Lógica intuicionista

Varios sistemas de lógica simbólica.

La lógica intuicionista , a veces llamada más generalmente lógica constructiva , se refiere a sistemas de lógica simbólica que difieren de los sistemas utilizados para la lógica clásica al reflejar más fielmente la noción de prueba constructiva . En particular, los sistemas de lógica intuicionista no asumen la ley del tercero excluido y la eliminación de la doble negación , que son reglas de inferencia fundamentales en la lógica clásica.

La lógica intuicionista formalizada fue desarrollada originalmente por Arend Heyting para proporcionar una base formal para el programa de intuicionismo de LEJ Brouwer . Desde una perspectiva de la teoría de la prueba , el cálculo de Heyting es una restricción de la lógica clásica en la que se han eliminado la ley del medio excluido y la eliminación de la doble negación. Sin embargo, la eliminación del medio excluido y la doble negación aún se pueden probar para algunas proposiciones caso por caso, pero no son válidas universalmente como ocurre con la lógica clásica. La explicación estándar de la lógica intuicionista es la interpretación BHK . ^[1]

Se han estudiado varios sistemas de semántica para la lógica intuicionista. Una de estas semánticas refleja la semántica clásica con valores booleanos , pero utiliza álgebras de Heyting en lugar de álgebras booleanas . Otra semántica utiliza modelos de Kripke . Éstos, sin embargo, son medios técnicos para estudiar el sistema deductivo de Heyting más que formalizaciones de las intuiciones semánticas informales originales de Brouwer. Los sistemas semánticos que afirman capturar tales intuiciones, debido a que ofrecen conceptos significativos de "verdad constructiva" (en lugar de simplemente validez o demostrabilidad), son la interpretación dialéctica de Kurt Gödel , la realizabilidad de Stephen Cole Kleene , la lógica de los problemas finitos de Yurii Medvedev, ^{[ 2]} o la lógica de computabilidad de Giorgi Japaridze . Sin embargo, tal semántica induce persistentemente lógicas propiamente más fuertes que la lógica de Heyting. Algunos autores han argumentado que esto podría ser un indicio de insuficiencia del propio cálculo de Heyting, considerando este último incompleto como lógica constructiva. ^[3]

Constructivismo matemático

En la semántica de la lógica clásica, a las fórmulas proposicionales se les asignan valores de verdad del conjunto de dos elementos ("verdadero" y "falso" respectivamente), independientemente de si tenemos evidencia directa para cualquiera de los casos. Esto se conoce como la "ley del tercero excluido", porque excluye la posibilidad de cualquier valor de verdad además de "verdadero" o "falso". Por el contrario, a las fórmulas proposicionales en la lógica intuicionista no se les asigna un valor de verdad definido y sólo se consideran "verdaderas" cuando tenemos evidencia directa, por lo tanto, prueba . (También podemos decir, en lugar de que la fórmula proposicional sea "verdadera" debido a la evidencia directa, que está habitada por una prueba en el sentido de Curry-Howard ). Por lo tanto, las operaciones en lógica intuicionista preservan la justificación , con respecto a la evidencia y la demostrabilidad, en lugar de valoración de la verdad. ${\displaystyle \{\top ,\bot \}}$

La lógica intuicionista es una herramienta de uso común en el desarrollo de enfoques del constructivismo en matemáticas. El uso de lógicas constructivistas en general ha sido un tema controvertido entre matemáticos y filósofos (véase, por ejemplo, la controversia Brouwer-Hilbert ). Una objeción común a su uso es la falta de dos reglas centrales de la lógica clásica, la ley del tercero excluido y la eliminación de la doble negación. David Hilbert los consideró tan importantes para la práctica de las matemáticas que escribió:

"Tomar el principio del medio excluido del matemático sería lo mismo, digamos, que prohibir el telescopio al astrónomo o al boxeador el uso de sus puños. Prohibir los enunciados de existencia y el principio del medio excluido equivale a renunciar a la ciencia. de las matemáticas por completo." ^[4]

La lógica intuicionista ha encontrado un uso práctico en matemáticas a pesar de los desafíos que presenta la incapacidad de utilizar estas reglas. Una razón para esto es que sus restricciones producen pruebas que tienen la propiedad de existencia , lo que lo hace también adecuado para otras formas de constructivismo matemático . Informalmente, esto significa que si hay una prueba constructiva de que un objeto existe, esa prueba constructiva puede usarse como un algoritmo para generar un ejemplo de ese objeto, un principio conocido como la correspondencia Curry-Howard entre pruebas y algoritmos. Una razón por la que este aspecto particular de la lógica intuicionista es tan valioso es que permite a los profesionales utilizar una amplia gama de herramientas computarizadas, conocidas como asistentes de prueba . Estas herramientas ayudan a sus usuarios en la generación y verificación de pruebas a gran escala, cuyo tamaño generalmente impide la verificación humana habitual que implica publicar y revisar una prueba matemática. Como tal, el uso de asistentes de prueba (como Agda o Coq ) está permitiendo a los matemáticos y lógicos modernos desarrollar y probar sistemas extremadamente complejos, más allá de aquellos que son factibles de crear y verificar únicamente a mano. Un ejemplo de una prueba que fue imposible de verificar satisfactoriamente sin una verificación formal es la famosa prueba del teorema de los cuatro colores . Este teorema dejó perplejos a los matemáticos durante más de cien años, hasta que se desarrolló una demostración que descartaba grandes clases de posibles contraejemplos, pero aún dejaba suficientes posibilidades como para que fuera necesario un programa de computadora para terminar la demostración. Esta prueba fue controvertida durante algún tiempo, pero luego se verificó utilizando Coq.

Sintaxis

La red Rieger-Nishimura. Sus nodos son las fórmulas proposicionales en una variable hasta la equivalencia lógica intuicionista , ordenadas por implicación lógica intuicionista.

La sintaxis de las fórmulas de la lógica intuicionista es similar a la lógica proposicional o lógica de primer orden . Sin embargo, los conectivos intuicionistas no se pueden definir entre sí de la misma manera que en la lógica clásica , por lo que su elección es importante. En lógica proposicional intuicionista (IPL) es habitual utilizar →, ∧, ∨, ⊥ como conectivos básicos, tratando ¬ A como una abreviatura de ( A → ⊥) . En lógica intuicionista de primer orden se necesitan ambos cuantificadores ∃, ∀.

Cálculo estilo Hilbert

La lógica intuicionista se puede definir utilizando el siguiente cálculo al estilo de Hilbert . Esto es similar a una forma de axiomatizar la lógica proposicional clásica. ^[5]

En lógica proposicional, la regla de inferencia es modus ponens

• MP: de e inferir ${\displaystyle \phi \to \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

y los axiomas son

• ENTONCES-1: ${\displaystyle \psi \to (\phi \to \psi )}$
• ENTONCES-2: ${\displaystyle {\big (}\chi \to (\phi \to \psi ){\big )}\to {\big (}(\chi \to \phi )\to (\chi \to \psi ){\big )}}$
• Y 1: ${\displaystyle \phi \land \chi \to \phi }$
• Y 2: ${\displaystyle \phi \land \chi \to \chi }$
• Y-3: ${\displaystyle \phi \to {\big (}\chi \to (\phi \land \chi ){\big )}}$
• O-1: ${\displaystyle \phi \to \phi \lor \chi }$
• O-2: ${\displaystyle \chi \to \phi \lor \chi }$
• O-3: ${\displaystyle (\phi \to \psi )\to {\Big (}(\chi \to \psi )\to {\big (}(\phi \lor \chi )\to \psi ){\Big )}}$
• FALSO: ${\displaystyle \bot \to \phi }$

Para hacer de este un sistema de lógica de predicados de primer orden, las reglas de generalización

• ${\displaystyle \forall }$-GEN: de inferir , si no está libre en ${\displaystyle \psi \to \phi }$ ${\displaystyle \psi \to (\forall x\ \phi )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi }$
• ${\displaystyle \exists }$-GEN: de inferir , si no está libre en ${\displaystyle \phi \to \psi }$ ${\displaystyle (\exists x\ \phi )\to \psi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi }$

se suman, junto con los axiomas

• PRED-1: , si el término está libre para ser sustituido por la variable en (es decir, si ninguna aparición de ninguna variable en se vincula en ) ${\displaystyle (\forall x\ \phi (x))\to \phi (t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi (t)}$
• PRED-2: , con la misma restricción que para PRED-1 ${\displaystyle \phi (t)\to (\exists x\ \phi (x))}$

Negación

Si se desea incluir un conectivo para la negación en lugar de considerarlo una abreviatura de , basta agregar: ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \phi \to \bot }$

• NO-1': ${\displaystyle (\phi \to \bot )\to \neg \phi }$
• NO-2': ${\displaystyle \neg \phi \to (\phi \to \bot )}$

Hay varias alternativas disponibles si se desea omitir el conectivo (falso). Por ejemplo, se pueden reemplazar los tres axiomas FALSO, NO-1' y NO-2' con los dos axiomas ${\displaystyle \bot }$

• NO-1: ${\displaystyle (\phi \to \chi )\to {\big (}(\phi \to \neg \chi )\to \neg \phi {\big )}}$
• NO-2: ${\displaystyle \chi \to (\neg \chi \to \psi )}$

como en Cálculo proposicional § Axiomas . Las alternativas a NOT-1 son o . ${\displaystyle (\phi \to \neg \chi )\to (\chi \to \neg \phi )}$ ${\displaystyle (\phi \to \neg \phi )\to \neg \phi }$

Equivalencia

El conectivo de equivalencia puede tratarse como una abreviatura, representando . Alternativamente, se pueden agregar los axiomas ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ${\displaystyle \phi \leftrightarrow \chi }$ ${\displaystyle (\phi \to \chi )\land (\chi \to \phi )}$

• FIB-1: ${\displaystyle (\phi \leftrightarrow \chi )\to (\phi \to \chi )}$
• FIB-2: ${\displaystyle (\phi \leftrightarrow \chi )\to (\chi \to \phi )}$
• FIB-3: ${\displaystyle (\phi \to \chi )\to ((\chi \to \phi )\to (\phi \leftrightarrow \chi ))}$

IFF-1 e IFF-2 pueden, si se desea, combinarse en un solo axioma mediante conjunción. ${\displaystyle (\phi \leftrightarrow \chi )\to ((\phi \to \chi )\land (\chi \to \phi ))}$

Cálculo secuencial

Gerhard Gentzen descubrió que una simple restricción de su sistema LK (su cálculo secuente para la lógica clásica) da como resultado un sistema sólido y completo con respecto a la lógica intuicionista. Llamó a este sistema LJ. En LK se permite que aparezca cualquier número de fórmulas en el lado de la conclusión de un secuente; por el contrario, LJ permite como máximo una fórmula en esta posición.

Otros derivados de LK se limitan a derivaciones intuicionistas pero aún permiten múltiples conclusiones en una secuencia. LJ' ^[6] es un ejemplo.

Teoremas

Los teoremas de la lógica pura son enunciados demostrables a partir de axiomas y reglas de inferencia. Por ejemplo, usar ENTONCES-1 en ENTONCES-2 lo reduce a . En esa página se ofrece una prueba formal de esto último utilizando el sistema de Hilbert . Con for , esto a su vez implica . En palabras: "Si ser así implica que es absurdo, entonces si se cumple, entonces no es así". Debido a la simetría del enunciado, de hecho se obtuvo ${\displaystyle {\big (}\chi \to (\phi \to \psi ){\big )}\to {\big (}\phi \to (\chi \to \psi ){\big )}}$ ${\displaystyle \bot }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (\chi \to \neg \phi )\to (\phi \to \neg \chi )}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle (\chi \to \neg \phi )\leftrightarrow (\phi \to \neg \chi )}$

Al explicar los teoremas de la lógica intuicionista en términos de la lógica clásica, se puede entender como un debilitamiento de la misma: es más conservador en lo que permite al razonador inferir, sin permitir nuevas inferencias que no se puedan hacer bajo la lógica clásica. Cada teorema de la lógica intuicionista es un teorema de la lógica clásica, pero no a la inversa. Muchas tautologías de la lógica clásica no son teoremas de la lógica intuicionista; en particular, como se dijo anteriormente, uno de los principales objetivos de la lógica intuicionista es no afirmar la ley del tercero excluido para viciar el uso de la prueba no constructiva por contradicción , que se puede utilizar para proporcionar afirmaciones de existencia sin proporcionar ejemplos explícitos de los objetos que demuestra que existen.

Negaciones dobles

Simplemente "no afirma" la ley del tercero excluido porque, si bien no es necesariamente cierto que la ley se respete en cualquier contexto, tampoco se puede dar ningún contraejemplo. Tal contraejemplo sería una inferencia (inferir la negación de la ley para una determinada proposición) no permitida bajo la lógica clásica y, por lo tanto, no está permitida en un debilitamiento estricto como la lógica intuicionista. Formalmente, es un teorema simple que para dos proposiciones cualesquiera. Considerar falso todo lo establecido demuestra que la doble negación de la ley se mantiene como tautología ya en la lógica mínima . Por tanto, el cálculo proposicional siempre es compatible con la lógica clásica. Cuando se supone que la ley implica una proposición, aplicando la contraposición dos veces y utilizando el tercero excluido doblemente negado, se pueden probar variantes doblemente negadas de varias tautologías estrictamente clásicas. La situación es más compleja para las fórmulas de lógica de predicados, cuando se niegan algunas expresiones cuantificadas. ${\displaystyle {\big (}(\psi \lor (\psi \to \varphi ))\to \varphi {\big )}\leftrightarrow \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \neg \neg (\psi \lor \neg \psi )}$

Similar a lo anterior, del modus ponens en la forma siguiente . La relación entre ellas siempre puede utilizarse para obtener nuevas fórmulas: una premisa debilitada genera una implicación fuerte, y viceversa. Por ejemplo, observe que si se cumple, entonces también se cumple , pero el esquema en la otra dirección implicaría el principio de eliminación de doble negación. Las proposiciones para las que es posible la eliminación por doble negación también se denominan estables. La lógica intuicionista demuestra estabilidad sólo para tipos restringidos de proposiciones, como las de forma negada. Se puede demostrar que una fórmula para la cual los medios excluidos son estables utiliza el silogismo disyuntivo , que se analiza con más detalle a continuación. Sin embargo, lo contrario no se cumple en general, a menos que el enunciado intermedio excluido en cuestión sea estable en sí mismo. Incluso más débil que is , que a su vez implica las tres afirmaciones equivalentes , y . Utilizando el silogismo disyuntivo, los cuatro anteriores son efectivamente equivalentes. Esto también da una derivación intuicionista válida de , ya que es equivalente a una identidad . ${\displaystyle \psi \to ((\psi \to \varphi )\to \varphi )}$ ${\displaystyle \psi \to \neg \neg \psi }$ ${\displaystyle (\neg \neg \psi )\to \phi }$ ${\displaystyle \psi \to \phi }$ ${\displaystyle \psi \to \phi }$ ${\displaystyle \neg \neg (\psi \to \phi )}$ ${\displaystyle \psi \to (\neg \neg \phi )}$ ${\displaystyle \neg \phi \to \neg \psi }$ ${\displaystyle (\neg \neg \psi )\to (\neg \neg \phi )}$ ${\displaystyle \neg \neg (\neg \neg \phi \to \phi )}$

Cuando expresa una afirmación, entonces su doble negación simplemente expresa la afirmación de que una refutación sería inconsistente. Haber demostrado tal mera doble negación también ayuda a negar otras afirmaciones mediante la introducción de la negación , como entonces . Una afirmación existencial doblemente negada no denota la existencia de una entidad con una propiedad, sino más bien el absurdo de la supuesta inexistencia de dicha entidad. Además, todos los principios de la siguiente sección que involucran cuantificadores explican el uso de implicaciones con una existencia hipotética como premisa. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \neg \neg \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (\phi \to \neg \psi )\to \neg \phi }$

Traducción de fórmulas

Debilitar las declaraciones agregando dos negaciones antes de los cuantificadores existenciales (y los átomos) es también el paso central en la traducción de la doble negación . Constituye una incorporación de la lógica clásica de primer orden a la lógica intuicionista: una fórmula de primer orden es demostrable en lógica clásica si y sólo si su traducción de Gödel-Gentzen es demostrable intuicionistamente. Por ejemplo, cualquier teorema de lógica proposicional clásica de la forma tiene una prueba que consiste en una prueba intuicionista de seguida de una aplicación de eliminación de doble negación. Por tanto, la lógica intuicionista puede verse como un medio para ampliar la lógica clásica con una semántica constructiva. ${\displaystyle \psi \to \phi }$ ${\displaystyle \psi \to \neg \neg \phi }$

No interdefinibilidad de operadores

La lógica mínima demuestra fácilmente los siguientes teoremas, relacionando la conjunción resp. disyunción a la implicación usando negación :

${\displaystyle (\phi \lor \psi )\to \neg (\neg \phi \land \neg \psi )}$

${\displaystyle (\phi \lor \psi )\to (\neg \phi \to \neg \neg \psi )}$, una variante debilitada del silogismo disyuntivo

resp.

${\displaystyle (\phi \land \psi )\to \neg (\neg \phi \lor \neg \psi )}$

${\displaystyle (\phi \land \psi )\to \neg (\phi \to \neg \psi )}$y de manera similar ${\displaystyle (\phi \to \psi )\to \neg (\phi \land \neg \psi )}$

De hecho, variantes más fuertes de estos, por ejemplo con todos reemplazados por en el lado anterior, todavía se mantienen, como se discutirá más adelante. Sin embargo, ninguna de estas cinco implicaciones puede revertirse sin implicar inmediatamente la exclusión del medio (considere para ) resp. eliminación de doble negación (considere verdadero ). Por tanto, los lados izquierdos no constituyen una posible definición de los lados derechos. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \neg \neg \psi }$ ${\displaystyle \neg \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

Por el contrario, en la lógica proposicional clásica es posible tomar uno de esos tres conectivos más la negación como primitivo y definir los otros dos en términos de él, de esta manera. Esto se hace, por ejemplo, en los tres axiomas de la lógica proposicional de Łukasiewicz . Incluso es posible definir todo en términos de un único operador suficiente , como la flecha de Peirce (NOR) o el trazo de Sheffer (NAND). De manera similar, en la lógica clásica de primer orden, uno de los cuantificadores se puede definir en términos del otro y de la negación. Éstas son fundamentalmente consecuencias de la ley de bivalencia , que hace que todos esos conectivos sean meras funciones booleanas . No es necesario que la ley de bivalencia se cumpla en la lógica intuicionista. Como resultado, no se puede prescindir de ninguno de los conectivos básicos y todos los axiomas anteriores son necesarios. Así pues, la mayoría de las identidades clásicas entre conectivos y cuantificadores son sólo teoremas de la lógica intuicionista en una dirección. Algunos de los teoremas van en ambas direcciones, es decir, son equivalencias, como se analiza más adelante.

Cuantificación existencial versus universal

En primer lugar, cuando no es libre en la proposición , entonces ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\big (}\exists x\,(\phi (x)\to \varphi ){\big )}\,\,\to \,\,{\Big (}{\big (}\forall x\ \phi (x){\big )}\to \varphi {\Big )}}$

Cuando el dominio del discurso está vacío, entonces, según el principio de explosión , una afirmación existencial implica cualquier cosa. Cuando el dominio contiene al menos un término, suponiendo que se excluya el término medio , la inversa de la implicación anterior también se vuelve demostrable, lo que significa que los dos lados se vuelven equivalentes. Esta dirección inversa equivale a la paradoja del bebedor (DP). Además, una variante existencial y dual del mismo viene dada por el principio de independencia de la premisa (PI). Clásicamente, la afirmación anterior es además equivalente a una forma más disyuntiva que se analiza más adelante. Sin embargo, desde un punto de vista constructivo, las afirmaciones de existencia son generalmente más difíciles de conseguir. ${\displaystyle \forall x\,\phi (x)}$

Si el dominio del discurso no está vacío y además es independiente de , tales principios equivalen a fórmulas del cálculo proposicional. Aquí, la fórmula simplemente expresa la identidad . Ésta es la forma cursi del modus ponens , que en el caso especial de una proposición falsa resulta en la ley del principio de no contradicción . Considerar una proposición falsa para la implicación original da como resultado la importante ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (\phi \to \varphi )\to (\phi \to \varphi )}$ ${\displaystyle ((\phi \to \varphi )\land \phi )\to \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \neg (\phi \land \neg \phi )}$ ${\displaystyle \varphi }$

• ${\displaystyle (\exists x\ \neg \phi (x))\to \neg (\forall x\ \phi (x))}$

En palabras: "Si existe una entidad que no tiene la propiedad , entonces se refuta lo siguiente : Cada entidad tiene la propiedad ". ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

La fórmula cuantificadora con negaciones también se deriva inmediatamente del principio de no contradicción derivado anteriormente, cada caso del cual ya se deriva del más particular . Para derivar una contradicción dada , basta con establecer su negación (en contraposición a la más fuerte ) y esto hace que demostrar dobles negaciones también sea valiosa. Del mismo modo, la fórmula del cuantificador original todavía se mantiene con debilitación a . Y así, de hecho, se cumple un teorema más fuerte: ${\displaystyle \neg (\neg \neg \phi \land \neg \phi )}$ ${\displaystyle \neg \phi }$ ${\displaystyle \neg \neg \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \forall x\ \phi (x)}$ ${\displaystyle \forall x{\big (}(\phi (x)\to \varphi )\to \varphi {\big )}}$

${\displaystyle (\exists x\ \neg \phi (x))\to \neg (\forall x\,\neg \neg \phi (x))}$

En palabras: "Si existe una entidad que no tiene la propiedad , entonces se refuta lo siguiente : Para cada entidad, no se puede probar que no tiene la propiedad ". ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

En segundo lugar,

${\displaystyle {\big (}\forall x\,(\phi (x)\to \varphi ){\big )}\,\,\leftrightarrow \,\,{\big (}(\exists x\ \phi (x))\to \varphi {\big )}}$

donde se aplican consideraciones similares. Aquí la parte existencial es siempre una hipótesis y ésta es una equivalencia. Considerando nuevamente el caso especial,

• ${\displaystyle (\forall x\ \neg \phi (x))\leftrightarrow \neg (\exists x\ \phi (x))}$

La conversión probada se puede utilizar para obtener dos implicaciones más: ${\displaystyle (\chi \to \neg \phi )\leftrightarrow (\phi \to \neg \chi )}$

${\displaystyle (\forall x\ \phi (x))\to \neg (\exists x\ \neg \phi (x))}$

${\displaystyle (\exists x\ \phi (x))\to \neg (\forall x\ \neg \phi (x))}$

Por supuesto, también se pueden derivar variantes de tales fórmulas que tengan las dobles negaciones en el antecedente. Un caso especial de la primera fórmula aquí es y esto es de hecho más fuerte que la dirección - del punto de equivalencia mencionado anteriormente. Para simplificar la discusión aquí y a continuación, las fórmulas generalmente se presentan en formas debilitadas sin todas las posibles inserciones de dobles negaciones en los antecedentes. ${\displaystyle (\forall x\,\neg \phi (x))\to \neg (\exists x\,\neg \neg \phi (x))}$ ${\displaystyle \to }$

Se mantienen variantes más generales. Al incorporar el predicado y el curry, la siguiente generalización también implica la relación entre implicación y conjunción en el cálculo de predicados, que se analiza a continuación. ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\big (}\forall x\ \phi (x)\to (\psi (x)\to \varphi ){\big )}\,\,\leftrightarrow \,\,{\Big (}{\big (}\exists x\ \phi (x)\land \psi (x){\big )}\to \varphi {\Big )}}$

Si el predicado es decididamente falso para todos , entonces esta equivalencia es trivial. Si es decididamente cierto para todos , el esquema simplemente se reduce a la equivalencia establecida anteriormente. En el lenguaje de clases , y , el caso especial de esta equivalencia con falso equivale a dos caracterizaciones de desunión : ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A=\{x\mid \phi (x)\}}$ ${\displaystyle B=\{x\mid \psi (x)\}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$

${\displaystyle \forall (x\in A).x\notin B\,\,\leftrightarrow \,\,\neg \exists (x\in A).x\in B}$

Disyunción versus conjunción

Existen variaciones finitas de las fórmulas cuantificadoras, con sólo dos proposiciones:

• ${\displaystyle (\neg \phi \lor \neg \psi )\to \neg (\phi \land \psi )}$
• ${\displaystyle (\neg \phi \land \neg \psi )\leftrightarrow \neg (\phi \lor \psi )}$

El primer principio no se puede revertir: considerar para implicaría el tercero débil excluido, es decir, el enunciado . Pero la lógica intuicionista por sí sola ni siquiera lo prueba . Entonces, en particular, no existe un principio de distributividad para las negaciones que derivan de la afirmación de . Para un ejemplo informal de lectura constructiva, considere lo siguiente: A partir de evidencia concluyente, si no es cierto que tanto Alice como Bob se presentaron a su cita, no se puede derivar evidencia concluyente, vinculada a cualquiera de las dos personas, de que esta persona no se presentó. Las proposiciones negadas son comparativamente débiles, en el sentido de que la clásicamente válida ley de De Morgan , que garantiza una disyunción a partir de un único supuesto negativo, no se cumple automáticamente de manera constructiva. En cambio , el cálculo proposicional intuicionista y algunas de sus extensiones exhiben la propiedad de disyunción , lo que implica que una de las disyunciones de cualquier disyunción individualmente también tendría que ser derivable. ${\displaystyle \neg \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \neg \psi \lor \neg \neg \psi }$ ${\displaystyle \neg \psi \lor \neg \neg \psi \lor (\neg \neg \psi \to \psi )}$ ${\displaystyle \neg \phi \lor \neg \psi }$ ${\displaystyle \neg (\phi \land \psi )}$

Las variantes inversas de estos dos ya se han mencionado anteriormente. Pero como se señaló, se mantienen formas más fuertes de estas fórmulas, por ejemplo . Esto se puede derivar fácilmente del principio de no contradicción, ya que todas las fórmulas tratan de derivar consecuencias absurdas a partir de hipótesis, y estas afirmaciones no tienen que colocarse en un orden particular. Por el mismo razonamiento, se puede obtener la forma mixta de las implicaciones, por ejemplo y . ${\displaystyle (\neg \neg \phi \land \neg \neg \psi )\to \neg (\neg \phi \lor \neg \psi )}$ ${\displaystyle (\neg \phi \lor \psi )\to \neg (\phi \land \neg \psi )}$ ${\displaystyle (\neg \phi \land \psi )\to \neg (\phi \lor \neg \psi )}$

En lógica de predicados, no implica el más fuerte , aunque las propiedades distributivas son válidas para cualquier número finito de proposiciones. Para una variante de la ley de De Morgan relativa a dos predicados decidibles existencialmente cerrados , véase LLPO . ${\displaystyle \forall x{\big (}\varphi \lor \psi (x){\big )}}$ ${\displaystyle \varphi \lor \forall x\,\psi (x)}$

Conjunción versus implicación

De la equivalencia general también se desprende importación-exportación , que expresa incompatibilidad de dos predicados utilizando dos conectivos diferentes:

• ${\displaystyle (\phi \to \neg \psi )\leftrightarrow \neg (\phi \land \psi )}$

Debido a la simetría de la conjunción conectiva, esto nuevamente implica lo ya establecido . La fórmula de equivalencia para la conjunción negada puede entenderse como un caso especial de curry y no curry. Nuevamente se aplican muchas más consideraciones sobre las dobles negaciones. Y los dos teoremas irreversibles que relacionan la conjunción y la implicación mencionados en la introducción se derivan de esta equivalencia. Uno es inverso y se mantiene simplemente porque es más fuerte que . ${\displaystyle (\phi \to \neg \psi )\leftrightarrow (\psi \to \neg \phi )}$ ${\displaystyle (\phi \to \psi )\to \neg (\phi \land \neg \psi )}$ ${\displaystyle \phi \to \psi }$ ${\displaystyle \phi \to \neg \neg \psi }$

Ahora bien, cuando se utiliza el principio en la siguiente sección, también se cumple la siguiente variante de este último, con más negaciones a la izquierda:

• ${\displaystyle \neg (\phi \to \psi )\leftrightarrow (\neg \neg \phi \land \neg \psi )}$

Una consecuencia es que

• ${\displaystyle \neg \neg (\phi \land \psi )\leftrightarrow (\neg \neg \phi \land \neg \neg \psi )}$

El análogo de esto para la disyunción no puede ser un teorema, ya que resultaría ser un tercero débil y excluido.

Disyunción versus implicación

Similar al modus ponens, claramente ya en lógica mínima, y ​​este teorema ni siquiera implica negaciones. Clásicamente, esto es una equivalencia. En lógica intuicionista, se obtienen variantes que involucran , de la siguiente manera. En primer lugar, tenga en cuenta que se pueden utilizar dos fórmulas diferentes para lo mencionado anteriormente para implicar . Estas últimas son formas del silogismo disyuntivo para proposiciones negadas . Una forma reforzada todavía se mantiene en la lógica intuicionista: ${\displaystyle (\phi \lor \psi )\to ((\phi \to \psi )\to \psi )}$ ${\displaystyle \bot }$ ${\displaystyle \neg (\phi \land \psi )}$ ${\displaystyle (\neg \phi \vee \neg \psi )\to (\phi \to \neg \psi )}$ ${\displaystyle \neg \psi }$

• ${\displaystyle (\neg \phi \lor \psi )\to (\phi \to \psi )}$

Como en secciones anteriores, las posiciones de y se pueden cambiar, dando un principio más sólido que el mencionado en la introducción. Además, puede estar debilitado a . Estos principios se pueden demostrar mediante la no contradicción y la explosión. Así, por ejemplo, intuicionistamente "O bien " es una fórmula proposicional más fuerte que "Si no , entonces ", mientras que ambas son clásicamente intercambiables. La implicación generalmente no se puede revertir, ya que implica inmediatamente un tercero excluido. ${\displaystyle \neg \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \neg \neg \phi }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Considerar en lugar de en la forma anterior del silogismo muestra cómo el tercero excluido implica eliminación de doble negación. ${\displaystyle \neg \neg \psi }$ ${\displaystyle \phi }$

Por supuesto, las fórmulas aquí establecidas se pueden combinar para obtener aún más variaciones. Por ejemplo, el silogismo disyuntivo tal como se presenta se generaliza a

${\displaystyle {\Big (}{\big (}\exists x\ \neg \phi (x){\big )}\lor \varphi {\Big )}\,\,\to \,\,{\Big (}{\big (}\forall x\ \phi (x){\big )}\to \varphi {\Big )}}$

Si algún término existe, el antecedente aquí incluso implica , que a su vez también implica la conclusión aquí (esta es nuevamente la primera fórmula mencionada en esta sección). ${\displaystyle \exists x{\big (}\phi (x)\to \varphi {\big )}}$

La mayor parte de la discusión en estas secciones se aplica igualmente a una lógica mínima. Pero en cuanto al silogismo disyuntivo con la lógica general , la lógica mínima puede demostrar a lo sumo dónde denota . La conclusión aquí sólo puede simplificarse al uso de explosión. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (\neg \phi \lor \psi )\to (\neg \neg \phi \to \psi ')}$ ${\displaystyle \psi '}$ ${\displaystyle \neg \neg \psi \land (\psi \lor \neg \psi )}$ ${\displaystyle \psi }$

Equivalencias

Las listas anteriores también contienen equivalencias. La equivalencia que involucra una conjunción y una disyunción surge de ser en realidad más fuerte que . Ambos lados de la equivalencia pueden entenderse como conjunciones de implicaciones independientes. Arriba, lo absurdo se usa para . En interpretaciones funcionales, corresponde a construcciones de cláusulas if . Entonces, por ejemplo, "No ( o )" es equivalente a "No , y tampoco ". ${\displaystyle (P\lor Q)\to R}$ ${\displaystyle P\to R}$ ${\displaystyle \bot }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Una equivalencia en sí misma generalmente se define como una conjunción de implicaciones y luego es equivalente a ella.

• ${\displaystyle (\phi \leftrightarrow \psi )\leftrightarrow {\big (}(\phi \to \psi )\land (\psi \to \phi ){\big )}}$

Con él, tales conectivos se vuelven a su vez definibles a partir de él:

• ${\displaystyle (\phi \to \psi )\leftrightarrow ((\phi \lor \psi )\leftrightarrow \psi )}$
• ${\displaystyle (\phi \to \psi )\leftrightarrow ((\phi \land \psi )\leftrightarrow \phi )}$
• ${\displaystyle (\phi \land \psi )\leftrightarrow ((\phi \to \psi )\leftrightarrow \phi )}$
• ${\displaystyle (\phi \land \psi )\leftrightarrow (((\phi \lor \psi )\leftrightarrow \psi )\leftrightarrow \phi )}$

A su vez, y son bases completas de los conectivos intuicionistas. ${\displaystyle \{\lor ,\leftrightarrow ,\bot \}}$ ${\displaystyle \{\land ,\leftrightarrow ,\neg \}}$

Conectivos funcionalmente completos

Como lo muestra Alexander V. Kuznetsov , cualquiera de los siguientes conectivos – el primero ternario, el segundo quinario – es por sí solo funcionalmente completo : cualquiera de los dos puede desempeñar el papel de único operador suficiente para la lógica proposicional intuicionista, formando así un análogo del trazo de Sheffer desde la lógica proposicional clásica: ^[7]

• ${\displaystyle {\big (}(P\lor Q)\land \neg R{\big )}\lor {\big (}\neg P\land (Q\leftrightarrow R){\big )}}$
• ${\displaystyle P\to {\big (}Q\land \neg R\land (S\lor T){\big )}}$

Semántica

La semántica es bastante más complicada que en el caso clásico. Una teoría modelo puede venir dada por las álgebras de Heyting o, de manera equivalente, por la semántica de Kripke . Recientemente, Bob Constable demostró que una teoría del modelo similar a Tarski estaba completa , pero con una noción de completitud diferente a la clásica.

A los enunciados no demostrados en la lógica intuicionista no se les da un valor de verdad intermedio (como a veces se afirma erróneamente). Se puede demostrar que tales declaraciones no tienen un valor de tercera verdad, un resultado que se remonta a Glivenko en 1928. ^[1] En cambio, siguen teniendo un valor de verdad desconocido, hasta que sean probadas o refutadas. Las afirmaciones se refutan deduciendo de ellas una contradicción.

Una consecuencia de este punto de vista es que la lógica intuicionista no se puede interpretar como una lógica de dos valores, ni siquiera como una lógica de valores finitos, en el sentido familiar. Aunque la lógica intuicionista conserva las proposiciones triviales de la lógica clásica, cada prueba de una fórmula proposicional se considera un valor proposicional válido, por lo que, según la noción de Heyting de proposiciones-como-conjuntos, las fórmulas proposicionales son conjuntos (potencialmente no finitos) de sus pruebas. ${\displaystyle \{\top ,\bot \}}$

Semántica del álgebra de Heyting

En lógica clásica, a menudo discutimos los valores de verdad que puede tomar una fórmula. Los valores suelen elegirse como miembros de un álgebra booleana . Las operaciones de encuentro y unión en el álgebra de Boole se identifican con los conectivos lógicos ∧ y ∨, de modo que el valor de una fórmula de la forma A ∧ B es el encuentro del valor de A y el valor de B en el álgebra de Boole. Entonces tenemos el útil teorema de que una fórmula es una proposición válida de la lógica clásica si y sólo si su valor es 1 para cada valoración , es decir, para cualquier asignación de valores a sus variables.

Un teorema correspondiente es válido para la lógica intuicionista, pero en lugar de asignar a cada fórmula un valor de un álgebra de Boole, se utilizan valores de un álgebra de Heyting , de las cuales las álgebras de Boole son un caso especial. Una fórmula es válida en lógica intuicionista si y sólo si recibe el valor del elemento superior para cualquier valoración en cualquier álgebra de Heyting.

Se puede demostrar que para reconocer fórmulas válidas basta considerar una única álgebra de Heyting cuyos elementos sean los subconjuntos abiertos de la recta real R. ^[8] En este álgebra tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Value}}[\bot ]&=\emptyset \\{\text{Value}}[\top ]&=\mathbf {R} \\{\text{Value}}[A\land B]&={\text{Value}}[A]\cap {\text{Value}}[B]\\{\text{Value}}[A\lor B]&={\text{Value}}[A]\cup {\text{Value}}[B]\\{\text{Value}}[A\to B]&={\text{int}}\left({\text{Value}}[A]^{\complement }\cup {\text{Value}}[B]\right)\end{aligned}}}$

donde int( X ) es el interior de X y X ^∁ su complemento .

La última identidad relativa a A → B nos permite calcular el valor de ¬ A :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Value}}[\neg A]&={\text{Value}}[A\to \bot ]\\&={\text{int}}\left({\text{Value}}[A]^{\complement }\cup {\text{Value}}[\bot ]\right)\\&={\text{int}}\left({\text{Value}}[A]^{\complement }\cup \emptyset \right)\\&={\text{int}}\left({\text{Value}}[A]^{\complement }\right)\end{aligned}}}$

Con estas asignaciones, las fórmulas intuicionistamente válidas son precisamente aquellas a las que se les asigna el valor de toda la línea. ^[8] Por ejemplo, la fórmula ¬( A ∧ ¬ A ) es válida, porque no importa qué conjunto X se elija como valor de la fórmula A , se puede demostrar que el valor de ¬( A ∧ ¬ A ) es el linea completa:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Value}}[\neg (A\land \neg A)]&={\text{int}}\left({\text{Value}}[A\land \neg A]^{\complement }\right)&&{\text{Value}}[\neg B]={\text{int}}\left({\text{Value}}[B]^{\complement }\right)\\&={\text{int}}\left(\left({\text{Value}}[A]\cap {\text{Value}}[\neg A]\right)^{\complement }\right)\\&={\text{int}}\left(\left({\text{Value}}[A]\cap {\text{int}}\left({\text{Value}}[A]^{\complement }\right)\right)^{\complement }\right)\\&={\text{int}}\left(\left(X\cap {\text{int}}\left(X^{\complement }\right)\right)^{\complement }\right)\\&={\text{int}}\left(\emptyset ^{\complement }\right)&&{\text{int}}\left(X^{\complement }\right)\subseteq X^{\complement }\\&={\text{int}}(\mathbf {R} )\\&=\mathbf {R} \end{aligned}}}$

Entonces la valoración de esta fórmula es verdadera y, de hecho, la fórmula es válida. Pero se puede demostrar que la ley del medio excluido, A ∨ ¬ A , no es válida utilizando un valor específico del conjunto de números reales positivos para A :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Value}}[A\lor \neg A]&={\text{Value}}[A]\cup {\text{Value}}[\neg A]\\&={\text{Value}}[A]\cup {\text{int}}\left({\text{Value}}[A]^{\complement }\right)&&{\text{Value}}[\neg B]={\text{int}}\left({\text{Value}}[B]^{\complement }\right)\\&=\{x>0\}\cup {\text{int}}\left(\{x>0\}^{\complement }\right)\\&=\{x>0\}\cup {\text{int}}\left(\{x\leqslant 0\}\right)\\&=\{x>0\}\cup \{x<0\}\\&=\{x\neq 0\}\\&\neq \mathbf {R} \end{aligned}}}$

La interpretación de cualquier fórmula intuicionistamente válida en el álgebra infinita de Heyting descrita anteriormente da como resultado que el elemento superior, que representa verdadero, sea la valoración de la fórmula, independientemente de los valores del álgebra que se asignen a las variables de la fórmula. ^[8] Por el contrario, para cada fórmula no válida, hay una asignación de valores a las variables que produce una valoración que difiere del elemento superior. ^{[9] [10]} Ningún álgebra de Heyting finita tiene la segunda de estas dos propiedades. ^[8]

Semántica de Kripke

Basándose en su trabajo sobre la semántica de la lógica modal , Saul Kripke creó otra semántica para la lógica intuicionista, conocida como semántica de Kripke o semántica relacional. ^{[11] [12] [5]}

Semántica tipo Tarski

Se descubrió que no era posible demostrar que la semántica tipo Tarski para la lógica intuicionista fuera completa. Sin embargo, Robert Constable ha demostrado que una noción más débil de integridad todavía es válida para la lógica intuicionista bajo un modelo tipo Tarski. En esta noción de integridad no nos preocupan todas las afirmaciones que son verdaderas para cada modelo, sino las afirmaciones que son verdaderas de la misma manera en cada modelo. Es decir, una única prueba de que el modelo considera que una fórmula es verdadera debe ser válida para todos los modelos. En este caso, no sólo hay una prueba de completitud, sino una que es válida según la lógica intuicionista. ^[13]

metalógico

Reglas admisibles

En la lógica intuicionista o en una teoría fija que utiliza la lógica, puede ocurrir que una implicación siempre se cumpla metateóricamente, pero no en el lenguaje. Por ejemplo, en el cálculo proposicional puro, si es demostrable, entonces también lo es . Otro ejemplo es que ser demostrable siempre significa también que también lo es . Se dice que el sistema está cerrado bajo estas implicaciones como reglas y pueden ser adoptadas. ${\displaystyle (\neg A)\to (B\lor C)}$ ${\displaystyle (\neg A\to B)\lor (\neg A\to C)}$ ${\displaystyle (A\to B)\to (A\lor C)}$ ${\displaystyle {\big (}(A\to B)\to A{\big )}\lor {\big (}(A\to B)\to C{\big )}}$

Relación con otras lógicas

Lógica paraconsistente

La lógica intuicionista está relacionada por dualidad con una lógica paraconsistente conocida como lógica brasileña , antiintuicionista o dual-intuicionista . ^[14]

El subsistema de lógica intuicionista al que se le ha eliminado el axioma FALSO (resp. NO-2) se conoce como lógica mínima y algunas diferencias se han explicado anteriormente.

Lógicas intermedias

En 1932, Kurt Gödel definió un sistema de lógica intermedio entre la lógica clásica y la intuicionista. De hecho, cualquier álgebra de Heyting finita que no sea equivalente a un álgebra de Boole define (semánticamente) una lógica intermedia . Por otro lado, la validez de las fórmulas en lógica intuicionista pura no está ligada a ningún álgebra de Heyting individual, sino que se relaciona con todas y cada una de las álgebras de Heyting al mismo tiempo.

Entonces, por ejemplo, para un esquema que no involucra negaciones, considere el clásicamente válido . Adoptar esta lógica intuicionista da como resultado la lógica intermedia llamada lógica de Gödel-Dummett. ${\displaystyle (A\to B)\lor (B\to A)}$

Relación con la lógica clásica

El sistema de lógica clásica se obtiene sumando cualquiera de los siguientes axiomas:

• ${\displaystyle \phi \lor \neg \phi }$(Ley del tercero excluido. También puede formularse como .) ${\displaystyle (\phi \to \chi )\to ((\neg \phi \to \chi )\to \chi )}$
• ${\displaystyle \neg \neg \phi \to \phi }$(Eliminación de doble negación)
• ${\displaystyle ((\phi \to \chi )\to \phi )\to \phi }$( ley de Peirce )
• ${\displaystyle (\neg \phi \to \neg \chi )\to (\chi \to \phi )}$(Ley de contraposición)

En general, se puede tomar como axioma adicional cualquier tautología clásica que no sea válida en el marco de Kripke de dos elementos (en otras palabras, que no esté incluida en la lógica de Smetanich ). ${\displaystyle \circ {\longrightarrow }\circ }$

Lógica multivalor

El trabajo de Kurt Gödel sobre la lógica de valores múltiples mostró en 1932 que la lógica intuicionista no es una lógica de valores finitos . ^[15] (Consulte la sección titulada Semántica del álgebra de Heyting más arriba para obtener una interpretación lógica de valor infinito de la lógica intuicionista).

Lógica modal

Cualquier fórmula de la lógica proposicional intuicionista (IPC) puede traducirse al lenguaje de la lógica modal normal S4 de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\bot ^{*}&=\bot \\A^{*}&=\Box A&&{\text{if }}A{\text{ is prime (a positive literal)}}\\(A\wedge B)^{*}&=A^{*}\wedge B^{*}\\(A\vee B)^{*}&=A^{*}\vee B^{*}\\(A\to B)^{*}&=\Box \left(A^{*}\to B^{*}\right)\\(\neg A)^{*}&=\Box (\neg (A^{*}))&&\neg A:=A\to \bot \end{aligned}}}$

y se ha demostrado que la fórmula traducida es válida en la lógica modal proposicional S4 si y sólo si la fórmula original es válida en IPC. ^[16] El conjunto de fórmulas anterior se denomina traducción de Gödel-McKinsey-Tarski . También existe una versión intuicionista de la lógica modal S4 llamada Lógica modal constructiva CS4. ^[17]

cálculo lambda

Existe un isomorfismo extendido de Curry-Howard entre el IPC y el cálculo lambda de tipo simple . ^[17]

Ver también

• Interpretación BHK
• Lógica de computabilidad
• Análisis constructivo
• prueba constructiva
• Teoría de conjuntos constructiva
• Correspondencia entre Curry y Howard
• Semántica del juego
• fórmula de harrop
• Heyting aritmética
• conjunto habitado
• Lógicas intermedias
• Teoría de tipos intuicionista
• Semántica de Kripke
• Lógica lineal
• Lógica paraconsistente
• Realizabilidad
• Teoría de la relevancia
• Análisis infinitesimal suave

• Portal de filosofía

Notas

1. Van Atten 2022.
2. Shehtman 1990.
3. Japaridze 2009.
4. Van Heijenoort : Hilbert (1927), p.476
5. Bezhanishvili y De Jongh, p. 8.
6. Takeuti 2013.
7. Chagrov y Zakharyaschev 1997, págs. 58–59.
8. Sørensen y Urzyczyn 2006, pág. 42.
9. Tarski 1938.
10. Rasiowa y Sikorski 1963, págs. 385–386.
11. Kripke 1965.
12. Moschovakis 2022.
13. Condestable y Bickford 2014.
14. Aoyama 2004.
15. Burgess 2014.
16. Levy 2011, págs. 4-5.
17. Alechina et al. 2003.

Referencias

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enlaces externos

• Van Atten, Mark (4 de mayo de 2022). "El desarrollo de la lógica intuicionista". En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .

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• Moschovakis, Joan (16 de diciembre de 2022). "Lógica intuicionista". En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .

• "Método de Tableaux para la lógica intuicionista mediante traducción S4". Laboratorio de Informática de Grenoble . prueba la validez intuicionista de fórmulas proposicionales