En matemáticas , el disco unitario abierto (o disco ) alrededor de P (donde P es un punto dado en el plano ), es el conjunto de puntos cuya distancia a P es menor que 1:
El disco unitario cerrado alrededor de P es el conjunto de puntos cuya distancia a P es menor o igual a uno:
Los discos unitarios son casos especiales de discos y bolas unitarias ; como tales, contienen el interior del círculo unitario y, en el caso del disco unitario cerrado, el propio círculo unitario.
Sin más especificaciones, el término disco unitario se utiliza para el disco unitario abierto sobre el origen ,, con respecto a la métrica euclidiana estándar . Es el interior de una circunferencia de radio 1, centrada en el origen. Este conjunto se puede identificar con el conjunto de todos los números complejos de valor absoluto menor que uno. Cuando se ve como un subconjunto del plano complejo ( C ), a menudo se denomina disco unitario .
La función
es un ejemplo de una función analítica y biyectiva real desde el disco unitario abierto al plano; su función inversa también es analítica. Considerado como una variedad analítica bidimensional real , el disco unitario abierto es, por tanto, isomorfo al plano completo. En particular, el disco unitario abierto es homeomorfo al plano completo.
Sin embargo, no existe un mapa biyectivo conforme entre el disco unitario abierto y el plano. Considerado como superficie de Riemann , el disco unitario abierto es, por tanto, diferente del plano complejo .
Hay mapas biyectivos conformes entre el disco unitario abierto y el semiplano superior abierto . Considerado entonces como una superficie de Riemann, el disco unitario abierto es isomorfo ("biholomórfico" o "conforme equivalente") al semiplano superior, y los dos se usan a menudo indistintamente.
De manera mucho más general, el teorema de mapeo de Riemann establece que cada subconjunto abierto simplemente conexo del plano complejo que es diferente del propio plano complejo admite un mapa conforme y biyectivo al disco unitario abierto.
Un mapa conforme biyectivo desde el disco unitario abierto hasta el semiplano superior abierto es la transformación de Möbius
Geométricamente, uno puede imaginar que el eje real se dobla y se contrae de modo que el semiplano superior se convierte en el interior del disco y el eje real forma la circunferencia del disco, salvo por un punto en la parte superior, el "punto en el infinito". También se puede construir un mapa conforme biyectivo desde el disco unitario abierto hasta el semiplano superior abierto como la composición de dos proyecciones estereográficas : primero, el disco unitario se proyecta estereográficamente hacia arriba sobre la semiesfera superior unitaria, tomando el "polo sur". " de la esfera unitaria como centro de proyección, y luego esta media esfera se proyecta lateralmente sobre un semiplano vertical que toca la esfera, tomando como centro de proyección el punto de la media esfera opuesto al punto de contacto.
El disco unitario y el semiplano superior no son intercambiables como dominios para los espacios de Hardy . A esta diferencia contribuye el hecho de que el círculo unitario tiene una medida de Lebesgue finita (unidimensional), mientras que la línea real no.
El disco unitario abierto forma el conjunto de puntos del modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico. Los arcos circulares perpendiculares al círculo unitario forman las "líneas" en este modelo. El círculo unitario es el absoluto de Cayley que determina una métrica en el disco mediante el uso de una relación cruzada al estilo de la métrica de Cayley-Klein . En el lenguaje de la geometría diferencial, los arcos circulares perpendiculares al círculo unitario son geodésicas que muestran la distancia más corta entre puntos del modelo. El modelo incluye movimientos que se expresan mediante el grupo unitario especial SU(1,1) . El modelo de disco se puede transformar al modelo de semiplano de Poincaré mediante el mapeo g dado anteriormente.
Tanto el disco de Poincaré como el semiplano de Poincaré son modelos conformes del plano hiperbólico, es decir, que los ángulos entre curvas que se cruzan se conservan mediante movimientos de sus grupos de isometría.
Otro modelo de espacio hiperbólico también se construye sobre el disco unitario abierto: el modelo de Beltrami-Klein . No es conforme , pero tiene la propiedad de que las geodésicas son líneas rectas.
También se consideran los discos unitarios con respecto a otras métricas . Por ejemplo, con la métrica del taxi y la métrica de Chebyshev los discos parecen cuadrados (aunque las topologías subyacentes son las mismas que la euclidiana).
El área del disco unitario euclidiano es π y su perímetro es 2π. Por el contrario, el perímetro (relativo a la métrica del taxi) del disco unitario en la geometría del taxi es 8. En 1932, Stanisław Gołąb demostró que en las métricas que surgen de una norma , el perímetro del disco unitario puede tomar cualquier valor entre 6 y 8, y que estos valores extremos se obtienen si y sólo si el disco unitario es un hexágono regular o un paralelogramo , respectivamente.
