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Dominio (análisis matemático)

En análisis matemático , un dominio o región es un conjunto abierto conectado no vacío en un espacio topológico , en particular cualquier subconjunto abierto conectado no vacío del espacio de coordenadas real R n o el espacio de coordenadas complejo C n . Un subconjunto abierto y conectado del espacio de coordenadas se utiliza con frecuencia para el dominio de una función , pero en general, las funciones pueden definirse en conjuntos que no son espacios topológicos.

La idea básica de un subconjunto conectado de un espacio data del siglo XIX, pero las definiciones precisas varían ligeramente de generación en generación, de autor en autor y de edición en edición, a medida que se desarrollaron conceptos y se tradujeron términos entre obras en alemán, francés e inglés. . En inglés, algunos autores usan el término dominio , [1] algunos usan el término región , [2] algunos usan ambos términos indistintamente, [3] y algunos definen los dos términos de manera ligeramente diferente; [4] algunos evitan la ambigüedad apegándose a una frase como subconjunto abierto conectado no vacío . [5]

Convenciones

Una convención común es definir un dominio como un conjunto abierto conexo pero una región como la unión de un dominio sin ninguno, algunos o todos sus puntos límite . [6] Una región cerrada o dominio cerrado es la unión de un dominio y todos sus puntos límite.

Se requieren varios grados de suavidad del límite del dominio para que se mantengan diversas propiedades de funciones definidas en el dominio, como teoremas integrales ( teorema de Green , teorema de Stokes ), propiedades de los espacios de Sobolev y para definir medidas en el límite y los espacios. de trazas (funciones generalizadas definidas en el límite). Los tipos de dominios comúnmente considerados son dominios con límite continuo , límite de Lipschitz , límite C 1 , etc.

Un dominio acotado o región acotada es aquel que es un conjunto acotado , es decir, que tiene una medida finita . Un dominio exterior o dominio externo es el interior del complemento de un dominio acotado.

En análisis complejo , un dominio complejo (o simplemente dominio ) es cualquier subconjunto abierto conexo del plano complejo C. Por ejemplo, todo el plano complejo es un dominio, al igual que el disco unitario abierto , el semiplano superior abierto , etc. A menudo, un dominio complejo sirve como dominio de definición de una función holomorfa . En el estudio de varias variables complejas , la definición de un dominio se amplía para incluir cualquier subconjunto abierto conectado de C n .

En los espacios euclidianos , la extensión de las regiones de una, dos y tres dimensiones se denomina, respectivamente, longitud , área y volumen .

Notas historicas

Definición . Un conjunto abierto es conexo si no puede expresarse como la suma de dos conjuntos abiertos. Un conjunto conexo abierto se llama dominio.

Alemán : Eine offene Punktmenge heißt zusammenhängend, wenn man sie nicht als Summe von zwei offenen Punktmengen darstellen kann. Eine offene zusammenhängende Punktmenge heißt ein Gebiet.

—  Constantin Carathéodory , (Carathéodory 1918, p. 222)

Según Hans Hahn , [7] el concepto de dominio como un conjunto abierto y conectado fue introducido por Constantin Carathéodory en su famoso libro (Carathéodory 1918). En esta definición, Carathéodory considera conjuntos disjuntos obviamente no vacíos . Hahn también señala que la palabra " Gebiet " (" Dominio ") se utilizaba ocasionalmente anteriormente como sinónimo de conjunto abierto . [8] El concepto aproximado es más antiguo. En el siglo XIX y principios del XX, los términos dominio y región se usaban a menudo de manera informal (a veces indistintamente) sin una definición explícita. [9]

Sin embargo, el término "dominio" se utilizó ocasionalmente para identificar conceptos estrechamente relacionados pero ligeramente diferentes. Por ejemplo, en sus influyentes monografías sobre ecuaciones diferenciales parciales elípticas , Carlo Miranda utiliza el término "región" para identificar un conjunto abierto conectado, [10] [11] y reserva el término "dominio" para identificar un conjunto internamente conectado, [12] conjunto perfecto , cada punto del cual es un punto de acumulación de puntos interiores, [10] siguiendo a su antiguo maestro Mauro Picone : [13] según esta convención, si un conjunto A es una región, entonces su cierre A es un dominio. [10]

Ver también

Notas

  1. ^ Por ejemplo (Sveshnikov y Tikhonov 1978, §1.3 págs. 21-22).
  2. ^ Por ejemplo (Churchill 1948, §1.9 págs. 16-17); (Ahlfors 1953, §2.2 p. 58); (Rudin 1974, §10.1 p. 213) reserva el término dominio para el dominio de una función; (Carathéodory 1964, p. 97) utiliza el término región para un conjunto abierto conexo y el término continuo para un conjunto cerrado conexo.
  3. ^ Por ejemplo (Townsend 1915, §10, p. 20); (Carrier, Krook y Pearson 1966, §2.2 p. 32).
  4. ^ Por ejemplo (Churchill 1960, §1.9 p. 17), que no requiere que una región esté conectada o abierta.
  5. ^ Por ejemplo (Dieudonné 1960, §3.19 págs. 64–67) generalmente usa la frase conjunto conexo abierto , pero luego define dominio simplemente conexo (§9.7 p. 215); Tao, Terence (2016). "246A, Notas 2: integración compleja"., también (Bremermann 1956) llamó a la región un conjunto abierto y al dominio un conjunto abierto concatenado.
  6. ^ Por ejemplo (Fuchs y Shabat 1964, §6 págs. 22-23); (Kreyszig 1972, §11.1 p. 469); (Kwok 2002, §1.4, pág. 23.)
  7. ^ Ver (Hahn 1921, p. 85 nota al pie 1).
  8. ^ Hahn (1921, p. 61 nota al pie 3), comentando la definición recién dada de conjunto abierto ("offene Menge"), afirma precisamente: -" Vorher war, für diese Punktmengen die Bezeichnung "Gebiet" in Gebrauch, die wir (§ 5, S. 85) anders verwenden werden. " (Traducción gratuita al inglés:-" Anteriormente, el término "Gebiet" se usaba ocasionalmente para tales conjuntos de puntos, y lo usaremos en (§ 5, p. 85) con un significado diferente. "
  9. ^ Por ejemplo (Forsyth 1893) utiliza el término región de manera informal (por ejemplo, §16, p. 21) junto con la expresión informal parte del plano z , y define el dominio de un punto a para que una función f sea la r más grande -barrio de a en el que f es holomorfa (§32, p. 52). La primera edición del influyente libro de texto (Whittaker 1902) utiliza los términos dominio y región de manera informal y aparentemente intercambiable. En la segunda edición (Whittaker & Watson 1915, §3.21, p. 44) se define una región abierta como el interior de una curva cerrada simple , y una región o dominio cerrado como la región abierta junto con su curva límite. (Goursat 1905, §262, p. 10) define région [región] o aire [área] como una porción conectada del avión. (Townsend 1915, §10, p. 20) define una región o dominio como una porción conectada del plano complejo que consta únicamente de puntos internos.
  10. ^ abc Ver (Miranda 1955, p. 1, 1970, p. 2).
  11. ↑ Precisamente, en la primera edición de su monografía, Miranda (1955, p. 1) utiliza el término italiano " campo ", que significa literalmente "campo" de forma similar a su significado en agricultura : en la segunda edición del libro, Zane C. Motteler traduce apropiadamente este término como "región".
  12. ^ Un conjunto internamente conexo es un conjunto cuyo interior está conexo.
  13. ^ Ver (Picone 1923, pag. 66).

Referencias