En matemáticas , un subanillo de R es un subconjunto de un anillo que es en sí mismo un anillo cuando las operaciones binarias de suma y multiplicación en R están restringidas al subconjunto, y que comparte la misma identidad multiplicativa que R. (Tenga en cuenta que un subconjunto de un anillo R no tiene por qué ser un anillo). Para aquellos que definen anillos sin requerir la existencia de una identidad multiplicativa, un subanillo de R es simplemente un subconjunto de R que es un anillo para las operaciones de R ( esto implica que contiene la identidad aditiva de R ). Este último da una condición estrictamente más débil, incluso para anillos que tienen una identidad multiplicativa, de modo que, por ejemplo, todos los ideales se convierten en subanillos (y pueden tener una identidad multiplicativa que difiere de la de R ). Dado que la definición requiere una identidad multiplicativa (que se utiliza en este artículo), el único ideal de R que es un subanillo de R es el propio R.
Un subanillo de un anillo ( R , +, ∗, 0, 1) es un subconjunto S de R que preserva la estructura del anillo, es decir, un anillo ( S , +, ∗, 0, 1) con S ⊆ R . De manera equivalente, es a la vez un subgrupo de ( R , +, 0) y un submonoide de ( R , ∗, 1) .
El anillo y sus cocientes no tienen subanillos (con identidad multiplicativa) aparte del anillo completo. [1] : 228
Cada anillo tiene un subanillo más pequeño único, isomorfo a algún anillo con n un número entero no negativo (ver Característica ). Los números enteros corresponden a n = 0 en este enunciado, ya que es isomorfo a . [2] : 89–90
El anillo de cuaterniones divididos tiene subanillos isomorfos a los anillos de números duales , números complejos divididos y al campo de números complejos .
La prueba del subanillo es un teorema que establece que para cualquier anillo R , un subconjunto S de R es un subanillo si y sólo si contiene la identidad multiplicativa de R , y es cerrado bajo multiplicación y resta. [1] : 228
Como ejemplo, el anillo Z de números enteros es un subanillo del cuerpo de números reales y también un subanillo del anillo de polinomios Z [ X ].
El centro de un anillo es el conjunto de elementos del anillo que conmutan con todos los demás elementos del anillo. Es decir, x pertenece al centro del anillo R si para cada
El centro de un anillo R es un subanillo de R y R es un álgebra asociativa sobre su centro.
La intersección de todos los subanillos de un anillo R es un subanillo que puede denominarse subanillo primo de R por analogía con los campos primos .
El subanillo primo de un anillo R es un subanillo del centro de R , que es isomorfo al anillo de los números enteros o al anillo de los números enteros módulo n , donde n es el entero positivo más pequeño tal que la suma de n copias de 1 es igual a 0 .
Si S es un subanillo de un anillo R , entonces, de manera equivalente, se dice que R es una extensión de anillo de S.
Sea R un anillo. Cualquier intersección de subanillos de R es nuevamente un subanillo de R. Por lo tanto, si X es cualquier subconjunto de R , la intersección de todos los subanillos de R que contienen X es un subanillo S de R. Este subanillo es el subanillo más pequeño de R que contiene X . ("Más pequeño" significa que si T es cualquier otro subanillo de R que contenga X , entonces S está contenido en T ). Se dice que S es el subanillo de R generado por X. Si S = R, podemos decir que el anillo R es generado por X.
El subanillo generado por X es el conjunto de todas las combinaciones lineales con coeficientes enteros de productos de elementos de X (incluida la combinación lineal vacía, que es 0, y el producto vacío, que es 1).
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