Operación binaria

Operación matemática con dos operandos

Una operación binaria es una regla para combinar los argumentos y producir ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\circ y}$

En matemáticas , una operación binaria u operación diádica es una regla para combinar dos elementos (llamados operandos ) para producir otro elemento. Más formalmente, una operación binaria es una operación de aridad dos.

Más específicamente, una operación binaria sobre un conjunto es una función binaria cuyos dos dominios y el codominio son el mismo conjunto. Algunos ejemplos son las conocidas operaciones aritméticas de suma , resta y multiplicación . Otros ejemplos se encuentran fácilmente en diferentes áreas de las matemáticas, como la suma de vectores , la multiplicación de matrices y la conjugación en grupos .

Una función binaria que involucra varios conjuntos a veces también se denomina operación binaria . Por ejemplo, la multiplicación escalar de espacios vectoriales toma un escalar y un vector para producir un vector, y el producto escalar toma dos vectores para producir un escalar.

Las operaciones binarias son la piedra angular de la mayoría de las estructuras que se estudian en álgebra , en particular en semigrupos , monoides , grupos , anillos , campos y espacios vectoriales .

Terminología

Más precisamente, una operación binaria sobre un conjunto es una aplicación de los elementos del producto cartesiano a : ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\times S}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \,f\colon S\times S\rightarrow S.}$

La propiedad de cierre de una operación binaria expresa la existencia de un resultado para la operación dado cualquier par de operandos. ^[4]

Si no es una función sino una función parcial , entonces se denomina operación binaria parcial . Por ejemplo, la división de números reales es una operación binaria parcial, porque no se puede dividir por cero : no está definida para ningún número real . Tanto en la teoría de modelos como en el álgebra universal clásica , se requiere que las operaciones binarias estén definidas en todos los elementos de . Sin embargo, las álgebras parciales ^[5] generalizan las álgebras universales para permitir operaciones parciales. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\frac {a}{0}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S\times S}$

A veces, especialmente en informática , se utiliza el término operación binaria para cualquier función binaria .

Propiedades y ejemplos

Ejemplos típicos de operaciones binarias son la suma ( ) y la multiplicación ( ) de números y matrices , así como la composición de funciones en un único conjunto. Por ejemplo, ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \times }$

• En el conjunto de números reales , es una operación binaria ya que la suma de dos números reales es un número real. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(a,b)=a+b}$
• En el conjunto de los números naturales , es una operación binaria ya que la suma de dos números naturales es un número natural. Esta es una operación binaria diferente a la anterior ya que los conjuntos son diferentes. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(a,b)=a+b}$
• En el conjunto de matrices con entradas reales, es una operación binaria ya que la suma de dos de dichas matrices es una matriz. ${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle f(A,B)=A+B}$ ${\displaystyle 2\times 2}$
• En el conjunto de matrices con entradas reales, es una operación binaria ya que el producto de dos de dichas matrices es una matriz. ${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle f(A,B)=AB}$ ${\displaystyle 2\times 2}$
• Para un conjunto dado , sea el conjunto de todas las funciones . Defina por para todo , la composición de las dos funciones y en . Entonces es una operación binaria ya que la composición de las dos funciones es nuevamente una función en el conjunto (es decir, un miembro de ). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle h\colon C\rightarrow C}$ ${\displaystyle f\colon S\times S\rightarrow S}$ ${\displaystyle f(h_{1},h_{2})(c)=(h_{1}\circ h_{2})(c)=h_{1}(h_{2}(c))}$ ${\displaystyle c\in C}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$

Muchas operaciones binarias de interés tanto en álgebra como en lógica formal son conmutativas , que satisfacen para todos los elementos y en , o asociativas , que satisfacen para todos los , , y en . Muchas también tienen elementos identidad y elementos inversos . ${\displaystyle f(a,b)=f(b,a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S}$

Los primeros tres ejemplos anteriores son conmutativos y todos los ejemplos anteriores son asociativos.

En el conjunto de los números reales , la resta , es decir, , es una operación binaria que no es conmutativa ya que, en general, . Tampoco es asociativa, ya que, en general, ; por ejemplo, pero . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(a,b)=a-b}$ ${\displaystyle a-b\neq b-a}$ ${\displaystyle a-(b-c)\neq (a-b)-c}$ ${\displaystyle 1-(2-3)=2}$ ${\displaystyle (1-2)-3=-4}$

En el conjunto de los números naturales , la operación binaria exponenciación , , no es conmutativa ya que, (cf. Ecuación x y = y x ), y tampoco es asociativa ya que . Por ejemplo, con , , y , , pero . Al cambiar el conjunto al conjunto de los enteros , esta operación binaria se convierte en una operación binaria parcial ya que ahora no está definida cuando y es cualquier entero negativo. Para cualquier conjunto, esta operación tiene una identidad derecha (que es ) ya que para todos en el conjunto, que no es una identidad (identidad bilateral) ya que en general. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(a,b)=a^{b}}$ ${\displaystyle a^{b}\neq b^{a}}$ ${\displaystyle f(f(a,b),c)\neq f(a,f(b,c))}$ ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle b=3}$ ${\displaystyle c=2}$ ${\displaystyle f(2^{3},2)=f(8,2)=8^{2}=64}$ ${\displaystyle f(2,3^{2})=f(2,9)=2^{9}=512}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(a,1)=a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(1,b)\neq b}$

La división ( ), operación binaria parcial sobre el conjunto de números reales o racionales, no es conmutativa ni asociativa. La tetración ( ), como operación binaria sobre los números naturales, no es conmutativa ni asociativa y no tiene elemento identidad. ${\displaystyle \div }$ ${\displaystyle \uparrow \uparrow }$

Notación

Las operaciones binarias suelen escribirse utilizando notación infija como , , o (por yuxtaposición sin símbolo) en lugar de la notación funcional de la forma . Las potencias también suelen escribirse sin operador, pero con el segundo argumento como superíndice . ${\displaystyle a\ast b}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle f(a,b)}$

Las operaciones binarias se escriben a veces utilizando notación de prefijo o (más frecuentemente) de posfijo, en las que se prescinde de los paréntesis. También se denominan, respectivamente, notación polaca y notación polaca inversa . ${\displaystyle \ast ab}$ ${\displaystyle ab\ast }$

Operaciones binarias como relaciones ternarias

Una operación binaria sobre un conjunto puede verse como una relación ternaria sobre , es decir, el conjunto de tripletas en para todos y en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (a,b,f(a,b))}$ ${\displaystyle S\times S\times S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle S}$

Otras operaciones binarias

Por ejemplo, la multiplicación escalar en álgebra lineal . Aquí hay un campo y es un espacio vectorial sobre ese campo. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$

Además, el producto escalar de dos vectores se asigna a , donde es un cuerpo y es un espacio vectorial sobre . Depende de los autores si se considera una operación binaria. ${\displaystyle S\times S}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$

Véase también

• Categoría:Propiedades de las operaciones binarias
• Operación binaria iterada  : aplicación repetida de una operación a una secuencia
• Magma (álgebra)  – Estructura algebraica con una operación binaria
• Operador (programación)  – Construcción asociada a una operación matemática en programas informáticos.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Operación ternaria  – Operación matemática que combina tres elementos para producir otro elemento
• Tabla de verdad § Operaciones binarias
• Operación unaria  – Operación matemática con un solo operando

Notas

1. Rotman 1973, pág. 1
2. Hardy & Walker 2002, pág. 176, Definición 67
3. Fraleigh 1976, pág. 10
4. Hall 1959, pág. 1
5. George A. Grätzer (2008). Álgebra universal (2.ª ed.). Springer Science & Business Media. Capítulo 2. Álgebras parciales. ISBN 978-0-387-77487-9.

Referencias

• Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2.ª ed.), Lectura: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
• Hall, Marshall Jr. (1959), La teoría de grupos , Nueva York: Macmillan
• Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Álgebra aplicada: códigos, cifras y algoritmos discretos , Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
• Rotman, Joseph J. (1973), La teoría de grupos: una introducción (2.ª ed.), Boston: Allyn and Bacon

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Operación binaria". MathWorld .