extensión normal

Extensión de campo algebraico

En álgebra abstracta , una extensión normal es una extensión de campo algebraico L / K para la cual cada polinomio irreducible sobre K que tiene una raíz en L se divide en factores lineales en L. ^{[1] [2]} Esta es una de las condiciones para que una extensión algebraica sea una extensión de Galois . Bourbaki llama a esta extensión una extensión cuasi-Galois . Para extensiones finitas , una extensión normal es idéntica a un campo dividido .

Definición

Sea una extensión algebraica (es decir, L es una extensión algebraica de K ), tal que (es decir, L está contenida en una clausura algebraica de K ). Entonces las siguientes condiciones, cualquiera de las cuales puede considerarse como una definición de extensión normal , son equivalentes: ^[3] ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L\subseteq {\overline {K}}}$

• Cada incorporación de L en K induce un automorfismo de L.​ ${\displaystyle {\overline {K}}}$
• L es el campo de división de una familia de polinomios en . ${\displaystyle K[X]}$
• Todo polinomio irreducible de que tiene raíz en L se divide en factores lineales en L . ${\displaystyle K[X]}$

Otras propiedades

Sea L una extensión de un campo K . Entonces:

• Si L es una extensión normal de K y si E es una extensión intermedia (es decir, L  ⊇  E  ⊇  K ), entonces L es una extensión normal de E . ^[4]
• Si E y F son extensiones normales de K contenidas en L , entonces el compositum EF y E  ∩  F también son extensiones normales de K . ^[4]

Condiciones equivalentes de normalidad

Seamos algebraicos. El campo L es una extensión normal si y sólo si se cumple alguna de las condiciones equivalentes siguientes. ${\displaystyle L/K}$

• El polinomio mínimo sobre K de cada elemento en L se divide en L ;
• Hay un conjunto de polinomios que cada uno se divide en L , de modo que si son campos, entonces S tiene un polinomio que no se divide en F ; ${\displaystyle S\subseteq K[x]}$ ${\displaystyle K\subseteq F\subsetneq L}$
• Todos los homomorfismos que fijan todos los elementos de K tienen la misma imagen; ${\displaystyle L\to {\bar {K}}}$
• El grupo de automorfismos, de L que fijan todos los elementos de K , actúa transitivamente sobre el conjunto de homomorfismos que fijan todos los elementos de K. ${\displaystyle {\text{Aut}}(L/K),}$ ${\displaystyle L\to {\bar {K}}}$

Ejemplos y contraejemplos

Por ejemplo, es una extensión normal de ya que es un campo de división de Por otro lado, no es una extensión normal de ya que el polinomio irreducible tiene una raíz (es decir, ), pero no todas (no tiene las raíces cúbicas no reales de 2). Recuerde que el cuerpo de los números algebraicos es la clausura algebraica de y por tanto contiene Sea una raíz cúbica primitiva de la unidad. Entonces desde entonces ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle x^{2}-2.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x^{3}-2}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\left.\left\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in {\overline {\mathbb {Q} }}\,\,\right|\,\,a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}}$$

$${\displaystyle {\begin{cases}\sigma :\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})\longrightarrow {\overline {\mathbb {Q} }}\\a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\longmapsto a+b\omega {\sqrt[{3}]{2}}+c\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{4}}\end{cases}}}$$

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$

Para cualquier primo, la extensión es normal de grado. Es un campo de división de Aquí denota cualquier raíz primitiva de unidad . El campo es el cierre normal (ver más abajo) de ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})}$ ${\displaystyle p(p-1).}$ ${\displaystyle x^{p}-2.}$ ${\displaystyle \zeta _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$

Cierre normal

Si K es un campo y L es una extensión algebraica de K , entonces existe alguna extensión algebraica M de L tal que M es una extensión normal de K. Además, hasta el isomorfismo sólo existe una extensión mínima, es decir, el único subcampo de M que contiene L y que es una extensión normal de K es M mismo. Esta extensión se llama cierre normal de la extensión L de K.

Si L es una extensión finita de K , entonces su cierre normal también es una extensión finita.

Ver también

• extensión de galois
• base normal

Citas

1. Lang 2002, pag. 237, Teorema 3.3, NOR 3.
2. Jacobson 1989, pag. 489, Sección 8.7.
3. Lang 2002, pag. 237, Teorema 3.3.
4. Lang 2002, pág. 238, Teorema 3.4.

Referencias

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, señor  1878556
• Jacobson, Nathan (1989), Álgebra básica II (2ª ed.), W. H. Freeman, ISBN 0-7167-1933-9, señor  1009787