En lógica , la ley del tercero excluido (o principio del tercero excluido ) establece que para toda proposición , ya sea esta proposición o su negación es verdadera . [1] [2] Es una de las llamadas tres leyes del pensamiento , junto con la ley de no contradicción y la ley de identidad . Sin embargo, ningún sistema de lógica se basa únicamente en estas leyes, y ninguna de estas leyes proporciona reglas de inferencia , como el modus ponens o las leyes de De Morgan .
La ley también se conoce como ley (o principio ) del tercero excluido , en latín principium tertii exclusi . Otra designación latina para esta ley es tertium non datur o "no se da ninguna [posibilidad] tercera". En lógica clásica , la ley es una tautología .
El principio no debe confundirse con el principio semántico de bivalencia , que establece que toda proposición es verdadera o falsa. El principio de bivalencia siempre implica la ley del tercero excluido, mientras que lo contrario no siempre es cierto. Un contraejemplo comúnmente citado utiliza afirmaciones que no se pueden demostrar ahora, pero sí en el futuro, para mostrar que la ley del tercero excluido puede aplicarse cuando falla el principio de bivalencia. [3]
La formulación más antigua conocida se encuentra en la discusión de Aristóteles sobre el principio de no contradicción , propuesto por primera vez en Sobre la interpretación , [4] donde dice que de dos proposiciones contradictorias (es decir, cuando una proposición es la negación de la otra) una debe ser verdadera, y el otro falso. [5] También lo afirma como principio en el libro III de Metafísica , diciendo que en todo caso es necesario afirmar o negar, [6] y que es imposible que haya algo entre las dos partes de una contradicción. [7]
Aristóteles escribió que la ambigüedad puede surgir del uso de nombres ambiguos, pero no puede existir en los hechos mismos:
Es imposible, entonces, que "ser hombre" signifique precisamente "no ser hombre", si "hombre" no sólo significa algo sobre un tema, sino que también tiene un significado. … Y no será posible ser y no ser la misma cosa, sino en virtud de una ambigüedad, como si uno a quien llamamos "hombre", y otros llamaran "no-hombre"; pero la cuestión no es si una misma cosa puede ser al mismo tiempo y no ser un hombre de nombre, sino si puede serlo de hecho. ( Metafísica 4.4, WD Ross (trad.), GBWW 8, 525–526).
La afirmación de Aristóteles de que "no será posible ser y no ser lo mismo" se escribiría en lógica proposicional como ~( P ∧ ~ P ). En la llamada lógica clásica moderna, esta afirmación es equivalente a la ley del tercero excluido ( P ∨ ~ P ), a través de la distribución de la negación en la afirmación de Aristóteles. El primero afirma que ningún enunciado es verdadero y falso al mismo tiempo, mientras que el segundo exige que cualquier enunciado sea verdadero o falso.
Pero Aristóteles también escribe: "como es imposible que los contradictorios sean al mismo tiempo verdaderos de la misma cosa, evidentemente los contrarios tampoco pueden pertenecer al mismo tiempo a la misma cosa" (Libro IV, CH 6, p. 531). Luego propone que "no puede haber un término medio entre contradictorios, sino que de un sujeto debemos afirmar o negar cualquier predicado" (Libro IV, CH 7, p. 531). En el contexto de la lógica tradicional de Aristóteles , ésta es una declaración notablemente precisa de la ley del tercero excluido, P ∨ ~ P .
También en De la interpretación , Aristóteles parece negar la ley del tercero excluido en el caso de contingentes futuros , en su discusión sobre la batalla naval.
Su forma habitual, "Todo juicio es verdadero o falso" [nota al pie 9]..." (de Kolmogorov en van Heijenoort, p. 421) nota al pie 9: "Esta es la formulación muy simple de Leibniz (ver Nouveaux Essais , IV,2 )" (ibídem p. 421)
Russell y Whitehead enunciaron el principio como teorema de la lógica proposicional en Principia Mathematica como:
. [8]
Entonces, ¿qué es exactamente "verdad" y "falsedad"? En la apertura, el Primer Ministro anuncia rápidamente algunas definiciones:
Valores de verdad . El "valor de verdad" de una proposición es verdad si es verdadera y falsedad si es falsa* [*Esta frase se debe a Frege] … el valor de verdad de "p ∨ q" es verdad si el valor de verdad de ya sea p o q es verdad, y en caso contrario es falsedad... el de "~ p" es lo opuesto al de p..." (págs. 7-8)
Esto no es de mucha ayuda. Pero más tarde, en una discusión mucho más profunda ("Definición y ambigüedad sistemática de la Verdad y la Falsedad" Capítulo II parte III, p. 41 y siguientes), PM define la verdad y la falsedad en términos de una relación entre la "a" y la "b" y el "perceptor". Por ejemplo, "Esta 'a' es 'b ' " (p. ej., "Este 'objeto a' es 'rojo ' ") en realidad significa " 'objeto a' es un dato sensorial" y " 'rojo' es un dato sensorial". , y "están en relación" entre sí y en relación con "yo". Por lo tanto, lo que realmente queremos decir es: "Percibo que 'Este objeto a es rojo ' " y esta es una "verdad" innegable por terceros.
PM define además una distinción entre un "dato sensorial" y una "sensación":
Es decir, cuando juzgamos (decimos) "esto es rojo", lo que ocurre es una relación de tres términos, la mente, "esto" y "rojo". Por otro lado, cuando percibimos "el enrojecimiento de esto", hay una relación de dos términos, a saber, la mente y el objeto complejo "el enrojecimiento de esto" (págs. 43-44).
Russell reiteró su distinción entre "datos sensoriales" y "sensaciones" en su libro The Problems of Philosophy (1912), publicado al mismo tiempo que PM (1910-1913):
Demos el nombre de "datos sensoriales" a las cosas que se conocen inmediatamente en la sensación: cosas tales como colores, sonidos, olores, durezas, asperezas, etc. Daremos el nombre de "sensación" a la experiencia de ser inmediatamente consciente de estas cosas... El color en sí es un dato sensorial, no una sensación. (pág.12)
Russell describió además su razonamiento detrás de sus definiciones de "verdad" y "falsedad" en el mismo libro (Capítulo XII, Verdad y falsedad ).
De la ley del tercero excluido, fórmula ✸2.1 en Principia Mathematica , Whitehead y Russell derivan algunas de las herramientas más poderosas en el conjunto de herramientas de argumentación del lógico. (En Principia Mathematica, las fórmulas y proposiciones se identifican con un asterisco inicial y dos números, como "✸2.1".)
✸2.1 ~ p ∨ p "Esta es la Ley del tercero excluido" ( PM , p. 101).
La prueba de ✸2.1 es aproximadamente la siguiente: "idea primitiva" 1.08 define p → q = ~ p ∨ q . Sustituyendo p por q en esta regla se obtiene p → p = ~ p ∨ p . Dado que p → p es verdadero (este es el Teorema 2.08, que se demuestra por separado), entonces ~ p ∨ p debe ser verdadero.
✸2.11 p ∨ ~ p (La permutación de las afirmaciones está permitida por el axioma 1.4)
✸2.12 p → ~(~ p ) (Principio de doble negación, parte 1: si "esta rosa es roja" es cierto, entonces no es cierto que " 'esta rosa no es roja' es cierto".)
✸2.13 p ∨ ~{~(~ p )} (Lema junto con 2.12 usado para derivar 2.14)
✸2.14 ~(~ p ) → p (Principio de doble negación, parte 2)
✸2.15 (~ p → q ) → (~ q → p ) (Uno de los cuatro "Principios de transposición". Similar a 1.03, 1.16 y 1.17. Aquí se requirió una demostración muy larga.)
✸2.16 ( p → q ) → (~ q → ~ p ) (Si es cierto que "Si esta rosa es roja, entonces este cerdo vuela", entonces es cierto que "Si este cerdo no vuela, entonces esta rosa no es roja")
. 2.17 ( ~ p → ~ q ) → ( q → p ) (Otro de los "Principios de transposición".)
✸2.18 (~ p → p ) → p (Llamado "El complemento de reductio ad absurdum . Afirma que una proposición que se sigue de la hipótesis de su propia falsedad es verdadera" ( PM , págs. 103-104).)
La mayoría de estos teoremas, en particular ✸2.1, ✸2.11 y ✸2.14, son rechazados por el intuicionismo. Estas herramientas se reformulan en otra forma que Kolmogorov cita como "los cuatro axiomas de implicación de Hilbert" y "los dos axiomas de negación de Hilbert" (Kolmogorov en van Heijenoort, p. 335).
Proposiciones ✸2.12 y ✸2.14, "doble negación": Los escritos intuicionistas de LEJ Brouwer se refieren a lo que él llama "el principio de la reciprocidad de las especies múltiples , es decir, el principio de que para todo sistema la corrección de una propiedad se sigue de la imposibilidad de la imposibilidad de esta propiedad" (Brouwer, ibid, p. 335).
Este principio se denomina comúnmente "principio de doble negación" ( PM , págs. 101-102). De la ley del tercero excluido (✸2.1 y ✸2.11), PM deriva inmediatamente el principio ✸2.12. Sustituimos ~ p por p en 2.11 para obtener ~ p ∨ ~(~ p ), y por la definición de implicación (es decir, 1.01 p → q = ~p ∨ q) entonces ~p ∨ ~(~p)= p → ~ (~pag). QED (La derivación de 2.14 es un poco más complicada).
Es correcto, al menos para la lógica bivalente (es decir, se puede ver con un mapa de Karnaugh ), que esta ley elimina "el medio" de lo inclusivo (o utilizado en su ley (3). Y este es el punto de la demostración de Reichenbach de que algunos creen que el -o exclusivo debería ocupar el lugar del -o inclusivo .
Sobre esta cuestión (en términos, ciertamente, muy técnicos), Reichenbach observa:
En la línea (30) la "(x)" significa "para todos" o "para todos", forma utilizada por Russell y Reichenbach; hoy el simbolismo suele ser x . Así, un ejemplo de expresión quedaría así:
Desde finales del siglo XIX hasta la década de 1930, se desarrolló un debate amargo y persistente entre Hilbert y sus seguidores versus Hermann Weyl y LEJ Brouwer . La filosofía de Brouwer, llamada intuicionismo , comenzó en serio con Leopold Kronecker a finales del siglo XIX.
A Hilbert le disgustaban muchísimo las ideas de Kronecker:
Kronecker insistió en que no podría existir sin construcción. Para él, como para Paul Gordan [otro matemático anciano], la prueba de Hilbert de la finitud de la base del sistema invariante simplemente no era matemática. Hilbert, por otra parte, a lo largo de su vida insistió en que si se puede demostrar que los atributos asignados a un concepto nunca conducirán a una contradicción, con ello se establece la existencia matemática del concepto (Reid p. 34).
Su argumento [el de Kronecker] era que no se podía decir que nada tuviera existencia matemática a menos que pudiera construirse con un número finito de números enteros positivos (Reid p. 26).
El debate tuvo un profundo efecto en Hilbert. Reid indica que el segundo problema de Hilbert (uno de los problemas de Hilbert de la Segunda Conferencia Internacional en París en 1900) evolucionó a partir de este debate (cursiva en el original):
Por lo tanto, Hilbert estaba diciendo: "Si se demuestra que p y ~ p son ambos verdaderos, entonces p no existe", y con ello estaba invocando la ley del tercero excluido en forma de ley de contradicción.
Y finalmente los constructivistas... restringieron las matemáticas al estudio de operaciones concretas en estructuras finitas o potencialmente (pero no realmente) infinitas; totalidades infinitas completas... fueron rechazadas, al igual que la prueba indirecta basada en la Ley del Tercero Excluido. Los más radicales entre los constructivistas fueron los intuicionistas, liderados por el antiguo topólogo LEJ Brouwer (Dawson p. 49).
El rencoroso debate continuó desde principios del siglo XX hasta la década de 1920; en 1927, Brouwer se quejó de "polemizar contra él [el intuicionismo] en tonos burlones" (Brouwer en van Heijenoort, p. 492). Pero el debate fue fértil: dio como resultado los Principia Mathematica (1910-1913), y ese trabajo dio una definición precisa de la ley del tercero excluido, y todo esto proporcionó un marco intelectual y las herramientas necesarias para los matemáticos de principios del siglo XX. :
Del rencor, y en parte generado por él, surgieron varios acontecimientos lógicos importantes; La axiomatización de la teoría de conjuntos de Zermelo (1908a), a la que siguió dos años más tarde el primer volumen de Principia Mathematica , en el que Russell y Whitehead mostraron cómo, a través de la teoría de tipos, gran parte de la aritmética podía desarrollarse por medios logicistas (Dawson p. 49)
Brouwer redujo el debate al uso de pruebas diseñadas a partir de pruebas "negativas" o de "inexistencia" versus pruebas "constructivas":
En su conferencia de 1941 en Yale y en el artículo posterior, Gödel propuso una solución: "que la negación de una proposición universal debía entenderse como la afirmación de la existencia... de un contraejemplo" (Dawson, p. 157).
El enfoque de Gödel sobre la ley del tercero excluido fue afirmar que las objeciones contra "el uso de 'definiciones impredicativas ' " habían "tenido más peso" que "la ley del tercero excluido y los teoremas relacionados del cálculo proposicional" (Dawson p. 156). . Propuso su "sistema Σ... y concluyó mencionando varias aplicaciones de su interpretación. Entre ellas se encontraba una prueba de la coherencia con la lógica intuicionista del principio ~ (∀A: (A ∨ ~A)) (a pesar de la inconsistencia del supuesto ∃ A: ~ (A ∨ ~A))" (Dawson, p. 157) (no se había colocado ningún paréntesis de cierre)
El debate pareció debilitarse: matemáticos, lógicos e ingenieros siguen utilizando la ley del tercero excluido (y la doble negación) en su trabajo diario.
Lo siguiente destaca el profundo problema matemático y filosófico detrás de lo que significa "saber", y también ayuda a dilucidar lo que implica la "ley" (es decir, lo que la ley realmente significa). Surgen sus dificultades con la ley: que no quieren aceptar como verdaderas implicaciones extraídas de lo que es inverificable (incomprobable, incognoscible) o de lo imposible o falso. (Todas las citas son de van Heijenoort, cursiva agregada).
Brouwer ofrece su definición de "principio del tercero excluido"; Vemos aquí también la cuestión de la "capacidad de prueba":
La definición de Kolmogorov cita los dos axiomas de negación de Hilbert.
donde ∨ significa "o". La equivalencia de las dos formas se prueba fácilmente (p. 421)
Por ejemplo, si P es la proposición:
entonces la ley del tercero excluido sostiene que la disyunción lógica :
es verdadero en virtud únicamente de su forma. Es decir, la posición "intermedia", que Sócrates no es ni mortal ni no mortal, está excluida por la lógica y, por lo tanto, la primera posibilidad ( Sócrates es mortal ) o su negación ( no es el caso de que Sócrates sea mortal ) deben ser aceptadas. ser cierto.
A continuación se muestra un ejemplo de un argumento que depende de la ley del tercero excluido. [10] Buscamos demostrar que
Se sabe que es irracional (ver prueba ). considere el numero
Claramente (medio excluido) este número es racional o irracional. Si es racional, la demostración es completa y
Pero si es irracional, entonces dejemos
Entonces
y 2 es ciertamente racional. Esto concluye la prueba.
En el argumento anterior, la afirmación "este número es racional o irracional" invoca la ley del tercero excluido. Un intuicionista , por ejemplo, no aceptaría este argumento sin más apoyo a esa afirmación. Esto podría presentarse en forma de prueba de que el número en cuestión es de hecho irracional (o racional, según sea el caso); o un algoritmo finito que podría determinar si el número es racional.
La prueba anterior es un ejemplo de prueba no constructiva rechazada por los intuicionistas:
La demostración no es constructiva porque no proporciona números específicos que satisfagan el teorema, sino sólo dos posibilidades separadas, una de las cuales debe funcionar. (En realidad es irracional, pero no se conoce ninguna prueba fácil de ello). (Davis 2000:220)
(Las pruebas constructivas del ejemplo específico anterior no son difíciles de producir; por ejemplo, y se demuestra fácilmente que son irracionales y ; una prueba permitida por los intuicionistas).
Por no constructivo Davis quiere decir que "una prueba de que realmente hay entidades matemáticas que satisfacen ciertas condiciones no tendría que proporcionar un método para exhibir explícitamente las entidades en cuestión". (pág. 85). Tales pruebas suponen la existencia de una totalidad que es completa, una noción rechazada por los intuicionistas cuando se extiende al infinito ; para ellos, el infinito nunca puede completarse:
En las matemáticas clásicas existen pruebas de existencia no constructivas o indirectas , que los intuicionistas no aceptan. Por ejemplo, para demostrar que existe un n tal que P ( n ), el matemático clásico puede deducir una contradicción a partir del supuesto para todo n , no para P ( n ). Tanto en la lógica clásica como en la intuicionista, por reducción al absurdo esto no da para todos n, no P ( n ). La lógica clásica permite transformar este resultado en que existe un n tal que P ( n ), pero no en general el significado intuicionista... el clásico, que en algún lugar de la totalidad infinita completa de los números naturales ocurre un n tal que P ( n ), no está disponible para él, ya que no concibe los números naturales como una totalidad completa. [11] (Kleene 1952: 49-50)
David Hilbert y Luitzen EJ Brouwer dan ejemplos de la ley del tercero excluido extendida al infinito. El ejemplo de Hilbert: "la afirmación de que o hay un número finito de números primos o hay infinitos" (citado en Davis 2000:97); y el de Brouwer: "Toda especie matemática es finita o infinita". (Brouwer 1923 en van Heijenoort 1967:336). En general, los intuicionistas permiten el uso de la ley del tercero excluido cuando se limita al discurso sobre colecciones finitas (conjuntos), pero no cuando se usa en el discurso sobre conjuntos infinitos (por ejemplo, los números naturales). Así, los intuicionistas rechazan en absoluto la afirmación general: "Para todas las proposiciones P relativas a conjuntos infinitos D : P o ~ P " (Kleene 1952:48). [12]
Los contraejemplos putativos de la ley del tercero excluido incluyen la paradoja del mentiroso o la paradoja de Quine . Ciertas resoluciones de estas paradojas, particularmente el dialeteísmo de Graham Priest formalizado en LP, tienen la ley del tercero excluido como teorema, pero resuelven al Mentiroso como verdadero y falso. De esta manera, la ley del tercero excluido es verdadera, pero como la verdad misma, y por tanto la disyunción, no es excluyente, no dice casi nada si una de las disyunciones es paradójica, o si es verdadera y falsa a la vez.
El Catuṣkoṭi (tetralemma) es una antigua alternativa a la ley del tercero excluido, que examina las cuatro posibles asignaciones de valores de verdad a una proposición y su negación. Ha sido importante en la lógica india y la lógica budista , así como en la antigua escuela filosófica griega conocida como pirronismo .
Muchos sistemas lógicos modernos reemplazan la ley del tercero excluido con el concepto de negación como fracaso . En lugar de que una proposición sea verdadera o falsa, una proposición es verdadera o no se puede demostrar que sea verdadera. [13] Estas dos dicotomías sólo difieren en sistemas lógicos que no son completos . El principio de negación como fracaso se utiliza como base de la lógica autoepistémica y se utiliza ampliamente en la programación lógica . En estos sistemas, el programador es libre de afirmar la ley del tercero excluido como un hecho verdadero, pero no está incorporada a priori en estos sistemas.
Matemáticos como L. E. J. Brouwer y Arend Heyting también han cuestionado la utilidad de la ley del tercero excluido en el contexto de las matemáticas modernas. [14]
En la lógica matemática moderna , se ha argumentado que el tercero excluido resulta en una posible autocontradicción . En lógica es posible formular proposiciones bien construidas que no pueden ser ni verdaderas ni falsas; un ejemplo común de esto es la " paradoja del mentiroso ", [15] la afirmación "esta afirmación es falsa", que se argumenta para sí misma no es ni verdadera ni falsa. Arthur Prior ha sostenido que La Paradoja no es un ejemplo de una afirmación que no pueda ser verdadera o falsa. La ley del tercero excluido todavía se cumple aquí, ya que a la negación de esta afirmación "Esta afirmación no es falsa" se le puede asignar como verdadera. En la teoría de conjuntos , esta paradoja autorreferencial puede construirse examinando el conjunto "el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos". Este conjunto está definido sin ambigüedades, pero conduce a la paradoja de Russell : [16] [17] ¿el conjunto se contiene a sí mismo, como uno de sus elementos? Sin embargo, en la moderna teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , este tipo de contradicción ya no se admite. Además, las paradojas de la autorreferencia pueden construirse sin siquiera invocar la negación en absoluto, como en la paradoja de Curry . [ cita necesaria ]
Algunos sistemas de lógica tienen leyes diferentes pero análogas. Para algunas lógicas finitas con valores n , existe una ley análoga llamada ley de n +1º excluido . Si la negación es cíclica y "∨" es un "operador máximo", entonces la ley se puede expresar en el lenguaje objeto mediante (P ∨ ~P ∨ ~~P ∨ ... ∨ ~...~P), donde " ~...~" representa n −1 signos de negación y "∨ ... ∨" n −1 signos de disyunción. Es fácil comprobar que la oración debe recibir al menos uno de los n valores de verdad (y no un valor que no sea uno de los n ).
Otros sistemas rechazan la ley por completo. [ especificar ]
Una lógica intermedia particularmente bien estudiada es la lógica de De Morgan , que agrega el axioma a la lógica intuicionista , que a veces se llama la ley del medio excluido débil.
Esto equivale a algunas otras declaraciones:
