En matemáticas , un plano es un espacio bidimensional o superficie plana que se extiende indefinidamente. Un plano es el análogo bidimensional de un punto (dimensiones cero), una línea (una dimensión) y un espacio tridimensional .
Cuando se trabaja exclusivamente en un espacio euclidiano bidimensional , se utiliza el artículo definido, por lo que el plano euclidiano se refiere a todo el espacio.
Muchas tareas fundamentales en matemáticas, geometría , trigonometría , teoría de grafos y gráficas se realizan en un espacio bidimensional o plano . [1]
En matemáticas , un plano euclidiano es un espacio euclidiano de dimensión dos , denotado o . Es un espacio geométrico en el que se requieren dos números reales para determinar la posición de cada punto . Es un espacio afín , que incluye en particular el concepto de rectas paralelas . También tiene propiedades métricas inducidas por la distancia , lo que permite definir círculos y medir ángulos .
Un plano euclidiano con un sistema de coordenadas cartesiano elegido se denomina plano cartesiano .
El conjunto de pares ordenados de números reales (el plano de coordenadas reales ), dotado del producto escalar , suele denominarse plano euclidiano , ya que todo plano euclidiano es isomorfo a él.
En geometría euclidiana , un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende indefinidamente. Los planos euclidianos surgen a menudo como subespacios del espacio tridimensional . Un ejemplo prototípico es el de las paredes de una habitación, infinitamente extendidas y asumidas como infinitamente delgadas.
Si bien un par de números reales son suficientes para describir puntos en un plano, la relación con puntos fuera del plano requiere una consideración especial para su integración en el espacio ambiental .El plano elíptico es el plano proyectivo real provisto de una métrica . Kepler y Desargues utilizaron la proyección gnomónica para relacionar un plano σ con puntos de un hemisferio tangente a él. Con O como centro del hemisferio, un punto P en σ determina una línea OP que cruza el hemisferio, y cualquier línea L ⊂ σ determina un plano OL que corta el hemisferio en la mitad de un círculo máximo . El hemisferio está limitado por un plano que pasa por O y es paralelo a σ. Ninguna línea ordinaria de σ corresponde a este plano; en su lugar, se añade una línea en el infinito a σ . Como cualquier línea en esta extensión de σ corresponde a un plano que pasa por O , y dado que cualquier par de dichos planos se cruza en una línea que pasa por O , se puede concluir que cualquier par de líneas en la extensión se cruzan: el punto de intersección se encuentra donde el plano la intersección se encuentra con σ o la línea en el infinito. De esta manera se confirma el axioma de la geometría proyectiva, que requiere que todos los pares de líneas en un plano se crucen. [2]
Dados P y Q en σ , la distancia elíptica entre ellos es la medida del ángulo POQ , generalmente tomado en radianes. Arthur Cayley inició el estudio de la geometría elíptica cuando escribió "Sobre la definición de distancia". [3] : 82 Esta incursión en la abstracción en geometría fue seguida por Felix Klein y Bernhard Riemann, lo que condujo a la geometría no euclidiana y la geometría riemanniana .
En matemáticas , un plano proyectivo es una estructura geométrica que amplía el concepto de plano . En el plano euclidiano ordinario, normalmente dos líneas se cruzan en un solo punto, pero hay algunos pares de líneas (es decir, líneas paralelas) que no se cruzan. Se puede considerar un plano proyectivo como un plano ordinario equipado con "puntos en el infinito" adicionales donde se cruzan líneas paralelas. Por lo tanto , dos líneas distintas en un plano proyectivo se cruzan exactamente en un punto.
Los artistas del Renacimiento, al desarrollar las técnicas del dibujo en perspectiva , sentaron las bases de este tema matemático. El ejemplo arquetípico es el plano proyectivo real , también conocido como plano euclidiano extendido. [4] Este ejemplo, en formas ligeramente diferentes, es importante en geometría algebraica , topología y geometría proyectiva , donde puede denotarse de diversas formas mediante PG(2, R) , RP 2 o P 2 (R), entre otras notaciones. Existen muchos otros planos proyectivos, tanto infinitos, como el plano proyectivo complejo , como finitos, como el plano de Fano .
Un plano proyectivo es un espacio proyectivo bidimensional . No todos los planos proyectivos pueden integrarse en espacios proyectivos tridimensionales; tal integrabilidad es consecuencia de una propiedad conocida como teorema de Desargues , que no comparten todos los planos proyectivos.Además de su estructura geométrica familiar , con isomorfismos que son isometrías con respecto al producto interno habitual, el plano puede verse en varios otros niveles de abstracción . Cada nivel de abstracción corresponde a una categoría específica .
En un extremo, todos los conceptos geométricos y métricos pueden abandonarse para abandonar el plano topológico , que puede considerarse como una lámina de goma infinita, idealizada , homotópicamente trivial, que conserva una noción de proximidad, pero no tiene distancias. El plano topológico tiene el concepto de trayectoria lineal, pero no el de línea recta. El plano topológico, o su equivalente, el disco abierto, es la vecindad topológica básica utilizada para construir superficies (o 2 variedades) clasificadas en topología de baja dimensión . Los isomorfismos del plano topológico son todos biyecciones continuas . El plano topológico es el contexto natural para la rama de la teoría de grafos que se ocupa de los grafos planos y resultados como el teorema de los cuatro colores .
El plano también puede verse como un espacio afín , cuyos isomorfismos son combinaciones de traslaciones y aplicaciones lineales no singulares. Desde este punto de vista no hay distancias, pero se conservan la colinealidad y las proporciones de distancias en cualquier línea.
La geometría diferencial ve un plano como una variedad real bidimensional , un plano topológico que está provisto de una estructura diferencial . Nuevamente en este caso, no hay noción de distancia, pero ahora existe un concepto de suavidad de los mapas, por ejemplo, un camino diferenciable o suave (dependiendo del tipo de estructura diferencial aplicada). Los isomorfismos en este caso son biyecciones con el grado de diferenciabilidad elegido.
En la dirección opuesta a la abstracción, podemos aplicar una estructura de campo compatible al plano geométrico, dando lugar al plano complejo y al área principal de análisis complejo . El cuerpo complejo tiene sólo dos isomorfismos que dejan fija la línea real, la identidad y la conjugación .
De la misma manera que en el caso real, el plano también puede verse como la variedad compleja unidimensional (sobre los números complejos) más simple , a veces llamada línea compleja. Sin embargo, este punto de vista contrasta marcadamente con el caso del avión como una variedad real bidimensional. Los isomorfismos son todos biyecciones conformes del plano complejo, pero las únicas posibilidades son aplicaciones que corresponden a la composición de una multiplicación por un número complejo y una traslación.
Además, la geometría euclidiana (que tiene curvatura cero en todas partes) no es la única geometría que puede tener el plano. Al avión se le puede dar una geometría esférica utilizando la proyección estereográfica . Se puede pensar en esto como colocar una esfera tangente al plano (como una pelota en el suelo), quitar el punto superior y proyectar la esfera sobre el plano desde este punto. Esta es una de las proyecciones que se pueden utilizar para hacer un mapa plano de parte de la superficie de la Tierra. La geometría resultante tiene una curvatura positiva constante.
Alternativamente, al plano también se le puede dar una métrica que le dé una curvatura negativa constante dando el plano hiperbólico . Esta última posibilidad encuentra una aplicación en la teoría de la relatividad especial en el caso simplificado donde hay dos dimensiones espaciales y una dimensión temporal. (El plano hiperbólico es una hipersuperficie temporal en el espacio tridimensional de Minkowski ).
La compactación en un punto del plano es homeomorfa a una esfera (ver proyección estereográfica ); el disco abierto es homeomorfo a una esfera a la que le falta el "polo norte"; agregar ese punto completa la esfera (compacta). El resultado de esta compactación es una variedad denominada esfera de Riemann o línea proyectiva compleja . La proyección desde el plano euclidiano a una esfera sin punto es un difeomorfismo e incluso una aplicación conforme .
El plano en sí es homeomorfo (y difeomorfo) con respecto a un disco abierto . Para el plano hiperbólico tal difeomorfismo es conforme, pero para el plano euclidiano no lo es.
