Extensión de campo

Construcción de un campo algebraico más grande "agregando elementos" a un campo más pequeño

En matemáticas , particularmente en álgebra , una extensión de campo es un par de campos tales que las operaciones de K son las de L restringidas a K. En este caso, L es un campo de extensión de K y K es un subcampo de L. ^{[1] [2] [3]} Por ejemplo, bajo las nociones habituales de suma y multiplicación , los números complejos son un campo de extensión de los números reales ; los números reales son un subcampo de los números complejos. ${\displaystyle K\subseteq L,}$

Las extensiones de campo son fundamentales en la teoría algebraica de números , y en el estudio de raíces polinomiales a través de la teoría de Galois , y son ampliamente utilizadas en geometría algebraica .

Subcampo

Un subcampo de un campo es un subconjunto que es un campo con respecto a las operaciones de campo heredadas de . De manera equivalente, un subcampo es un subconjunto que contiene y se cierra bajo las operaciones de suma, resta, multiplicación y toma de la inversa de un elemento distinto de cero de . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K\subseteq L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$

Como 1 – 1 = 0 , la última definición implica y tiene el mismo elemento cero. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$

Por ejemplo, el campo de los números racionales es un subcampo de los números reales , que a su vez es un subcampo de los números complejos. De manera más general, el campo de los números racionales es (o es isomorfo a) un subcampo de cualquier campo de característica . ${\displaystyle 0}$

La característica de un subcampo es la misma que la característica del campo más grande.

Campo de extensión

Si K es un subcampo de L , entonces L es un campo de extensión o simplemente una extensión de K , y este par de campos es una extensión de campo . Esta extensión de campo se denomina L / K (leído como " L sobre K ").

Si L es una extensión de F , que a su vez es una extensión de K , entonces se dice que F es un campo intermedio (o extensión o subextensión intermedia ) de L / K .

Dada una extensión de campo L / K , el campo más grande L es un espacio vectorial K. La dimensión de este espacio vectorial se llama grado de extensión y se denota por [ L  :  K ].

El grado de una extensión es 1 si y sólo si los dos campos son iguales. En este caso, la extensión es unaextensión trivial . Las extensiones de grado 2 y 3 se denominanextensiones cuadráticasyextensiones cúbicas, respectivamente. Unaextensión finitaes una extensión que tiene un grado finito.

Dadas dos extensiones L / K y M / L , la extensión M / K es finita si y sólo si tanto L / K como M / L son finitas. En este caso, se tiene

${\displaystyle [M:K]=[M:L]\cdot [L:K].}$

Dada una extensión de campo L / K y un subconjunto S de L , existe un subcampo más pequeño de L que contiene K y S. Es la intersección de todos los subcampos de L que contienen K y S , y se denota por K ( S ) (leído como " K adjunte S"). Se dice queK(S) es el campogeneradoporSsobreK, y queSes unconjunto generadordeK(S) sobreK. Cuandoes finito, se escribeen lugar dey se dice queK(S) es ${\displaystyle S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle K(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle K(\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}),}$generado finitamente sobre K . Si S consta de un solo elemento s , la extensión K ( s )/ K se llama extensión simple ^{[4] [5]} y s se llama elemento primitivo de la extensión. ^[6]

A menudo se dice que un campo de extensión de la forma K ( S ) resulta de launión deSaK. ^[7][8]

En la característica 0, toda extensión finita es una extensión simple. Este es el teorema del elemento primitivo , que no es válido para campos de características distintas de cero.

Si una extensión simple K ( s )/ K no es finita, el campo K ( s ) es isomorfo al campo de fracciones racionales en s sobre K.

Advertencias

La notación L / K es puramente formal y no implica la formación de un anillo cociente o grupo cociente ni ningún otro tipo de división. En cambio, la barra diagonal expresa la palabra "sobre". En alguna literatura se utiliza la notación L : K.

A menudo es deseable hablar de extensiones de campo en situaciones en las que el campo pequeño no está realmente contenido en el más grande, sino que está incrustado de forma natural. Para este propósito, se define de manera abstracta una extensión de campo como un homomorfismo de anillo inyectivo entre dos campos.Todo homomorfismo de anillo distinto de cero entre campos es inyectivo porque los campos no poseen ideales propios no triviales , por lo que las extensiones de campo son precisamente los morfismos en la categoría de campos .

De ahora en adelante, suprimiremos el homomorfismo inyectivo y asumiremos que estamos tratando con subcampos reales.

Ejemplos

El campo de los números complejos es un campo de extensión del campo de los números reales , y a su vez es un campo de extensión del campo de los números racionales . Está claro entonces que también es una extensión del campo. Tenemos porque es una base, por lo que la extensión es finita. Esta es una extensión simple porque (la cardinalidad del continuo ), entonces esta extensión es infinita. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2}$ ${\displaystyle \{1,i\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} (i).}$ ${\displaystyle [\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]={\mathfrak {c}}}$

El campo

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\},}$

es un campo de extensión de también claramente una extensión simple. El grado es 2 porque puede servir de base. ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \left\{1,{\sqrt {2}}\right\}}$

El campo

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)&=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}\right)\\&=\left\{a+b{\sqrt {3}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\right\}\\&=\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{aligned}}}$

es un campo de extensión de ambos y de grado 2 y 4 respectivamente. También es una extensión simple, como se puede demostrar que ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\\&=\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}.\end{aligned}}}$

Las extensiones finitas de también se denominan campos numéricos algebraicos y son importantes en la teoría de números . Otro campo de extensión de los racionales, que también es importante en teoría de números, aunque no es una extensión finita, es el campo de los números p-ádicos para un número primo p . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Es común construir un campo de extensión de un campo dado K como un anillo cociente del anillo polinómico K [ X ] para "crear" una raíz para un polinomio dado f ( X ). Supongamos, por ejemplo, que K no contiene ningún elemento x con x ² = −1. Entonces el polinomio es irreducible en K [ X ], en consecuencia el ideal generado por este polinomio es máximo y es un campo de extensión de K que contiene un elemento cuyo cuadrado es −1 (es decir, la clase de residuo de X ). ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle L=K[X]/(X^{2}+1)}$

Al iterar la construcción anterior, se puede construir un campo de división de cualquier polinomio de K [ X ]. Este es un campo de extensión L de K en el que el polinomio dado se divide en un producto de factores lineales.

Si p es cualquier número primo y n es un entero positivo, existe un campo finito único (hasta el isomorfismo) con p ⁿ elementos; este es un campo de extensión del campo primo con p elementos. ${\displaystyle GF(p^{n})=\mathbb {F} _{p^{n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {GF} (p)=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Dado un campo K , podemos considerar el campo K ( X ) de todas las funciones racionales en la variable X con coeficientes en K ; los elementos de K ( X ) son fracciones de dos polinomios sobre K , y de hecho K ( X ) es el campo de fracciones del anillo polinómico K [ X ]. Este campo de funciones racionales es un campo de extensión de K. Esta extensión es infinita.

Dada una superficie de Riemann M , el conjunto de todas las funciones meromórficas definidas en M es un campo, denotado por Es un campo de extensión trascendental de si identificamos cada número complejo con la función constante correspondiente definida en M. De manera más general, dada una variedad algebraica V sobre algún campo K , el campo de función K ( V ), que consta de las funciones racionales definidas en V , es un campo de extensión de K. ${\displaystyle \mathbb {C} (M).}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

extensión algebraica

Un elemento x de una extensión de campo L / K es algebraico sobre K si es raíz de un polinomio distinto de cero con coeficientes en K. Por ejemplo, es algebraico sobre los números racionales, porque es raíz de Si un elemento x de L es algebraico sobre K , el polinomio mónico de menor grado que tiene x como raíz se llama polinomio mínimo de x . Este polinomio mínimo es irreducible sobre K . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle x^{2}-2.}$

Un elemento s de L es algebraico sobre K si y sólo si la extensión simple K ( s )/ K es una extensión finita. En este caso, el grado de la extensión es igual al grado del polinomio mínimo, y una base del K - espacio vectorial K ( s ) consiste en donde d es el grado del polinomio mínimo. ${\displaystyle 1,s,s^{2},\ldots ,s^{d-1},}$

El conjunto de los elementos de L que son algebraicos sobre K forman una subextensión, que se denomina clausura algebraica de K en L. Esto resulta de la caracterización anterior: si s y t son algebraicos, las extensiones K ( s ) / K y K ( s )( t ) / K ( s ) son finitas. Así K ( s , t )/ K también es finita, así como las subextensiones K ( s ± t )/ K , K ( st )/ K y K (1/ s )/ K (si s ≠ 0 ). De ello se deduce que s ± t , st y 1/ s son todos algebraicos.

Una extensión algebraica L / K es una extensión tal que cada elemento de L es algebraico sobre K. De manera equivalente, una extensión algebraica es una extensión generada por elementos algebraicos. Por ejemplo, es una extensión algebraica de , porque y son algebraicos sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Una extensión simple es algebraica si y sólo si es finita. Esto implica que una extensión es algebraica si y sólo si es la unión de sus subextensiones finitas, y que toda extensión finita es algebraica.

Todo campo K tiene una clausura algebraica, que es hasta un isomorfismo el campo de extensión más grande de K que es algebraico sobre K , y también el campo de extensión más pequeño tal que todo polinomio con coeficientes en K tiene una raíz en él. Por ejemplo, es una clausura algebraica de , pero no una clausura algebraica de , ya que no es algebraica sobre (por ejemplo, π no es algebraica sobre ). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Extensión trascendental

Dada una extensión de campo L / K , un subconjunto S de L se llama algebraicamente independiente sobre K si no existe una relación polinómica no trivial con coeficientes en K entre los elementos de S . La cardinalidad más grande de un conjunto algebraicamente independiente se llama grado de trascendencia de L / K . Siempre es posible encontrar un conjunto S , algebraicamente independiente de K , tal que L / K ( S ) sea algebraico. Tal conjunto S se llama base de trascendencia de L / K . Todas las bases de trascendencia tienen la misma cardinalidad, igual al grado de trascendencia de la extensión. Se dice que una extensión L / K espuramente trascendental si y sólo si existe una base de trascendenciaSdeL/Ktal queL=K(S). Tal extensión tiene la propiedad de que todos los elementos deLexcepto los deKson trascendentales sobreK, pero, sin embargo, hay extensiones con esta propiedad que no son puramente trascendentales; una clase de tales extensiones toma la formaL/Kdonde tantoLyKson algebraicamente cerrados.

Si L / K es puramente trascendental y S es una base de trascendencia de la extensión, no se sigue necesariamente que L = K ( S ). Por el contrario, incluso cuando se conoce una base de trascendencia, puede resultar difícil decidir si la extensión es puramente separable y, si lo es, puede resultar difícil encontrar una base de trascendencia S tal que L = K ( S ).

Por ejemplo, considere la extensión donde es trascendental sobre y es raíz de la ecuación. Tal extensión se puede definir como en la cual y son las clases de equivalencia de y Obviamente, el conjunto singleton es trascendental sobre y la extensión es algebraica; de ahí que sea una base de trascendencia que no genera la extensión . De igual manera, es una base de trascendencia que no genera toda la extensión. Sin embargo, la extensión es puramente trascendental ya que, si uno establece, tiene y por lo tanto genera toda la extensión. ${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{2}-x^{3}=0.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (X)[Y]/\langle Y^{2}-X^{3}\rangle ,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle \{y\}}$ ${\displaystyle t=y/x,}$ ${\displaystyle x=t^{2}}$ ${\displaystyle y=t^{3},}$ ${\displaystyle t}$

Las extensiones puramente trascendentales de un campo algebraicamente cerrado ocurren como campos funcionales de variedades racionales . El problema de encontrar una parametrización racional de una variedad racional es equivalente al problema de encontrar una base de trascendencia que genere toda la extensión.

Extensiones normales, separables y Galois.

Una extensión algebraica L / K se llama normal si cada polinomio irreducible en K [ X ] que tiene una raíz en L se factoriza completamente en factores lineales sobre L. Toda extensión algebraica F / K admite una clausura normal L , que es un campo de extensión de F tal que L / K es normal y que es mínimo con esta propiedad.

Una extensión algebraica L / K se llama separable si el polinomio mínimo de cada elemento de L sobre K es separable , es decir, no tiene raíces repetidas en una clausura algebraica sobre K. Una extensión de Galois es una extensión de campo que es a la vez normal y separable.

Una consecuencia del teorema del elemento primitivo establece que toda extensión finita separable tiene un elemento primitivo (es decir, es simple).

Dada cualquier extensión de campo L / K , podemos considerar su grupo de automorfismos Aut( L / K ) , que consta de todos los automorfismos de campo α : L → L con α ( x ) = x para todo x en K. Cuando la extensión es Galois, este grupo de automorfismos se denomina grupo Galois de la extensión. Las extensiones cuyo grupo Galois es abeliano se denominan extensiones abelianas .

Para una extensión de campo dada L / K , a menudo uno está interesado en los campos intermedios F (subcampos de L que contienen K ). La importancia de las extensiones de Galois y los grupos de Galois es que permiten una descripción completa de los campos intermedios: existe una biyección entre los campos intermedios y los subgrupos del grupo de Galois, descrita por el teorema fundamental de la teoría de Galois .

Generalizaciones

Las extensiones de campo se pueden generalizar a extensiones de anillo que constan de un anillo y uno de sus subanillos . Un análogo no conmutativo más cercano son las álgebras centrales simples (CSA): extensiones de anillo sobre un campo, que son álgebra simple (sin ideales bilaterales no triviales, como para un campo) y donde el centro del anillo es exactamente el campo. Por ejemplo, la única extensión de campo finito de los números reales son los números complejos, mientras que los cuaterniones son un álgebra simple central sobre los reales, y todos los CSA sobre los reales son equivalentes de Brauer a los reales o los cuaterniones. Los CSA se pueden generalizar aún más a las álgebras de Azumaya , donde el campo base se reemplaza por un anillo local conmutativo .

Extensión de escalares

Dada una extensión de campo, se pueden " extender escalares " en objetos algebraicos asociados. Por ejemplo, dado un espacio vectorial real, se puede producir un espacio vectorial complejo mediante la complejización . Además de los espacios vectoriales, se pueden realizar extensiones de escalares para álgebras asociativas definidas sobre el campo, como polinomios o álgebras de grupos y las representaciones de grupos asociadas . La extensión de escalares de polinomios a menudo se usa implícitamente, considerando simplemente los coeficientes como elementos de un campo más grande, pero también se puede considerar de manera más formal. La extensión de escalares tiene numerosas aplicaciones, como se analiza en extensión de escalares: aplicaciones .

Ver también

• teoría de campo
• Glosario de teoría de campos.
• torre de campos
• Extensión primaria
• Prórroga ordinaria

Notas

1. Fraleigh (1976, pág.293)
2. Herstein (1964, pág.167)
3. McCoy (1968, pág.116)
4. Fraleigh (1976, pág.298)
5. Herstein (1964, pág.193)
6. Fraleigh (1976, pág.363)
7. Fraleigh (1976, pág.319)
8. Herstein (1964, pág.169)

Referencias

• Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2ª ed.), Lectura: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Herstein, IN (1964), Temas de álgebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Lang, Serge (2004), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (Cuarta impresión corregida, tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
• McCoy, Neal H. (1968), Introducción al álgebra moderna, edición revisada , Boston: Allyn y Bacon , LCCN  68015225

enlaces externos

• "Extensión de un campo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]