En matemáticas , una aplicación conforme es una función que preserva localmente los ángulos , pero no necesariamente las longitudes.
Más formalmente, sean y sean subconjuntos abiertos de . Una función se llama conforme (o preservadora de ángulos ) en un punto si preserva los ángulos entre curvas dirigidas a través de , además de preservar la orientación. Los mapas conformes preservan tanto los ángulos como las formas de figuras infinitamente pequeñas, pero no necesariamente su tamaño o curvatura .
La propiedad conforme puede describirse en términos de la matriz derivada jacobiana de una transformación de coordenadas . La transformación es conforme siempre que el jacobiano en cada punto sea un escalar positivo multiplicado por una matriz de rotación ( ortogonal con determinante uno). Algunos autores definen la conformidad para incluir mapeos de inversión de orientación cuyos jacobianos pueden escribirse como cualquier escalar multiplicado por cualquier matriz ortogonal. [1]
Para mapeos en dos dimensiones, los mapeos conformes (que preservan la orientación) son precisamente las funciones analíticas complejas localmente invertibles. En tres dimensiones y superiores, el teorema de Liouville limita drásticamente las aplicaciones conformes a unos pocos tipos.
La noción de conformidad se generaliza de forma natural a aplicaciones entre variedades riemannianas o semi-riemannianas .
Si es un subconjunto abierto del plano complejo , entonces una función es conforme si y sólo si es holomorfa y su derivada es distinta de cero en todas partes . Si es antiholomórfico ( conjugado con una función holomorfa), conserva los ángulos pero invierte su orientación.
En la literatura, existe otra definición de conforme: un mapeo uno a uno y holomórfico en un conjunto abierto en el plano. El teorema de mapeo abierto obliga a que la función inversa (definida en la imagen de ) sea holomorfa. Por tanto, según esta definición, un mapa es conforme si y sólo si es biholomórfico. Las dos definiciones de mapas conformes no son equivalentes. Ser uno a uno y holomorfo implica tener una derivada distinta de cero. De hecho, tenemos la siguiente relación:
dónde . Sin embargo, la función exponencial es una función holomorfa con una derivada distinta de cero, pero no es uno a uno ya que es periódica. [2]
El teorema de mapeo de Riemann , uno de los resultados profundos del análisis complejo , establece que cualquier subconjunto propio abierto simplemente conectado no vacío de admite un mapa biyectivo conforme al disco unitario abierto en . Informalmente, esto significa que cualquier mancha puede transformarse en un círculo perfecto mediante algún mapa conforme.
Un mapa de la esfera de Riemann sobre sí mismo es conforme si y sólo si es una transformación de Möbius .
El conjugado complejo de una transformación de Möbius conserva los ángulos, pero invierte la orientación. Por ejemplo, inversiones de círculos .
En geometría plana hay tres tipos de ángulos que pueden conservarse en un mapa conforme. [3] Cada uno está alojado en su propia álgebra real, números complejos ordinarios , números complejos divididos y números duales . Los mapas conformes se describen mediante transformaciones fraccionarias lineales en cada caso. [4]
En geometría de Riemann , dos métricas de Riemann y en una variedad suave se denominan conformemente equivalentes si se trata de alguna función positiva en . La función se llama factor conforme .
Un difeomorfismo entre dos variedades de Riemann se llama mapa conforme si la métrica retirada es conformemente equivalente a la original. Por ejemplo, la proyección estereográfica de una esfera en el plano aumentado con un punto en el infinito es un mapa conforme.
También se puede definir una estructura conforme en una variedad suave, como una clase de métricas riemannianas conformemente equivalentes .
Un teorema clásico de Joseph Liouville muestra que hay muchos menos mapas conformes en dimensiones superiores que en dos dimensiones. Cualquier mapa conforme de un subconjunto abierto del espacio euclidiano al mismo espacio euclidiano de dimensión tres o mayor puede componerse a partir de tres tipos de transformaciones: una homotecia , una isometría y una transformación conforme especial . Para transformaciones lineales , un mapa conforme sólo puede estar compuesto de homotecia e isometría , y se llama transformación lineal conforme .
Existen aplicaciones del mapeo conforme en ingeniería aeroespacial, [5] en ciencias biomédicas [6] (incluido el mapeo cerebral [7] y el mapeo genético [8] [9] [10] ), en matemáticas aplicadas (para geodésicas [11] y en geometría [12] ), en ciencias de la tierra (incluidas geofísica, [13] geografía, [14] y cartografía), [15] en ingeniería, [16] [17] y en electrónica. [18]
En cartografía , varias proyecciones cartográficas nombradas , incluida la proyección de Mercator y la proyección estereográfica, son conformes. La preservación de las direcciones de la brújula las hace útiles en la navegación marítima.
Los mapeos conformes son invaluables para resolver problemas en ingeniería y física que pueden expresarse en términos de funciones de una variable compleja pero que exhiben geometrías inconvenientes. Al elegir un mapeo apropiado, el analista puede transformar la geometría inconveniente en una mucho más conveniente. Por ejemplo, es posible que desee calcular el campo eléctrico, que surge de una carga puntual ubicada cerca de la esquina de dos planos conductores separados por un cierto ángulo (donde está la coordenada compleja de un punto en el espacio 2). Este problema per se es bastante complicado de resolver en forma cerrada. Sin embargo, al emplear un mapeo conforme muy simple, el ángulo inconveniente se mapea precisamente en radianes, lo que significa que la esquina de dos planos se transforma en una línea recta. En este nuevo dominio, el problema (el de calcular el campo eléctrico generado por una carga puntual situada cerca de una pared conductora) es bastante fácil de resolver. La solución se obtiene en este dominio, y luego se mapea nuevamente al dominio original observando que se obtuvo como una función ( es decir , la composición de y ) de , de donde se puede ver como , que es una función de , el original. base de coordenadas. Tenga en cuenta que esta aplicación no contradice el hecho de que las asignaciones conformes preservan los ángulos, lo hacen solo para puntos en el interior de su dominio y no en el límite. Otro ejemplo es la aplicación de la técnica de mapeo conforme para resolver el problema del valor límite del chapoteo de líquidos en tanques. [19]
Si una función es armónica (es decir, satisface la ecuación de Laplace ) sobre un dominio plano (que es bidimensional) y se transforma mediante un mapa conforme a otro dominio plano, la transformación también es armónica. Por esta razón, cualquier función definida por un potencial puede transformarse mediante un mapa conforme y seguir estando gobernada por un potencial. Ejemplos en física de ecuaciones definidas por un potencial incluyen el campo electromagnético , el campo gravitacional y, en dinámica de fluidos , el flujo potencial , que es una aproximación al flujo de fluido asumiendo densidad constante , viscosidad cero y flujo irrotacional . Un ejemplo de una aplicación dinámica de fluidos de un mapa conforme es la transformada de Joukowsky que se puede utilizar para examinar el campo de flujo alrededor de un perfil aerodinámico de Joukowsky.
Los mapas conformes también son valiosos para resolver ecuaciones diferenciales parciales no lineales en algunas geometrías específicas. Estas soluciones analíticas proporcionan una verificación útil de la precisión de las simulaciones numéricas de la ecuación gobernante. Por ejemplo, en el caso de un flujo de superficie libre muy viscoso alrededor de una pared semiinfinita, el dominio se puede asignar a un semiplano en el que la solución es unidimensional y sencilla de calcular. [20]
Para sistemas discretos, Noury y Yang presentaron una manera de convertir el lugar de las raíces de sistemas discretos en un lugar de raíces continuo a través de un mapeo conforme bien conocido en geometría (también conocido como mapeo de inversión ). [21]
Las ecuaciones de Maxwell se conservan mediante transformaciones de Lorentz que forman un grupo que incluye rotaciones circulares e hiperbólicas . Estos últimos a veces se denominan impulsos de Lorentz para distinguirlos de las rotaciones circulares. Todas estas transformaciones son conformes ya que las rotaciones hiperbólicas conservan el ángulo hiperbólico (llamado rapidez ) y las otras rotaciones conservan el ángulo circular . La introducción de traducciones en el grupo de Poincaré preserva nuevamente los ángulos.
Ebenezer Cunningham (1908) y Harry Bateman (1910) identificaron un grupo más grande de mapas conformes para relacionar soluciones de las ecuaciones de Maxwell . Su formación en la Universidad de Cambridge les había dado facilidades con el método de cargas de imágenes y los métodos asociados de imágenes para esferas e inversión. Según lo relatado por Andrew Warwick (2003) Masters of Theory : [22]
Warwick destaca este "nuevo teorema de la relatividad" como una respuesta de Cambridge a Einstein, y basado en ejercicios que utilizan el método de inversión, como los que se encuentran en el libro de texto de James Hopwood Jeans Teoría matemática de la electricidad y el magnetismo .
En la relatividad general , los mapas conformes son el tipo de transformaciones causales más simples y, por tanto, más comunes. Físicamente, estos describen universos diferentes en los que los mismos eventos e interacciones todavía son (causalmente) posibles, pero se necesita una nueva fuerza adicional para lograrlo (es decir, la replicación de todas las mismas trayectorias requeriría desviaciones del movimiento geodésico porque la métrica tensor es diferente). A menudo se utiliza para intentar crear modelos susceptibles de extensión más allá de las singularidades de curvatura , por ejemplo para permitir la descripción del universo incluso antes del Big Bang .
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