Los fundamentos de las matemáticas son el estudio de las bases filosóficas , lógicas [1] y/o algorítmicas de las matemáticas o, en un sentido más amplio, la investigación matemática de lo que subyace a las teorías filosóficas sobre la naturaleza de las matemáticas. [2] En este último sentido, la distinción entre fundamentos de las matemáticas y filosofía de las matemáticas resulta vaga. Los fundamentos de las matemáticas pueden concebirse como el estudio de los conceptos matemáticos básicos (conjunto, función, figura geométrica, número, etc.) y cómo forman jerarquías de estructuras y conceptos más complejos, especialmente las estructuras de importancia fundamental que forman el lenguaje de las matemáticas. (fórmulas, teorías y sus modelos que dan significado a fórmulas, definiciones, pruebas, algoritmos, etc.) también llamados conceptos metamatemáticos , con la vista puesta en los aspectos filosóficos y la unidad de las matemáticas. La búsqueda de los fundamentos de las matemáticas es una cuestión central de la filosofía de las matemáticas; La naturaleza abstracta de los objetos matemáticos presenta desafíos filosóficos especiales.
Los fundamentos de las matemáticas en su conjunto no pretenden contener los fundamentos de cada tema matemático. Generalmente, los fundamentos de un campo de estudio se refieren a un análisis más o menos sistemático de sus conceptos más básicos o fundamentales, su unidad conceptual y su ordenamiento natural o jerarquía de conceptos, que pueden ayudar a conectarlo con el resto de la ciencia humana. conocimiento. El desarrollo, surgimiento y clarificación de los fundamentos pueden llegar tarde en la historia de un campo y es posible que no todos lo consideren la parte más interesante.
Las matemáticas desempeñan un papel especial en el pensamiento científico, sirviendo desde la antigüedad como modelo de verdad y rigor para la investigación racional, y dando herramientas o incluso fundamento para otras ciencias (especialmente la Física). Los numerosos avances de las matemáticas hacia abstracciones superiores en el siglo XIX trajeron nuevos desafíos y paradojas, instando a un examen más profundo y sistemático de la naturaleza y los criterios de la verdad matemática , así como a una unificación de las diversas ramas de las matemáticas en un todo coherente.
La búsqueda sistemática de los fundamentos de las matemáticas comenzó a finales del siglo XIX y formó una nueva disciplina matemática llamada lógica matemática , que más tarde tuvo fuertes vínculos con la informática teórica . Pasó por una serie de crisis con resultados paradójicos, hasta que los descubrimientos se estabilizaron durante el siglo XX como un cuerpo grande y coherente de conocimiento matemático con varios aspectos o componentes ( teoría de conjuntos , teoría de modelos , teoría de la prueba , etc.), cuyas propiedades detalladas y sus posibles variantes siguen siendo un campo de investigación activo. Su alto nivel de sofisticación técnica inspiró a muchos filósofos a conjeturar que puede servir como modelo o patrón para los fundamentos de otras ciencias.
Si bien la práctica de las matemáticas se había desarrollado previamente en otras civilizaciones, en el trabajo de los antiguos griegos era claramente evidente un interés especial en sus aspectos teóricos y fundamentales.
Los primeros filósofos griegos discutieron sobre cuál es más básico, la aritmética o la geometría.Zenón de Elea (490 – c. 430 a. C.) produjo cuatro paradojas que parecen mostrar la imposibilidad de cambio. La escuela pitagórica de matemáticas insistió originalmente en que sólo existen números naturales y racionales. El descubrimiento de la irracionalidad de √ 2 , la relación entre la diagonal de un cuadrado y su lado (alrededor del siglo V a. C.), fue para ellos un shock que sólo aceptaron de mala gana. La discrepancia entre racionales y reales fue finalmente resuelta por Eudoxo de Cnido (408-355 a. C.), un alumno de Platón , que redujo la comparación de dos razones irracionales a comparaciones de múltiplos de las magnitudes involucradas. Su método anticipó el del corte de Dedekind en la definición moderna de números reales de Richard Dedekind (1831-1916). [3]
En los Análisis posteriores , Aristóteles (384-322 a. C.) estableció el método axiomático para organizar lógicamente un campo de conocimiento mediante conceptos, axiomas, postulados, definiciones y teoremas primitivos. Aristóteles tomó la mayoría de sus ejemplos de la aritmética y de la geometría. Este método alcanzó su punto culminante con los Elementos de Euclides (300 a. C.), un tratado de matemáticas estructurado con muy altos estándares de rigor: Euclides justifica cada proposición mediante una demostración en forma de cadenas de silogismos (aunque no siempre se ajustan estrictamente a ellas). a modelos aristotélicos). La lógica silogística de Aristóteles, junto con el método axiomático ejemplificado por los Elementos de Euclides , son reconocidos como logros científicos de la antigua Grecia.
A partir de finales del siglo XIX, una visión platónica de las matemáticas se volvió común entre los matemáticos practicantes. [ cita necesaria ]
Los conceptos o, como dirían los platónicos, los objetos de las matemáticas son abstractos y alejados de la experiencia perceptiva cotidiana: las figuras geométricas se conciben como idealidades que deben distinguirse de los dibujos y formas efectivos de los objetos, y los números no se confunden con el conteo de objetos concretos. objetos. Su existencia y naturaleza presentan desafíos filosóficos especiales: ¿En qué se diferencian los objetos matemáticos de su representación concreta? ¿Están ubicados en su representación, en nuestra mente o en algún otro lugar? ¿Cómo podemos conocerlos?
Los antiguos filósofos griegos se tomaban muy en serio estas cuestiones. De hecho, muchas de sus discusiones filosóficas generales se llevaron a cabo con amplia referencia a la geometría y la aritmética. Platón (424/423 a. C. – 348/347 a. C.) insistió en que los objetos matemáticos, al igual que otras Ideas platónicas (formas o esencias), deben ser perfectamente abstractos y tener un tipo de existencia separada y no material, en un mundo de objetos matemáticos independientes. de los humanos. Creía que las verdades sobre estos objetos también existen independientemente de la mente humana, pero son descubiertas por los humanos. En Menón, el maestro de Platón, Sócrates afirma que es posible llegar a conocer esta verdad mediante un proceso similar a la recuperación de la memoria.
Encima de la puerta de entrada a la academia de Platón apareció una famosa inscripción: "Que no entre aquí nadie que ignore la geometría". De esta manera Platón manifestó su alta opinión sobre la geometría. Consideraba la geometría como "el primer elemento esencial en la formación de los filósofos", por su carácter abstracto.
Esta filosofía del realismo matemático platónico es compartida por muchos matemáticos. [ cita necesaria ] Algunos autores sostienen que el platonismo de alguna manera surge como un supuesto necesario subyacente a cualquier trabajo matemático. [4]
Desde este punto de vista, las leyes de la naturaleza y las leyes de las matemáticas tienen un estatus similar y su eficacia deja de ser irrazonable. La base no son nuestros axiomas, sino el mundo real de los objetos matemáticos.
Aristóteles analizó y rechazó esta visión en su Metafísica . Estas preguntas proporcionan mucho combustible para el análisis y el debate filosófico.
Durante más de 2.000 años, los Elementos de Euclides constituyeron una base perfectamente sólida para las matemáticas, ya que su metodología de exploración racional guió a matemáticos, filósofos y científicos hasta bien entrado el siglo XIX.
En la Edad Media se produjo una disputa sobre el estatus ontológico de los universales (Ideas platónicas): el realismo afirmó su existencia independientemente de la percepción; el conceptualismo afirmó su existencia únicamente dentro de la mente; el nominalismo negó ambas cosas, viendo sólo los universales como nombres de colecciones de objetos individuales (siguiendo especulaciones más antiguas de que eran palabras, " logoi ").
René Descartes publicó La Géométrie (1637), cuyo objetivo era reducir la geometría al álgebra mediante sistemas de coordenadas, dándole al álgebra un papel más fundacional (mientras los griegos utilizaban longitudes para definir los números que actualmente se llaman números reales ). El libro de Descartes se hizo famoso después de 1649 y abrió el camino al cálculo infinitesimal.
Isaac Newton (1642-1727) en Inglaterra y Leibniz (1646-1716) en Alemania desarrollaron independientemente el cálculo infinitesimal sobre una base que requería nuevos fundamentos. En particular, Leibniz describió los infinitesimales como números infinitamente cercanos a cero, un concepto que no encaja en el marco fundamental anterior de las matemáticas y no se formalizó antes del siglo XX. Las fuertes implicaciones del cálculo infinitesimal en los fundamentos de las matemáticas se ilustran en un folleto del filósofo protestante George Berkeley (1685-1753), quien escribió: "[Los infinitesimales] no son cantidades finitas, ni cantidades infinitamente pequeñas, ni nada. ¿Llamarlos los fantasmas de las cantidades fallecidas?". [5] Leibniz también trabajó en lógica, pero la mayoría de sus escritos al respecto permanecieron inéditos hasta 1903.
En los siglos siguientes, las matemáticas se desarrollaron muy rápidamente y con éxito en aplicaciones físicas.
En el siglo XIX , las matemáticas se volvieron cada vez más abstractas. Las preocupaciones sobre las lagunas lógicas y las inconsistencias en diferentes campos llevaron al desarrollo de sistemas axiomáticos.
Cauchy (1789-1857) inició el proyecto de formular y demostrar los teoremas del cálculo infinitesimal de manera rigurosa, rechazando el principio heurístico de la generalidad del álgebra explotado por autores anteriores. En su obra Cours d'Analyse de 1821 , define cantidades infinitamente pequeñas en términos de secuencias decrecientes que convergen a 0, que luego utilizó para definir la continuidad. Pero no formalizó su noción de convergencia.
La definición moderna (ε, δ) de funciones límite y continuas fue desarrollada por primera vez por Bolzano en 1817, pero permaneció relativamente desconocida. Proporciona una base rigurosa del cálculo infinitesimal basado en el conjunto de números reales, resolviendo posiblemente las paradojas de Zenón y los argumentos de Berkeley.
Matemáticos como Karl Weierstrass (1815-1897) descubrieron funciones patológicas como funciones continuas y no diferenciables en ninguna parte . Las concepciones anteriores de una función como regla de cálculo, o una gráfica suave, ya no eran adecuadas. Weierstrass comenzó a defender la aritmetización del análisis , axiomatizar el análisis utilizando propiedades de los números naturales.
En 1858, Dedekind propuso una definición de los números reales como fracciones de números racionales. Esta reducción de los números reales y las funciones continuas en términos de números racionales, y por tanto de números naturales, fue posteriormente integrada por Cantor en su teoría de conjuntos y axiomatizada en términos de aritmética de segundo orden por Hilbert y Bernays.
Por primera vez se exploraron los límites de las matemáticas. Niels Henrik Abel (1802–1829), noruego, y Évariste Galois , (1811–1832), francés, investigaron las soluciones de varias ecuaciones polinómicas y demostraron que no existe una solución algebraica general para ecuaciones de grado mayor que cuatro ( Abel –Teorema de Ruffini ). Con estos conceptos, Pierre Wantzel (1837) demostró que la regla y el compás por sí solos no pueden trisecar un ángulo arbitrario ni duplicar un cubo . En 1882, Lindemann , basándose en el trabajo de Hermite , demostró que una cuadratura del círculo con regla y compás (construcción de un cuadrado igual en área a un círculo dado) también era imposible al demostrar que π es un número trascendental . Los matemáticos habían intentado en vano resolver todos estos problemas desde la época de los antiguos griegos.
Los trabajos de Abel y Galois abrieron el camino para los desarrollos de la teoría de grupos (que luego se utilizaría para estudiar la simetría en la física y otros campos), y el álgebra abstracta . Los conceptos de espacios vectoriales surgieron desde la concepción de coordenadas baricéntricas de Möbius en 1827, hasta la definición moderna de espacios vectoriales y mapas lineales de Peano en 1888. La geometría ya no se limitaba a tres dimensiones. Estos conceptos no generalizaban números sino que combinaban nociones de funciones y conjuntos que aún no estaban formalizados, rompiendo con los objetos matemáticos familiares.
Después de muchos intentos fallidos de derivar el postulado de las paralelas a partir de otros axiomas, el estudio de la todavía hipotética geometría hiperbólica realizado por Johann Heinrich Lambert (1728-1777) lo llevó a introducir las funciones hiperbólicas y calcular el área de un triángulo hiperbólico (donde la suma de ángulos es inferior a 180°). Luego, el matemático ruso Nikolai Lobachevsky (1792-1856) estableció en 1826 (y publicó en 1829) la coherencia de esta geometría (y por tanto la independencia del postulado de las paralelas ), en paralelo con el matemático húngaro János Bolyai (1802-1860) en 1832. y con Gauss . Más tarde, en el siglo XIX, el matemático alemán Bernhard Riemann desarrolló la geometría elíptica , otra geometría no euclidiana en la que no se pueden encontrar paralelos y la suma de los ángulos de un triángulo es superior a 180°. Se demostró que era coherente al definir punto como un par de puntos antípodas en una esfera fija y línea como un círculo máximo en la esfera. En ese momento, el método principal para demostrar la coherencia de un conjunto de axiomas era proporcionar un modelo para el mismo.
Una de las trampas de un sistema deductivo es el razonamiento circular , un problema que parecía afectar a la geometría proyectiva hasta que fue resuelto por Karl von Staudt . Como lo explican los historiadores rusos: [6]
A mediados del siglo XIX hubo una enconada controversia entre los defensores de los métodos sintéticos y analíticos en geometría proyectiva, acusándose ambas partes de mezclar conceptos proyectivos y métricos. De hecho, el concepto básico que se aplica en la presentación sintética de la geometría proyectiva, la proporción cruzada de cuatro puntos de una línea, se introdujo considerando las longitudes de los intervalos.
El enfoque puramente geométrico de von Staudt se basó en el cuadrilátero completo para expresar la relación de conjugados armónicos proyectivos . Luego creó un medio para expresar las propiedades numéricas familiares con su Álgebra de lanzamientos . Se pueden encontrar versiones en inglés de este proceso de deducir las propiedades de un campo en el libro de Oswald Veblen y John Young, Projective Geometry (1938), o más recientemente en Four Pillars of Geometry (2005) de John Stillwell . Stillwell escribe en la página 120
... la geometría proyectiva es más simple que el álgebra en cierto sentido, porque usamos sólo cinco axiomas geométricos para derivar los nueve axiomas de campo.
El álgebra de lanzamientos se considera comúnmente como una característica de las razones cruzadas, ya que los estudiantes normalmente dependen de los números sin preocuparse por su base. Sin embargo, los cálculos de relaciones cruzadas utilizan características métricas de la geometría, características no admitidas por los puristas. Por ejemplo, en 1961 Coxeter escribió Introducción a la geometría sin mencionar la relación cruzada.
Los intentos de un tratamiento formal de las matemáticas comenzaron con Leibniz y Lambert (1728-1777) y continuaron con trabajos de algebristas como George Peacock (1791-1858). Los tratamientos matemáticos sistemáticos de la lógica llegaron con el matemático británico George Boole (1847) quien ideó un álgebra que pronto evolucionó hacia lo que hoy se llama álgebra booleana , en la que los únicos números eran el 0 y el 1 y las combinaciones lógicas (conjunción, disyunción, implicación y negación). ) son operaciones similares a la suma y multiplicación de números enteros. Además, De Morgan publicó sus leyes en 1847. La lógica se convirtió así en una rama de las matemáticas. El álgebra booleana es el punto de partida de la lógica matemática y tiene importantes aplicaciones en informática .
Charles Sanders Peirce se basó en el trabajo de Boole para desarrollar un sistema lógico para relaciones y cuantificadores , que publicó en varios artículos entre 1870 y 1885.
El matemático alemán Gottlob Frege (1848-1925) presentó un desarrollo independiente de la lógica con cuantificadores en su Begriffsschrift (lenguaje de fórmulas) publicado en 1879, una obra generalmente considerada como un punto de inflexión en la historia de la lógica. Expuso deficiencias en la lógica de Aristóteles y señaló las tres propiedades esperadas de una teoría matemática [ cita necesaria ]
Luego mostró en Grundgesetze der Arithmetik (Leyes básicas de la aritmética) cómo se podía formalizar la aritmética en su nueva lógica.
La obra de Frege fue popularizada por Bertrand Russell a principios de siglo. Pero la notación bidimensional de Frege no tuvo éxito. Las notaciones populares fueron (x) para cuantificadores universales y (∃x) para cuantificadores existenciales, provenientes de Giuseppe Peano y William Ernest Johnson hasta que Gerhard Gentzen introdujo el símbolo ∀ en 1935 y se volvió canónico en la década de 1960.
De 1890 a 1905, Ernst Schröder publicó Vorlesungen über die Algebra der Logik en tres volúmenes. Este trabajo resumió y amplió el trabajo de Boole, De Morgan y Peirce, y fue una referencia integral a la lógica simbólica tal como se entendía a finales del siglo XIX.
La formalización de la aritmética (la teoría de los números naturales ) como teoría axiomática comenzó con Peirce en 1881 y continuó con Richard Dedekind y Giuseppe Peano en 1888. Se trataba todavía de una axiomatización de segundo orden (que expresaba la inducción en términos de subconjuntos arbitrarios, es decir, con un uso implícito de la teoría de conjuntos ) ya que aún no se entendían las preocupaciones por expresar teorías en lógica de primer orden . En el trabajo de Dedekind, este enfoque aparece caracterizando completamente los números naturales y proporcionando definiciones recursivas de suma y multiplicación a partir de la función sucesora y la inducción matemática .
La crisis fundacional de las matemáticas (en alemán Grundlagenkrise der Mathematik ) surgió a finales del siglo XIX y principios del XX con el descubrimiento de varias paradojas o resultados contraintuitivos.
La primera fue la prueba de que el postulado de las paralelas no se puede probar. Esto resulta de una construcción de una geometría no euclidiana dentro de la geometría euclidiana , cuya inconsistencia implicaría la inconsistencia de la geometría euclidiana. Una paradoja bien conocida es la paradoja de Russell , que muestra que la frase "el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos" es autocontradictoria. Otros problemas filosóficos fueron la prueba de la existencia de objetos matemáticos que no pueden calcularse ni describirse explícitamente, y la prueba de la existencia de teoremas de la aritmética que no pueden probarse con la aritmética de Peano .
Varias escuelas de filosofía de las matemáticas se enfrentaron a estos problemas en el siglo XX, y se describen a continuación.
A principios del siglo XX se oponían tres escuelas de filosofía de las matemáticas: el formalismo, el intuicionismo y el logicismo. El Segundo Congreso de Epistemología de las Ciencias Exactas celebrado en Königsberg en 1930 dio espacio a estas tres escuelas.
Se ha afirmado que los formalistas, como David Hilbert (1862-1943), sostienen que las matemáticas son sólo un lenguaje y una serie de juegos. De hecho, utilizó las palabras "juego de fórmulas" en su respuesta de 1927 a las críticas de LEJ Brouwer :
¿Y hasta qué punto el juego de fórmulas así hecho posible ha tenido éxito? Este juego de fórmulas nos permite expresar de manera uniforme todo el contenido mental de la ciencia de las matemáticas y desarrollarlo de tal manera que, al mismo tiempo, se aclaren las interconexiones entre las distintas proposiciones y los hechos... La fórmula El juego que Brouwer tanto desaprueba tiene, además de su valor matemático, un importante significado filosófico general. Pues este juego de fórmulas se lleva a cabo según ciertas reglas definidas, en las que se expresa la técnica de nuestro pensamiento . Estas reglas forman un sistema cerrado que puede descubrirse y enunciarse definitivamente. [7]
Así, Hilbert insiste en que las matemáticas no son un juego arbitrario con reglas arbitrarias ; más bien debe estar de acuerdo con cómo procede nuestro pensamiento, y luego nuestro habla y escritura. [7]
No estamos hablando aquí de arbitrariedad en ningún sentido. Las matemáticas no son como un juego cuyas tareas están determinadas por reglas estipuladas arbitrariamente. Más bien, es un sistema conceptual que posee una necesidad interna que sólo puede ser así y de ninguna manera de otra manera. [8]
La filosofía fundacional del formalismo, ejemplificada por David Hilbert , es una respuesta a las paradojas de la teoría de conjuntos y se basa en la lógica formal . Prácticamente todos los teoremas matemáticos actuales pueden formularse como teoremas de la teoría de conjuntos. La verdad de un enunciado matemático, desde este punto de vista, está representada por el hecho de que el enunciado puede derivarse de los axiomas de la teoría de conjuntos utilizando las reglas de la lógica formal.
El mero uso del formalismo por sí solo no explica varias cuestiones: por qué deberíamos utilizar los axiomas que utilizamos y no algunos otros, por qué deberíamos emplear las reglas lógicas que utilizamos y no otras, por qué enunciados matemáticos "verdaderos" (por ejemplo, las leyes de aritmética ) parecen ser verdaderas, y así sucesivamente. Hermann Weyl le planteó estas mismas preguntas a Hilbert:
Qué "verdad" u objetividad se puede atribuir a esta construcción teórica del mundo, que va mucho más allá de lo dado, es un problema filosófico profundo. Está estrechamente relacionado con la siguiente pregunta: ¿qué nos impulsa a tomar como base precisamente el particular sistema de axiomas desarrollado por Hilbert? De hecho, la coherencia es una condición necesaria pero no suficiente. Por el momento probablemente no podamos responder a esta pregunta... [9]
En algunos casos, estas preguntas pueden responderse suficientemente mediante el estudio de teorías formales, en disciplinas como las matemáticas inversas y la teoría de la complejidad computacional . Como señaló Weyl, los sistemas lógicos formales también corren el riesgo de ser inconsistentes ; En la aritmética de Peano , podría decirse que esto ya se ha resuelto con varias pruebas de coherencia , pero existe un debate sobre si son lo suficientemente finitas o no para ser significativas. El segundo teorema de incompletitud de Gödel establece que los sistemas lógicos de aritmética nunca pueden contener una prueba válida de su propia consistencia . Lo que Hilbert quería hacer era demostrar que un sistema lógico S era consistente, basado en principios P que sólo constituían una pequeña parte de S. Pero Gödel demostró que los principios P ni siquiera podían demostrar que P fuera consistente, y mucho menos S.
Los intuicionistas, como LEJ Brouwer (1882-1966), sostienen que las matemáticas son una creación de la mente humana. Los números, como los personajes de los cuentos de hadas, son meras entidades mentales, que no existirían si nunca hubiera mentes humanas que pensaran en ellos.
La filosofía fundacional del intuicionismo o constructivismo , ejemplificada en extremo por Brouwer y Stephen Kleene , requiere que las pruebas sean de naturaleza "constructiva": la existencia de un objeto debe demostrarse en lugar de inferirse a partir de una demostración de la imposibilidad de su no-existencia. existencia. Por ejemplo, como consecuencia de esto, la forma de prueba conocida como reductio ad absurdum es sospechosa.
Algunas teorías modernas de la filosofía de las matemáticas niegan la existencia de fundamentos en el sentido original. Algunas teorías tienden a centrarse en la práctica matemática y apuntan a describir y analizar el trabajo real de los matemáticos como grupo social . Otros intentan crear una ciencia cognitiva de las matemáticas , centrándose en la cognición humana como origen de la fiabilidad de las matemáticas cuando se aplican al mundo real. Estas teorías propondrían encontrar fundamentos sólo en el pensamiento humano, no en ninguna construcción objetiva externa. El asunto sigue siendo controvertido.
El logicismo es una escuela de pensamiento y un programa de investigación en filosofía de las matemáticas, basado en la tesis de que las matemáticas son una extensión de la lógica o que algunas o todas las matemáticas pueden derivarse en un sistema formal adecuado cuyos axiomas y reglas de inferencia son " de naturaleza lógica. Bertrand Russell y Alfred North Whitehead defendieron esta teoría iniciada por Gottlob Frege e influenciada por Richard Dedekind .
Muchos investigadores de la teoría axiomática de conjuntos se han suscrito a lo que se conoce como platonismo teórico de conjuntos , ejemplificado por Kurt Gödel .
Varios teóricos de conjuntos siguieron este enfoque y buscaron activamente axiomas que pudieran considerarse verdaderos por razones heurísticas y que decidirían la hipótesis del continuo . Se estudiaron muchos axiomas cardinales grandes , pero la hipótesis siempre permaneció independiente de ellos y ahora se considera poco probable que CH pueda resolverse mediante un nuevo axioma cardinal grande. Se consideraron otros tipos de axiomas, pero ninguno de ellos ha llegado aún a un consenso sobre la hipótesis del continuo. Un trabajo reciente de Hamkins propone una alternativa más flexible: un multiverso con teoría de conjuntos que permita el paso libre entre universos con teoría de conjuntos que satisfacen la hipótesis del continuo y otros universos que no lo hacen.
Este argumento de Willard Quine y Hilary Putnam dice (en palabras más breves de Putnam):
... la cuantificación de entidades matemáticas es indispensable para la ciencia ... por lo tanto deberíamos aceptar dicha cuantificación; pero esto nos compromete a aceptar la existencia de las entidades matemáticas en cuestión.
Sin embargo, Putnam no era platónico.
Son pocos los matemáticos que suelen preocuparse diariamente y trabajando por el logicismo, el formalismo o cualquier otra posición filosófica. Más bien, su principal preocupación es que la empresa matemática en su conjunto siga siendo siempre productiva. Por lo general, consideran que esto se garantiza si mantienen una mente abierta, son prácticos y están ocupados; como potencialmente amenazados por volverse demasiado ideológicos, fanáticamente reduccionistas o perezosos.
Algunos físicos de renombre también han expresado esta opinión.
Por ejemplo, el premio Nobel de Física Richard Feynman dijo
La gente me dice: "¿Estás buscando las leyes fundamentales de la física?" No, no lo soy... Si resulta que hay una ley fundamental y sencilla que lo explica todo, que así sea; sería muy bonito descubrirlo. Si resulta que es como una cebolla con millones de capas… entonces es así. Pero de cualquier manera existe la Naturaleza y ella saldrá tal como es. Por lo tanto, cuando vamos a investigar no debemos predecidir qué es lo que estamos buscando sólo para saber más sobre ello. [10]
Y Steven Weinberg : [11]
Las ideas de los filósofos han beneficiado ocasionalmente a los físicos, pero generalmente de manera negativa: protegiéndolos de las ideas preconcebidas de otros filósofos. ... sin alguna guía de nuestras ideas preconcebidas uno no podría hacer nada en absoluto. Lo que ocurre es que, en general, los principios filosóficos no nos han proporcionado las ideas preconcebidas adecuadas.
Weinberg creía que cualquier indecidibilidad en matemáticas, como la hipótesis del continuo, podría resolverse potencialmente a pesar del teorema de incompletitud, encontrando otros axiomas adecuados para agregar a la teoría de conjuntos.
El teorema de completitud de Gödel establece una equivalencia en lógica de primer orden entre la demostrabilidad formal de una fórmula y su verdad en todos los modelos posibles. Precisamente, para cualquier teoría de primer orden consistente, proporciona una "construcción explícita" de un modelo descrito por la teoría; este modelo será contable si el lenguaje de la teoría es contable. Sin embargo, esta "construcción explícita" no es algorítmica. Se basa en un proceso iterativo de compleción de la teoría, donde cada paso de la iteración consiste en agregar una fórmula a los axiomas si esto mantiene consistente la teoría; pero esta cuestión de coherencia es sólo semidecidible (hay un algoritmo disponible para encontrar cualquier contradicción, pero si no la hay, este hecho de coherencia puede seguir siendo indemostrable).
Se puede considerar que esto da una especie de justificación a la visión platónica de que los objetos de nuestras teorías matemáticas son reales. Más precisamente, muestra que la mera suposición de la existencia del conjunto de números naturales como una totalidad (un infinito real) es suficiente para implicar la existencia de un modelo (un mundo de objetos) de cualquier teoría consistente. Sin embargo, persisten varias dificultades:
Otra consecuencia del teorema de completitud es que justifica la concepción de los infinitesimales como cantidades reales infinitamente pequeñas distintas de cero, basándose en la existencia de modelos no estándar como igualmente legítimos que los estándar. Esta idea fue formalizada por Abraham Robinson en la teoría del análisis no estándar .
A continuación se enumeran algunos resultados notables en metamatemáticas. La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel es la axiomatización de la teoría de conjuntos más estudiada. Se abrevia ZFC cuando incluye el axioma de elección y ZF cuando se excluye el axioma de elección.
A partir de 1935, el grupo Bourbaki de matemáticos franceses comenzó a publicar una serie de libros para formalizar muchas áreas de las matemáticas sobre los nuevos fundamentos de la teoría de conjuntos.
La escuela intuicionista no atrajo a muchos adeptos, y no fue hasta el trabajo de Bishop en 1967 que las matemáticas constructivas adquirieron una base más sólida. [13]
Se puede considerar que el programa de Hilbert se ha completado parcialmente , de modo que la crisis está esencialmente resuelta, satisfaciéndose con exigencias inferiores a las ambiciones originales de Hilbert. Sus ambiciones se expresaron en una época en la que nada estaba claro: no estaba claro si las matemáticas podían tener alguna base rigurosa.
Hay muchas variantes posibles de la teoría de conjuntos, que difieren en la fuerza de la consistencia, donde las versiones más fuertes (que postulan tipos superiores de infinitos) contienen pruebas formales de la consistencia de las versiones más débiles, pero ninguna contiene una prueba formal de su propia consistencia. Por tanto, lo único que no tenemos es una prueba formal de coherencia de cualquier versión de teoría de conjuntos que prefiramos, como ZF.
En la práctica, la mayoría de los matemáticos no trabajan a partir de sistemas axiomáticos o, si lo hacen, no dudan de la coherencia de ZFC , generalmente su sistema axiomático preferido. En la mayor parte de las matemáticas tal como se practican, lo incompleto y las paradojas de las teorías formales subyacentes nunca jugaron un papel, y en aquellas ramas en las que sí lo hacen o cuyos intentos de formalización correrían el riesgo de formar teorías inconsistentes (como la lógica y las categorías). teoría), pueden tratarse con cuidado.
El desarrollo de la teoría de categorías a mediados del siglo XX mostró la utilidad de las teorías de conjuntos que garantizan la existencia de clases más grandes que la ZFC, como la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel o la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck , aunque en muchísimos casos. En muchos casos, el uso de grandes axiomas cardinales o universos de Grothendieck es formalmente eliminable.
Uno de los objetivos del programa de matemáticas inversas es identificar si hay áreas de las "matemáticas básicas" en las que las cuestiones fundamentales puedan provocar nuevamente una crisis.
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