En matemáticas , una ecuación algebraica o ecuación polinómica es una ecuación de la forma , donde P es un polinomio con coeficientes en algún campo , a menudo el campo de los números racionales . Por ejemplo, es una ecuación algebraica con coeficientes enteros y
es una ecuación polinómica multivariada sobre los racionales. Para muchos autores, el término ecuación algebraica se refiere únicamente al caso univariado , es decir, ecuaciones polinómicas que involucran una sola variable . Por otro lado, una ecuación polinómica puede implicar varias variables (el caso multivariado ), en cuyo caso suele preferirse el término ecuación polinómica .
Algunas, pero no todas, las ecuaciones polinomiales con coeficientes racionales tienen una solución que es una expresión algebraica que se puede encontrar usando un número finito de operaciones que involucran solo esos mismos tipos de coeficientes (es decir, que se pueden resolver algebraicamente ). Esto se puede hacer para todas las ecuaciones de grado uno, dos, tres o cuatro; pero para el grado cinco o más sólo se puede hacer para algunas ecuaciones, no para todas . Se ha dedicado una gran cantidad de investigaciones a calcular aproximaciones eficientes y precisas de las soluciones reales o complejas de una ecuación algebraica univariada (ver Algoritmo de búsqueda de raíces ) y de las soluciones comunes de varias ecuaciones polinómicas multivariadas (ver Sistema de ecuaciones polinómicas ).
El término "ecuación algebraica" data de la época en que el principal problema del álgebra era resolver ecuaciones polinómicas univariadas . Este problema quedó completamente solucionado durante el siglo XIX; véase Teorema fundamental del álgebra , Teorema de Abel-Ruffini y Teoría de Galois .
Desde entonces, el alcance del álgebra se ha ampliado espectacularmente. En particular, incluye el estudio de ecuaciones que involucran raíces n -ésimas y, más en general, expresiones algebraicas . Esto hace que el término ecuación algebraica sea ambiguo fuera del contexto del antiguo problema. Por lo tanto, generalmente se prefiere el término ecuación polinomial cuando puede ocurrir esta ambigüedad, especialmente cuando se consideran ecuaciones multivariadas.
El estudio de las ecuaciones algebraicas es probablemente tan antiguo como las matemáticas: los matemáticos babilónicos , ya en el año 2000 a. C., podían resolver algunos tipos de ecuaciones cuadráticas (que se muestran en las tablillas de arcilla de la antigua Babilonia ).
Las ecuaciones algebraicas univariadas sobre racionales (es decir, con coeficientes racionales ) tienen una historia muy larga. Los matemáticos antiguos querían las soluciones en forma de expresiones radicales , como para la solución positiva de . Los antiguos egipcios sabían resolver ecuaciones de grado 2 de esta manera. El matemático indio Brahmagupta (597–668 d.C.) describió explícitamente la fórmula cuadrática en su tratado Brāhmasphuṭasiddhānta publicado en 628 d.C., pero escrito con palabras en lugar de símbolos. En el siglo IX, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi y otros matemáticos islámicos derivaron la fórmula cuadrática , la solución general de ecuaciones de grado 2, y reconocieron la importancia del discriminante . Durante el Renacimiento en 1545, Gerolamo Cardano publicó la solución de Scipione del Ferro y Niccolò Fontana Tartaglia para ecuaciones de grado 3 y la de Lodovico Ferrari para ecuaciones de grado 4 . Finalmente Niels Henrik Abel demostró, en 1824, que las ecuaciones de grado 5 y superiores no tienen soluciones generales utilizando radicales. La teoría de Galois , que lleva el nombre de Évariste Galois , demostró que algunas ecuaciones de al menos grado 5 ni siquiera tienen una solución idiosincrásica en radicales, y dio criterios para decidir si una ecuación es de hecho solucionable usando radicales.
Las ecuaciones algebraicas son la base de una serie de áreas de las matemáticas modernas: La teoría algebraica de números es el estudio de ecuaciones algebraicas (univariadas) basadas en racionales (es decir, con coeficientes racionales ). La teoría de Galois fue introducida por Évariste Galois para especificar criterios para decidir si una ecuación algebraica puede resolverse en términos de radicales. En teoría de campos , una extensión algebraica es una extensión tal que cada elemento es una raíz de una ecuación algebraica sobre el campo base. La teoría de números trascendental es el estudio de los números reales que no son soluciones de una ecuación algebraica sobre los racionales. Una ecuación diofántica es una ecuación polinómica (generalmente multivariada) con coeficientes enteros cuyas soluciones enteras interesan. La geometría algebraica es el estudio de las soluciones en un campo algebraicamente cerrado de ecuaciones polinómicas multivariadas.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones . En particular la ecuación es equivalente a . De ello se deduce que el estudio de ecuaciones algebraicas es equivalente al estudio de polinomios.
Una ecuación polinómica sobre racionales siempre se puede convertir en una equivalente en la que los coeficientes sean números enteros . Por ejemplo, multiplicando por 42 = 2·3·7 y agrupando sus términos en el primer miembro, la ecuación polinómica mencionada anteriormente queda
Debido a que el seno , la exponenciación y 1/ T no son funciones polinómicas,
no es una ecuación polinómica en las cuatro variables x , y , z y T sobre los números racionales. Sin embargo, es una ecuación polinómica en las tres variables x , y yz sobre el campo de las funciones elementales en la variable T.
Dada una ecuación en x desconocida
con coeficientes en un campo K , se puede decir de manera equivalente que las soluciones de (E) en K son las raíces en K del polinomio
Se puede demostrar que un polinomio de grado n en un campo tiene como máximo n raíces. Por tanto, la ecuación (E) tiene como máximo n soluciones.
Si K' es una extensión de campo de K , se puede considerar que (E) es una ecuación con coeficientes en K y las soluciones de (E) en K también son soluciones en K' (lo contrario no se cumple en general). Siempre es posible encontrar una extensión de campo de K conocida como campo de ruptura del polinomio P , en el que (E) tiene al menos una solución.
El teorema fundamental del álgebra establece que el cuerpo de los números complejos es algebraicamente cerrado, es decir, todas las ecuaciones polinómicas con coeficientes complejos y grado al menos uno tienen solución.
De ello se deduce que todas las ecuaciones polinomiales de grado 1 o más con coeficientes reales tienen una solución compleja . Por otro lado, una ecuación como no tiene solución en (las soluciones son las unidades imaginarias i y –i ).
Si bien las soluciones reales de ecuaciones reales son intuitivas (son las coordenadas x de los puntos donde la curva y = P ( x ) cruza el eje x ), la existencia de soluciones complejas a ecuaciones reales puede ser sorprendente y menos fácil de entender. visualizar.
Sin embargo, un polinomio mónico de grado impar debe tener necesariamente una raíz real. La función polinómica asociada en x es continua y se aproxima cuando x se aproxima y cuando x se aproxima . Por lo tanto, según el teorema del valor intermedio , debe asumir el valor cero en algún x real , que entonces es una solución de la ecuación polinómica.
Existen fórmulas que dan las soluciones de polinomios reales o complejos de grado menor o igual a cuatro en función de sus coeficientes. Abel demostró que no es posible encontrar tal fórmula en general (usando sólo las cuatro operaciones aritméticas y echando raíces) para ecuaciones de grado cinco o superior. La teoría de Galois proporciona un criterio que permite determinar si la solución de una ecuación polinómica determinada se puede expresar mediante radicales.
La solución explícita de una ecuación real o compleja de grado 1 es trivial. Resolver una ecuación de mayor grado n se reduce a factorizar el polinomio asociado, es decir, reescribir (E) en la forma
donde las soluciones son entonces las . El problema entonces es expresar en términos de .
Este enfoque se aplica de manera más general si los coeficientes y las soluciones pertenecen a un dominio integral .
Si una ecuación P ( x ) = 0 de grado n tiene raíz racional α , el polinomio asociado se puede factorizar para dar la forma P ( X ) = ( X – α ) Q ( X ) ( dividiendo P ( X ) por X – α o escribiendo P ( X ) – P (α) como una combinación lineal de términos de la forma X k – α k y factorizando X – α . Resolver P ( x ) = 0 se reduce así a resolver el grado n – 1 ecuación Q ( x ) = 0. Véase por ejemplo el caso n = 3 .
Para resolver una ecuación de grado n ,
Un paso preliminar común es eliminar el término de grado n - 1 : al establecer , la ecuación (E) se convierte en
Leonhard Euler desarrolló esta técnica para el caso n = 3 pero también es aplicable al caso n = 4 , por ejemplo.
Para resolver una ecuación cuadrática de la forma se calcula el discriminante Δ definido por .
Si el polinomio tiene coeficientes reales, tiene:
El método más conocido para resolver ecuaciones cúbicas, escribiendo raíces en términos de radicales, es la fórmula de Cardano .
Para discusiones detalladas sobre algunos métodos de solución, consulte:
Una ecuación de cuarto grado con puede reducirse a una ecuación cuadrática mediante un cambio de variable siempre que sea bicuadrática ( b = d = 0 ) o cuasi palindrómica ( e = a , d = b ).
Algunas ecuaciones cúbicas y cuárticas se pueden resolver usando trigonometría o funciones hiperbólicas .
Évariste Galois y Niels Henrik Abel demostraron de forma independiente que, en general, un polinomio de grado 5 o superior no se puede resolver utilizando radicales. Algunas ecuaciones particulares tienen soluciones, como las asociadas con los polinomios ciclotómicos de grados 5 y 17.
Charles Hermite , por otra parte, demostró que los polinomios de grado 5 se pueden resolver utilizando funciones elípticas .
De lo contrario, se pueden encontrar aproximaciones numéricas a las raíces utilizando algoritmos de búsqueda de raíces , como el método de Newton .
![{\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X] }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ca967bd025982b4e757a91b0bc4e544f19e9d0)
