Esfera

Una esfera (del griego σφαῖρα , sphaîra ) ^[1] es un objeto geométrico que es un análogo tridimensional de un círculo bidimensional . Formalmente, una esfera es el conjunto de puntos que están todos a la misma distancia $r$ de un punto dado en el espacio tridimensional . ^[2] Ese punto dado es el centro de la esfera y $r$ es el radio de la esfera . Las primeras menciones conocidas de esferas aparecen en el trabajo de los antiguos matemáticos griegos .

La esfera es un objeto fundamental en muchos campos de las matemáticas . También aparecen esferas y formas casi esféricas en la naturaleza y la industria. Las burbujas como las de jabón toman forma esférica en equilibrio. La Tierra a menudo se aproxima a una esfera en geografía , y la esfera celeste es un concepto importante en astronomía . Los artículos manufacturados, incluidos los recipientes a presión y la mayoría de los espejos y lentes curvos, se basan en esferas. Las esferas ruedan suavemente en cualquier dirección, por lo que la mayoría de las pelotas utilizadas en deportes y juguetes son esféricas, al igual que los rodamientos de bolas .

Terminología básica

Como se mencionó anteriormente, $r$ es el radio de la esfera; cualquier línea que vaya desde el centro hasta un punto de la esfera también se llama radio. ^[3]

Si un radio se extiende a través del centro hasta el lado opuesto de la esfera, se crea un diámetro . Al igual que el radio, la longitud de un diámetro también se llama diámetro y se denota por $d$ . Los diámetros son los segmentos de recta más largos que se pueden trazar entre dos puntos de la esfera: su longitud es el doble del radio, $d = 2 r$ . Dos puntos de la esfera conectados por un diámetro son puntos antípodas entre sí. ^[3]

Una esfera unitaria es una esfera con radio unitario ( $r = 1$ ). Por conveniencia, a menudo se considera que las esferas tienen su centro en el origen del sistema de coordenadas , y las esferas en este artículo tienen su centro en el origen a menos que se mencione un centro.

Un círculo máximo en la esfera tiene el mismo centro y radio que la esfera y la divide en dos hemisferios iguales .

Aunque la figura de la Tierra no es perfectamente esférica, es conveniente aplicar a la esfera términos tomados de la geografía. Una línea particular que pasa por su centro define un eje (como en el eje de rotación de la Tierra ). La intersección del eje de la esfera define dos polos antípodas ( polo norte y polo sur ). El círculo máximo que equidista de los polos se llama ecuador . Los grandes círculos que pasan por los polos se llaman líneas de longitud o meridianos . Los círculos pequeños en la esfera que son paralelos al ecuador son círculos de latitud (o paralelos ). En geometría no relacionada con cuerpos astronómicos, la terminología geocéntrica debe usarse sólo con fines ilustrativos y anotarse como tal, a menos que no haya posibilidad de malentendidos. ^[3]

Los matemáticos consideran que una esfera es una superficie cerrada bidimensional incrustada en un espacio euclidiano tridimensional . Hacen una distinción entre una esfera y una bola , que es una variedad tridimensional con un límite que incluye el volumen contenido por la esfera. Una bola abierta excluye la esfera misma, mientras que una bola cerrada incluye la esfera: una bola cerrada es la unión de la bola abierta y la esfera, y una esfera es el límite de una bola (cerrada o abierta). La distinción entre bola y esfera no siempre se ha mantenido y, especialmente, las referencias matemáticas más antiguas hablan de una esfera como un sólido. La distinción entre " círculo " y " disco " en el plano es similar.

Las pequeñas esferas o bolas a veces se denominan esférulas, por ejemplo en las esférulas marcianas .

Ecuaciones

En geometría analítica , una esfera con centro $(x 0, y 0, z 0)$ y radio $r$ es el lugar geométrico de todos los puntos $(x, y, z)$ tales que

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.

Dado que puede expresarse como un polinomio cuadrático, una esfera es una superficie cuádrica , un tipo de superficie algebraica . ^[3]

Sean $a, b, c, d, e$ números reales con $a \neq 0$ y pongamos

x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac { -d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.

Entonces la ecuación

f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0

no tiene puntos reales como soluciones si y se llama ecuación de una esfera imaginaria . Si , la única solución de es el punto y la ecuación se dice que es la ecuación de una esfera puntual . Finalmente, en el caso , es una ecuación de una esfera cuyo centro es y cuyo radio es . ^[2] $\rho <0$ $\rho =0$ $f(x,y,z)=0$ $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ $\rho >0$ $f(x,y,z)=0$ $P_{0}$ ${\sqrt {\rho }}$

Si $a$ en la ecuación anterior es cero, entonces $f (x, y, z) = 0$ es la ecuación de un avión. Por tanto, se puede pensar en un plano como una esfera de radio infinito cuyo centro es un punto en el infinito . ^[4]

Paramétrico

Una ecuación paramétrica para la esfera con radio y centro se puede parametrizar usando funciones trigonométricas . $r>0$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$

{\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \\z&=z_{0}+r\cos \theta \,\end{aligned}}

^[5]

Los símbolos utilizados aquí son los mismos que los utilizados en coordenadas esféricas . $r$ es constante, mientras que $θ$ varía de 0 a $π$ y varía de 0 a 2 $π$ . $\varphi$

Propiedades

Volumen cerrado

En tres dimensiones, el volumen dentro de una esfera (es decir, el volumen de una pelota , pero clásicamente denominado volumen de una esfera) es

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi }{6}}\ d^{3}\approx 0.5236\cdot d^{3}

donde $r$ es el radio y $d$ es el diámetro de la esfera. Arquímedes derivó por primera vez esta fórmula mostrando que el volumen dentro de una esfera es el doble del volumen entre la esfera y el cilindro circunscrito de esa esfera (que tiene la altura y el diámetro iguales al diámetro de la esfera). ^[6] Esto se puede demostrar inscribiendo un cono boca abajo en una semiesfera, observando que el área de una sección transversal del cono más el área de una sección transversal de la esfera es la misma que el área de la sección transversal de el cilindro circunscrito, y aplicando el principio de Cavalieri . ^[7] Esta fórmula también se puede derivar usando cálculo integral , es decir, integración de discos para sumar los volúmenes de un número infinito de discos circulares de espesor infinitamente pequeño apilados uno al lado del otro y centrados a lo largo del eje $x desde$ $x$ $= -$ $r$ hasta $x$ $=$ $r$ , asumiendo que la esfera de radio $r$ está centrada en el origen.

Para la mayoría de los propósitos prácticos, el volumen dentro de una esfera inscrita en un cubo se puede aproximar al 52,4% del volumen del cubo, ya que $V = π / 6 d 3$ , donde $d$ es el diámetro de la esfera y también la longitud de un lado del cubo y $π$ /6 ≈ 0,5236. Por ejemplo, una esfera con un diámetro de 1 m tiene el 52,4% del volumen de un cubo con una longitud de arista de 1 m, o aproximadamente 0,524 m ³ .

Área de superficie

El área de superficie de una esfera de radio $r$ es:

A=4\pi r^{2}.

Arquímedes derivó por primera vez esta fórmula ^[9] del hecho de que la proyección a la superficie lateral de un cilindro circunscrito conserva el área. ^[10] Otro enfoque para obtener la fórmula proviene del hecho de que es igual a la derivada de la fórmula para el volumen con respecto a $r$ porque el volumen total dentro de una esfera de radio $r$ puede considerarse como la suma del área de superficie de un número infinito de capas esféricas de espesor infinitesimal apiladas concéntricamente una dentro de otra desde el radio 0 hasta el radio $r$ . Con un espesor infinitesimal, la discrepancia entre el área de la superficie interior y exterior de cualquier capa dada es infinitesimal, y el volumen elemental en el radio $r$ es simplemente el producto del área de la superficie en el radio $r$ y el espesor infinitesimal.

La esfera tiene el área superficial más pequeña de todas las superficies que encierran un volumen dado y encierra el volumen más grande entre todas las superficies cerradas con un área superficial dada. ^[11] Por lo tanto, la esfera aparece en la naturaleza: por ejemplo, las burbujas y las pequeñas gotas de agua son aproximadamente esféricas porque la tensión superficial minimiza localmente el área de la superficie.

El área de superficie relativa a la masa de una pelota se llama área de superficie específica y se puede expresar a partir de las ecuaciones indicadas anteriormente como

\mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }}

donde $ρ$ es la densidad (la relación entre masa y volumen).

Otras propiedades geométricas

Una esfera se puede construir como la superficie formada al girar un círculo media revolución alrededor de cualquiera de sus diámetros ; esto es muy similar a la definición tradicional de esfera dada en los Elementos de Euclides . Dado que un círculo es un tipo especial de elipse , una esfera es un tipo especial de elipsoide de revolución . Reemplazando el círculo con una elipse rotada alrededor de su eje mayor , la forma se convierte en un esferoide alargado ; girado alrededor del eje menor, un esferoide achatado. ^[12]

Una esfera está determinada únicamente por cuatro puntos que no son coplanares . De manera más general, una esfera está determinada únicamente por cuatro condiciones, como pasar por un punto, ser tangente a un plano, etc. ^[13] Esta propiedad es análoga a la propiedad de que tres puntos no colineales determinen un círculo único en un plano.

En consecuencia, una esfera está determinada únicamente por (es decir, pasa a través de) un círculo y un punto que no está en el plano de ese círculo.

Al examinar las soluciones comunes de las ecuaciones de dos esferas , se puede ver que dos esferas se cruzan en un círculo y el plano que contiene ese círculo se llama plano radical de las esferas que se cruzan. ^[14] Aunque el plano radical es un plano real, el círculo puede ser imaginario (las esferas no tienen ningún punto real en común) o estar formado por un solo punto (las esferas son tangentes en ese punto). ^[15]

El ángulo entre dos esferas en un punto de intersección real es el ángulo diédrico determinado por los planos tangentes a las esferas en ese punto. Dos esferas se cortan formando el mismo ángulo en todos los puntos de su círculo de intersección. ^[16] Se cortan en ángulos rectos (son ortogonales ) si y sólo si el cuadrado de la distancia entre sus centros es igual a la suma de los cuadrados de sus radios. ^[4]

lápiz de esferas

Si $f (x, y, z) = 0$ y $g (x, y, z) = 0$ son las ecuaciones de dos esferas distintas, entonces

sf(x,y,z)+tg(x,y,z)=0

es también la ecuación de una esfera para valores arbitrarios de los parámetros $s$ y $t$ . El conjunto de todas las esferas que satisfacen esta ecuación se llama lápiz de esferas determinado por las dos esferas originales. En esta definición, se permite que una esfera sea un plano (radio infinito, centro en el infinito) y si ambas esferas originales son planas, entonces todas las esferas del lápiz son planas; de lo contrario, solo hay un plano (el plano radical) en la lápiz. ^[4]

Propiedades de la esfera

En su libro Geometría e imaginación , David Hilbert y Stephan Cohn-Vossen describen once propiedades de la esfera y discuten si estas propiedades determinan de forma única la esfera. ^[17] Varias propiedades son válidas para el plano , que puede considerarse como una esfera con radio infinito. Estas propiedades son:

Todos los puntos de la esfera están a la misma distancia de un punto fijo. Además, la relación entre la distancia de sus puntos a dos puntos fijos es constante.
La primera parte es la definición habitual de la esfera y la determina de forma única. La segunda parte se puede deducir fácilmente y sigue un resultado similar al de Apolonio de Perge para el círculo . Esta segunda parte también vale para el avión .
Los contornos y secciones planas de la esfera son círculos.
Esta propiedad define la esfera de forma única.
La esfera tiene ancho y circunferencia constantes.
El ancho de una superficie es la distancia entre pares de planos tangentes paralelos. Muchas otras superficies convexas cerradas tienen un ancho constante, por ejemplo el cuerpo de Meissner . La circunferencia de una superficie es la circunferencia del límite de su proyección ortogonal sobre un plano. Cada una de estas propiedades implica la otra.
Todos los puntos de una esfera son umbilicales .
En cualquier punto de una superficie, una dirección normal es perpendicular a la superficie porque en la esfera estas son las líneas que irradian desde el centro de la esfera. La intersección de un plano que contiene la normal con la superficie formará una curva que se llama sección normal, y la curvatura de esta curva es la curvatura normal . Para la mayoría de los puntos en la mayoría de las superficies, diferentes secciones tendrán diferentes curvaturas; los valores máximo y mínimo de estos se denominan curvaturas principales . Cualquier superficie cerrada tendrá al menos cuatro puntos llamados puntos umbilicales . En un umbilical todas las curvaturas seccionales son iguales; en particular las curvaturas principales son iguales. Los puntos umbilicales pueden considerarse como puntos donde una esfera se aproxima mucho a la superficie.
Para la esfera, las curvaturas de todas las secciones normales son iguales, por lo que cada punto es un umbilical. La esfera y el plano son las únicas superficies con esta propiedad.
La esfera no tiene superficie de centros.
Para una sección normal dada existe un círculo de curvatura que es igual a la curvatura de la sección, es tangente a la superficie y cuyas líneas centrales se encuentran a lo largo de la línea normal. Por ejemplo, los dos centros correspondientes a las curvaturas seccionales máxima y mínima se denominan puntos focales , y el conjunto de todos esos centros forma la superficie focal .
Para la mayoría de las superficies, la superficie focal forma dos láminas, cada una de las cuales es una superficie y se unen en puntos umbilicales. Varios casos son especiales:
* Para superficies de canal , una hoja forma una curva y la otra hoja es una superficie.
* Para conos , cilindros, toros y cíclidos ambas láminas forman curvas.
* Para la esfera, el centro de cada círculo osculador está en el centro de la esfera y la superficie focal forma un solo punto. Esta propiedad es exclusiva de la esfera.
Todas las geodésicas de la esfera son curvas cerradas.
Las geodésicas son curvas en una superficie que dan la distancia más corta entre dos puntos. Son una generalización del concepto de línea recta en el plano. Para la esfera las geodésicas son círculos máximos. Muchas otras superficies comparten esta propiedad.
De todos los sólidos que tienen un volumen determinado, la esfera es la que tiene menor superficie; De todos los sólidos que tienen una superficie determinada, la esfera es la que tiene mayor volumen.
Se deduce de la desigualdad isoperimétrica . Estas propiedades definen la esfera de manera única y se pueden ver en las pompas de jabón : una pompa de jabón encierra un volumen fijo y la tensión superficial minimiza su área de superficie para ese volumen. Por lo tanto, una pompa de jabón que flota libremente se aproxima a una esfera (aunque fuerzas externas como la gravedad distorsionarán ligeramente la forma de la burbuja). También se puede ver en planetas y estrellas donde la gravedad minimiza la superficie de los cuerpos celestes grandes.
La esfera tiene la curvatura media total más pequeña entre todos los sólidos convexos con un área de superficie determinada.
La curvatura media es el promedio de las dos curvaturas principales, que es constante porque las dos curvaturas principales son constantes en todos los puntos de la esfera.
La esfera tiene curvatura media constante.
La esfera es la única superficie incrustada que carece de límites o singularidades con curvatura media positiva constante. Otras superficies sumergidas, como las superficies mínimas, tienen una curvatura media constante.
La esfera tiene una curvatura gaussiana positiva constante.
La curvatura gaussiana es el producto de las dos curvaturas principales. Es una propiedad intrínseca que se puede determinar midiendo longitudes y ángulos y es independiente de cómo está incrustada la superficie en el espacio. Por lo tanto, doblar una superficie no alterará la curvatura gaussiana, y se pueden obtener otras superficies con curvatura gaussiana positiva constante cortando una pequeña hendidura en la esfera y doblándola. Todas estas otras superficies tendrían límites, y la esfera es la única superficie que carece de un límite con curvatura gaussiana positiva y constante. La pseudoesfera es un ejemplo de superficie con curvatura gaussiana negativa constante.
La esfera se transforma en sí misma mediante una familia de movimientos rígidos de tres parámetros.
Al girar alrededor de cualquier eje, una esfera unitaria en el origen asignará la esfera a sí misma. Cualquier rotación alrededor de una línea que pasa por el origen se puede expresar como una combinación de rotaciones alrededor del eje de tres coordenadas (ver Ángulos de Euler ). Por tanto, existe una familia de rotaciones de tres parámetros tal que cada rotación transforma la esfera sobre sí misma; esta familia es el grupo de rotación SO(3) . El plano es la única otra superficie con una familia de transformaciones de tres parámetros (traslaciones a lo largo de los ejes $x$ e $y$ y rotaciones alrededor del origen). Los cilindros circulares son las únicas superficies con familias de movimientos rígidos de dos parámetros y las superficies de revolución y los helicoides son las únicas superficies con una familia de un parámetro.

Tratamiento por área de las matemáticas

Geometría esférica

Los elementos básicos de la geometría plana euclidiana son puntos y líneas . En la esfera, los puntos se definen en el sentido habitual. El análogo de la "línea" es la geodésica , que es un círculo máximo ; La característica definitoria de un círculo máximo es que el plano que contiene todos sus puntos también pasa por el centro de la esfera. Medir por la longitud del arco muestra que el camino más corto entre dos puntos que se encuentran en la esfera es el segmento más corto del círculo máximo que incluye los puntos.

Muchos teoremas de la geometría clásica también son válidos para la geometría esférica, pero no todos lo son porque la esfera no satisface algunos de los postulados de la geometría clásica , incluido el postulado de las paralelas . En trigonometría esférica , los ángulos se definen entre círculos máximos. La trigonometría esférica se diferencia de la trigonometría ordinaria en muchos aspectos. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico siempre supera los 180 grados. Además, dos triángulos esféricos semejantes son congruentes.

Cualquier par de puntos en una esfera que se encuentran en una línea recta que pasa por el centro de la esfera (es decir, el diámetro) se llaman puntos antípodas ; en la esfera, la distancia entre ellos es exactamente la mitad de la longitud de la circunferencia. ^{[nota 2]} Cualquier otro par (es decir, no antípoda) de puntos distintos en una esfera

yacen en un gran círculo único,
segmentarlo en un arco menor (es decir, más corto) y uno mayor (es decir, más largo) , y
Haga que la longitud del arco menor sea la distancia más corta entre ellos en la esfera. ^{[nota 3]}

La geometría esférica es una forma de geometría elíptica , que junto con la geometría hiperbólica conforma la geometría no euclidiana .

Geometría diferencial

La esfera es una superficie lisa con curvatura gaussiana constante en cada punto igual a $1/ r 2$ . ^[9] Según el Teorema Egregium de Gauss , esta curvatura es independiente de la incrustación de la esfera en el espacio tridimensional. También siguiendo a Gauss, una esfera no se puede asignar a un plano manteniendo tanto las áreas como los ángulos. Por tanto, cualquier proyección cartográfica introduce algún tipo de distorsión.

Una esfera de radio $r$ tiene elemento de área . Esto se puede encontrar a partir del elemento de volumen en coordenadas esféricas con $r$ mantenido constante. ^[9] $dA=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi$

Una esfera de cualquier radio con centro en cero es una superficie integral de la siguiente forma diferencial :

x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.

Esta ecuación refleja que el vector de posición y el plano tangente en un punto siempre son ortogonales entre sí. Además, el vector normal que mira hacia afuera es igual al vector de posición escalado en $1/r$ .

En la geometría de Riemann , la conjetura del área de llenado establece que el hemisferio es el relleno isométrico óptimo (de menor área) del círculo de Riemann .

Topología

Sorprendentemente, es posible darle la vuelta a una esfera ordinaria en un espacio tridimensional con posibles autointersecciones pero sin crear ningún pliegue, en un proceso llamado eversión de esfera .

El cociente antípoda de la esfera es la superficie llamada plano proyectivo real , que también puede considerarse como el hemisferio norte con los puntos antípodas del ecuador identificados.

Curvas en una esfera

Intersección coaxial de una esfera y un cilindro: 2 círculos

circulos

Los círculos de la esfera, como los círculos del plano, están formados por todos los puntos que se encuentran a cierta distancia de un punto fijo de la esfera. La intersección de una esfera y un plano es un círculo, un punto o un vacío. ^[18] Los círculos máximos son la intersección de la esfera con un plano que pasa por el centro de una esfera: otros se llaman círculos pequeños.

Superficies más complicadas también pueden cruzar una esfera en círculos: la intersección de una esfera con una superficie de revolución cuyo eje contiene el centro de la esfera (son coaxiales ) consta de círculos y/o puntos si no están vacíos. Por ejemplo, el diagrama de la derecha muestra la intersección de una esfera y un cilindro, que consta de dos círculos. Si el radio del cilindro fuera el de la esfera, la intersección sería un solo círculo. Si el radio del cilindro fuera mayor que el de la esfera, la intersección estaría vacía.

Loxódromo

En navegación , una línea de rumbo o loxódromo es un arco que cruza todos los meridianos de longitud en el mismo ángulo. Los loxódromos son lo mismo que las líneas rectas en la proyección de Mercator . Una línea de rumbo no es una espiral esférica . Excepto en algunos casos simples, la fórmula de una línea de rumbo es complicada.

curvas de clelia

Una curva de Clelia es una curva en una esfera para la cual la longitud y la colatitud satisfacen la ecuación $\varphi$ $\theta$

\varphi =c\;\theta ,\quad c>0

Casos especiales son: la curva de Viviani ( ) y espirales esféricas ( ) como la espiral de Seiffert . Las curvas de Clelia se aproximan a la trayectoria terrestre de los satélites en órbita polar . $c=1$ $c>2$

Cónicas esféricas

El análogo de una sección cónica en la esfera es una cónica esférica , una curva cuártica que se puede definir de varias formas equivalentes, que incluyen:

como la intersección de una esfera con un cono cuadrático cuyo vértice es el centro de la esfera;
como la intersección de una esfera con un cilindro elíptico o hiperbólico cuyo eje pasa por el centro de la esfera;
como el lugar geométrico de puntos cuya suma o diferencia de distancias de círculo máximo desde un par de focos es una constante.

Muchos teoremas relacionados con secciones cónicas planas también se extienden a cónicas esféricas.

Intersección de una esfera con una superficie más general.

Si una esfera es intersectada por otra superficie, puede haber curvas esféricas más complicadas.

Ejemplo: esfera – cilindro

La intersección de la esfera con ecuación y el cilindro con ecuación no es solo uno o dos círculos. Es la solución del sistema de ecuaciones no lineal. $\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\;$ $\;(y-y_{0})^{2}+z^{2}=a^{2},\;y_{0}\neq 0\;$

x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0

(y-y_{0})^{2}+z^{2}-a^{2}=0\ .

(ver curva implícita y el diagrama)

Generalizaciones

Elipsoides

Un elipsoide es una esfera que ha sido estirada o comprimida en una o más direcciones. Más exactamente, es la imagen de una esfera bajo una transformación afín . Un elipsoide tiene la misma relación con la esfera que una elipse con un círculo.

Dimensionalidad

Las esferas se pueden generalizar a espacios de cualquier número de dimensiones . Para cualquier número natural $n$ , una $n$ -esfera, a menudo denotada como $S ‍ n$ , es el conjunto de puntos en el espacio euclidiano ( $n + 1 )-dimensional que están a una distancia fija$ $r$ de un punto central de ese espacio, donde $r$ es , como antes, un número real positivo. En particular:

$S ‍ 0$ : una esfera 0 consta de dos puntos discretos, $- r$ y $r$
$S ‍ 1$ : una 1 esfera es un círculo de radio r
$S ‍ 2$ : una 2 esferas es una esfera ordinaria
$S ‍ 3$ : una 3 esferas es una esfera en un espacio euclidiano de 4 dimensiones.

Las esferas para $n > 2$ a veces se denominan hiperesferas .

La $n$ -esfera de radio unitario centrada en el origen se denota $S ‍ n$ y a menudo se la denomina "la" $n$ -esfera. La esfera ordinaria es biesfera, porque es una superficie bidimensional que está incrustada en un espacio tridimensional.

En topología , la $n$ -esfera es un ejemplo de variedad topológica compacta sin límites . Una esfera topológica no tiene por qué ser uniforme ; si es suave, no es necesario que sea difeomorfo con respecto a la esfera euclidiana (una esfera exótica ).

La esfera es la imagen inversa de un punto puesto bajo la función continua $‖ x ‖$ , por lo que es cerrada; $S n$ también está acotado, por lo que es compacto según el teorema de Heine-Borel .

Espacios métricos

De manera más general, en un espacio métrico $(E, d)$ , la esfera de centro $x$ y radio $r > 0$ es el conjunto de puntos $y$ tales que $d (x, y) = r$ .

Si el centro es un punto distinguido que se considera el origen de $E$ , como en un espacio normado , no se menciona en la definición ni en la notación. Lo mismo se aplica al radio si se toma igual a uno, como en el caso de una esfera unitaria .

A diferencia de una pelota , incluso una esfera grande puede ser un conjunto vacío. Por ejemplo, en $Z n$ con métrica euclidiana , una esfera de radio $r$ no está vacía sólo si $r 2$ puede escribirse como suma de $n$ cuadrados de números enteros .

Un octaedro es una esfera en geometría de taxi , y un cubo es una esfera en geometría usando la distancia de Chebyshev .

Historia

La geometría de la esfera fue estudiada por los griegos. Los Elementos de Euclides define la esfera en el libro XI, analiza varias propiedades de la esfera en el libro XII y muestra cómo inscribir los cinco poliedros regulares dentro de una esfera en el libro XIII. Euclides no incluye el área y el volumen de una esfera, sólo un teorema de que el volumen de una esfera varía como la tercera potencia de su diámetro, probablemente debido a Eudoxo de Cnido . Las fórmulas de volumen y área se determinaron por primera vez en Sobre la esfera y el cilindro de Arquímedes mediante el método de agotamiento . Zenodoro fue el primero en afirmar que, para una superficie determinada, la esfera es el sólido de máximo volumen. ^[3]

Arquímedes escribió sobre el problema de dividir una esfera en segmentos cuyos volúmenes están en una proporción determinada, pero no lo resolvió. Dionisodoro dio una solución mediante la parábola y la hipérbola . ^[19] Un problema similar: construir un segmento igual en volumen a un segmento dado y en superficie a otro segmento, fue resuelto más tarde por al-Quhi . ^[3]

Galería

$Una imagen de una de las esferas más precisas creadas por el hombre, ya que refracta la imagen de Einstein en el fondo. Esta esfera era un giroscopio de cuarzo fundido para el experimento Gravity Probe B, y difiere en forma de una esfera perfecta en no más de 40 átomos (menos de 10 nm) de espesor. El 1 de julio de 2008 se anunció que científicos australianos habían creado aún más esferas casi perfectas, con una precisión de 0,3 nm, como parte de una búsqueda internacional para encontrar un nuevo kilogramo estándar global.[20]$
Una imagen de una de las esferas más precisas creadas por el hombre, ya que refracta la imagen de Einstein en el fondo. Esta esfera era un giroscopio de cuarzo fundido para el experimento Gravity Probe B , y difiere en forma de una esfera perfecta en no más de 40 átomos (menos de 10 nm) de espesor. El 1 de julio de 2008 se anunció que científicos australianos habían creado aún más esferas casi perfectas, con una precisión de 0,3 nm, como parte de una búsqueda internacional para encontrar un nuevo kilogramo estándar global . ^[20]
Baraja de naipes que ilustra instrumentos de ingeniería, Inglaterra, 1702. Rey de espadas : Esferas

Regiones

Ver también

notas y referencias

Notas

^ $r$ se considera una variable en este cálculo.
^ No importa qué dirección se elija, la distancia es el radio de la esfera × π .
^ La distancia entre dos puntos no distintos (es decir, un punto y él mismo) en la esfera es cero.

Referencias

^ σφαῖρα, Henry George Liddell, Robert Scott, Un léxico griego-inglés , sobre Perseo.
^ ab Albert 2016, pag. 54.
^ abcdef Chisholm, Hugh , ed. (1911). "Esfera" . Enciclopedia Británica . vol. 25 (11ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 647–648.
^ abc Woods 1961, pag. 266.
^ Kreyszig (1972, pág. 342).
^ Steinhaus 1969, pag. 223.
^ "El volumen de una esfera - Math Central". mathcentral.uregina.ca . Consultado el 10 de junio de 2019 .
^ ab EJ Borowski; JM Borwein (1989). Diccionario Collins de Matemáticas . Collins. págs.141, 149. ISBN 978-0-00-434347-1.
^ abc Weisstein, Eric W. "Esfera". MundoMatemático .
^ Steinhaus 1969, pag. 221.
^ Osserman, Robert (1978). "La desigualdad isoperimétrica". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 84 (6): 1187. doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14553-4 . Consultado el 14 de diciembre de 2019 .
^ Alberto 2016, pag. 60.
^ Alberto 2016, pag. 55.
^ Alberto 2016, pag. 57.
^ Maderas 1961, pag. 267.
^ Alberto 2016, pag. 58.
^ Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952). "Once propiedades de la esfera". Geometría e imaginación (2ª ed.). Chelsea. págs. 215-231. ISBN 978-0-8284-1087-8.
^ Weisstein, Eric W. "Sección esférica". MundoMatemático .
^ Fried, Michael N. (25 de febrero de 2019). "secciones cónicas". Enciclopedia de clásicos de investigación de Oxford . doi :10.1093/acrefore/9780199381135.013.8161. ISBN 978-0-19-938113-5. Consultado el 4 de noviembre de 2022 . Más significativamente, Vitruvio (Sobre arquitectura, Vitr. 9.8) asoció relojes de sol cónicos con Dionisodoro (principios del siglo II a. C.), y Dionisodoro, según Eutocio de Ascalón (c. 480-540 d. C.), utilizó secciones cónicas para completar una solución para Arquímedes. 'Problema de cortar una esfera por un plano de modo que la proporción de los volúmenes resultantes sea la misma que una proporción dada.
^ Nuevo científico | Tecnología | Se crean los objetos más redondos del mundo.

Otras lecturas

Wikisource tiene el texto del artículo de la Encyclopædia Britannica de 1911 " Esfera ".

Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Geometría analítica de sólidos , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3.
Dunham, William (1997). El universo matemático: un viaje alfabético a través de las grandes pruebas, problemas y personalidades . Nueva York: Wiley. págs.28, 226. Bibcode :1994muaa.book.....D. ISBN 978-0-471-17661-9.
Kreyszig, Erwin (1972), Matemáticas de ingeniería avanzada (3.ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 978-0-471-50728-4.
Steinhaus, H. (1969), Instantáneas matemáticas (tercera edición estadounidense), Oxford University Press.
Woods, Frederick S. (1961) [1922], Geometría superior / Introducción a los métodos avanzados en geometría analítica , Dover.
John C. Polking (15 de abril de 1999). "La Geometría de la Esfera". www.math.csi.cuny.edu . Consultado el 21 de enero de 2022 .

enlaces externos

Mathematica/Distribución esférica uniforme
Área de superficie de prueba de esfera