Aritmética

Rama de las matemáticas elementales

Las principales operaciones aritméticas son la suma, la resta, la multiplicación y la división.

La aritmética es una rama elemental de las matemáticas que estudia operaciones numéricas como suma , resta , multiplicación y división . En un sentido más amplio, también incluye la exponenciación , la extracción de raíces y la toma de logaritmos . Los sistemas aritméticos se pueden distinguir según el tipo de número con el que operan. La aritmética de enteros se limita a cálculos con números enteros positivos y negativos . La aritmética de números racionales implica operaciones con fracciones que se encuentran entre números enteros. La aritmética de números reales incluye cálculos con números racionales e irracionales y cubre la recta numérica completa . Otra distinción se basa en el sistema numérico empleado para realizar los cálculos. La aritmética decimal es la más común. Utiliza los números básicos del 0 al 9 y sus combinaciones para expresar números . La aritmética binaria , por el contrario, es utilizada por la mayoría de las computadoras y representa números como combinaciones de los números básicos 0 y 1. Algunos sistemas aritméticos operan con objetos matemáticos distintos de los números, como la aritmética de intervalos y la aritmética matricial .

Las operaciones aritméticas forman la base de muchas ramas de las matemáticas, como el álgebra , el cálculo y la estadística . Desempeñan un papel similar en las ciencias , como la física y la economía . La aritmética está presente en muchos aspectos de la vida diaria , por ejemplo, para calcular el cambio mientras se hace la compra o para gestionar las finanzas personales . Es una de las primeras formas de educación matemática que encuentran los estudiantes. Sus fundamentos cognitivos y conceptuales son estudiados por la psicología y la filosofía .

La práctica de la aritmética tiene al menos miles y posiblemente decenas de miles de años. Civilizaciones antiguas como los egipcios y los sumerios inventaron sistemas de numeración para resolver problemas aritméticos prácticos alrededor del año 3000 a. C. A partir de los siglos VII y VI a. C., los antiguos griegos iniciaron un estudio más abstracto de los números e introdujeron el método de demostraciones matemáticas rigurosas . Los antiguos indios desarrollaron el concepto de cero y el sistema decimal , que los matemáticos árabes refinaron y difundieron al mundo occidental durante el período medieval. Las primeras calculadoras mecánicas se inventaron en el siglo XVII. Los siglos XVIII y XIX vieron el desarrollo de la teoría de números moderna y la formulación de fundamentos axiomáticos de la aritmética. En el siglo XX, la aparición de calculadoras electrónicas y computadoras revolucionó la precisión y velocidad con la que se podían realizar los cálculos aritméticos.

Definición, etimología y campos relacionados

La aritmética es la rama fundamental de las matemáticas que estudia los números y sus operaciones. En particular, se trata de cálculos numéricos utilizando las operaciones aritméticas de suma , resta , multiplicación y división . ^[1] En un sentido más amplio, también incluye la exponenciación , la extracción de raíces y el logaritmo . ^[2] El término "aritmética" tiene su raíz en el término latino " arithmetica " que deriva de las palabras griegas antiguas ἀριθμός (arithmos), que significa "número", y ἀριθμητική τέχνη (arithmetike tekhne), que significa "el arte de contar". . ^[3]

Hay desacuerdos sobre su definición precisa. Según una caracterización estricta, la aritmética se ocupa únicamente de los números naturales . ^[4] Sin embargo, la visión más común es incluir operaciones con números enteros , números racionales , números reales y, a veces, también números complejos en su alcance. ^[5] Algunas definiciones restringen la aritmética al campo de los cálculos numéricos. ^[6] Cuando se entiende en un sentido más amplio, también incluye el estudio de cómo se desarrolló el concepto de números , el análisis de las propiedades y relaciones entre los números y el examen de la estructura axiomática de las operaciones aritméticas. ^[7]

La aritmética está estrechamente relacionada con la teoría de números y algunos autores utilizan los términos como sinónimos. ^[8] Sin embargo, en un sentido más específico, la teoría de números se restringe al estudio de los números enteros y se centra en sus propiedades y relaciones como la divisibilidad , la factorización y la primalidad . ^[9] Tradicionalmente, se la conoce como aritmética superior. ^[10]

La aritmética está íntimamente relacionada con muchas ramas de las matemáticas que dependen de operaciones numéricas. El álgebra se basa en principios aritméticos para resolver ecuaciones usando variables. Estos principios también desempeñan un papel clave en el cálculo en su intento de determinar tasas de cambio y áreas bajo las curvas . La geometría utiliza operaciones aritméticas para medir las propiedades de las formas, mientras que la estadística las utiliza para analizar datos numéricos. ^[11]

Números

Los números son objetos matemáticos que se utilizan para contar cantidades y medir magnitudes. Son elementos fundamentales en la aritmética ya que todas las operaciones aritméticas se realizan con números. Existen diferentes tipos de números y diferentes sistemas de numeración para representarlos. ^[12]

tipos

Diferentes tipos de números en una recta numérica . Los números enteros son negros, los números racionales son azules y los números irracionales son verdes.

Los principales tipos de números empleados en aritmética son los números naturales , los números enteros, los números enteros , los números racionales y los números reales . ^[13] Los números naturales son números enteros que comienzan desde 1 y llegan al infinito. Excluyen el 0 y los números negativos. También se conocen como números de contar y se pueden expresar como {1, 2, 3, 4,...}. El símbolo de los números naturales es Los números enteros son idénticos a los números naturales con la única diferencia de que incluyen el 0. Se pueden representar como {0, 1, 2, 3, 4,...} y tienen el símbolo . ^[14] Algunos matemáticos no hacen la distinción entre los números naturales y enteros al incluir el 0 en el conjunto de los números naturales. ^[15] El conjunto de los números enteros abarca números enteros tanto positivos como negativos. Tiene el símbolo y se puede expresar como {..., -2, -1, 0, 1, 2,...}. ^[dieciséis] ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Un número es racional si se puede representar como la razón de dos números enteros. Por ejemplo, el número racional se forma dividiendo el número entero 1, llamado numerador, por el número entero 2, llamado denominador. Otros ejemplos son y . El conjunto de los números racionales incluye todos los números enteros, que son fracciones con denominador 1. El símbolo de los números racionales es . ^[17] Las fracciones decimales como 0,3 y 25,12 son un tipo especial de números racionales ya que su denominador es una potencia de 10. Por ejemplo, 0,3 es igual a y 25,12 es igual a . ^[18] Todo número racional corresponde a un decimal finito o periódico . ^[19] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {281}{3}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{10}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2512}{100}}}$

A veces se requieren números irracionales para describir magnitudes en geometría . Por ejemplo, la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es irracional si sus catetos tienen una longitud de 1.

Los números irracionales son números que no se pueden expresar mediante la razón de dos números enteros. Algunos ejemplos son muchas raíces cuadradas , como , y números como π y e (el número de Euler). ^[20] La representación decimal de un número irracional es infinita sin decimales periódicos. ^[21] El conjunto de los números racionales junto con el conjunto de los números irracionales conforma el conjunto de los números reales. El símbolo de los números reales es . ^[22] Clases de números aún más amplias incluyen números complejos y cuaterniones . ^[23] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Según cómo se utilizan los números, se pueden distinguir en números cardinales y ordinales . Los números cardinales, como uno, dos y tres, son números que expresan la cantidad de objetos. Responden a la pregunta "¿cuántos?". Los números ordinales, como primero, segundo y tercero, indican orden o ubicación en una serie. Responden a la pregunta "¿qué posición?". ^[24]

Sistemas numéricos

Un número es un símbolo para representar un número y los sistemas numéricos son marcos de representación. ^[25] Por lo general, tienen una cantidad limitada de números básicos, que se refieren directamente a ciertos números. El sistema rige cómo se pueden combinar estos números básicos para expresar cualquier número. ^[26] Los sistemas numéricos son posicionales o no posicionales. Todos los primeros sistemas de numeración no eran posicionales. ^[27] Para los sistemas de numeración no posicionales, el valor de un dígito no depende de su posición en el numeral. ^[28]

Las marcas de conteo y algunas barras de conteo utilizan el sistema de numeración unario no posicional .

El sistema no posicional más simple es el sistema de numeración unario . Se basa en un símbolo para el número 1. Todos los números superiores se escriben repitiendo este símbolo. Por ejemplo, el número 7 se puede representar repitiendo el símbolo del 1 siete veces. Este sistema hace que sea engorroso escribir números grandes, razón por la cual muchos sistemas no posicionales incluyen símbolos adicionales para representar directamente números más grandes. ^[29] Se emplean variaciones de los sistemas de numeración unario en barras de conteo usando abolladuras y marcas de conteo . ^[30]

Números jeroglíficos del 1 al 10.000 ^[31]

Los jeroglíficos egipcios tenían un sistema de numeración no posicional más complejo . Tienen símbolos adicionales para números como 10, 100, 1000 y 10000. Estos símbolos se pueden combinar en una suma para expresar más convenientemente números más grandes. Por ejemplo, el número 10,405 usa una vez el símbolo de 10,000, cuatro veces el símbolo de 100 y cinco veces el símbolo de 1. Un marco similar y conocido es el sistema de numeración romana . Tiene los símbolos I, V, X, L, C, D, M como números básicos para representar los números 1, 5, 10, 50, 100, 500 y 1000. ^[32]

Un sistema numérico es posicional si la posición de un número básico en una expresión compuesta determina su valor. Los sistemas de numeración posicional tienen una base que actúa como multiplicando de las diferentes posiciones. Para cada posición posterior, la base se eleva a una potencia mayor. En el sistema decimal común, también llamado sistema de numeración hindú-árabe , la base es 10. Esto significa que el primer dígito se multiplica por , el siguiente dígito se multiplica por , y así sucesivamente. Por ejemplo, el número decimal 532 significa . Debido al efecto de las posiciones de los dígitos, el número 532 difiere de los números 325 y 253 aunque tengan los mismos dígitos. ^[33] ${\displaystyle 10^{0}}$ ${\displaystyle 10^{1}}$ ${\displaystyle 5\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}}$

Otro sistema de numeración posicional utilizado ampliamente en aritmética informática es el sistema binario , que tiene una base de 2. Esto significa que el primer dígito se multiplica por , el siguiente dígito por , y así sucesivamente. Por ejemplo, el número 13 se escribe como 1101 en notación binaria, que significa . En informática, cada dígito de la notación binaria corresponde a un bit . ^[34] El sistema posicional más antiguo fue desarrollado por los antiguos babilonios y tenía una base de 60. ^[35] ${\displaystyle 2^{0}}$ ${\displaystyle 2^{1}}$ ${\displaystyle 1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}}$

Operaciones aritmeticas

Las operaciones aritméticas son formas de combinar, transformar o manipular números. Son funciones que tienen números tanto de entrada como de salida. ^[36] Las operaciones más importantes en aritmética son la suma , la resta , la multiplicación y la división . ^[37] Otras operaciones incluyen exponenciación , extracción de raíces y logaritmo . ^[38] Si estas operaciones se realizan con variables en lugar de números, a veces se las denomina operaciones algebraicas . ^[39]

Dos conceptos importantes en relación con las operaciones aritméticas son los elementos identidad y los elementos inversos. El elemento identidad o elemento neutro de una operación no provoca ningún cambio si se aplica a otro elemento. Por ejemplo, el elemento identidad de la suma es 0 ya que cualquier suma de un número y 0 da como resultado el mismo número. El elemento inverso es el elemento que da como resultado el elemento identidad cuando se combina con otro elemento. Por ejemplo, el inverso aditivo del número 6 es -6 ya que su suma es 0. ^[40]

No sólo existen elementos inversos sino también operaciones inversas . En un sentido informal, una operación es la inversa de otra si deshace la primera operación. Por ejemplo, la resta es la inversa de la suma, ya que un número vuelve a su valor original si primero se suma y luego se resta un segundo número, como en . Definida más formalmente, la operación " " es inversa de la operación " " si cumple la siguiente condición: si y sólo si . ^[41] ${\displaystyle 13+4-4=13}$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle t\star s=r}$ ${\displaystyle r\circ s=t}$

La conmutatividad y la asociatividad son leyes que rigen el orden en que se pueden realizar algunas operaciones aritméticas. Una operación es conmutativa si el orden de los argumentos se puede cambiar sin afectar los resultados. Este es el caso de la suma, por ejemplo, es lo mismo que . La asociatividad es una regla que afecta al orden en el que se pueden realizar una serie de operaciones. Una operación es asociativa si, en una serie de dos operaciones, no importa cuál se realiza primero. Este es el caso de la multiplicación, por ejemplo, ya que es lo mismo que . ^[42] ${\displaystyle 7+9}$ ${\displaystyle 9+7}$ ${\displaystyle (5\times 4)\times 2}$ ${\displaystyle 5\times (4\times 2)}$

Adición y sustracción

Adición y sustracción

La suma es una operación aritmética en la que dos números, llamados sumandos, se combinan en un solo número, llamado suma. El símbolo de la suma es . Ejemplos son y . ^[43] El término suma se utiliza si se realizan varias sumas seguidas. Contar es un tipo de suma repetida en la que el número 1 se suma continuamente. ^[44] ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle 2+2=4}$ ${\displaystyle 6.3+1.26=7.56}$

La resta es la inversa de la suma. En él, un número, conocido como sustraendo, se resta de otro, conocido como minuendo. El resultado de esta operación se llama diferencia. El símbolo de la resta es . ^[45] Algunos ejemplos son y . La resta a menudo se trata como un caso especial de la suma: en lugar de restar un número positivo, también es posible sumar un número negativo. Por ejemplo . Esto ayuda a simplificar los cálculos matemáticos al reducir la cantidad de operaciones aritméticas básicas necesarias para realizar los cálculos. ^[46] ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle 14-8=6}$ ${\displaystyle 45-1.7=43.3}$ ${\displaystyle 14-8=14+(-8)}$

El elemento identidad aditivo es 0 y el inverso aditivo de un número es el negativo de ese número. Por ejemplo, y . La suma es tanto conmutativa como asociativa. ^[47] ${\displaystyle 13+0=13}$ ${\displaystyle 13+(-13)=0}$

Multiplicación y división

Multiplicación y división

La multiplicación es una operación aritmética en la que dos números, llamados multiplicador y multiplicando, se combinan en un solo número llamado producto. ^{[48] ​​[a]} Los símbolos de la multiplicación son , y *. Ejemplos son y . Si el multiplicando es un número natural, entonces la multiplicación es lo mismo que la suma repetida, como en . ^[50] ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 2\times 3=6}$ ${\displaystyle 0.3\cdot 5=1.5}$ ${\displaystyle 2\times 3=2+2+2}$

La división es la inversa de la multiplicación. En él, un número, conocido como dividendo, se divide en varias partes iguales por otro número, conocido como divisor. El resultado de esta operación se llama cociente . Los símbolos de división son y . Ejemplos son y . ^[51] La división a menudo se trata como un caso especial de multiplicación: en lugar de dividir por un número, también es posible multiplicar por su recíproco . El recíproco de un número es 1 dividido por ese número. Por ejemplo, . ^[52] ${\displaystyle \div }$ ${\displaystyle /}$ ${\displaystyle 48\div 8=6}$ ${\displaystyle 29.4/1.4=21}$ ${\displaystyle 48\div 8=48\times {\tfrac {1}{8}}}$

El elemento identidad multiplicativo es 1 y el inverso multiplicativo de un número es el recíproco de ese número. Por ejemplo, y . La multiplicación es tanto conmutativa como asociativa. ^[53] ${\displaystyle 13\times 1=13}$ ${\displaystyle 13\times {\tfrac {1}{13}}=1}$

Exponenciación y logaritmo

Exponenciación y logaritmo

La exponenciación es una operación aritmética en la que un número, conocido como base, se eleva a la potencia de otro número, conocido como exponente. El resultado de esta operación se llama potencia. La exponenciación a veces se expresa usando el símbolo ^, pero la forma más común es escribir el exponente en superíndice justo después de la base. Los ejemplos son y ^ . Si el exponente es un número natural, entonces la exponenciación es lo mismo que la multiplicación repetida, como en . ^[54] ${\displaystyle 2^{4}=16}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 3=27}$ ${\displaystyle 2^{4}=2\times 2\times 2\times 2}$

Las raíces son un tipo especial de exponenciación que utiliza un exponente fraccionario. Por ejemplo, la raíz cuadrada de un número es lo mismo que elevar el número a la potencia de y la raíz cúbica de un número es lo mismo que elevar el número a la potencia de . Ejemplos son y . ^[55] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}=2}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=27^{\frac {1}{3}}=3}$

El logaritmo es la inversa de la exponenciación. El logaritmo de un número con respecto a la base es el exponente al que se debe elevar para producirlo . Por ejemplo, desde , el logaritmo en base 10 de 1000 es 3. El logaritmo de a base se denota como , o sin paréntesis, o incluso sin la base explícita, , cuando la base puede entenderse por el contexto. Entonces, el ejemplo anterior se puede escribir . ^[56] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1000=10^{3}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \log _{b}(x)}$ ${\displaystyle \log _{b}x}$ ${\displaystyle \log x}$ ${\displaystyle \log _{10}1000=3}$

La exponenciación y el logaritmo no tienen elementos de identidad generales ni elementos inversos como la suma y la multiplicación. El elemento neutro de exponenciación en relación con el exponente es 1, como en . Sin embargo, la exponenciación no tiene un elemento de identidad general ya que 1 no es el elemento neutro de la base. ^[57] La ​​exponenciación y el logaritmo no son conmutativos ni asociativos. ^[58] ${\displaystyle 14^{1}=14}$

tipos de aritmética

En la literatura académica se analizan diferentes tipos de sistemas aritméticos. Se diferencian entre sí según el tipo de número con el que operan, el sistema numérico que utilizan para representarlos y si operan con objetos matemáticos distintos de los números. ^[59]

aritmética de enteros

La aritmética de enteros es la rama de la aritmética que se ocupa de la manipulación de números enteros positivos y negativos. ^[60] Se pueden realizar operaciones simples de un dígito siguiendo o memorizando una tabla que presente los resultados de todas las combinaciones posibles, como una tabla de suma o una tabla de multiplicación . Otros métodos comunes son el conteo verbal y el conteo con los dedos . ^[61]

Ejemplo de suma con acarreo . Los números negros son los sumandos, el número verde es el acarreo y el número azul es la suma.

Para operaciones con números de más de un dígito, se pueden emplear diferentes técnicas para calcular el resultado utilizando varias operaciones de un dígito seguidas. Por ejemplo, en el método de suma con acarreos , los dos números se escriben uno encima del otro. Comenzando desde el dígito más a la derecha, cada par de dígitos se suma. El dígito más a la derecha de la suma se escribe debajo de ellos. Si la suma es un número de dos dígitos, entonces el dígito más a la izquierda, llamado "llevar", se suma al siguiente par de dígitos a la izquierda. Este proceso se repite hasta que se hayan agregado todos los dígitos. ^[62] Otros métodos utilizados para la suma de números enteros son el método de la recta numérica , el método de la suma parcial y el método de compensación. ^[63] Se utiliza una técnica similar para la resta: también comienza con el dígito más a la derecha y utiliza un "préstamo" o un acarreo negativo para la columna de la izquierda si el resultado de la resta de un dígito es negativo. ^[64]

Ejemplo de multiplicación larga . Los números negros son el multiplicador y el multiplicando. Los números verdes son productos intermedios que se obtienen al multiplicar el multiplicador por un solo dígito del multiplicando. El número azul es el producto total calculado sumando los productos intermedios.

Una técnica básica de multiplicación de números enteros emplea la suma repetida . Por ejemplo, el producto de 3 × 4 se puede calcular como 3 + 3 + 3 + 3. ^[65] Una técnica común para la multiplicación con números más grandes se llama multiplicación larga . Este método comienza escribiendo el multiplicador encima del multiplicando. El cálculo comienza multiplicando el multiplicador solo con el dígito más a la derecha del multiplicando y escribiendo el resultado a continuación, comenzando en la columna más a la derecha. Se hace lo mismo para cada dígito del multiplicando y el resultado en cada caso se desplaza una posición hacia la izquierda. Como paso final, se suman todos los productos individuales para llegar al producto total de los dos números de varios dígitos. ^[66] Otras técnicas utilizadas para la multiplicación son el método de cuadrícula y el método de celosía . ^[67] La ​​informática está interesada en algoritmos de multiplicación con una baja complejidad computacional para poder multiplicar eficientemente números enteros muy grandes, como el algoritmo de Karatsuba , el algoritmo de Schönhage-Strassen y el algoritmo de Toom-Cook . ^[68] Una técnica común utilizada para la división se llama división larga . Otros métodos incluyen división corta y fragmentación . ^[69]

La aritmética de enteros no es cerrada bajo división. Esto significa que al dividir un número entero entre otro número entero, el resultado no siempre es un número entero. Por ejemplo, 7 dividido por 2 no es un número entero sino 3,5. ^[70] Una forma de garantizar que el resultado sea un número entero es redondear el resultado a un número entero. Sin embargo, este método genera imprecisiones ya que se modifica el valor original. ^[71] Otro método es realizar la división sólo parcialmente y conservar el resto . Por ejemplo, 7 dividido por 2 es 3 con un resto de 1. Estas dificultades se evitan con la aritmética de números racionales, que permite la representación exacta de fracciones. ^[72]

Un método sencillo para calcular la exponenciación es mediante la multiplicación repetida. Por ejemplo, la exponenciación de 3 ⁴ se puede calcular como 3 × 3 × 3 × 3. ^[73] Una técnica más eficiente utilizada para exponentes grandes es la exponenciación elevando al cuadrado . Descompone el cálculo en una serie de operaciones de elevación al cuadrado. Por ejemplo, la exponenciación 3 ⁶⁵ se puede escribir como (((((3 ² ) ² ) ² ) ² ) ² ) ² × 3 . Al aprovechar las operaciones de elevación al cuadrado repetidas, solo se necesitan 7 operaciones individuales en lugar de las 64 operaciones necesarias para la multiplicación repetida regular. ^[74] Los métodos para calcular logaritmos incluyen la serie de Taylor y las fracciones continuas . ^[75] La aritmética de enteros no es cerrada bajo logaritmo y bajo exponenciación con exponentes negativos, lo que significa que el resultado de estas operaciones no siempre es un número entero. ^[76]

Teoría de los números

La teoría de números estudia la estructura y propiedades de los números enteros, así como las relaciones y leyes entre ellos. ^[77] Algunas de las principales ramas de la teoría de números moderna incluyen la teoría de números elemental , la teoría analítica de números , la teoría algebraica de números y la teoría geométrica de números . ^[78] La teoría elemental de números estudia aspectos de los números enteros que pueden investigarse utilizando métodos elementales. En este sentido, excluye el uso de métodos que se encuentran en el análisis y el cálculo . Sus temas incluyen divisibilidad , factorización y primalidad . ^[79] La teoría analítica de números, por el contrario, se basa en técnicas de análisis y cálculo. Examina problemas como cómo se distribuyen los números primos y la afirmación de que todo número par es una suma de dos números primos . ^[80] La teoría algebraica de números emplea estructuras algebraicas para analizar las propiedades y las relaciones entre los números. Algunos ejemplos son el uso de campos y anillos , como en campos de números algebraicos como el anillo de números enteros . La teoría de números geométricos utiliza conceptos de la geometría para estudiar los números. Por ejemplo, investiga cómo se comportan en un plano los puntos de la red con coordenadas enteras. ^[81] Otras ramas de la teoría de números son la teoría probabilística de números , la teoría combinatoria de números , la teoría computacional de números y la teoría de números aplicada. ^[82]

Los teoremas influyentes en la teoría de números incluyen el teorema fundamental de la aritmética , el teorema de Euclides y el último teorema de Fermat . ^[83] Según el teorema fundamental de la aritmética, cada número entero mayor que 1 es un número primo o puede representarse como un producto único de números primos. Por ejemplo, el número 18 no es un número primo y se puede representar como , todos los cuales son números primos. El número 19 , por el contrario, es un número primo que no tiene otra factorización prima. ^[84] El teorema de Euclides establece que hay infinitos números primos. ^[85] El último teorema de Fermat es la afirmación de que no se pueden encontrar valores enteros positivos para , y , para resolver la ecuación si es mayor que . ^[86] ${\displaystyle 2\times 3\times 3}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2}$

Aritmética de números racionales

La aritmética de números racionales es la rama de la aritmética que se ocupa de la manipulación de números que pueden expresarse como una proporción de dos números enteros. ^[87] La ​​mayoría de las operaciones aritméticas con números racionales se pueden calcular realizando una serie de operaciones aritméticas enteras con los numeradores y denominadores de los números involucrados. Si dos números racionales tienen el mismo denominador entonces se pueden sumar sumando sus numeradores y manteniendo el denominador común. Por ejemplo, . Se utiliza un procedimiento similar para la resta. Si los dos números no tienen el mismo denominador entonces se deben transformar para encontrar un denominador común. Esto se puede lograr escalando el primer número con el denominador del segundo número mientras se escala el segundo número con el denominador del primer número. Por ejemplo, . ^[88] ${\displaystyle {\tfrac {2}{7}}+{\tfrac {3}{7}}={\tfrac {5}{7}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1\cdot 2}{3\cdot 2}}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{6}}+{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {5}{6}}}$

Dos números racionales se multiplican multiplicando sus numeradores y denominadores respectivamente, como en . La división de un número racional por otro se puede lograr multiplicando el primer número por el recíproco del segundo. Esto significa que el numerador y el denominador del segundo número cambian de posición. Por ejemplo, . ^[89] A diferencia de la aritmética de enteros, la aritmética de números racionales es cerrada bajo división siempre que el divisor no sea 0. ^[90] ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {2}{5}}={\tfrac {2\cdot 2}{3\cdot 5}}={\tfrac {4}{15}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}:{\tfrac {2}{7}}={\tfrac {3}{5}}\cdot {\tfrac {7}{2}}={\tfrac {21}{10}}}$

Tanto la aritmética de números enteros como la aritmética de números racionales no son cerradas bajo exponenciación y logaritmo. ^[91] Una forma de calcular la exponenciación con un exponente fraccionario es realizar dos cálculos separados: una exponenciación usando el numerador del exponente y luego extrayendo la raíz enésima del resultado basándose en el denominador del exponente. Por ejemplo, . La primera operación se puede completar utilizando métodos como la multiplicación repetida o la exponenciación al cuadrado. Una forma de obtener un resultado aproximado para la segunda operación es emplear el método de Newton , que utiliza una serie de pasos para refinar gradualmente una suposición inicial hasta alcanzar el nivel deseado de precisión. ^[92] La serie de Taylor o el método de fracción continua se pueden utilizar para calcular logaritmos. ^[93] ${\displaystyle 5^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{5^{2}}}}$

La notación de fracción decimal es una forma especial de representar números racionales cuyo denominador es una potencia de 10. Por ejemplo, los números racionales , y se escriben como 0,1, 3,71 y 0,0044 en la notación de fracción decimal. ^[94] Las versiones modificadas de los métodos de cálculo de números enteros, como la suma con acarreo y la multiplicación larga, se pueden aplicar a los cálculos con fracciones decimales. ^[95] No todos los números racionales tienen una representación finita en la notación decimal. Por ejemplo, el número racional corresponde a 0,333... con un número infinito de 3. La notación abreviada para este tipo de decimal periódico es 0. 3 . ^[96] Todo decimal periódico expresa un número racional. ^[19] ${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {371}{100}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {44}{10000}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

aritmética de números reales

La aritmética de números reales es la rama de la aritmética que se ocupa de la manipulación de números tanto racionales como irracionales. Los números irracionales son números que no se pueden expresar mediante fracciones o decimales repetidos, como la raíz de 2 y π . ^[97] A diferencia de la aritmética de números racionales, la aritmética de números reales está cerrada bajo exponenciación siempre que utilice un número positivo como base. Lo mismo ocurre con el logaritmo de números reales positivos siempre que la base del logaritmo sea positiva y no 1. ^[98]

Los números irracionales implican una serie infinita y no repetida de dígitos decimales. Debido a esto, a menudo no existe una forma sencilla y precisa de expresar los resultados de operaciones aritméticas como o . ^[99] En los casos en los que no se requiere una precisión absoluta, el problema de calcular operaciones aritméticas con números reales suele solucionarse mediante truncamiento o redondeo. Para el truncamiento, se mantiene una cierta cantidad de dígitos significativos a la izquierda y se eliminan los dígitos adicionales a la derecha del último dígito significativo. Por ejemplo, el número π tiene un número infinito de dígitos que comienzan con 3,14159... . Si este número se trunca a 4 dígitos significativos, el resultado es 3,141. El redondeo es un proceso similar en el que el último dígito significativo se incrementa en uno si el siguiente dígito es 5 o más. Si el siguiente dígito es menor que 5, el último dígito sigue siendo el mismo. Por ejemplo, si el número π se redondea a 4 dígitos significativos, el resultado es 3,142 porque el siguiente dígito es un 5. ^[100] Estos métodos son esenciales para permitir que las computadoras realicen cálculos de manera eficiente con números reales. ^[101] ${\displaystyle {\sqrt {2}}+\pi }$ ${\displaystyle e\cdot {\sqrt {3}}}$

Los números reales muy grandes y muy pequeños a menudo se expresan utilizando notación científica normalizada . En él, los números se representan mediante el llamado significado multiplicado por una potencia de 10. El significado es un dígito seguido de un punto decimal y una serie de dígitos. Por ejemplo, la notación científica normalizada del número 8276000 es y el número 0,00735 tiene la notación científica normalizada de . ^[102] ${\displaystyle 8.276\times 10^{6}}$ ${\displaystyle 7.35\times 10^{-3}}$

Un método común empleado por las computadoras para aproximar la aritmética de números reales se llama aritmética de punto flotante . Representa números reales similares a la notación científica a través de tres números: un significado, una base y un exponente. ^[103] La precisión del significado está limitada por el número de bits asignados para representarlo. Si una operación aritmética da como resultado un número que requiere más bits de los disponibles, la computadora redondea el resultado al número representable más cercano. Esto lleva a errores de redondeo . ^[104] Una consecuencia de este comportamiento es que la aritmética de punto flotante viola ciertas leyes de la aritmética. Por ejemplo, la suma en punto flotante no es asociativa ya que los errores de redondeo introducidos pueden depender del orden de las sumas. Esto significa que el resultado de a veces es diferente del resultado de . ^[105] El estándar técnico más común utilizado para la aritmética de punto flotante se llama IEEE 754 . Entre otras cosas, determina cómo se representan los números, cómo se realizan las operaciones aritméticas y el redondeo y cómo se manejan los errores y las excepciones. ^[106] En los casos en que la velocidad de cálculo no es un factor limitante, es posible utilizar aritmética de precisión arbitraria , para la cual la precisión de los cálculos solo está restringida por la memoria de la computadora. ^[107] ${\displaystyle (a+b)+c}$ ${\displaystyle a+(b+c)}$

uso de herramientas

Los cálculos en aritmética mental se realizan exclusivamente en la mente sin depender de ayudas externas.

Las formas de aritmética también se pueden distinguir por las herramientas empleadas para realizar cálculos e incluyen muchos enfoques además del uso habitual de lápiz y papel. La aritmética mental se basa exclusivamente en la mente sin herramientas externas. En cambio, utiliza visualización, memorización y ciertas técnicas de cálculo para resolver problemas aritméticos. ^[108] Una de esas técnicas es el método de compensación, que consiste en alterar los números para facilitar el cálculo y luego ajustar el resultado. Por ejemplo, en lugar de calcular , se calcula cuál es más fácil porque utiliza un número redondo. En el siguiente paso, se suma al resultado para compensar el ajuste anterior. ^[109] La aritmética mental se enseña a menudo en la educación primaria para entrenar las habilidades numéricas de los estudiantes. ^[110] ${\displaystyle 85-47}$ ${\displaystyle 85-50}$ ${\displaystyle 3}$

El cuerpo humano también puede utilizarse como herramienta aritmética. El uso de las manos para contar con los dedos a menudo se introduce a los niños pequeños para enseñarles números y cálculos simples. En su forma más básica, el número de dedos extendidos corresponde a la cantidad representada y las operaciones aritméticas como la suma y la resta se realizan extendiendo o retrayendo los dedos. Este sistema se limita a números pequeños, mientras que los sistemas más avanzados emplean diferentes enfoques para representar también cantidades mayores. ^[111] La voz humana se utiliza como ayuda aritmética en el conteo verbal. ^[112]

Los ábacos son herramientas para realizar operaciones aritméticas moviendo cuentas.

Las marcas de tally son un sistema sencillo basado en herramientas externas distintas al cuerpo. Se basa en trazos dibujados sobre una superficie o muescas en un palo de madera para realizar un seguimiento de las cantidades. Algunas formas de marcas de conteo organizan los trazos en grupos de cinco para que sean más fáciles de leer. ^[113] El ábaco es una herramienta más avanzada para representar números y realizar cálculos. Un ábaco suele estar formado por una serie de varillas, cada una de las cuales sostiene varias cuentas . Cada cuenta representa una cantidad, que se cuenta si la cuenta se mueve de un extremo de una varilla al otro. Los cálculos se realizan manipulando las posiciones de las cuentas hasta que el patrón final de cuentas revela el resultado. ^[114]

Las calculadoras mecánicas automatizan este proceso. Presentan al usuario algún tipo de dispositivo de entrada para ingresar números girando diales o presionando teclas. Incluyen un mecanismo interno que generalmente consta de engranajes , palancas y ruedas para realizar cálculos y mostrar los resultados. ^[115] Para calculadoras electrónicas y computadoras , este procedimiento se refina aún más reemplazando los componentes mecánicos con circuitos electrónicos como procesadores que combinan y transforman señales eléctricas para realizar cálculos. ^[116]

Otros

Ejemplo de aritmética modular usando un reloj: después de sumar 4 horas a las 9, la manecilla comienza nuevamente desde el principio y apunta a la 1.

Hay muchos otros tipos de aritmética. La aritmética modular opera con un conjunto finito de números. Si una operación da como resultado un número fuera de este conjunto finito, entonces el número se ajusta nuevamente al conjunto, de manera similar a cómo las manecillas de los relojes comienzan nuevamente desde el principio después de haber completado un ciclo. El número en el que se produce este ajuste se llama módulo. Por ejemplo, un reloj normal tiene un módulo de 12. En el caso de sumar 4 más 9, esto significa que el resultado no es 13 sino 1. El mismo principio se aplica también a otras operaciones, como la resta, la multiplicación y la división. ^[117]

Algunas formas de aritmética se ocupan de operaciones realizadas con objetos matemáticos distintos de los números. La aritmética de intervalos describe operaciones en intervalos . Los intervalos se pueden utilizar para representar un rango de valores si no se conoce la magnitud exacta, por ejemplo, debido a errores de medición . La aritmética de intervalos incluye operaciones como la suma y la multiplicación en intervalos, como en y . ^[118] Está estrechamente relacionada con la aritmética afín , cuyo objetivo es dar resultados más precisos realizando cálculos en formas afines en lugar de intervalos. Una forma afín es un número junto con términos de error que describen cómo el número puede desviarse de la magnitud real. ^[119] La aritmética vectorial y la aritmética matricial describen operaciones aritméticas en vectores y matrices , como la suma de vectores y la multiplicación de matrices . ^[120] ${\displaystyle [1,2]+[3,4]=[4,6]}$ ${\displaystyle [1,2]\times [3,4]=[3,8]}$

Los sistemas aritméticos se pueden clasificar según el sistema numérico en el que se basan. Por ejemplo, la aritmética decimal describe operaciones aritméticas en el sistema decimal. Otros ejemplos son la aritmética binaria , la aritmética octal y la aritmética hexadecimal . ^[121]

La aritmética de unidades compuestas describe operaciones aritméticas realizadas en magnitudes con unidades compuestas. Implica operaciones adicionales para gobernar la transformación entre cantidades unitarias simples y unitarias compuestas. Por ejemplo, la operación de reducción se utiliza para transformar la cantidad compuesta 1 h 90 min en la cantidad unitaria única 150 min. ^[122]

Las aritméticas no diofánticas son sistemas aritméticos que violan las intuiciones aritméticas tradicionales e incluyen ecuaciones como y . ^[123] Pueden emplearse para representar algunas situaciones del mundo real en la física moderna y la vida cotidiana. Por ejemplo, la ecuación se puede utilizar para describir la observación de que si una gota de lluvia se suma a otra, entonces no siguen siendo dos entidades separadas sino que se convierten en una. ^[124] ${\displaystyle 1+1=1}$ ${\displaystyle 2+2=5}$ ${\displaystyle 1+1=1}$

Fundamentos axiomáticos

Los fundamentos axiomáticos de la aritmética intentan proporcionar un pequeño conjunto de leyes, los llamados axiomas , de los cuales se pueden derivar todas las propiedades fundamentales y operaciones con los números. Constituyen marcos lógicamente consistentes y sistemáticos que pueden usarse para formular pruebas matemáticas de manera rigurosa. Dos enfoques bien conocidos son los axiomas de Dedekind-Peano y las construcciones de teoría de conjuntos . ^[125]

Los axiomas de Dedekind-Peano proporcionan una axiomatización de la aritmética de los números naturales. Sus principios básicos fueron formulados por primera vez por Richard Dedekind y posteriormente perfeccionados por Giuseppe Peano . Se basan únicamente en una pequeña cantidad de conceptos matemáticos primitivos, como 0, número natural y sucesor . ^[b] Los axiomas de Peano determinan cómo estos conceptos se relacionan entre sí. Todos los demás conceptos aritméticos pueden definirse entonces en términos de estos conceptos primitivos. ^[126]

1. 0 es un número natural.
2. Para cada número natural hay un sucesor, que también es un número natural.
3. Los sucesores de dos números naturales diferentes nunca son idénticos.
4. El 0 no es el sucesor de un número natural.
5. Si un conjunto contiene 0 y todos sus sucesores, entonces contiene todos los números naturales. ^{[127] [c]}

Los números mayores que 0 se expresan mediante la aplicación repetida de la función sucesora . Por ejemplo, es y es . Las operaciones aritméticas se pueden definir como mecanismos que afectan cómo se aplica la función sucesora. Por ejemplo, sumar a cualquier número es lo mismo que aplicar la función sucesora dos veces a este número. ^[128] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle s(0)}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle s(s(s(0)))}$ ${\displaystyle 2}$

Varias axiomatizaciones de la aritmética se basan en la teoría de conjuntos. Cubren números naturales pero también pueden extenderse a números enteros, números racionales y números reales. Cada número natural está representado por un conjunto único. 0 generalmente se define como el conjunto vacío . Cada número posterior se puede definir como la unión del número anterior con el conjunto que contiene el número anterior. Por ejemplo, , y . ^[129] Los números enteros se pueden definir como pares ordenados de números naturales donde el segundo número se resta del primero. Por ejemplo, el par (9, 0) representa el número 9 mientras que el par (0, 9) representa el número -9. ^[130] Los números racionales se definen como pares de números enteros donde el primer número representa el numerador y el segundo número representa el denominador. Por ejemplo, el par (3, 7) representa el número racional . ^[131] Una forma de construir los números reales se basa en el concepto de cortes de Dedekind . Según este enfoque, cada número real está representado por una partición de todos los números racionales en dos conjuntos, uno para todos los números inferiores al número real representado y el otro para el resto. ^[132] Las operaciones aritméticas se definen como funciones que realizan varias transformaciones teóricas de conjuntos en los conjuntos que representan los números de entrada para llegar al conjunto que representa el resultado. ^[133] ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{0\}}$ ${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle 3=2\cup \{2\}=\{0,1,2\}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$

Historia

Algunos historiadores interpretan el hueso de Ishango como uno de los primeros artefactos aritméticos.

Las primeras formas de aritmética a veces se remontan al conteo y las marcas de conteo utilizadas para realizar un seguimiento de las cantidades. Algunos historiadores sugieren que el hueso de Lebombo (que data de hace unos 43.000 años) y el hueso de Ishango (que data de hace unos 22.000 a 30.000 años) son los artefactos aritméticos más antiguos, pero esta interpretación es controvertida. ^[134] Sin embargo, un sentido básico de los números puede ser anterior a estos hallazgos e incluso podría haber existido antes del desarrollo del lenguaje. ^[135]

No fue hasta el surgimiento de las civilizaciones antiguas que comenzó a evolucionar un enfoque más complejo y estructurado de la aritmética, alrededor del año 3000 a.C. Esto se hizo necesario debido a la creciente necesidad de realizar un seguimiento de los artículos almacenados, gestionar la propiedad de la tierra y organizar intercambios. ^[136] Todas las principales civilizaciones antiguas desarrollaron sistemas de numeración no posicionales para facilitar la representación de números. También tenían símbolos para operaciones como suma y resta y conocían fracciones. Algunos ejemplos son los jeroglíficos egipcios , así como los sistemas de numeración inventados en Sumeria , China y la India . ^[137] El primer sistema de numeración posicional fue desarrollado por los babilonios a partir del año 1800 a. C. Esta fue una mejora significativa con respecto a los sistemas numéricos anteriores, ya que hizo que la representación de números grandes y los cálculos sobre ellos fueran más eficientes. ^[138] Los ábacos se han utilizado como herramientas de cálculo manuales desde la antigüedad como medio eficiente para realizar cálculos complejos. ^[139]

Las primeras civilizaciones utilizaban principalmente los números con fines prácticos concretos y carecían de un concepto abstracto del número en sí. ^[140] Esto cambió con los antiguos matemáticos griegos , quienes comenzaron a explorar la naturaleza abstracta de los números en lugar de estudiar cómo se aplican a problemas específicos. ^[141] Otra característica novedosa fue el uso de pruebas para establecer verdades matemáticas y validar teorías. ^[142] Una contribución adicional fue su distinción de varias clases de números, como números pares , números impares y números primos . ^[143] Esto incluyó el descubrimiento de que los números para ciertas longitudes geométricas son irracionales y, por lo tanto, no pueden expresarse como una fracción. ^[144] Las obras de Tales de Mileto y Pitágoras en los siglos VII y VI a. C. a menudo se consideran el inicio de las matemáticas griegas. ^[145] Diofanto fue una figura influyente en la aritmética griega en el siglo III a. C. debido a sus numerosas contribuciones a la teoría de números y su exploración de la aplicación de operaciones aritméticas a ecuaciones algebraicas . ^[146]

Los antiguos indios fueron los primeros en desarrollar el concepto de cero como número para utilizar en los cálculos. Las reglas exactas de su funcionamiento fueron escritas por Brahmagupta alrededor del año 628 d.C. ^[147] El concepto de cero o ninguno existía mucho antes, pero no se consideraba un objeto de operaciones aritméticas. ^[148] Brahmagupta proporcionó además una discusión detallada de los cálculos con números negativos y su aplicación a problemas como el crédito y la deuda. ^[149] El concepto de números negativos en sí es significativamente más antiguo y se exploró por primera vez en las matemáticas chinas en el primer milenio a.C. ^[150]

Los matemáticos indios también desarrollaron el sistema decimal posicional que se utiliza hoy en día, en particular el concepto de dígito cero en lugar de posiciones vacías o faltantes. Por ejemplo, Aryabhata proporcionó un tratamiento detallado de sus operaciones a principios del siglo VI d.C. ^[151] El sistema decimal indio fue refinado y ampliado aún más a números no enteros durante la Edad de Oro islámica por matemáticos árabes como Al-Khwarizmi . Su trabajo influyó en la introducción del sistema de numeración decimal en el mundo occidental, que en aquella época dependía del sistema de numeración romano . ^[152] Allí, fue popularizada por matemáticos como Leonardo Fibonacci , que vivió en los siglos XII y XIII y también desarrolló la secuencia de Fibonacci . ^[153] Durante la Edad Media y el Renacimiento , se publicaron muchos libros de texto populares para cubrir los cálculos prácticos para el comercio. El uso de ábacos también se generalizó en este período. ^[154] En el siglo XVI, el matemático Gerolamo Cardano concibió el concepto de números complejos como una forma de resolver ecuaciones cúbicas . ^[155]

El calculador escalonado de Leibniz fue la primera calculadora que podía realizar las cuatro operaciones aritméticas. ^[156]

Las primeras calculadoras mecánicas se desarrollaron en el siglo XVII y facilitaron enormemente los cálculos matemáticos complejos, como la calculadora de Blaise Pascal y el calculador escalonado de Gottfried Wilhelm Leibniz . ^[157] El siglo XVII también vio el descubrimiento del logaritmo por John Napier . ^[158]

En los siglos XVIII y XIX, matemáticos como Leonhard Euler y Carl Friedrich Gauss sentaron las bases de la teoría de números moderna. ^[159] Otro desarrollo en este período tuvo que ver con el trabajo sobre la formalización y los fundamentos de la aritmética, como la teoría de conjuntos de Georg Cantor y los axiomas de Dedekind-Peano utilizados como axiomatización de la aritmética de números naturales. ^[160] Las computadoras y las calculadoras electrónicas se desarrollaron por primera vez en el siglo XX. Su uso generalizado revolucionó tanto la precisión como la velocidad con la que se pueden calcular incluso cálculos aritméticos complejos. ^[161]

En varios campos

Educación

La enseñanza de la aritmética forma parte de la enseñanza primaria . Es una de las primeras formas de educación matemática que encuentran los niños. La aritmética elemental tiene como objetivo brindar a los estudiantes un sentido básico de los números y familiarizarlos con operaciones numéricas fundamentales como suma, resta, multiplicación y división. ^[162] Generalmente se introduce en relación con escenarios concretos, como contar cuentas , dividir la clase en grupos de niños del mismo tamaño y calcular el cambio al comprar artículos. Las herramientas comunes en la educación aritmética temprana son las rectas numéricas , las tablas de suma y multiplicación y los bloques para contar . ^[163]

Las etapas posteriores se centran en una comprensión más abstracta. Presentan a los estudiantes diferentes tipos de números, como números negativos, fracciones, números reales y números complejos. Además, cubren operaciones numéricas más avanzadas, como exponenciación, extracción de raíces y logaritmos. ^[164] También muestran cómo las operaciones aritméticas se emplean en otras ramas de las matemáticas, como su aplicación para describir formas geométricas y el uso de variables en álgebra. Otro aspecto es enseñar a los estudiantes el uso de algoritmos y calculadoras para resolver problemas aritméticos complejos. ^[165]

Psicología

La psicología de la aritmética está interesada en cómo los humanos y los animales aprenden los números, los representan y los utilizan para los cálculos. Examina cómo se entienden y resuelven los problemas matemáticos y cómo se relacionan las habilidades aritméticas con la percepción , la memoria , el juicio y la toma de decisiones . ^[166] Por ejemplo, investiga cómo las colecciones de elementos concretos se encuentran por primera vez en la percepción y posteriormente se asocian con números. ^[167] Otro campo de investigación se refiere a la relación entre los cálculos numéricos y el uso del lenguaje para formar representaciones. ^[168] La psicología también explora el origen biológico de la aritmética como una habilidad innata. Se trata de procesos cognitivos preverbales y presimbólicos que implementan operaciones similares a las aritméticas necesarias para representar con éxito el mundo y realizar tareas como la navegación espacial. ^[169]

Uno de los conceptos estudiados por la psicología es la aritmética , que es la capacidad de comprender conceptos numéricos, aplicarlos a situaciones concretas y razonar con ellos. Incluye un sentido numérico fundamental, además de poder estimar y comparar cantidades. Además, abarca las capacidades de representar simbólicamente números en sistemas de numeración, interpretar datos numéricos y evaluar cálculos aritméticos. ^[170] La aritmética es una habilidad clave en muchos campos académicos. La falta de conocimientos de aritmética puede inhibir el éxito académico y conducir a malas decisiones económicas en la vida cotidiana, por ejemplo, al malinterpretar los planes hipotecarios y las pólizas de seguro . ^[171]

Filosofía

La filosofía de la aritmética estudia los conceptos y principios fundamentales que subyacen a los números y las operaciones aritméticas. Explora la naturaleza y el estatus ontológico de los números, la relación de la aritmética con el lenguaje y la lógica , y cómo es posible adquirir conocimientos aritméticos . ^[172]

Según el platonismo , los números tienen existencia independiente de la mente: existen como objetos abstractos fuera del espacio-tiempo y sin poderes causales. ^[173] Este punto de vista es rechazado por los intuicionistas , quienes afirman que los objetos matemáticos son construcciones mentales. ^[174] Otras teorías son el logicismo , que sostiene que las verdades matemáticas son reducibles a verdades lógicas , ^[175] y el formalismo , que afirma que los principios matemáticos son reglas de cómo se manipulan los símbolos sin afirmar que corresponden a entidades fuera de la actividad gobernada por reglas. . ^[176]

La visión tradicionalmente dominante en la epistemología de la aritmética es que las verdades aritméticas son cognoscibles a priori . Esto significa que pueden conocerse pensando únicamente sin necesidad de depender de la experiencia sensorial . ^[177] Algunos defensores de este punto de vista afirman que el conocimiento aritmético es innato, mientras que otros afirman que existe alguna forma de intuición racional a través de la cual se pueden comprender las verdades matemáticas. ^[178] Filósofos naturalistas como Willard Van Orman Quine sugirieron una visión alternativa más reciente , quienes sostienen que los principios matemáticos son generalizaciones de alto nivel que, en última instancia, se basan en el mundo sensorial descrito por las ciencias empíricas. ^[179]

Otros

La aritmética es relevante para muchos campos. En la vida diaria , es necesario calcular el cambio al comprar, administrar las finanzas personales y ajustar una receta de cocina para un número diferente de porciones. Las empresas utilizan la aritmética para calcular ganancias y pérdidas y analizar las tendencias del mercado . En el campo de la ingeniería , se utiliza para medir cantidades, calcular cargas y fuerzas y diseñar estructuras. ^[180] La criptografía se basa en operaciones aritméticas para proteger la información confidencial mediante el cifrado de datos y mensajes. ^[181]

Las operaciones aritméticas son la base de muchas ramas de las matemáticas, como el álgebra , el cálculo y la estadística . A través de ellos, la influencia de la aritmética se extiende a la mayoría de las ciencias como la física , la informática y la economía . Estas operaciones se utilizan en cálculos, resolución de problemas , análisis de datos y algoritmos, lo que las convierte en parte integral de la investigación científica, el desarrollo tecnológico y la modelización económica. ^[182]

Ver también

• Portal aritmético
• Portal de matemáticas

• Algorismo
• Aritmética de campos finitos
• Esquema de aritmética
• aritmética vegetal

Referencias

Notas

1. Algunos autores utilizan una terminología diferente y se refieren al primer número como multiplicando y al segundo número como multiplicador. ^[49]
2. El sucesor de un número natural es el número que le sigue. Por ejemplo, 4 es el sucesor de 3.
3. Existen diferentes versiones de la formulación exacta y el número de axiomas. Por ejemplo, algunas formulaciones comienzan con 1 en lugar de 0 en el primer axioma.

Citas

1. • Romanowski 2008, págs. 302-303
   • Personal de HC 2022b
   • Plantilla MW 2023
   • Personal de la MOE 2020a
2. • Personal de la MOE 2020a
   • Burgin 2022, págs.57, 77
   • Adamowicz 1994, pág. 299
3. • Peirce 2015, pág. 109
   • Espera 2013, pág. 42
   • Smith 1958, pág. 7
4. • Óliver 2005, pág. 58
   • Hofweber 2016, pág. 153
5. • Romanowski 2008, págs. 302-303
   • Personal de HC 2022b
   • Plantilla MW 2023
   • Personal de la MOE 2020a
6. Sophian 2017, pag. 84.
7. • Personal de la MOE 2020a
   • Stevenson y Waite 2011, pág. 70
   • Romanowski 2008, págs. 303–304
8. • Lozano-Robledo 2019, p. xiii
   • Nagel y Newman 2008, pág. 4
9. • Wilson 2020, págs. 1-2
   • Personal de la MOE 2020b
   • Campbell 2012, pág. 33
   • Robbins 2006, pág. 1
10. • Duverney 2010, pág. v
    • Robbins 2006, pág. 1
11. • Musser, Peterson y Burger 2013, pág. 17
    • Kleiner 2012, pág. 255
    • Marcus y McEvoy 2016, pág. 285
    • Monahan 2012
12. • Romanowski 2008, págs. 302-304
    • Khattar 2010, págs. 1-2
    • Nakov y Kolev 2013, págs. 270-271
13. • Nagel 2002, págs. 180-181
    • Luderer, Nollau y Vetters 2013, pág. 9
    • Khattar 2010, págs. 1-2
14. • Romanowski 2008, pág. 304
    • Nagel 2002, págs. 180-181
    • Hindry 2011, pág. X
    • Personal de la MOE 2016
15. • Rajan 2022, pág. 17
    • Hafstrom 2013, pág. 6
16. • Romanowski 2008, pág. 304
    • Nagel 2002, págs. 180-181
    • Hindry 2011, pág. X
    • Hafstrom 2013, pág. 95
17. • Romanowski 2008, pág. 304
    • Nagel 2002, págs. 180-181
    • Hindry 2011, pág. X
    • Hafstrom 2013, pág. 123
18. • Gellert et al. 2012, pág. 33
19. Musser, Peterson y Burger 2013, p. 358.
20. • Romanowski 2008, pág. 304
    • Nagel 2002, págs. 180-181
    • Hindry 2011, pág. X
21. • Musser, Peterson y Burger 2013, págs. 358–359
    • Rooney 2021, pág. 34
22. • Romanowski 2008, pág. 304
    • Hindry 2011, pág. X
23. • Hindry 2011, pág. X
    • Distrito 2012, pág. 55
24. • Orr 1995, pág. 49
    • Nelson 2019, pág. xxxi
25. • Mineral de 1948, págs. 1-2
    • Personal HC 2022
    • Personal HC 2022a
26. • Mineral 1948, págs. 8-10
    • Nakov y Kolev 2013, págs. 270-272
27. • Stajov 2020, pág. 73
    • Nakov y Kolev 2013, págs. 271-272
    • Jena 2021, págs. 17-18
28. • Nakov y Kolev 2013, págs. 271-272
    • Jena 2021, págs. 17-18
29. • Mineral 1948, págs. 8-10
    • Mazumder y Ebong 2023, págs. 18-19
    • Moncayo 2018, pág. 25
30. • Mineral 1948, pág. 8
    • Mazumder y Ebong 2023, pág. 18
31. Mineral 1948, pag. 10.
32. • Mineral 1948, págs. 8-10
    • Mazumder y Ebong 2023, págs. 18-19
    • Stajov 2020, págs. 77–78
33. • Romanowski 2008, pág. 303
    • Yan 2013, pág. 261
    • ITL Education Solutions Limited 2011, pág. 28
    • Mineral 1948, págs. 2-3
    • Jena 2021, págs. 17-18
34. • Nagel 2002, pág. 178
    • Jena 2021, págs. 20-21
    • Null y Lobur 2006, pág. 40
35. Stajov 2020, pag. 74.
36. • Nagel 2002, pág. 179
    • Husserl y Willard 2012, págs. XLIV-XLV
    • O'Leary 2015, pág. 190
37. • Rising et al. 2021, pág. 110
    • Personal de la MOE 2020a
    • Nagel 2002, págs. 177, 179-180
38. • Personal de la MOE 2020a
    • Burgin 2022, págs.57, 77
    • Adamowicz 1994, pág. 299
    • Nagel 2002, págs. 177, 179-180
39. • Khan y Graham 2018, págs. 9-10
    • Smyth 1864, pág. 55
40. • Tarasov 2008, págs. 57–58
    • Mazzola, Milmeister y Weissmann 2004, pág. 66
    • Krenn y Lorünser 2023, pág. 8
41. • Kay 2021, págs. 44–45
    • Wright, Ellemor-Collins y Tabor 2011, pág. 136
42. • Krenn y Lorünser 2023, pág. 8
    • Mazzola, Milmeister y Weissmann 2004, pág. 66
43. • Musser, Peterson y Burger 2013, pág. 87
    • Romanowski 2008, pág. 303
44. Burgin 2022, pag. 25.
45. • Romanowski 2008, pág. 303
    • Musser, Peterson y Burger 2013, págs. 93–94
    • Kay 2021, págs. 44–45
    • Wright, Ellemor-Collins y Tabor 2011, pág. 136
46. • Clima 2015, pág. 19
    • Wright, Ellemor-Collins y Tabor 2011, págs. 136-137
    • Achatz y Anderson 2005, pág. 18
47. • Mazzola, Milmeister y Weissmann 2004, pág. 66
    • Romanowski 2008, pág. 303
    • Nagel 2002, págs. 179-180
48. • Romanowski 2008, pág. 303
    • Musser, Peterson y Burger 2013, págs. 101-102
49. • Cavanagh 2017
    • weisstein
50. • Romanowski 2008, pág. 304
    • Wright, Ellemor-Collins y Tabor 2011, pág. 136
    • Musser, Peterson y Burger 2013, págs. 101-102
51. • Romanowski 2008, pág. 303
    • Clima 2015, pág. 19
    • Wright, Ellemor-Collins y Tabor 2011, pág. 136
52. • Kay 2021, pág. 117
    • Clima 2015, pág. 19
    • Wright, Ellemor-Collins y Tabor 2011, págs. 136-137
53. • Mazzola, Milmeister y Weissmann 2004, pág. 66
    • Romanowski 2008, págs. 303–304
    • Nagel 2002, págs. 179-180
54. • Musser, Peterson y Burger 2013, págs. 117-118
    • Kay 2021, págs. 27-28
55. • Kay 2021, pág. 118
    • Klose 2014, pág. 105
56. • Kay 2021, págs. 121-122
    • Rodda y Little 2015, pág. 7
57. • Kay 2021, pág. 117
    • Mazzola, Milmeister y Weissmann 2004, pág. 66
58. • Sally y Sally (Jr.) 2012, pág. 3
    • Klose 2014, págs. 107-108
59. • Nagel 2002, págs. 180-181
    • Gupta 2019, pág. 3
    • Vaccaro y Pepiciello 2022, págs. 9-12
    • Liebler 2018, pág. 36
60. • Romanowski 2008, pág. 304
    • Hindry 2011, pág. X
    • Hafstrom 2013, pág. 95
61. • Kupferman 2015, págs.45, 92
    • Uspenskii y Semenov 2001, pág. 113
    • Geary 2006, pág. 796
62. • Resnick y Ford 2012, pág. 110
    • Klein et al. 2010, págs. 67–68
63. • Quintero y Rosario 2016, pág. 74
    • Ebby, Hulbert y Broadhead 2020, págs. 24-26
64. Sperling y Stuart 1981, pág. 7.
65. Sperling y Stuart 1981, pág. 8.
66. • Mayo de 2020, págs. 35–36
    • Sperling y Stuart 1981, pág. 9
67. Mooney y col. 2014, pág. 148.
68. • Klein 2013, pág. 249
    • Müller et al. 2018, pág. 539
69. Davis, Goulding y Suggate 2017, págs. 11-12.
70. Haylock y Cockburn 2008, pág. 49.
71. Prata 2002, pag. 138.
72. Koepf 2021, pag. 49.
73. Goodstein 2014, pag. 33.
74. • Cafaro, Epicoco & Pulimeno 2018, p. 7
    • Reilly 2009, pág. 75
75. • Cuyt et al. 2008, pág. 182
    • Mahajan 2010, págs. 66–69
76. • Kay 2021, pág. 57
    • Cuyt et al. 2008, pág. 182
77. • Personal de la MOE 2016
    • Grigorieva 2018, págs. viii-ix
    • Página 2003, pág. 15
78. • Página 2003, pág. 34
    • Yan 2013, pág. 12
79. • Página 2003, págs. 18-19, 34
    • Personal de la MOE 2014a
80. • Página 2003, pág. 34
    • Personal de la MOE 2014
81. • Página 2003, págs. 34–35
    • Personal de la MOE 2019
82. • Yan 2013, pág. 12
    • Yan 2013a, pág. 15
83. • Personal de la MOE 2016
    • Křížek, Somer y Šolcová 2021, págs.23, 25, 37
84. • Křížek, Somer y Šolcová 2021, p. 23
    • Riesel 2012, pág. 2
85. • Personal de la MOE 2016
    • Křížek, Somer y Šolcová 2021, p. 25
86. • Personal de la MOE 2016
    • Křížek, Somer y Šolcová 2021, p. 37
87. • Gellert et al. 2012, pág. 30
    • Romanowski 2008, pág. 304
    • Hindry 2011, pág. X
    • Hafstrom 2013, pág. 123
88. • Gellert et al. 2012, págs. 31-32
    • Musser, Peterson y Burger 2013, pág. 347
89. Gellert y col. 2012, págs. 32-33.
90. Gellert y col. 2012, pág. 33.
91. Klose 2014, pag. 107.
92. • Hoffman y Frankel 2018, págs. 161-162
    • Lange 2010, págs. 248-249
    • Klose 2014, págs. 105-107
93. • Cuyt et al. 2008, pág. 182
    • Mahajan 2010, págs. 66–69
94. • Gellert et al. 2012, pág. 33
    • Igarashi et al. 2014, pág. 18
95. • Gellert et al. 2012, pág. 35
    • Booker y cols. 2015, págs. 308–309
96. • Gellert et al. 2012, pág. 34
    • Igarashi et al. 2014, pág. 18
97. • Musser, Peterson y Burger 2013, págs. 358–359
    • Personal de la MOE 2020
    • Rooney 2021, pág. 34
    • Joven 2010, págs. 994–996
98. • Rossi 2011, pág. 101
    • Reitano 2010, pág. 42
    • Bronshtein et al. 2015, pág. 2
99. • Musser, Peterson y Burger 2013, págs. 358–359
    • Personal de la MOE 2020
    • Rooney 2021, pág. 34
    • Joven 2010, págs. 994–996
100. • Wallis 2013, págs. 20-21
     • Joven 2010, págs. 996–997
     • Joven 2021, págs. 4–5
101. Koren 2018, pag. 71.
102. • Wallis 2013, pág. 20
     • Roe, deForest y Jamshidi 2018, pág. 24
103. Müller y col. 2009, págs. 13-16.
104. • Koren 2018, pág. 71
     • Müller et al. 2009, págs. 13-16
     • Swartzlander 2017, pág. 11.19
105. • Stewart 2022, pág. 26
     • Meyer 2023, pág. 234
106. • Müller et al. 2009, pág. 54
     • Brent y Zimmermann 2010, pág. 79
     • Llorón 2014, pág. 450
107. Duffy 2018, pag. 1225.
108. • Musser, Peterson y Burger 2013, pág. 131
     • Verschaffel, Torbeyns y De Smedt 2011, pág. 2177
109. • Emerson y Babtie 2014, pág. 147
     • Musser, Peterson y Burger 2013, págs. 131-132
     • Verschaffel, Torbeyns y De Smedt 2011, pág. 2177
110. • Musser, Peterson y Burger 2013, pág. 131
     • Verschaffel, Torbeyns y De Smedt 2011, pág. 2177
111. • Dowker 2019, pag. 114
     • Berch, Geary y Koepke 2015, pág. 124
     • Otis 2024, págs. 15-19
     • Geary 2006, pág. 796
112. • Otis 2024, págs. 15-19
     • Geary 2006, pág. 796
113. • Mineral 1948, pág. 8
     • Mazumder y Ebong 2023, pág. 18
114. • Reynolds 2008, págs. 1-2
     • Sternberg y Ben-Zeev 2012, págs. 95–96
115. • Lockhart 2017, págs. 136, 140-146
     • O'Regan 2012, págs. 24-25
116. • Khoury y Lamothe 2016, pág. 2
     • Lockhart 2017, págs. 147-150
     • Burgin 2022, págs.119
117. • Lerner y Lerner 2008, págs. 2807–2808
     • Wallis 2011, págs. 303–304
     • Kaiser y Granada 2021, págs. 283–284
118. • Moore, Kearfott y Cloud 2009, págs. 10-11, 19
     • Pharr, Jakob y Humphreys 2023, pág. 1057
119. • Vaccaro y Pepiciello 2022, págs. 9-11
     • Chakraverty y Rout 2022, págs. 2–4, 39–40
120. • Liebler 2018, pág. 36
     • Adhami et al. 2007, págs. 80–82, 98–102
121. • Shiva 2018, págs.3, 14
     • Gupta 2019, pág. 3
122. Burgin 2022, págs. 92–93.
123. • Burgin 2022, págs. xviii–xx, xxiv, 137–138
     • Caprio, Aveni y Mukherjee 2022, págs. 763–764
124. • Burgin 2022, pág. 144
     • Caprio, Aveni y Mukherjee 2022, págs. 763–764
     • Seaman, Rossler y Burgin 2023, pág. 226
125. • Óliver 2005, pág. 58
     • Personal de la MOE 2020a
     • Azulejos 2009, pág. 243
126. • Óliver 2005, pág. 58
     • Ferreiros 2013, pág. 251
     • Ongley y Carey 2013, págs. 24-25
127. • Óliver 2005, pág. 58
     • Ongley y Carey 2013, págs. 24-25
     • Taylor 2012, pág. 8
128. • Ongley y Carey 2013, págs. 24-25
     • Taylor 2012, pág. 8
129. • Bagaria 2023, § 3. La teoría de los ordinales y cardenales transfinitos
     • Cunningham 2016, págs. 83–84, 108
130. • Hamilton y Landin 2018, pág. 133
     • Bagaria 2023, § 5. La teoría de conjuntos como base de las matemáticas
131. • Hamilton y Landin 2018, págs. 157-158
     • Bagaria 2023, § 5. La teoría de conjuntos como base de las matemáticas
132. • Bagaria 2023, § 5. La teoría de conjuntos como base de las matemáticas
     • Hamilton y Landin 2018, pág. 252
133. Cunningham 2016, págs. 95–96.
134. • Burgin 2022, págs. 2-3
     • Mineral 1948, págs.1, 6, 8, 10
     • Thiam y Rochon 2019, pág. 164
135. • Burgin 2022, pág. 3
     • Ponticorvo, Schmbri y Miglino 2019, pág. 33
136. • Burgin 2022, págs. 4-6
     • Ang y Lam 2004, pág. 170
137. • Burgin 2022, págs. 5–7, 9–11
     • Mineral de 1948, págs. 10-15
     • Nagel 2002, pág. 178
     • Hindry 2011, pág. ix
138. • Burgin 2022, págs. 6–7, 9
     • Mineral 1948, págs. 16-18
     • ITL Education Solutions Limited 2011, pág. 28
139. • Mineral 1948, pág. 15
     • Yadin 2016, pág. 24
140. • Burgin 2022, págs. 4-5
     • Marrón 2010, pág. 184
141. • Burgin 2022, pág. 15
     • Marrón 2010, pág. 184
     • Romanowski 2008, pág. 303
     • Nagel 2002, pág. 178
142. • Burgin 2022, pág. 15
     • Madden y Aubrey 2017, pág. xvii
143. • Burgin 2022, pág. 31
     • Payne 2017, pág. 202
144. • Burgin 2022, págs. 20-21, 34
     • Bloch 2011, pág. 52
145. • Burgin 2022, pág. dieciséis
     • Lützen 2023, pág. 19
146. • Burgin 2022, págs. 29-31
     • Klein 2013a, pág. 12
147. • Burgin 2022, págs. 36-37
     • Bradley 2006, págs. 82–83
     • Conradie y Goranko 2015, pág. 268
148. • Burgin 2022, págs. 35-36
     • Cai 2023, pág. 110
149. • Burgin 2022, págs. 37, 40
     • Bradley 2006, págs. 82–83
     • Conradie y Goranko 2015, pág. 268
150. • Hua y Feng 2020, págs. 119-120
     • Chemla, Keller y Proust 2023, pág. 47
151. • Burgin 2022, págs.13, 34
     • Conradie y Goranko 2015, pág. 268
152. • Burgin 2022, págs. 38, 43–46
     • Conradie y Goranko 2015, pág. 268
153. • Burgin 2022, pág. 56
     • Oakes 2020, pag. 330
154. • Burgin 2022, pág. 55
     • Wedell 2015, págs. 1235-1236
155. • Burgin 2022, pág. 62
     • Lützen 2023, pág. 124
156. Vullo 2020, pag. 140.
157. • Cignoni y Cossu 2016, pág. 103
     • Koetsier 2018, pág. 255
     • Igarashi et al. 2014, págs. 87–89
158. • Burgin 2022, pág. 77
     • Eriksson, Estep & Johnson 2013, pág. 474
159. • Burgin 2022, págs. 68–72
     • Bien 2009, pág. ix
     • Karlsson 2011, pág. 309
160. • Burgin 2022, págs. 2, 88, 95–97
     • Wang 1997, pág. 334
161. • Burgin 2022, págs.119, 124
     • Curley 2011, págs.5, 19
     • Igarashi et al. 2014, pág. 149
162. • Personal del NCTM
     • Musser, Peterson & Burger 2013, Puntos focales del plan de estudios para matemáticas desde jardín de infantes hasta octavo grado, pág. 44, pág. 130
     • Odom, Barbarin y Wasik 2009, pág. 589
163. • Laski et al. 2015, págs. 1 a 3
     • Musser, Peterson y Burger 2013, págs. 59, 90–91, 93–94, 106–108
     • Nürnberger-Haag 2017, pág. 215
164. • Personal del NCTM
     • Musser, Peterson & Burger 2013, Puntos focales del plan de estudios para matemáticas desde jardín de infantes hasta octavo grado, págs. 208, 304, 340, 362
165. • Personal del NCTM
     • Musser, Peterson & Burger 2013, Puntos focales del plan de estudios para matemáticas desde jardín de infantes hasta octavo grado
     • Carraher y Schliemann 2015, pág. 197
     • Ruthven 2012, págs. 435, 443–444
166. • De Cruz, Neth y Schlimm 2010, págs. 59–60
     • Grice et al. 2023, Resumen
167. De Cruz, Neth y Schlimm 2010, págs. 60–62.
168. De Cruz, Neth y Schlimm 2010, pág. 63.
169. Grice y col. 2023, Resumen.
170. • Personal del Departamento de Educación de Victoria 2023
     • Torcido 2010, págs. 33–34
     • Dreeben-Irimia 2010, pág. 102
171. • Personal del Departamento de Educación de Victoria 2023
     • Barnes, Rice y Hanoch 2017, pág. 196
     • Gerardi, Goette y Meier 2013, págs. 11267-11268
     • Jackson 2008, pág. 152
172. • Hofweber 2016, págs. 153–154, 162–163
     • Óliver 2005, pág. 58
     • Sierpinska y Lerman 1996, pág. 827
173. • Óliver 2005, pág. 58
     • Horsten 2023, § 3. Platonismo
174. Horsten 2023, § 2.2 Intuicionismo.
175. • Horsten 2023, § 2.1 Logicismo
     • Hofweber 2016, págs. 174-175
176. Weir 2022, Sección principal.
177. • Óliver 2005, pág. 58
     • Sierpinska y Lerman 1996, pág. 830
178. • Óliver 2005, pág. 58
     • Sierpinska y Lerman 1996, págs. 827–876
179. • Horsten 2023, § 3.2 Naturalismo e indispensabilidad
     • Sierpinska y Lerman 1996, pág. 830
180. • Lockhart 2017, págs. 1-2
     • Pájaro 2021, pág. 3
     • Aubrey 1999, pág. 49
181. • Omondi 2020, pág. viii
     • Paar y Pelzl 2009, pág. 13
182. • Gallistel y Gelman 2005, págs. 559–560
     • Ali Rahman et al. 2017, págs. 373–374
     • Li & Schoenfeld 2019, Resumen, Introducción
     • Asano 2013, págs. xiii-xv

Fuentes

• Achatz, Thomas; Anderson, John G. (2005). Taller Técnico de Matemáticas. Prensa industrial Inc. ISBN 978-0-8311-3086-2.
• Adamowicz, Zofia (1994). "El poder de la exponenciación en aritmética". En José, Antonio; Mignot, Fulberto; Murat, François; Prum, Bernard; Rentschler, Rudolf (eds.). Primer Congreso Europeo de Matemáticas: París, 6 al 10 de julio de 1992 Volumen I Conferencias invitadas (Parte 1) . Birkhäuser. págs. 299–320. doi :10.1007/978-3-0348-9110-3_9. ISBN 978-3-0348-9110-3.
• Adhami, Reza; Meenen, Peter M.; Meenen, Peter; Hite, Denis (2007). Conceptos fundamentales en ingeniería eléctrica e informática con problemas prácticos de diseño. Editores universales. ISBN 978-1-58112-971-7.
• Ali Rahman, Ernna Sukinnah; Shahrill, Masitah; Abbas, Nor Arifahwati; Bronceado, Abby (2017). "Desarrollo de las habilidades matemáticas de los estudiantes que involucran el orden de las operaciones". Revista Internacional de Investigación en Educación y Ciencia : 373. doi :10.21890/ijres.327896 (inactivo 2024-01-23).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of January 2024 (link)
• Ang, Tian Se; Lam, Lay Yong (2004). Pasos fugaces: rastreando la concepción de la aritmética y el álgebra en la antigua China (edición revisada). Científico mundial. ISBN 978-981-4483-60-5.
• Asano, Akihito (2013). Introducción a las matemáticas para la economía . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-00760-4.
• Torcido, Mike (2010). "No es (solo) lo que haces: profesores eficaces de aritmética". En Ian, Thompson (ed.). "Problemas en la enseñanza de la aritmética en las escuelas primarias ". Educación McGraw-Hill (Reino Unido). ISBN 978-0-335-24153-8.
• Aubrey, Carol (1999). Un enfoque de desarrollo para la aritmética temprana: ayudar a mejorar los logros de los niños y afrontar las dificultades de aprendizaje. A&C Negro. ISBN 978-1-4411-9164-9.
• Bagaria, Joan (2023). "Teoría de conjuntos". La Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Laboratorio de Investigación en Metafísica, Universidad de Stanford . Consultado el 19 de noviembre de 2023 .
• Barnes, Andrés J.; Arroz, Thomase; Hanoch, Yaniv (2017). "Uso de la economía del comportamiento para mejorar las decisiones de las personas sobre la compra de un seguro médico". En Hanoch, Yaniv; Barnes, Andrés; Arroz, Thomas (eds.). Economía del comportamiento y comportamientos saludables: conceptos clave e investigaciones actuales . Taylor y Francisco. ISBN 978-1-317-26952-6.
• Berch, Daniel B.; Geary, David C.; Koepke, Kathleen Mann (3 de octubre de 2015). Desarrollo de la cognición matemática: sustratos neuronales e influencias genéticas. Prensa académica. ISBN 978-0-12-801909-2.
• Pájaro, John (2021). Matemáticas de ingeniería de Bird . Taylor y Francisco. ISBN 978-0-367-64378-2.
• Bloch, Ethan D. (2011). Los números reales y el análisis real. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-387-72177-4.
• Libro, George; Vínculo, Denise; Gorrión, Len; Cisne, Paul (2015). Enseñanza de Matemáticas Primarias. Pearson Educación Superior AU. ISBN 978-1-4860-0488-1.
• Bradley, Michael J. (2006). El nacimiento de las matemáticas: desde la antigüedad hasta 1300. Publicación de Infobase. ISBN 978-0-7910-9723-6.
• Brent, Richard P.; Zimmerman, Paul (2010). Aritmética informática moderna. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-139-49228-7.
• Bronstein, IN; Semendyaev, KA; Musiol, Gerhard; Mühlig, Heiner (2015). Manual de Matemáticas. Saltador. ISBN 978-3-662-46221-8.
• Marrón, David (2010). "La medición del tiempo y la distancia en los cielos sobre Mesopotamia, con una breve referencia a otras ciencias astrales antiguas". En Morley, Iain; Renfrew, Colin (eds.). La arqueología de la medición: comprensión del cielo, la tierra y el tiempo en las sociedades antiguas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-11990-0.
• Burgin, Mark (2022). Trilogía de números y aritmética - Libro 1: Historia de los números y la aritmética: una perspectiva de la información. Científico mundial. ISBN 978-981-12-3685-3.
• Cafaro, Massimo; Epicoco, Italo; Pulimeno, Marco (2018). "Técnicas de diseño de algoritmos bioinformáticos". Enciclopedia de Bioinformática y Biología Computacional: ABC de la Bioinformática . Elsevier. ISBN 978-0-12-811432-2.
• Cai, Tianxin (2023). Una breve historia de las matemáticas: un paseo por las civilizaciones de nuestro mundo. Naturaleza Springer. ISBN 978-3-031-26841-0.
• Campbell, Stephen R. (2012). "Comprensión de la teoría de números elemental en relación con la aritmética y el álgebra". En Zazkis, Rina; Campbell, Stephen R. (eds.). Teoría de números en la educación matemática: perspectivas y perspectivas . Rutledge. ISBN 978-1-136-50143-2.
• Caprio, Michele; Aveni, Andrea; Mukherjee, Sayan (2022). "Sobre tres clases de aritmética no diofántica". Involve, una revista de matemáticas . 15 (5): 763–774. arXiv : 2102.04197 . doi :10.2140/involve.2022.15.763. S2CID  231847291.
• Carraher, David W.; Schliemann, Analucia D. (2015). "Ideas poderosas en matemáticas de la escuela primaria". En inglés, Lyn D.; Kirshner, David (eds.). Manual de investigación internacional en educación matemática . Rutledge. ISBN 978-1-134-62664-9.
• Cavanagh, Joseph (19 de diciembre de 2017). "6. Multiplicación en punto fijo" . Fundamentos de aritmética informática y Verilog HDL . Prensa CRC. ISBN 978-1-351-83411-7.
• Chakraverty, Snehashish; Derrota, Saudamini (2022). Solución basada en aritmética afín de problemas estáticos y dinámicos inciertos. Naturaleza Springer. ISBN 978-3-031-02424-5.
• Chemla, Karine; Keller, Agathe; Proust, Cristina (2023). Culturas de computación y cuantificación en el mundo antiguo: números, medidas y operaciones en documentos de Mesopotamia, China y el sur de Asia. Naturaleza Springer. ISBN 978-3-030-98361-1.
• Cignoni, Gioanni A.; Cossu, Giovanni A. (2016). "El Museo Virtual Global de Ciencia y Tecnología de la Información, una idea de proyecto". En Tatnall, Arturo; Leslie, Christopher (eds.). Comunidades internacionales de invención e innovación: IFIP WG 9.7 Conferencia internacional sobre la historia de la informática, HC 2016, Brooklyn, NY, EE. UU., 25 al 29 de mayo de 2016, artículos seleccionados revisados . Saltador. ISBN 978-3-319-49463-0.
• Conradie, Willem; Goranko, Valentín (2015). Lógica y matemáticas discretas: una introducción concisa. John Wiley e hijos. ISBN 978-1-118-76109-0.
• Llorón, CW (2014). Una introducción a las matemáticas para ingenieros. Prensa IOS. ISBN 978-1-61499-299-8.
• Cunningham, Daniel W. (2016). Teoría de conjuntos: un primer curso. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-316-68204-3.
• Curley, Robert (2011). Informática: del ábaco al iPad. Publicaciones educativas británicas. ISBN 978-1-61530-707-4.
• Cuyt, Annie AM ; Petersen, Vigdis; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008). Manual de fracciones continuas para funciones especiales. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-1-4020-6949-9.
• Davis, Andrés; Goulding, María; Suggate, Jennifer (2017). Conocimientos matemáticos para profesores de primaria. Taylor y Francisco. ISBN 978-1-317-21901-9.
• De Cruz, Helena; Neth, Hansjörg; Schlimm, Dirk (2010). "La base cognitiva de la aritmética". En Löwe, Benedikt; Müller, Thomas (eds.). PhiMSAMP: Filosofía de las Matemáticas: aspectos sociológicos y práctica matemática. Publicaciones universitarias. ISBN 978-1-904987-95-6.
• Dowker, Ann (27 de marzo de 2019). Diferencias individuales en aritmética: implicaciones para la psicología, la neurociencia y la educación. Rutledge. ISBN 978-1-317-62743-2.
• Dreeben-Irimia, Olga (2010). Educación del paciente en rehabilitación. Editores Jones y Bartlett. ISBN 978-1-4496-1775-2.
• Duffy, Daniel J. (2018). Fijación de precios de instrumentos financieros utilizando C++. John Wiley e hijos. ISBN 978-1-119-17048-8.
• Duverney, Daniel (2010). Teoría de números: una introducción elemental a través de problemas diofánticos. Científico mundial. ISBN 978-981-4307-46-8.
• Ebby, Carolina B.; Hulbert, Elizabeth T.; Broadhead, Rachel M. (2020). Un enfoque en la suma y la resta: llevar la investigación sobre educación matemática al aula. Rutledge. ISBN 978-1-000-22087-2.
• Emerson, Jane; Babtie, Patricia (2014). La solución a la discalculia: enseñar el sentido numérico. Publicación de Bloomsbury. ISBN 978-1-4729-2099-7.
• Personal de la EdM (2020). "Número Real". Enciclopedia de Matemáticas . Saltador . Consultado el 23 de octubre de 2023 .
• Personal de la EdM (2020a). "Aritmética". Enciclopedia de Matemáticas . Saltador . Consultado el 23 de octubre de 2023 .
• Personal de la EdM (2020b). "Teoría de los números". Enciclopedia de Matemáticas . Saltador . Consultado el 23 de octubre de 2023 .
• Personal de la EdM (2016). "Número natural". Enciclopedia de Matemáticas . Saltador . Consultado el 23 de octubre de 2023 .
• Personal de la Misión de Misión (2014). "Teoría analítica de números". Enciclopedia de Matemáticas . Saltador . Consultado el 23 de octubre de 2023 .
• Personal de la EdM (2019). "Teoría algebraica de números". Enciclopedia de Matemáticas . Saltador . Consultado el 23 de octubre de 2023 .
• Personal de la Misión de Misión (2014a). "Teoría de números elemental". Enciclopedia de Matemáticas . Saltador . Consultado el 23 de octubre de 2023 .
• Eriksson, Kenneth; Estep, Donald; Johnson, Claes (2013). Matemática Aplicada: Cuerpo y Alma: Volumen 2: Integrales y Geometría en IRn. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-662-05798-8.
• Ferreiros, José (2013). Laberinto del pensamiento: una historia de la teoría de conjuntos y su papel en las matemáticas modernas. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-5049-0.
• Gallistel, CR; Gelman, R. (2005). "Cognición Matemática". En Holyoak, KJ; Morrison, RG (eds.). El manual de pensamiento y razonamiento de Cambridge . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-53101-6.
• Geary, David C. (2006). "Desarrollo de la comprensión matemática". En Damon, William; Lerner, Richard M.; Kuhn, Deanna; Siegler, Robert S. (eds.). Manual de psicología, cognición, percepción y lenguaje infantil . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-470-05054-5.
• Gellert, W.; Hellwich, M.; Kästner, H.; Küstner, H. (2012). La enciclopedia concisa de matemáticas de VNR. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-94-011-6982-0.
• Gerardi, Kristopher; Goette, Lorenz; Meier, Stephan (2013). "La capacidad numérica predice el incumplimiento de la hipoteca". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 110 (28): 11267–11271. Código Bib : 2013PNAS..11011267G. doi : 10.1073/pnas.1220568110 . PMC  3710828 . PMID  23798401.
• Goodstein, RL (2014). Conceptos fundamentales de las matemáticas. Elsevier. ISBN 978-1-4831-5405-3.
• Grice, Matt; Kemp, Simón; Morton, Nicola J.; Gracia, Randolph C. (2023). "El andamiaje psicológico de la aritmética". Revisión psicológica . doi :10.1037/rev0000431. PMID  37358523. S2CID  259251163.
• Grigorieva, Ellina (2018). Métodos para resolver problemas de teoría de números. Birkhäuser. ISBN 978-3-319-90915-8.
• Gupta, Rajesh Kumar (2019). Métodos numéricos: fundamentos y aplicaciones. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-108-68660-0.
• Hafstrom, John Edward (2013). Conceptos básicos de la matemática moderna. Corporación de mensajería. ISBN 978-0-486-31627-7.
• Hamilton, Norman T.; Landín, Joseph (2018). Teoría de conjuntos: la estructura de la aritmética. Publicaciones de Courier Dover. ISBN 978-0-486-83047-6.
• Haylock, Derek; Cockburn, Anne D. (2008). Comprensión de las matemáticas para niños pequeños: una guía para profesores de etapa básica y primaria inferior. SABIO. ISBN 978-1-4462-0497-9.
• Personal de HC (2022). "Número". Diccionario de herencia americana . HarperCollins . Consultado el 11 de noviembre de 2023 .
• Personal de HC (2022a). "Sistema de numeración". Diccionario de herencia americana . HarperCollins . Consultado el 11 de noviembre de 2023 .
• Personal de HC (2022b). "Aritmética". Diccionario de herencia americana . HarperCollins . Consultado el 19 de octubre de 2023 .
• Hindry, Marc (2011). Aritmética . Saltador. ISBN 978-1-4471-2130-5.
• Hoffman, Joe D.; Frankel, Steven (2018). Métodos numéricos para ingenieros y científicos. Prensa CRC. ISBN 978-1-4822-7060-0.
• Hofweber, Thomas (2016). "La Filosofía de la Aritmética". Ontología y las ambiciones de la metafísica. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-876983-5.
• Horsten, León (2023). "Filosofía de las Matemáticas". La Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Laboratorio de Investigación en Metafísica, Universidad de Stanford . Consultado el 22 de noviembre de 2023 .
• Hua, Jueming; Feng, Lisheng (2020). Treinta grandes inventos de China: de la agricultura del mijo a la artemisinina. Naturaleza Springer. ISBN 978-981-15-6525-0.
• Husserl, Edmundo; Willard, Dallas (2012). "Introducción del traductor". Filosofía de la aritmética: investigaciones psicológicas y lógicas con textos complementarios de 1887 a 1901 . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-94-010-0060-4.
• Igarashi, Yoshihide; Altman, Tom; Funada, Mariko; Kamiyama, Bárbara (2014). Computación: una perspectiva histórica y técnica. Prensa CRC. ISBN 978-1-4822-2741-3.
• Soluciones educativas ITL limitadas (2011). Introducción a la Informática. Educación Pearson India. ISBN 978-81-317-6030-7.
• Jackson, Janna M. (2008). "Conexión de lectura/escritura". En Flippo, Rona F. (ed.). Manual de investigación de estrategias de estudio y lectura universitaria . Rutledge. ISBN 978-1-135-70373-8.
• Jena, Sisir Kumar (2021). Programación en C: aprenda a codificar. Prensa CRC. ISBN 978-1-000-46056-8.
• Káiser, Sarah C.; Granada, Christopher (2021). Aprenda computación cuántica con Python y Q#: un enfoque práctico. Simón y Schuster. ISBN 978-1-61729-613-0.
• Karlsson, Anders (2011). "Aplicaciones de núcleos térmicos en grupos abelianos". En Goldfeld, Dorian; Jorgenson, Jay; Jones, Pedro; Ramakrishnan, Dinakar; Ribet, Kenneth; Tate, John (eds.). Teoría, análisis y geometría de números: en memoria de Serge Lang . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-1-4614-1259-5.
• Kay, Antonio (2021). Sistemas numéricos: un camino hacia las matemáticas rigurosas. Prensa CRC. ISBN 978-0-429-60776-9.
• Khan, Jalid; Graham, Tony Lee (2018). Matemáticas de ingeniería con aplicaciones a la ingeniería de incendios. Prensa CRC. ISBN 978-1-351-59761-6.
• Khattar, Dinesh (2010). La guía Pearson de aritmética objetiva para exámenes competitivos, 3/E. Educación Pearson India. ISBN 978-81-317-2673-0.
• Khoury, José; Lamothe, Gilles (12 de mayo de 2016). Matemáticas que impulsan nuestro mundo: ¿Cómo se hacen? Científico mundial. ISBN 978-981-4730-86-0.
• Klein, Elise; Moeller, Korbiniano; Dressel, Katharina; Domahs, Frank; Madera, Guilherme; Willmes, Klaus; Nuerk, Hans-Christoph (2010). "Llevar o no llevar: ¿es ésta la cuestión? Desenredar el efecto de acarreo en una suma de varios dígitos". Acta Psicológica . 135 (1): 67–76. doi : 10.1016/j.actpsy.2010.06.002 . PMID  20580340.
• Klein, Andreas (2013). Cifrados de flujo. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-1-4471-5079-4.
• Klein, Jacob (2013a). Pensamiento matemático griego y origen del álgebra. Corporación de mensajería. ISBN 978-0-486-31981-0.
• Kleiner, Israel (2012). Excursiones de Historia de las Matemáticas. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-8176-8268-2.
• Klose, Orval M. (2014). Los sistemas numéricos y las operaciones de la aritmética: una explicación de los principios fundamentales de las matemáticas que subyacen a la comprensión y el uso de la aritmética, diseñada para la formación en el servicio de candidatos a profesores de escuela primaria. Formación en servicio de candidatos a profesores de escuela primaria. Elsevier. ISBN 978-1-4831-3709-4.
• Koepf, Wolfram (2021). Álgebra informática: una introducción orientada a algoritmos. Naturaleza Springer. ISBN 978-3-030-78017-3.
• Koetsier, Teun (2018). El ascenso de GIM, la máquina inteligente global: una historia de las máquinas de producción e información. Saltador. ISBN 978-3-319-96547-5.
• Koren, Israel (2018). Algoritmos aritméticos informáticos. Prensa CRC. ISBN 978-1-4398-6371-8.
• Krenn, Stephan; Lorünser, Thomas (2023). Introducción al intercambio de secretos: descripción sistemática y guía para la selección de protocolos. Naturaleza Springer. ISBN 978-3-031-28161-7.
• Kupferman, Raz (2015). Matemáticas de la escuela primaria para padres y profesores - Volumen 1. Compañía editorial mundial científica. ISBN 978-981-4699-93-8.
• Křížek, Michal; Somer, Lorenzo; Šolcová, Alena (2021). De los grandes descubrimientos en teoría de números a sus aplicaciones. Naturaleza Springer. ISBN 978-3-030-83899-7.
• Lange, Kenneth (2010). Análisis numérico para estadísticos. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-1-4419-5944-7.
• Laski, Elida V.; Jordania, Jamilah R.; Daoust, Carolyn; Murray, Ángela K. (2015). "¿Qué hace que los manipulativos matemáticos sean eficaces? Lecciones de las ciencias cognitivas y la educación Montessori". SABIO Abierto . 5 (2). doi : 10.1177/2158244015589588 . hdl : 1808/20642 . S2CID  11722953.
• Lerner, Brenda Wilmoth; Lerner, K. Lee, eds. (2008). "Aritmética modular". La enciclopedia de ciencia Gale (4ª ed.). Thompson Gale. ISBN 978-1-4144-2877-2.
• Li, Yeping; Schoenfeld, Alan H. (2019). "Problematizar la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas como algo 'dado' en la educación STEM". Revista Internacional de Educación STEM . 6 (1). doi : 10.1186/s40594-019-0197-9 .
• Liebler, Robert A. (2018). Álgebra matricial básica con algoritmos y aplicaciones. Prensa CRC. ISBN 978-0-429-85287-9.
• Lockhart, Paul (2017). Aritmética . Belknap Press de la Universidad de Harvard. ISBN 978-0-674-97223-0.
• Lozano-Robledo, Álvaro (2019). Teoría de números y geometría: una introducción a la geometría aritmética. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-1-4704-5016-8.
• Lüderer, Bernd; Nollau, Volker; Vetters, Klaus (2013). Fórmulas matemáticas para economistas. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-662-12431-4.
• Lützen, Jesper (2023). Una historia de la imposibilidad matemática. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-286739-1.
• Mamá, Liping (2020). Conocimiento y enseñanza de matemáticas elementales: comprensión de las matemáticas fundamentales por parte de los profesores en China y Estados Unidos. Rutledge. ISBN 978-1-000-02734-1.
• Madden, Daniel J.; Aubrey, Jason A. (2017). Una introducción a la prueba a través del análisis real. John Wiley e hijos. ISBN 978-1-119-31472-1.
• Mahajan, Sanjoy (2010). Matemáticas de lucha callejera: el arte de adivinar con educación y resolver problemas oportunistas. Prensa del MIT. ISBN 978-0-262-26559-1.
• Marco, Russell; McEvoy, Mark (2016). Una introducción histórica a la filosofía de las matemáticas: un lector. Publicación de Bloomsbury. ISBN 978-1-4725-3291-6.
• Mazumder, Pinaki; Ebong, Idongesit E. (2023). Conferencias sobre principios de diseño digital. Prensa CRC. ISBN 978-1-000-92194-6.
• Mazzola, Guerino; Milmeister, Gerard; Weissmann, Jody (2004). Matemáticas integrales para informáticos 1: conjuntos y números, gráficas y álgebra, lógica y máquinas, geometría lineal. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-540-20835-8.
• Meyer, Carl D. (2023). Análisis matricial y álgebra lineal aplicada: segunda edición. SIAM. ISBN 978-1-61197-744-8.
• Monahan, John F. (2012). "2. Algoritmos computacionales básicos". En Suave, James E.; Härdle, Wolfgang Karl; Mori, Yuichi (eds.). Manual de estadística computacional: conceptos y métodos . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-642-21551-3.
• Moncayo, Raúl (2018). Lalangue, Sinthome, goce y nominación: un compañero de lectura y un comentario sobre el Seminario XXIII de Lacan sobre el Sinthome. Rutledge. ISBN 978-0-429-91554-3.
• Mooney, Claire; Briggs, María; Hansen, Alicia; McCullouch, Judith; Fletcher, Mike (2014). Matemáticas Primarias: Teoría y Práctica de la Enseñanza. El aprendizaje importa. ISBN 978-1-4739-0707-2.
• Moore, Ramón E.; Kearfott, R. panadero; Nube, Michael J. (2009). Introducción al análisis de intervalos. SIAM. ISBN 978-0-89871-669-6.
• Müller, Jean-Michel; Brunie, Nicolás; Dinechin, Florent de; Jeannerod, Claude-Pierre; Joldes, Mioara; Lefèvre, Vicente; Melquiond, Guillaume; Revol, Nathalie ; Torres, Serge (2018). Manual de aritmética de coma flotante. Birkhäuser. ISBN 978-3-319-76526-6.
• Müller, Jean-Michel; Brisebarre, Nicolás; Dinechin, Florent de; Jeannerod, Claude-Pierre; Lefèvre, Vicente; Melquiond, Guillaume; Revol, Nathalie ; Stehlé, Damián; Torres, Serge (2009). Manual de aritmética de coma flotante. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-8176-4705-6.
• Musser, Gary L.; Peterson, Blake E.; Hamburguesa, William F. (2013). Matemáticas para profesores de primaria: un enfoque contemporáneo. John Wiley e hijos. ISBN 978-1-118-48700-6.
• Personal de MW (2023). "Definición de Aritmética". www.merriam-webster.com . Consultado el 19 de octubre de 2023 .
• Nagel, Ernesto; Newman, James Roy (2008). La prueba de Gödel. Prensa de la Universidad de Nueva York. ISBN 978-0-8147-5837-3.
• Nagel, Rob (2002). Enciclopedia de Ciencias UXL. UXL. ISBN 978-0-7876-5440-5.
• Nakov, Svetlin; Kolev, Veselin (2013). Fundamentos de programación informática con C#: el libro búlgaro de C#. Editorial Faber. ISBN 978-954-400-773-7.
• Personal del NCTM. "Número y Operaciones". www.nctm.org . Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas . Consultado el 21 de noviembre de 2023 .
• Nelson, Gerald (2019). Inglés: una gramática esencial. Rutledge. ISBN 978-1-351-12273-3.
• Nulo, Linda; Lobur, Julia (2006). Los fundamentos de la organización y arquitectura de las computadoras. Aprendizaje de Jones y Bartlett. ISBN 978-0-7637-3769-6.
• Nurnberger-Haag, Julie (2017). "¿Pedir prestado, intercambiar, reagrupar o desempacar? Revelando cómo las metáforas instructivas retratan el número de base diez". En Jao, Limin; Radakovic, Nenad (eds.). Transdisciplinariedad en la educación matemática: desdibujando los límites disciplinarios . Saltador. ISBN 978-3-319-63624-5.
• O'Leary, Michael L. (2015). Un primer curso de lógica matemática y teoría de conjuntos. John Wiley e hijos. ISBN 978-0-470-90588-3.
• O'Regan, Gerard (5 de marzo de 2012). Una breve historia de la informática. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-1-4471-2359-0.
• Oakes, Elizabeth (2020). Enciclopedia de científicos del mundo, edición actualizada. Publicación de bases de datos. ISBN 978-1-4381-9545-2.
• Odom, Samuel L.; Barbarín, Oscar A.; Wasik, Barbara Hanna (2009). "Aplicar las lecciones de las ciencias del desarrollo a la educación temprana". En Barbarín, Oscar A.; Wasik, Barbara Hanna (eds.). Manual de desarrollo infantil y educación temprana: de la investigación a la práctica . Prensa de Guilford. ISBN 978-1-60623-302-3.
• Oliver, Alejandro D. (2005). "Aritmética, Fundamentos de". En Honderich, Ted (ed.). El compañero de filosofía de Oxford. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-926479-7.
• Omondi, Amos R. (2020). Aritmética de criptografía: algoritmos y arquitecturas de hardware. Naturaleza Springer. ISBN 978-3-030-34142-8.
• Ongley, Juan; Carey, Rosalinda (2013). Russell: una guía para los perplejos. Publicación de Bloomsbury. ISBN 978-1-4411-9123-6.
• Mineral, Oystein (1948). Teoría de números y su historia . McGraw-Hill. OCLC  1397541.
• Orr, David B. (1995). Fundamentos de Estadística Aplicada y Encuestas. Prensa CRC. ISBN 978-0-412-98821-9.
• Otis, Jessica Marie (2024). En cifras: aritmética, religión y la transformación cuantitativa de la Inglaterra moderna temprana. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-760877-7.
• Par, Christof; Pelzl, enero (2009). Comprensión de la criptografía: un libro de texto para estudiantes y profesionales. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-642-04101-3.
• Página, Robert L. (2003). "Teoría de números, primaria". Enciclopedia de ciencia y tecnología físicas (Tercera ed.). Prensa académica. ISBN 978-0-12-227410-7.
• Payne, Andrés (2017). La teleología de la acción en la República de Platón. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-879902-3.
• Peirce, Charles S. (2015). Aritmética. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-086970-5.
• Pharr, Matt; Jacob, Wenzel; Humphreys, Greg (2023). Representación basada físicamente: de la teoría a la implementación (4 ed.). Prensa del MIT. ISBN 978-0-262-37403-3.
• Ponticorvo, Michela; Schmbri, Massimiliano; Miglino, Orazio (2019). "Cómo mejorar la cognición espacial y numérica con un enfoque de aprendizaje basado en juegos y mejorado por la tecnología". En Vicente, José Manuel Ferrández; Álvarez-Sánchez, José Ramón; López, Félix de la Paz; Moreo, Javier Toledo; Adeli, Hojjat (eds.). Comprensión de la función cerebral y las emociones: octava conferencia internacional de trabajo sobre la interacción entre la computación natural y artificial, IWINAC 2019, Almería, España, 3 al 7 de junio de 2019, Actas, Parte I. Saltador. ISBN 978-3-030-19591-5.
• Prata, Stephen (2002). C Primer Plus. Editorial Sams. ISBN 978-0-672-32222-8.
• Quintero, Ana Helvia; Rosario, Héctor (2016). ¡Las matemáticas tienen sentido!: Un enfoque constructivista para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Científico mundial. ISBN 978-1-78326-866-5.
• Rajan, Hridesh (2022). Una introducción experiencial a los principios de los lenguajes de programación. Prensa del MIT. ISBN 978-0-262-36243-6.
• Reilly, Norman R. (2009). Introducción a los Sistemas Algebraicos Aplicados. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-970992-2.
• Reitano, Robert R. (2010). Introducción a las finanzas cuantitativas: un kit de herramientas matemáticas. Prensa del MIT. ISBN 978-0-262-01369-7.
• Resnick, LB; Ford, WW (2012). Psicología de las Matemáticas para la Instrucción. Rutledge. ISBN 978-1-136-55759-0.
• Reynolds, Barbara E. (12 de marzo de 2008). "Ábaco". En Selin, Helaine (ed.). Enciclopedia de la historia de la ciencia, la tecnología y la medicina en culturas no occidentales. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-1-4020-4559-2.
• Riesel, Hans (2012). Números primos y métodos informáticos de factorización. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-1-4612-0251-6.
• Levantándose, Gerald R.; Matthews, James R.; Schoaff, Eileen; Mateo, Judith (2021). Sobre Matemáticas. Linus aprendiendo. ISBN 978-1-60797-892-3.
• Robbins, Neville (2006). Principio de la teoría de números. Aprendizaje de Jones y Bartlett. ISBN 978-0-7637-3768-9.
• Rodda, Harvey JE; Pequeño, Max A. (2015). Comprensión de las técnicas matemáticas y estadísticas en hidrología: un enfoque basado en ejemplos. John Wiley e hijos. ISBN 978-1-119-07659-9.
• Huevas, John; deForest, Russ; Jamshidi, Sara (2018). Matemáticas para la Sostenibilidad. Saltador. ISBN 978-3-319-76660-7.
• Romanowski, Perry (2008). "Aritmética". En Lerner, Brenda Wilmoth; Lerner, K. Lee (eds.). La enciclopedia de ciencia Gale (4ª ed.). Thompson Gale. ISBN 978-1-4144-2877-2.
• Rooney, Anne (2021). Piensa como un matemático. El grupo editorial Rosen. ISBN 978-1-4994-7092-5.
• Rossi, Richard J. (2011). Teoremas, corolarios, lemas y métodos de demostración. John Wiley e hijos. ISBN 978-1-118-03057-8.
• Ruthven, Kenneth (2012). "12. Calculadoras en el plan de estudios de matemáticas: el alcance de la tecnología computacional personal". En Obispo, Alan; Clementos, MA (Ken); Keitel-Kreidt, Christine; Kilpatrick, Jeremy; Laborde, Colette (eds.). Manual internacional de educación matemática . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-94-009-1465-0.
• Sally, Judith D.; Sally (hija), Paul J. (2012). Números enteros, fracciones y aritmética: una guía para profesores. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-8798-1.
• Marinero, William; Rossler, Otto E.; Burgin, Mark (2023). Caos, información y el futuro de la física: el diálogo Seaman-Rossler con perspectivas de información por Burgin y Seaman. Científico mundial. ISBN 978-981-12-7138-0.
• Shiva, Sajjan G. (2018). Introducción al diseño lógico . Prensa CRC. ISBN 978-1-351-98983-1.
• Sierpinska, Anna; Lerman, Stephen (1996). "Epistemologías de las Matemáticas y de la Educación Matemática". En Alan J. Obispo; Ken Clementes; Cristina Keitel; Jeremy Kilpatrick; Colette Laborde (eds.). Manual internacional de educación matemática: parte 1 . Manuales internacionales de educación de Kluwer, vol. 4. Springer Países Bajos. págs. 827–876. doi :10.1007/978-94-009-1465-0_23. ISBN 978-94-009-1465-0.
• Smith, David E. (1958). Historia de las Matemáticas. Corporación de mensajería. ISBN 978-0-486-20430-7.
• Smith, William (1864). Álgebra elemental: para escuelas y academias. Bailey y Noyes. OCLC  3901163143.
• Sophian, Catalina (2017). Los orígenes del conocimiento matemático en la infancia. Rutledge. ISBN 978-1-351-54175-6.
• Sperling, Abraham; Estuardo, Monroe (1981). Matemáticas . Ciencia Elsevier. ISBN 978-0-7506-0405-5.
• Stajov, Alexey (2020). Matemáticas de la armonía como una nueva dirección interdisciplinaria y un paradigma 'dorado' de la ciencia moderna - Volumen 2: Teoría de la medición algorítmica, Fibonacci y la aritmética áurea y la aritmética simétrica en espejo ternario. Científico mundial. ISBN 978-981-12-1348-9.
• Sternberg, Robert J.; Ben-Zeev, Talia (12 de octubre de 2012). La naturaleza del pensamiento matemático. Rutledge. ISBN 978-1-136-48750-7.
• Stevenson, Angus; Waite, Mauricio (2011). Diccionario de inglés Oxford conciso: edición de lujo. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-960111-0.
• Stewart, David E. (2022). Análisis numérico: un curso de posgrado. Naturaleza Springer. ISBN 978-3-031-08121-7.
• Swartzlander, Earl E. (2017). "Aritmética informática de alta velocidad". En Oklobdzija, Vojin G. (ed.). Diseño y Fabricación Digital . Prensa CRC. ISBN 978-0-8493-8604-6.
• Tarasov, Vasily (2008). Mecánica cuántica de sistemas disipativos y no hamiltonianos. Elsevier. ISBN 978-0-08-055971-1.
• Taylor, José L. (2012). Fundamentos del análisis. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-8984-8.
• Thiam, Thierno; Rochón, Gilbert (2019). Sostenibilidad, tecnologías emergentes y panafricanismo. Naturaleza Springer. ISBN 978-3-030-22180-5.
• Azulejos, María (2009). "Una perspectiva kantiana sobre la filosofía de las matemáticas". En Irvine, Andrew D. (ed.). Filosofía de las Matemáticas . Elsevier. ISBN 978-0-08-093058-9.
• Uspenskii, VA; Semenov, AL (2001). "Problemas algorítmicos solubles e irresolubles". En Tabachnikov, Serge (ed.). Kvant Selecta: Combinatoria, I: Combinatoria, I. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-2171-8.
• Vaccaro, Alfredo; Pepiciello, Antonio (2022). Métodos afines basados ​​en aritmética para análisis de sistemas de energía inciertos. Elsevier. ISBN 978-0-323-90503-9.
• Verschaffel, Lieven; Torbeyns, Broma; De Smedt, Bert (2011). "Aritmetica mental". En Seel, Norbert M. (ed.). Enciclopedia de las Ciencias del Aprendizaje . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-1-4419-1427-9.
• Personal del Departamento de Educación de Victoria (2023). "Aritmética para todos los estudiantes". www.education.vic.gov.au . Consultado el 22 de noviembre de 2023 .
• Vullo, Vincenzo (2020). Gears: Volumen 3: Una historia concisa. Naturaleza Springer. ISBN 978-3-030-40164-1.
• Waite, Mauricio (2013). Diccionario de inglés Oxford de bolsillo. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-966615-7.
• Wallis, WD (2013). Una guía para principiantes de matemáticas discretas. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-1-4757-3826-1.
• Wallis, WD (2011). Una guía para principiantes de matemáticas discretas. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-8176-8286-6.
• Wang, Hao (1997). Un viaje lógico: de Gödel a la filosofía. Prensa del MIT. ISBN 978-0-262-26125-8.
• Ward, JP (2012). Cuaterniones y números de Cayley: álgebra y aplicaciones. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-94-011-5768-1.
• Wedell, Moritz (2015). "Números". En Classen, Albrecht (ed.). Manual de cultura medieval. Volumen 2 . Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-037763-7.
• Weil, André (2009). Teoría de números: una aproximación a la historia desde Hammurapi hasta Legendre. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-8176-4571-7.
• Vertedero, Alan (2022). "Formalismo en la Filosofía de las Matemáticas". La Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Laboratorio de Investigación en Metafísica, Universidad de Stanford . Consultado el 22 de noviembre de 2023 .
• Weisstein, Eric W. "Multiplicador". Wolfram MathWorld . Consultado el 12 de diciembre de 2023 .
• Tiempo, Carolyn (2015). Álgebra I. Dorling Kindersley Limited. ISBN 978-0-241-88779-0.
• Wilson, Robin (2020). Teoría de números: una introducción muy breve. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-879809-5.
• Wright, Robert J.; Ellemor-Collins, David; Tabor, Pamela D. (2011). Desarrollo del conocimiento numérico: evaluación, enseñanza e intervención con niños de 7 a 11 años. SABIO. ISBN 978-1-4462-8927-3.
• Yadin, Aharon (2016). Arquitectura de Sistemas Computacionales. Prensa CRC. ISBN 978-1-315-35592-4.
• Yan, canción Y. (2013). Teoría de números para la informática. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-662-04053-9.
• Yan, canción Y. (2013a). Teoría computacional de números y criptografía moderna. John Wiley e hijos. ISBN 978-1-118-18858-3.
• Joven, Cynthia Y. (2010). Precálculo. John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-75684-2.
• Joven, Cynthia Y. (2021). Álgebra y Trigonometría. John Wiley e hijos. ISBN 978-1-119-77830-1.

enlaces externos

• Artículo de MathWorld sobre aritmética
• La obra de referencia para nuevos estudiantes/Aritmética (histórica)
• Weyde, PH Vander (1879). "Aritmética"  . La Cyclopaedia americana .