Ecuación xy = yx

Gráfica de x ^y = y ^x . La línea y la curva se cruzan en ( e , e ).

En general, la exponenciación no llega a ser conmutativa . Sin embargo, la ecuación tiene soluciones, como ^[1] ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ ${\displaystyle x=2,\ y=4.}$

Historia

La ecuación se menciona en una carta de Bernoulli a Goldbach (29 de junio de 1728 ^[2] ). La carta contiene una afirmación que cuando las únicas soluciones en números naturales son y aunque existen infinitas soluciones en números racionales , como por ejemplo y . ^{[3] [4]} La respuesta de Goldbach (31 de enero de 1729 ^[2] ) contiene una solución general de la ecuación, obtenida sustituyendo ^[3] Euler encontró una solución similar . ^[4] ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ ${\displaystyle x\neq y,}$ ${\displaystyle (2,4)}$ ${\displaystyle (4,2),}$ ${\displaystyle ({\tfrac {27}{8}},{\tfrac {9}{4}})}$ ${\displaystyle ({\tfrac {9}{4}},{\tfrac {27}{8}})}$ ${\displaystyle y=vx.}$

J. van Hengel señaló que si son números enteros positivos con , entonces basta con considerar las posibilidades y encontrar soluciones en los números naturales. ^{[4] [5]} ${\displaystyle r,n}$ ${\displaystyle r\geq 3}$ ${\displaystyle r^{r+n}>(r+n)^{r};}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle x=2}$

El problema fue discutido en varias publicaciones. ^{[2] [3] [4]} En 1960, la ecuación estaba entre las preguntas del Concurso William Lowell Putnam , ^{[6] [7]} lo que llevó a Alvin Hausner a extender los resultados a campos numéricos algebraicos . ^{[3] [8]}

Soluciones reales positivas

Fuente principal: ^[1]

forma explícita

Un conjunto infinito de soluciones triviales en números reales positivos está dado por Las soluciones no triviales se pueden escribir explícitamente usando la función Lambert W. La idea es escribir la ecuación como e intentar hacer coincidir y multiplicando y elevando ambos lados por el mismo valor. Luego aplique la definición de la función Lambert W para aislar la variable deseada. ${\displaystyle x=y.}$ ${\displaystyle ae^{b}=c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a'e^{a'}=c'\Rightarrow a'=W(c')}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y^{x}&=x^{y}=\exp \left(y\ln x\right)&\\y^{x}\exp \left(-y\ln x\right)&=1&\left({\mbox{multiply by }}\exp \left(-y\ln x\right)\right)\\y\exp \left(-y{\frac {\ln x}{x}}\right)&=1&\left({\mbox{raise by }}1/x\right)\\-y{\frac {\ln x}{x}}\exp \left(-y{\frac {\ln x}{x}}\right)&={\frac {-\ln x}{x}}&\left({\mbox{multiply by }}{\frac {-\ln x}{x}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle \Rightarrow -y{\frac {\ln x}{x}}=W\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow y={\frac {-x}{\ln x}}\cdot W\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)=\exp \left(-W\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)}$

Donde en el último paso usamos la identidad . ${\displaystyle W(x)/x=\exp(-W(x))}$

Aquí dividimos la solución en las dos ramas de la función Lambert W y nos centramos en cada intervalo de interés, aplicando las identidades:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)&=-\ln x\quad &{\text{for }}&0<x\leq e,\\W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)&=-\ln x\quad &{\text{for }}&x\geq e.\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle 0<x\leq 1}$:

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {-\ln x}{x}}\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow y&=\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)\\&=\exp \left(-(-\ln x)\right)\\&=x\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle 1<x<e}$:

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {-1}{e}}<{\frac {-\ln x}{x}}<0}$

${\displaystyle \Rightarrow y={\begin{cases}\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\\\exp \left(-W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)\end{cases}}}$

• ${\displaystyle x=e}$:

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {-\ln x}{x}}={\frac {-1}{e}}}$

${\displaystyle \Rightarrow y={\begin{cases}\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\\\exp \left(-W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\end{cases}}}$

• ${\displaystyle x>e}$:

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {-1}{e}}<{\frac {-\ln x}{x}}<0}$

${\displaystyle \Rightarrow y={\begin{cases}\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)\\\exp \left(-W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\end{cases}}}$

Por tanto, las soluciones no triviales son:

${\displaystyle y={\begin{cases}\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln(x)}{x}}\right)\right)\quad &{\text{for }}x>e,\\\exp \left(-W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)\quad &{\text{for }}1<x<e.\end{cases}}}$

forma paramétrica

Las soluciones no triviales se pueden encontrar más fácilmente suponiendo y dejando que Entonces ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle y=vx.}$

${\displaystyle (vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.}$

Elevando ambos lados a la potencia y dividiéndolos por , obtenemos ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle v=x^{v-1}.}$

Entonces las soluciones no triviales en números reales positivos se expresan como la ecuación paramétrica

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=v^{1/(v-1)},\\y&=v^{v/(v-1)}.\end{aligned}}}$

La solución completa es entonces ${\displaystyle (y=x)\cup \left(v^{1/(v-1)},v^{v/(v-1)}\right){\text{ for }}v>0,v\neq 1.}$

Con base en la solución anterior, la derivada es para los pares en la línea y para los otros pares se puede encontrar mediante un cálculo sencillo que da como resultado: ${\displaystyle dy/dx}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle y=x,}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (dy/dv)/(dx/dv),}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=v^{2}\left({\frac {v-1-\ln v}{v-1-v\ln v}}\right)}$

Para y ${\displaystyle v>0}$ ${\displaystyle v\neq 1.}$

Establecer o generar la solución no trivial en números enteros positivos, ${\displaystyle v=2}$ ${\displaystyle v={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 4^{2}=2^{4}.}$

Existen otros pares que consisten en números algebraicos , como y , así como y . ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle 3{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4}}}$ ${\displaystyle 4{\sqrt[{3}]{4}}}$

La parametrización anterior conduce a una propiedad geométrica de esta curva. Se puede demostrar que describe la curva isoclina donde funciones de potencia de la forma tienen pendiente para alguna elección real positiva de . Por ejemplo, tiene una pendiente de en la cual también hay un punto en la curva. ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ ${\displaystyle x^{v}}$ ${\displaystyle v^{2}}$ ${\displaystyle v\neq 1}$ ${\displaystyle x^{8}=y}$ ${\displaystyle 8^{2}}$ ${\displaystyle ({\sqrt[{7}]{8}},{\sqrt[{7}]{8}}^{8}),}$ ${\displaystyle x^{y}=y^{x}.}$

Las soluciones triviales y no triviales se cruzan cuando . Las ecuaciones anteriores no se pueden evaluar directamente en , pero podemos tomar el límite como . Esto se hace más convenientemente sustituyendo y dejando , por lo que ${\displaystyle v=1}$ ${\displaystyle v=1}$ ${\displaystyle v\to 1}$ ${\displaystyle v=1+1/n}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle x=\lim _{v\to 1}v^{1/(v-1)}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e.}$

Por tanto, la recta y la curva para se cruzan en x = y = e . ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle x^{y}-y^{x}=0,\,\,y\neq x}$

As , la solución no trivial tiene asíntotas con respecto a la recta . Una forma asintótica más completa es ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle y=1}$

${\displaystyle y=1+{\frac {\ln x}{x}}+{\frac {3}{2}}{\frac {(\ln x)^{2}}{x^{2}}}+\cdots .}$

Otras soluciones reales

También existe un conjunto infinito de soluciones reales discretas con al menos una de y negativa. Estos son proporcionados por la parametrización anterior cuando los valores generados son reales. Por ejemplo, , es una solución (usando la raíz cúbica real de ). De manera similar, la solución trivial para cuando es real da un conjunto infinito de soluciones discretas ; Por ejemplo . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x={\frac {1}{\sqrt[{3}]{-2}}}}$ ${\displaystyle y={\frac {-2}{\sqrt[{3}]{-2}}}}$ ${\displaystyle -2}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle x^{x}}$ ${\displaystyle x=y=-1}$

Gráficos similares

Ecuación x √ y = y √ x

La ecuación produce una gráfica donde la línea y la curva se cruzan en . La curva también termina en (0, 1) y (1, 0), en lugar de continuar hasta el infinito. ${\displaystyle {\sqrt[{x}]{y}}={\sqrt[{y}]{x}}}$ ${\displaystyle 1/e}$

La sección curva se puede escribir explícitamente como

${\displaystyle y=e^{W_{0}(\ln(x^{x}))}\quad \mathrm {for} \quad 0<x<1/e,}$

${\displaystyle y=e^{W_{-1}(\ln(x^{x}))}\quad \mathrm {for} \quad 1/e<x<1.}$

Esta ecuación describe la curva isoclina donde las funciones de potencia tienen pendiente 1, análoga a la propiedad geométrica descrita anteriormente. ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$

La ecuación es equivalente a, como se puede ver elevando ambos lados a la potencia. De manera equivalente, esto también se puede demostrar para demostrar que la ecuación es equivalente a . ${\displaystyle y^{y}=x^{x},}$ ${\displaystyle xy.}$ ${\displaystyle {\sqrt[{y}]{y}}={\sqrt[{x}]{x}}}$ ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$

Ecuación log x ( y ) = log y ( x )

La ecuación produce una gráfica donde la curva y la línea se cruzan en (1, 1). La curva se vuelve asintótica con respecto a 0, en lugar de 1; de hecho, es la sección positiva de y  = 1/ x . ${\displaystyle \log _{x}(y)=\log _{y}(x)}$

Referencias

1. Lóczi, Lajos. "Sobre potencias conmutativas y asociativas". KöMaL . Archivado desde el original el 15 de octubre de 2002.Traducción de: "Mikor kommutatív, illetve asszociatív a hatványozás?" (en húngaro). Archivado desde el original el 6 de mayo de 2016.
2. cantante, David . "Fuentes en matemáticas recreativas: una bibliografía comentada. 8ª edición preliminar". Archivado desde el original el 16 de abril de 2004.{{cite web}}: CS1 maint: unfit URL (link)
3. Sved, Marta (1990). "Sobre las soluciones racionales de xy = yx" (PDF) . Revista Matemáticas . 63 : 30–33. doi :10.1080/0025570X.1990.11977480. Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016.
4. Dickson, Leonard Eugene (1920), "Soluciones racionales de xy = yx", Historia de la teoría de números , vol. II, Washington, pág. 687{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. van Hengel, Johann (1888). "Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positivn ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung ab = ba genügt". Pr. Gimnasio. Emmerich . JFM  20.0164.05.
6. Gleason, soy ; Greenwood, RE; Kelly, LM (1980), "La vigésimo primera competencia matemática de William Lowell Putnam (3 de diciembre de 1960), sesión de la tarde, problema 1", Problemas y soluciones de la competencia matemática de William Lowell Putnam: 1938-1964 , MAA , p. 59, ISBN 0-88385-428-7
7. "21 de Putnam 1960. Problema B1". 20 de octubre de 1999. Archivado desde el original el 30 de marzo de 2008.{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
8. Hausner, Alvin (noviembre de 1961). "Campos de números algebraicos y la ecuación diofántica m ⁿ = n ^m ". El Mensual Matemático Estadounidense . 68 (9): 856–861. doi :10.1080/00029890.1961.11989781. ISSN  0002-9890.

enlaces externos

• "Soluciones racionales para x^y = y^x". CTK Wiki Matemáticas . Archivado desde el original el 15 de agosto de 2021 . Consultado el 14 de abril de 2016 .
• "x^y = y^x - poderes de conmutación". Rompecabezas aritméticos y analíticos . Torsten Sillke. Archivado desde el original el 28 de diciembre de 2015.
• dborkovitz (29 de enero de 2012). "Gráfico paramétrico de x^y=y^x". GeoGebra .
• Secuencia OEIS A073084 (Expansión decimal de −x, donde x es la solución negativa de la ecuación 2^x = x^2)