Límite de una función

Punto hacia qué funciones convergen en el análisis

Aunque la función no está definida en cero, a medida que x se acerca cada vez más a cero, se acerca arbitrariamente a 1. En otras palabras, el límite de cuando x se acerca a cero, es igual a 1 ${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}},}$

En matemáticas , el límite de una función es un concepto fundamental en cálculo y análisis relacionado con el comportamiento de esa función cerca de una entrada particular que puede estar o no en el dominio de la función.

A continuación se ofrecen definiciones formales, ideadas por primera vez a principios del siglo XIX. Informalmente, una función f asigna una salida f ( x ) a cada entrada x . Decimos que la función tiene un límite L en una entrada p , si f ( x ) se acerca cada vez más a L a medida que x se acerca cada vez más a p . Más específicamente, el valor de salida puede acercarse arbitrariamente a L si la entrada a f se toma lo suficientemente cerca de p . Por otro lado, si algunas entradas muy cercanas a p se llevan a salidas que permanecen a una distancia fija, entonces decimos que el límite no existe .

La noción de límite tiene muchas aplicaciones en el cálculo moderno . En particular, las muchas definiciones de continuidad emplean el concepto de límite: aproximadamente, una función es continua si todos sus límites concuerdan con los valores de la función. El concepto de límite también aparece en la definición de derivada : en el cálculo de una variable, ésta es el valor límite de la pendiente de las rectas secantes de la gráfica de una función.

Historia

Aunque implícita en el desarrollo del cálculo de los siglos XVII y XVIII, la idea moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo los fundamentos de la técnica épsilon-delta (ver definición (ε, δ) del límite a continuación) para definir funciones continuas. Sin embargo, su obra no fue conocida durante su vida. ^[1]

En su libro Cours d'analyse de 1821 , Augustin-Louis Cauchy analizó las cantidades variables, los infinitesimales y los límites, y definió la continuidad de diciendo que un cambio infinitesimal en x produce necesariamente un cambio infinitesimal en y , mientras que Grabiner afirma que utilizó un épsilon riguroso. -definición delta en pruebas. ^[2] En 1861, Weierstrass introdujo por primera vez la definición de límite épsilon-delta en la forma en que suele escribirse hoy. ^[3] También introdujo las notaciones y ^[4] ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\textstyle \lim }$ ${\textstyle \textstyle \lim _{x\to x_{0}}\displaystyle .}$

La notación moderna de colocar la flecha debajo del símbolo límite se debe a Hardy , la cual se introduce en su libro Un curso de matemática pura en 1908. ^[5]

Motivación

Imagine una persona caminando sobre un paisaje representado por la gráfica y = f ( x ) . Su posición horizontal está dada por x , muy parecida a la posición dada por un mapa del terreno o por un sistema de posicionamiento global . Su altitud está dada por la coordenada y . Supongamos que caminan hacia una posición x = p , a medida que se acerquen cada vez más a este punto, notarán que su altitud se acerca a un valor específico L. Si se les preguntara sobre la altitud correspondiente a x = p , responderían diciendo y = L.

Entonces, ¿qué significa decir que su altitud se acerca a L ? Significa que su altitud se acerca cada vez más a L , excepto por un posible pequeño error en la precisión. Por ejemplo, supongamos que establecemos un objetivo de precisión particular para nuestro viajero : debe acercarse a diez metros de L. Informan que, de hecho, pueden llegar a diez metros verticales de L , argumentando que mientras estén dentro de cincuenta metros horizontales de p , su altitud siempre estará dentro de los diez metros de L.

Luego se cambia el objetivo de precisión: ¿pueden acercarse a un metro vertical? Sí, suponiendo que puedan moverse dentro de los cinco metros horizontales de p , su altitud siempre permanecerá dentro de un metro de la altitud objetivo L. Resumiendo el concepto antes mencionado podemos decir que la altitud del viajero se acerca a L a medida que su posición horizontal se acerca a p , es decir, para cada objetivo de precisión del objetivo, por pequeño que sea, existe una vecindad de p donde todos (no solo algunos) las altitudes corresponden a todas las posiciones horizontales, excepto quizás la posición horizontal p en sí, en esa vecindad cumplen ese objetivo de precisión.

La declaración informal inicial ahora puede explicarse:

El límite de una función f ( x ) cuando x se acerca a p es un número L con la siguiente propiedad: dada cualquier distancia objetivo desde L , hay una distancia desde p dentro de la cual los valores de f ( x ) permanecen dentro de la distancia objetivo.

De hecho, esta afirmación explícita se acerca bastante a la definición formal del límite de una función, con valores en un espacio topológico .

Más específicamente, decir que

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}$$

es decir que f ( x ) puede acercarse tanto a L como se desee, haciendo que x sea lo suficientemente cercano, pero no igual, a  p .

Las siguientes definiciones, conocidas como definiciones ( ε , δ ) , son definiciones generalmente aceptadas para el límite de una función en diversos contextos.

Funciones de una sola variable

( ε , δ ) -definición de límite

Para los f , a y b representados , podemos asegurarnos de que el valor f ( x ) esté dentro de un intervalo arbitrariamente pequeño ( b – ε, b + ε) restringiendo x a un intervalo suficientemente pequeño ( a – δ, a + δ). Por tanto f ( x ) → b como x → a .

Supongamos que es una función definida en la recta real y hay dos números reales p y L. Se diría que el límite de f , cuando x se aproxima a p , es L y se escribe ^[6] ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}$$

o alternativamente, digamos que f ( x ) tiende a L cuando x tiende a p , y se escribe:

$${\displaystyle f(x)\to L{\text{ as }}x\to p,}$$

si se cumple la siguiente propiedad: para todo real ε > 0 , existe un real δ > 0 tal que para todo real x , 0 < | x - p | < δ implica | f ( x ) - L | < ε . ^[6] Simbólicamente,

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in \mathbb {R} )\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Por ejemplo, podemos decir

$${\displaystyle \lim _{x\to 2}(4x+1)=9}$$

ε real > 0δ = ε /4x0 < | x -2 | < δ| 4 x + 1 − 9 | < ε

Se aplica una definición más general para funciones definidas en subconjuntos de la línea real. Sea S un subconjunto de Sea una función de valor real . Sea p un punto tal que exista algún intervalo abierto ( a , b ) que contenga p con. Entonces se dice que el límite de f cuando x se aproxima a p es L , si: ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,p)\cup (p,b)\subset S.}$

Para todo ε real > 0 , existe un δ > 0 real tal que para todo x ∈ ( a , b ) , 0 < | x - p | < δ implica que | f ( x ) - L | < ε .

O, simbólicamente:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Por ejemplo, podemos decir

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\sqrt {x+3}}=2}$$

ε > 0δ = εx ≥ −30 < | x -1 | < δ| f ( x ) − 2 | < εS = [−3, ∞)

Aquí, observe que el valor del límite no depende de que f esté definido en p , ni del valor f ( p ) , si está definido. Por ejemplo, dejemos ${\displaystyle f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=3}$$

ε > 0δ = ε /2x ≠ 10 < | x -1 | < δ| f ( x ) − 3 | < εf (1)

De hecho, puede existir un límite en el que iguales donde int S es el interior de S , e iso S ^c son los puntos aislados del complemento de S . En nuestro ejemplo anterior donde vemos, específicamente, esta definición de límite permite que exista un límite en 1, pero no en 0 o 2. ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},}$ ${\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2],}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S=(0,1)\cup (1,2),}$ ${\displaystyle \operatorname {iso} S^{c}=\{1\}.}$

Las letras ε y δ pueden entenderse como "error" y "distancia". De hecho, Cauchy usó ε como abreviatura de "error" en algunos de sus trabajos, ^[2] aunque en su definición de continuidad usó un infinitesimal en lugar de ε o δ (ver Cours d'Analyse ). En estos términos, el error ( ε ) en la medición del valor en el límite se puede hacer tan pequeño como se desee, reduciendo la distancia ( δ ) al punto límite. Como se analiza a continuación, esta definición también funciona para funciones en un contexto más general. La idea de que δ y ε representan distancias ayuda a sugerir estas generalizaciones. ${\displaystyle \alpha }$

Existencia y límites unilaterales

El límite as difiere de aquel as Por lo tanto, el límite cuando x → x ₀ no existe. ${\displaystyle x\to x_{0}^{+}}$ ${\displaystyle x\to x_{0}^{-}.}$

Alternativamente, x puede acercarse a p desde arriba (derecha) o desde abajo (izquierda), en cuyo caso los límites pueden escribirse como

$${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=L}$$

o

$${\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}f(x)=L}$$

Las primeras tres funciones tienen puntos para los cuales el límite no existe, mientras que la función

$${\displaystyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$$

no está definido en , pero su límite sí existe. ${\displaystyle x=0}$

respectivamente. Si estos límites existen en p y son iguales allí, entonces esto puede denominarse límite de f ( x ) en p . ^[7] Si los límites unilaterales existen en p , pero son desiguales, entonces no hay límite en p (es decir, el límite en p no existe). Si alguno de los límites unilaterales no existe en p , entonces el límite en p tampoco existe.

Una definición formal es la siguiente. El límite de f cuando x se aproxima a p desde arriba es L si:

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que siempre que 0 < x − p < δ , tenemos | f ( x ) - L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<x-p<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

El límite de f cuando x se aproxima a p desde abajo es L si:

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que siempre que 0 < p − x < δ , tenemos | f ( x ) - L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<p-x<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Si el límite no existe, entonces la oscilación de f en p es distinta de cero.

Definición más general utilizando puntos límite y subconjuntos

Los límites también se pueden definir acercándose desde subconjuntos del dominio.

En general: ^[8] Sea una función de valor real definida sobre algunos Sea p un punto límite de algunos —es decir, p es el límite de alguna secuencia de elementos de T distintos de p . Luego decimos que el límite de f , cuando x se aproxima a p a partir de valores en T , es L , escrito ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle T\subset S}$

$${\displaystyle \lim _{{x\to p} \atop {x\in T}}f(x)=L}$$

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ T , 0 < | x - p | < δ implica que | f ( x ) - L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in T)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Tenga en cuenta que T puede ser cualquier subconjunto de S , el dominio de f . Y el límite podría depender de la selección de T . Esta generalización incluye como casos especiales límites en un intervalo, así como límites zurdos de funciones con valores reales (por ejemplo, tomando T como un intervalo abierto de la forma (–∞, a ) ), y límites diestros (por ejemplo, tomando T como un intervalo abierto de la forma ( a , ∞) ). También extiende la noción de límites unilaterales a los puntos finales incluidos de intervalos (semi)cerrados, por lo que la función de raíz cuadrada puede tener límite 0 cuando x se aproxima a 0 desde arriba: ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

$${\displaystyle \lim _{{x\to 0} \atop {x\in [0,\infty )}}{\sqrt {x}}=0}$$

ε > 0δ = εx ≥ 00 < | x -0 | < δ| f ( x ) − 0 | < ε

Esta definición permite definir un límite en puntos límite del dominio S , si se elige un subconjunto adecuado T que tenga el mismo punto límite.

En particular, la definición bilateral anterior funciona sobre cuál es un subconjunto de los puntos límite de S. ${\displaystyle \operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},}$

Por ejemplo, let La definición bilateral anterior funcionaría en pero no funcionaría en 0 o 2, que son puntos límite de S. ${\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2].}$ ${\displaystyle 1\in \operatorname {iso} S^{c}=\{1\},}$

Límites eliminados versus no eliminados

La definición de límite dada aquí no depende de cómo (o si) se define f en p . Bartle ^[9] se refiere a esto como un límite eliminado , porque excluye el valor de f en p . El límite correspondiente no eliminado depende del valor de f en p , si p está en el dominio de f . Sea una función de valor real. El límite no eliminado de f , cuando x se acerca a p , es L si ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ S , | x - p | < δ implica | f ( x ) - L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

La definición es la misma, excepto que el barrio | x - p | < δ ahora incluye el punto p , en contraste con la vecindad eliminada 0 < | x - p | < δ . Esto hace que la definición de límite no eliminado sea menos general. Una de las ventajas de trabajar con límites no eliminados es que permiten enunciar el teorema sobre los límites de las composiciones sin ninguna restricción sobre las funciones (aparte de la existencia de sus límites no eliminados). ^[10]

Bartle ^[9] señala que aunque algunos autores entienden por "límite" este límite no eliminado, los límites eliminados son los más populares. ^[11]

Ejemplos

Inexistencia de límite(s) unilateral(es)

Función sin límite en una discontinuidad esencial.

La función

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\[2pt]{\frac {1}{10x-10}}&{\text{ for }}x>1\end{cases}}}$$

x ₀ = 1x

La función

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}$$

función de Dirichletx

No igualdad de límites unilaterales

La función

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ for }}x<0\\2&{\text{ for }}x\geq 0\end{cases}}}$$

tiene un límite en cada coordenada xxxx = 0

Límites en un solo punto

Las funciones

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}$$

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}|x|&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}$$

x = 0

Límites en muchos puntos contables

La función

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin x&x{\text{ irrational }}\\1&x{\text{ rational }}\end{cases}}}$$

xn ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+2n\pi ,}$

Límites que involucran el infinito

Límites al infinito

El límite de esta función en el infinito existe.

Sea una función definida en El límite de f cuando x se acerca al infinito es L , denotado ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L,}$$

significa que:

Para cada ε > 0 , existe un c > 0 tal que siempre que + x > c , tenemos | f ( x ) - L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x>c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

De manera similar, el límite de f cuando x se acerca a menos infinito es L , denotado

$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L,}$$

significa que:

Para cada ε > 0 , existe un c > 0 tal que siempre que x < − c , tenemos | f ( x ) - L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x<-c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Por ejemplo,

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(-{\frac {3\sin x}{x}}+4\right)=4}$$

ε > 0c = 3/ εxx > c| f ( x ) − 4 | < ε

Otro ejemplo es que

$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }e^{x}=0}$$

ε > 0c = max{1, −ln( ε )}xx < − c| f ( x ) − 0 | < ε

Límites infinitos

Para una función cuyos valores crecen sin límite, la función diverge y el límite habitual no existe. Sin embargo, en este caso se pueden introducir límites con valores infinitos.

Sea una función definida en El enunciado el límite de f cuando x se acerca a p es infinito , denotado ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=\infty ,}$$

significa que:

Para cada N > 0 , existe un δ > 0 tal que siempre que 0 < | x - p | < δ , tenemos f ( x ) > N .

$${\displaystyle (\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)>N).}$$

El enunciado del límite de f cuando x se acerca a p es menos infinito , denotado

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=-\infty ,}$$

significa que:

Para cada N > 0 , existe un δ > 0 tal que siempre que 0 < | x - p | < δ , tenemos f ( x ) < − N .

$${\displaystyle (\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)<-N).}$$

Por ejemplo,

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {1}{(x-1)^{2}}}=\infty }$$

N > 0x > 00 < x − 1 < δf ( x ) > N ${\textstyle \delta ={\tfrac {1}{{\sqrt {N}}\delta }}={\tfrac {1}{\sqrt {N}}}}$

Estas ideas se pueden utilizar juntas para producir definiciones para diferentes combinaciones, como

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty ,}$$

${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=-\infty .}$

Por ejemplo,

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty }$$

N > 0δ = e ^{− N}x > 00 < x − 0 < δf ( x ) < − N

Los límites que involucran el infinito están relacionados con el concepto de asíntotas .

Estas nociones de límite intentan proporcionar una interpretación espacial métrica de los límites en el infinito. De hecho, son consistentes con la definición de límite del espacio topológico si

• una vecindad de −∞ se define para contener un intervalo [−∞, c ) para algunos ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,}$
• una vecindad de ∞ se define para contener un intervalo ( c , ∞] donde y ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,}$
• una vecindad de se define de la manera normal en el espacio métrico ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

En este caso, es un espacio topológico y cualquier función de la forma con está sujeta a la definición topológica de un límite. Tenga en cuenta que con esta definición topológica, es fácil definir límites infinitos en puntos finitos, que no se han definido anteriormente en el sentido métrico. ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X,Y\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}}$

Notación alternativa

Muchos autores ^[12] permiten que la línea real extendida proyectivamente se utilice como una forma de incluir valores infinitos, así como una línea real extendida . Con esta notación, la línea real extendida se da como y la línea real proyectivamente extendida es donde una vecindad de ∞ es un conjunto de la forma. La ventaja es que solo se necesitan tres definiciones de límites (izquierdo, derecho y central) para cubrir todos los casos. Como se presentó anteriormente, para una explicación completamente rigurosa, necesitaríamos considerar 15 casos separados para cada combinación de infinitos (cinco direcciones: −∞, izquierda, central, derecha y +∞; tres límites: −∞, finito o + ∞). También hay obstáculos dignos de mención. Por ejemplo, cuando se trabaja con la recta real extendida, no posee límite central (lo cual es normal): ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \{x:|x|>c\}.}$ ${\displaystyle x^{-1}}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .}$$

Por el contrario, cuando se trabaja con la línea real proyectiva, los infinitos (al igual que 0) no están firmados, por lo que el límite central sí existe en ese contexto:

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0}{1 \over x}=\infty .}$$

De hecho, hay en uso una plétora de sistemas formales conflictivos. En determinadas aplicaciones de diferenciación e integración numérica , es conveniente, por ejemplo, tener ceros con signo . Una razón sencilla tiene que ver con lo contrario , es decir, conviene que se considere verdadero. Estos ceros pueden verse como una aproximación a los infinitesimales . ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{x^{-1}}=-\infty ,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{x^{-1}}=-0}$

Límites en el infinito para funciones racionales.

Asíntota horizontal alrededor de y = 4

Hay tres reglas básicas para evaluar los límites en el infinito de una función racional (donde p y q son polinomios): ${\displaystyle f(x)={\tfrac {p(x)}{q(x)}}}$

• Si el grado de p es mayor que el grado de q , entonces el límite es infinito positivo o negativo dependiendo de los signos de los coeficientes principales;
• Si los grados de p y q son iguales, el límite es el coeficiente principal de p dividido por el coeficiente principal de q ;
• Si el grado de p es menor que el grado de q , el límite es 0.

Si el límite en el infinito existe, representa una asíntota horizontal en y = L. Los polinomios no tienen asíntotas horizontales; Sin embargo, tales asíntotas pueden ocurrir con funciones racionales.

Funciones de más de una variable.

Límites ordinarios

Al observar que | x - p | representa una distancia , la definición de límite se puede extender a funciones de más de una variable. En el caso de una función definida en definimos el límite de la siguiente manera: el límite de f cuando ( x , y ) se acerca a ( p , q ) es L , escrito ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},}$

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=L}$$

si se cumple la siguiente condición:

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todo x en S e y en T , siempre que tengamos | f ( x , y ) - L | < ε , ^[13] ${\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta ,}$

o formalmente:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies |f(x,y)-L|<\varepsilon )).}$$

Aquí está la distancia euclidiana entre ( x , y ) y ( p , q ) . (De hecho, esto puede reemplazarse por cualquier norma | | ( x , y ) − ( p , q ) | | , y extenderse a cualquier número de variables). ${\textstyle {\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}}$

Por ejemplo, podemos decir

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}=0}$$

ε > 0x ≠ 0y ≠ 0| f ( x , y ) - 0 | < ε ${\textstyle \delta ={\sqrt {\varepsilon }}}$ ${\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}$

Al igual que en el caso de una sola variable, el valor de f en ( p , q ) no importa en esta definición de límite.

Para que exista tal límite multivariable, esta definición requiere que el valor de f se acerque a L a lo largo de cada camino posible que se acerque a ( p , q ) . ^[14] En el ejemplo anterior, la función

$${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}}$$

coordenadas polares.

$${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )\to (0,0),}$$

$${\displaystyle \lim _{r\to 0}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )=\lim _{r\to 0}{\frac {r^{4}\cos ^{4}\theta }{r^{2}}}=\lim _{r\to 0}r^{2}\cos ^{4}\theta .}$$

θ = θ ( r )rf( p , q )cos θteorema del sándwich

En cambio, la función

$${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}}$$

(0, 0)( x , y ) = ( t , 0) → (0, 0)

$${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t,0)=\lim _{t\to 0}{\frac {0}{t^{2}}}=0,}$$

( x , y ) = ( t , t ) → (0, 0)

$${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t,t)=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t^{2}+t^{2}}}={\frac {1}{2}}.}$$

Dado que los dos valores no concuerdan, f no tiende a un solo valor cuando ( x , y ) se aproxima a (0, 0) .

Límites múltiples

Aunque se usa con menos frecuencia, existe otro tipo de límite para una función multivariable, conocido como límite múltiple . Para una función de dos variables, este es el doble límite . ^[15] Definamos que decimos que el límite doble de f cuando x se acerca a p y y se acerca a q es L , escrito ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},}$

$${\displaystyle \lim _{{x\to p} \atop {y\to q}}f(x,y)=L}$$

si se cumple la siguiente condición:

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todo x en S e y en T , siempre que 0 < | x - p | < δ y 0 < | y − q | < δ , tenemos | f ( x , y ) - L | < ε . ^[15]

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((0<|x-p|<\delta )\land (0<|y-q|<\delta )\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

Para que exista tal doble límite, esta definición requiere que el valor de f se acerque a L a lo largo de cada camino posible que se acerque a ( p , q ) , excluyendo las dos líneas x = p e y = q . Como resultado, el límite múltiple es una noción más débil que el límite ordinario: si el límite ordinario existe y es igual a L , entonces el límite múltiple existe y también es igual a L. Lo contrario no es cierto: la existencia de límites múltiples no implica la existencia del límite ordinario. Considere el ejemplo

$${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}}$$

$${\displaystyle \lim _{{x\to 0} \atop {y\to 0}}f(x,y)=1}$$

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)}$$

Si el dominio de f está restringido a entonces las dos definiciones de límites coinciden. ^[15] ${\displaystyle (S\setminus \{p\})\times (T\setminus \{q\}),}$

Múltiples límites al infinito

El concepto de límite múltiple puede extenderse hasta el límite en el infinito, de forma similar al de una función de una sola variable. Porque decimos que el doble límite de f cuando xey se acercan al infinito es L , escrito ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} ,}$

$${\displaystyle \lim _{{x\to \infty } \atop {y\to \infty }}f(x,y)=L}$$

si se cumple la siguiente condición:

Para cada ε > 0 , existe un c > 0 tal que para todo x en S e y en T , siempre que x > c y y > c , tenemos | f ( x , y ) - L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x>c)\land (y>c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

Decimos que el doble límite de f cuando x e y se acercan a menos infinito es L , escrito

$${\displaystyle \lim _{{x\to -\infty } \atop {y\to -\infty }}f(x,y)=L}$$

si se cumple la siguiente condición:

Para cada ε > 0 , existe un c > 0 tal que x en S y y en T , siempre que x < − c y y < − c , tenemos | f ( x , y ) - L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x<-c)\land (y<-c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

Límites puntuales y límites uniformes.

En lugar de tomar el límite como ( x , y ) → ( p , q ) , podemos considerar tomar el límite de una sola variable, digamos, x → p , para obtener una función de una sola variable de y , es decir , de hecho, esta El proceso de limitación se puede realizar de dos maneras distintas. El primero se llama límite puntual . Decimos que el límite puntual de f cuando x se aproxima a p es g , denotado ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle g:T\to \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y),}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{pointwise}}.}$$

Alternativamente, podemos decir que f tiende a g puntualmente cuando x se aproxima a p , denotado

$${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,}$$

$${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{pointwise}}\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.}$$

Este límite existe si se cumple lo siguiente:

Para cada ε > 0 y cada y fija en T , existe un δ ( ε , y ) > 0 tal que para todo x en S , siempre que 0 < | x - p | < δ , tenemos | f ( x , y ) - gramo ( y ) | < ε . ^[dieciséis]

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\forall y\in T)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

Aquí, δ = δ ( ε , y ) es una función tanto de ε como de y . Cada δ se elige para un punto específico de y . Por tanto decimos que el límite es puntual en y . Por ejemplo,

$${\displaystyle f(x,y)={\frac {x}{\cos y}}}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{pointwise}}}$$

yyyπ /2

Esto lleva a otra definición de límite, a saber, el límite uniforme . Decimos que el límite uniforme de f en T cuando x se aproxima a p es g , denotado

$${\displaystyle {\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T.}$$

Alternativamente, podemos decir que f tiende a g uniformemente en T cuando x se aproxima a p , denotado

$${\displaystyle f(x,y)\rightrightarrows g(y)\;{\text{on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,}$$

$${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.}$$

Este límite existe si se cumple lo siguiente:

Para cada ε > 0 , existe un δ ( ε ) > 0 tal que para todo x en S e y en T , siempre que 0 < | x - p | < δ , tenemos | f ( x , y ) - gramo ( y ) | < ε . ^[dieciséis]

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

Aquí, δ = δ ( ε ) es una función sólo de ε pero no de y . En otras palabras, δ es uniformemente aplicable a todo y en T. Por tanto decimos que el límite es uniforme en y . Por ejemplo,

$${\displaystyle f(x,y)=x\cos y}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{ uniformly on}}\;\mathbb {R} }$$

ycos y[−1, 1]yteorema del sándwich

Límites iterados

Podemos considerar tomar el límite de una sola variable, digamos, x → p , para obtener una función de una sola variable de y , es decir, y luego tomar el límite en la otra variable, es decir, y → q , para obtener un número L. Simbólicamente, ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle g:T\to \mathbb {R} ,}$

$${\displaystyle \lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)=\lim _{y\to q}g(y)=L.}$$

Este límite se conoce como límite iterado de la función multivariable. ^[17] El orden de toma de límites puede afectar el resultado, es decir,

$${\displaystyle \lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)\neq \lim _{x\to p}\lim _{y\to q}f(x,y)}$$

Una condición suficiente de igualdad viene dada por el teorema de Moore-Osgood , que requiere que el límite sea uniforme en T. ^[18] ${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)}$

Funciones en espacios métricos

Supongamos que M y N son subconjuntos de espacios métricos A y B , respectivamente, y f  : M → N se define entre M y N , con x ∈ M , p un punto límite de M y L ∈ N . Se dice que el límite de f cuando x se aproxima a p es L y se escribe

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$$

si se cumple la siguiente propiedad:

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todos los puntos x ∈ M , 0 < d _A ( x , p ) < δ implica d _B ( f ( x ), L ) < ε . ^[19]

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in M)\,(0<d_{A}(x,p)<\delta \implies d_{B}(f(x),L)<\varepsilon ).}$$

Nuevamente, tenga en cuenta que p no necesita estar en el dominio de f , ni L necesita estar en el rango de f , e incluso si f ( p ) está definido, no necesita ser igual a L.

métrica euclidiana

El límite en el espacio euclidiano es una generalización directa de los límites de las funciones con valores vectoriales . Por ejemplo, podemos considerar una función tal que ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle f(x,y)=(f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y)).}$$

métrica euclidiana

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=(L_{1},L_{2},L_{3})}$$

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todo x en S e y en T , implica ^[20] ${\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta }$ ${\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}$

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,\left(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon \right).}$$

En este ejemplo, la función en cuestión es una función con valores vectoriales de dimensión finita. En este caso, el teorema del límite para una función vectorial establece que si el límite de cada componente existe, entonces el límite de una función vectorial es igual al vector con cada componente tomado como límite: ^[20]

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}{\Bigl (}f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y){\Bigr )}=\left(\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{1}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{2}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{3}(x,y)\right).}$$

Métrica de Manhattan

También se podrían considerar espacios distintos del espacio euclidiano. Un ejemplo sería el espacio de Manhattan. Considere tal que ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle f(x)=(f_{1}(x),f_{2}(x)).}$$

métrica de Manhattan

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=(L_{1},L_{2})}$$

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todo x en S , 0 < | x - p | < δ implica | f ₁ - L ₁ | + | f ₂ - L ₂ | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f_{1}-L_{1}|+|f_{2}-L_{2}|<\varepsilon ).}$$

Dado que esta también es una función vectorial de dimensión finita, también se aplica el teorema del límite establecido anteriormente. ^[21]

Métrica uniforme

Finalmente, discutiremos el límite en el espacio funcional , que tiene infinitas dimensiones. Considere una función f ( x , y ) en el espacio funcional . Queremos descubrir a medida que x se acerca a p , cómo f ( x , y ) tenderá a otra función g ( y ) , que está en el espacio funcional. La "cercanía" en este espacio funcional se puede medir bajo la métrica uniforme . ^[22] Entonces, diremos que el límite uniforme de f en T cuando x se aproxima a p es g y escribiremos ${\displaystyle S\times T\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle T\to \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle {\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T,}$$

si se cumple lo siguiente:

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todo x en S , 0 < | x - p | < δ implica ${\displaystyle \sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon .}$

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies \sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

De hecho, se puede ver que esta definición es equivalente a la del límite uniforme de una función multivariable introducida en la sección anterior.

Funciones en espacios topológicos.

Supongamos que X e Y son espacios topológicos y Y es un espacio de Hausdorff . Sea p un punto límite de Ω ⊆ X y L ∈ Y . Para una función f  : Ω → Y , se dice que el límite de f cuando x se acerca a p es L , escrito

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}$$

si se cumple la siguiente propiedad:

Para cada vecindad abierta V de L , existe una vecindad abierta U de p tal que f ( U ∩ Ω − { p }) ⊆ V .

Esta última parte de la definición también se puede expresar como "existe una vecindad perforada abierta U de p tal que f ( U ∩ Ω) ⊆ V ".

El dominio de f no necesita contener p . Si es así, entonces el valor de f en p es irrelevante para la definición del límite. En particular, si el dominio de f es X − { p } (o todo X ), entonces el límite de f cuando x → p existe y es igual a L si, para todos los subconjuntos Ω de X con punto límite p , el El límite de la restricción de f a Ω existe y es igual a L. A veces, este criterio se utiliza para establecer la inexistencia del límite bilateral de una función mostrando que los límites unilaterales no existen o no concuerdan. Tal visión es fundamental en el campo de la topología general , donde los límites y la continuidad en un punto se definen en términos de familias especiales de subconjuntos, llamados filtros , o secuencias generalizadas conocidas como redes . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Alternativamente, el requisito de que Y sea un espacio de Hausdorff puede reducirse a la suposición de que Y sea un espacio topológico general, pero entonces el límite de una función puede no ser único. En particular, ya no se puede hablar del límite de una función en un punto, sino de un límite o del conjunto de límites en un punto.

Una función es continua en un punto límite p de y en su dominio si y sólo si f ( p ) es el (o, en el caso general, un ) límite de f ( x ) cuando x tiende a p .

Existe otro tipo de límite de una función, a saber, el límite secuencial . Sea f  : X → Y un mapeo de un espacio topológico X a un espacio de Hausdorff Y , p ∈ X un punto límite de X y L ∈ Y . El límite secuencial de f cuando x tiende a p es L si

Para cada secuencia ( x _n ) en X − { p } que converge a p , la secuencia f ( x _n ) converge a L .

Si L es el límite (en el sentido anterior) de f cuando x se acerca a p , entonces también es un límite secuencial; sin embargo, no es necesario que lo contrario se cumpla en general. Si además X es metrizable , entonces L es el límite secuencial de f cuando x se acerca a p si y sólo si es el límite (en el sentido anterior) de f cuando x se acerca a p .

Otras caracterizaciones

En términos de secuencias

Para funciones sobre la recta real, una forma de definir el límite de una función es en términos del límite de secuencias. (Esta definición suele atribuirse a Eduard Heine ). En este contexto:

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$

x _nx _nanaf ( x _n )LSierpińskiaxioma de elecciónx _namétodo épsilon, delta

De manera similar a como fue el caso de la definición de Weierstrass, se aplica una definición de Heine más general a funciones definidas en subconjuntos de la línea real. Sea f una función de valor real con dominio Dm ( f ) . Sea a el límite de una secuencia de elementos de Dm ( f ) \ { a }. Entonces el límite (en este sentido) de f es L cuando x se acerca a p si para cada secuencia x _n ∈ Dm ( f ) \ { a } (de modo que para todo n , x _n no es igual a a ) que converge a a , la secuencia f ( x _n ) converge a L . Esto es lo mismo que la definición de un límite secuencial en la sección anterior obtenida considerando el subconjunto Dm ( f ) de como un espacio métrico con la métrica inducida. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

En cálculo no estándar

En cálculo no estándar, el límite de una función está definido por:

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$

x − anúmeros hiperrealesf*fKeislerdefinición de límite^[23][24]la microcontinuidad^[25] ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*},}$ ${\displaystyle f^{*}(x)-L}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$

En términos de cercanía

En el Congreso Internacional de Matemáticas de 1908, F. Riesz introdujo una forma alternativa de definir los límites y la continuidad del concepto, llamada "cercanía". ^[26] Un punto x se define como cercano a un conjunto si para cada r > 0 hay un punto a ∈ A tal que | x - un | < r . En este escenario el ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$

Lf ( A )aAf ( A ) ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{f(x)|x\in A\}.}$

Relación con la continuidad

La noción de límite de una función está muy relacionada con el concepto de continuidad. Se dice que una función f es continua en c si está definida en c y su valor en c es igual al límite de f cuando x se aproxima a c :

$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c).}$$

cpunto límitef

Propiedades

Si una función f tiene valor real, entonces el límite de f en p es L si y solo si tanto el límite derecho como el límite izquierdo de f en p existen y son iguales a L. ^[27]

La función f es continua en p si y sólo si el límite de f ( x ) cuando x se aproxima a p existe y es igual a f ( p ) . Si f  : M → N es una función entre espacios métricos M y N , entonces es equivalente que f transforme toda secuencia en M que converge hacia p en una secuencia en N que converge hacia f ( p ) .

Si N es un espacio vectorial normado , entonces la operación límite es lineal en el siguiente sentido: si el límite de f ( x ) cuando x se acerca a p es L y el límite de g ( x ) cuando x se acerca a p es P , entonces el El límite de f ( x ) + g ( x ) cuando x se acerca a p es L + P. Si a es un escalar del campo base , entonces el límite de af ( x ) cuando x se aproxima a p es aL .

Si f y g son funciones de valor real (o de valor complejo), entonces tomando el límite de una operación en f ( x ) y g ( x ) (por ejemplo, f + g , f − g , f × g , f / g , f ^g ) bajo ciertas condiciones es compatible con la operación de los límites de f ( x ) y g ( x ) . Este hecho suele denominarse teorema del límite algebraico . La condición principal necesaria para aplicar las siguientes reglas es que existan los límites en los lados derechos de las ecuaciones (en otras palabras, estos límites son valores finitos que incluyen 0). Además, la identidad para la división requiere que el denominador en el lado derecho sea distinto de cero (la división por 0 no está definida), y la identidad para la exponenciación requiere que la base sea positiva, o cero mientras el exponente sea positivo (finito). ).

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)+g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)+\lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)-g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)-\lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)\cdot g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)\cdot \lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)/g(x))&=&\displaystyle {\lim _{x\to p}f(x)/\lim _{x\to p}g(x)}\\\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)^{g(x)}&=&\displaystyle {\lim _{x\to p}f(x)^{\lim _{x\to p}g(x)}}\end{array}}}$$

Estas reglas también son válidas para límites unilaterales, incluso cuando p es ∞ o −∞. En cada regla anterior, cuando uno de los límites de la derecha es ∞ o −∞, el límite de la izquierda a veces aún puede estar determinado por las siguientes reglas.

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}q+\infty &=&\infty {\text{ if }}q\neq -\infty \\[8pt]q\times \infty &=&{\begin{cases}\infty &{\text{if }}q>0\\-\infty &{\text{if }}q<0\end{cases}}\\[6pt]\displaystyle {\frac {q}{\infty }}&=&0{\text{ if }}q\neq \infty {\text{ and }}q\neq -\infty \\[6pt]\infty ^{q}&=&{\begin{cases}0&{\text{if }}q<0\\\infty &{\text{if }}q>0\end{cases}}\\[4pt]q^{\infty }&=&{\begin{cases}0&{\text{if }}0<q<1\\\infty &{\text{if }}q>1\end{cases}}\\[4pt]q^{-\infty }&=&{\begin{cases}\infty &{\text{if }}0<q<1\\0&{\text{if }}q>1\end{cases}}\end{array}}}$$

(ver también Recta de números reales extendida ).

En otros casos el límite de la izquierda puede seguir existiendo, aunque el lado derecho, llamado forma indeterminada , no permite determinar el resultado. Esto depende de las funciones f y g . Estas formas indeterminadas son:

$${\displaystyle {\begin{array}{cc}\displaystyle {\frac {0}{0}}&\displaystyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}\\[6pt]0\times \pm \infty &\infty +-\infty \\[8pt]\qquad 0^{0}\qquad &\qquad \infty ^{0}\qquad \\[8pt]1^{\pm \infty }\end{array}}}$$

Véase más abajo la regla de L'Hôpital y la forma indeterminada .

Límites de composiciones de funciones.

En general, de saber eso no se sigue que Sin embargo, esta "regla de la cadena" se cumple si se cumple una de las siguientes condiciones adicionales : ${\displaystyle \lim _{y\to b}f(y)=c}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=b,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(g(x))=c.}$

• f ( b ) = c (es decir, f es continua en b ), o
• g no toma el valor b cerca de a (es decir, existe un δ > 0 tal que si 0 < | x − a | < δ entonces | g ( x ) − b | > 0 ).

Como ejemplo de este fenómeno, considere la siguiente función que viola ambas restricciones adicionales:

$${\displaystyle f(x)=g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\neq 0\\1&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

Dado que el valor en f (0) es una discontinuidad removible ,

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0}$$

unf ( f ( x ))

$${\displaystyle f(f(x))={\begin{cases}1&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(f(x))=1}$$

un

Límites de especial interés

Funciones racionales

Para n un número entero no negativo y constantes y ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n},}$

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {a_{1}x^{n}+a_{2}x^{n-1}+a_{3}x^{n-2}+\dots +a_{n}}{b_{1}x^{n}+b_{2}x^{n-1}+b_{3}x^{n-2}+\dots +b_{n}}}={\frac {a_{1}}{b_{1}}}}$$

Esto se puede comprobar dividiendo tanto el numerador como el denominador por x ⁿ . Si el numerador es un polinomio de grado superior, el límite no existe. Si el denominador es de mayor grado, el límite es 0.

Funciones trigonométricas

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}&=&0\end{array}}}$$

Funciones exponenciales

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}&=&\displaystyle \lim _{r\to \infty }\left(1+{\frac {1}{r}}\right)^{r}=e\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{ax}-1}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {c^{ax}-1}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\ln c\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}&=&1\end{array}}}$$

Funciones logarítmicas

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+ax)}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{c}(1+ax)}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b\ln c}}\end{array}}}$$

La regla de L'Hôpital

Esta regla utiliza derivadas para encontrar límites de formas indeterminadas 0/0 o ±∞/∞ , y solo se aplica a tales casos. Se pueden manipular otras formas indeterminadas para adoptar esta forma. Dadas dos funciones f ( x ) y g ( x ) , definidas en un intervalo abierto I que contiene el punto límite deseado c , entonces si:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,}$ o y ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,}$
2. ${\displaystyle f}$y son diferenciables una y otra vez ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle I\setminus \{c\},}$
3. ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$para todos y ${\displaystyle x\in I\setminus \{c\},}$
4. ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}}$ existe,

entonces:

$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}$$

Normalmente, la primera condición es la más importante.

Por ejemplo: ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.}$

Sumas e integrales

Especificar un límite infinito en una suma o integral es una abreviatura común para especificar un límite.

Una forma breve de escribir el límite es Un ejemplo importante de límites de sumas como éstas son las series . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=s}^{n}f(i)}$ ${\displaystyle \sum _{i=s}^{\infty }f(i).}$

Una forma corta de escribir el límite es ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{a}^{x}f(t)\;dt}$ ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(t)\;dt.}$

Una forma corta de escribir el límite es ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{b}f(t)\;dt}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(t)\;dt.}$

Ver también

• Notación Big O  : describe el comportamiento limitante de una función.
• Regla de L'Hôpital  : regla matemática para evaluar algunos límites
• Lista de límites
• Límite de una secuencia  – Valor al que tiende una secuencia infinita
• Punto límite  : punto de agrupación en un espacio topológicoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Límite superior y límite inferior  – Límites de una secuenciaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Net (matemáticas)  : una generalización de una secuencia de puntos.
• Cálculo no estándar  : aplicación moderna de infinitesimalesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema de compresión  : método para encontrar límites en cálculo
• Límite posterior  : el límite de alguna subsecuencia

Notas

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12. Por ejemplo, límite en la Enciclopedia de Matemáticas
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Referencias

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enlaces externos

• MacTutor Historia de Weierstrass.
• MacTutor Historia de Bolzano
• Cálculo visual por Lawrence S. Husch, Universidad de Tennessee (2001)