus de Henle y Kleinberg, publicado originalmente en 1979. ^[19] Los autores introducen el lenguaje de la lógica de primer orden y demuestran la construcción de un modelo de primer orden. de los números hiperreales. El texto proporciona una introducción a los conceptos básicos del cálculo integral y diferencial en una dimensión, incluidas secuencias y series de funciones. En un Apéndice, también tratan la extensión de su modelo a los hiperhiperreales y demuestran algunas aplicaciones para el modelo extendido.

Un texto de cálculo elemental basado en un análisis infinitesimal fluido es Bell, John L. (2008). Introducción al análisis infinitesimal, segunda edición. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521887182.

Un texto de cálculo más reciente que utiliza infinitesimales es Dawson, C. Bryan (2022), Calculus Set Free: Infinitesimals to the Rescue, Oxford University Press. ISBN 9780192895608.

Funciones que tienden a cero

En un sentido relacionado pero algo diferente, que evolucionó a partir de la definición original de "infinitesimal" como una cantidad infinitamente pequeña, el término también se ha utilizado para referirse a una función que tiende a cero. Más precisamente, el Cálculo avanzado de Loomis y Sternberg define la clase de función de infinitesimales, como un subconjunto de funciones entre espacios vectoriales normados por ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$ ${\displaystyle f:V\to W}$

${\displaystyle {\mathfrak {I}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<\delta \implies ||f(\xi )||<\epsilon \}}$,

así como dos clases relacionadas (ver notación O grande ) por ${\displaystyle {\mathfrak {O}},{\mathfrak {o}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {O}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ (\exists r>0,c>0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<r\implies ||f(\xi )||\leq c||\xi ||\}}$, y

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ \lim _{||\xi ||\to 0}||f(\xi )||/||\xi ||=0\}}$. ^[20]

Las inclusiones del conjunto generalmente se mantienen. Que las inclusiones son adecuadas se demuestra mediante las funciones con valores reales de una variable real , y : ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)}$ ${\displaystyle f:x\mapsto |x|^{1/2}}$ ${\displaystyle g:x\mapsto x}$ ${\displaystyle h:x\mapsto x^{2}}$

${\displaystyle f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$pero y . ${\displaystyle f,g\notin {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f\notin {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$

Como aplicación de estas definiciones, un mapeo entre espacios vectoriales normados se define como diferenciable en si hay un [es decir, un mapeo lineal acotado ] tal que ${\displaystyle F:V\to W}$ ${\displaystyle \alpha \in V}$ ${\displaystyle T\in \mathrm {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle V\to W}$

${\displaystyle [F(\alpha +\xi )-F(\alpha )]-T(\xi )\in {\mathfrak {o}}(V,W)}$

en un barrio de . Si tal mapa existe, es único; este mapa se llama diferencial y se denota por , ^[21] coincidiendo con la notación tradicional para la noción clásica (aunque lógicamente defectuosa) de un diferencial como una "parte" infinitamente pequeña de F. Esta definición representa una generalización de la definición habitual de diferenciabilidad para funciones vectoriales de (subconjuntos abiertos de) espacios euclidianos. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle dF_{\alpha }}$

Matriz de variables aleatorias

Sea un espacio de probabilidad y sea . Un conjunto de variables aleatorias se llama infinitesimal si para cada uno tenemos: ^[22] ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \max _{1\leq k\leq k_{n}}\mathbb {P} \{\omega \in \Omega \mid \vert X_{n,k}(\omega )\vert \geq \epsilon \}\to 0{\text{ as }}n\to \infty }$

La noción de matriz infinitesimal es esencial en algunos teoremas del límite central y, por la monotonicidad del operador de expectativa, se ve fácilmente que cualquier matriz que satisfaga la condición de Lindeberg es infinitesimal, desempeñando así un papel importante en el teorema del límite central de Lindeberg (una generalización del teorema del límite central). ).

Ver también

• Portal de matemáticas

• función de cantor
• Diferencial (infinitesimal)
• forma indeterminada
• calculo infinitesimal
• Transformación infinitesimal
• Instante
• Cálculo no estándar
• Teoría de modelos

Notas

1. Arnold, VI Huygens y Barrow, Newton y Hooke. Pioneros en análisis matemático y teoría de catástrofes desde evolucionistas hasta cuasicristales . Traducido del ruso por Eric JF Primrose. Birkhäuser Verlag, Basilea, 1990. pág. 27
2. Bell, John L. (6 de septiembre de 2013). "Continuidad e infinitesimales". Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
3. Katz, Mikhail G .; Sherry, David (2012), "Los infinitesimales de Leibniz: su ficción, sus implementaciones modernas y sus enemigos desde Berkeley hasta Russell y más allá", Erkenntnis , 78 (3): 571–625, arXiv : 1205.0174 , doi :10.1007/s10670- 012-9370-y, S2CID  119329569
4. Reviel, Netz; Saito, Ken; Tchernetska, Natalie (2001). "Una nueva lectura de la propuesta del método 14: evidencia preliminar del palimpsesto de Arquímedes (parte 1)". Sciamvs . 2 : 9–29.
5. Arquímedes, El método de los teoremas mecánicos ; ver Palimpsesto de Arquímedes
6. Alejandro, Amir (2014). Infinitesimal: cómo una peligrosa teoría matemática dio forma al mundo moderno . Scientific American / Farrar, Straus y Giroux. ISBN 978-0-374-17681-5.
7. Berkeley, George (1734). El analista: un discurso dirigido a un matemático infiel. Londres.
8. Mormann, Thomas ; Katz, Mikhail (otoño de 2013). "Los infinitesimales como una cuestión de la filosofía de la ciencia neokantiana". HOPOS: Revista de la Sociedad Internacional de Historia de la Filosofía de la Ciencia . 3 (2): 236–280. arXiv : 1304.1027 . doi :10.1086/671348. JSTOR  10.1086/671348. S2CID  119128707.
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10. Shamseddine, Khodr. "Análisis sobre el campo Levi-Civita, una breve descripción" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 8 de junio de 2011.
11. Edgar, Gerald A. (2010). "Transseries para principiantes". Intercambio de análisis real . 35 (2): 253–310. arXiv : 0801.4877 . doi :10.14321/realanalexch.35.2.0253. S2CID  14290638.
12. Alling, Norman (enero de 1985), "El campo de números surrealistas de Conway" (PDF) , trans. América. Matemáticas. Soc. , 287 (1): 365–386, doi : 10.1090/s0002-9947-1985-0766225-7 , consultado el 5 de marzo de 2019
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18. Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2010). "¿Cuándo es .999... menos que 1?" (PDF) . "El entusiasta de las matemáticas de Montana ". 7 (1): 3–30. arXiv : 1007.3018 . doi : 10.54870/1551-3440.1381. ISSN  1551-3440. S2CID  11544878. Archivado desde el original (PDF) el 7 de diciembre de 2012 . Consultado el 7 de diciembre de 2012 .
19. Henle, James M.; Kleinberg, Eugenio (1979). Cálculo infinitesimal . The MIT Press, reeditado por Dover. ISBN 978-0-262-08097-2.
20. Loomis, Lynn Harold; Sternberg, Shlomo (2014). Cálculo avanzado. Hackensack, Nueva Jersey: World Scientific. págs. 138-142. ISBN 978-981-4583-92-3.
21. Esta notación no debe confundirse con muchos otros usos distintos de d en cálculo que están vagamente relacionados con la noción clásica de diferencial como "tomar un trozo infinitamente pequeño de algo": (1) en la expresión , indica Riemann -Integración de Stieltjes con respecto a la función integradora ; (2) en la expresión , simboliza la integración de Lebesgue con respecto a una medida ; (3) en la expresión , dV indica integración con respecto al volumen; (4) en la expresión , la letra d representa el operador derivado exterior, y así sucesivamente.... ${\displaystyle \int f(x)\,d\alpha (x)}$ ${\displaystyle d\alpha (x)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \int f\,d\mu }$ ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f\;dV}$ ${\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}}$
22. Barczyk, Adán; Janssen, Arnold; Pauly, Markus (2011). "Las asintóticas del estadístico L para variables no iid con colas pesadas" (PDF) . Probabilidad y Estadística Matemática . 31 (2): 285–299. Archivado (PDF) desde el original el 21 de agosto de 2019.

Referencias

• B. Crowell, "Cálculo" (2003)
• Dawson, C. Bryan, "El cálculo liberado: infinitesimales al rescate" (2022) Oxford University Press
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