En geometría , un punto en el infinito o punto ideal es un punto límite idealizado al "final" de cada línea.
En el caso de un plano afín (incluido el plano euclidiano ), existe un punto ideal por cada lápiz de rectas paralelas del plano. La unión de estos puntos produce un plano proyectivo , en el que no se puede distinguir ningún punto si "olvidamos" qué puntos se agregaron. Esto es válido para una geometría sobre cualquier campo y, más generalmente, sobre cualquier anillo de división . [1]
En el caso real, un punto en el infinito completa una línea en una curva topológicamente cerrada. En dimensiones superiores, todos los puntos en el infinito forman un subespacio proyectivo de una dimensión menor que el de todo el espacio proyectivo al que pertenecen. También se puede agregar un punto en el infinito a la línea compleja (que puede considerarse como el plano complejo), convirtiéndola así en una superficie cerrada conocida como línea proyectiva compleja, CP 1 , también llamada esfera de Riemann (cuando es compleja). los números se asignan a cada punto).
En el caso de un espacio hiperbólico , cada recta tiene dos puntos ideales distintos . Aquí, el conjunto de puntos ideales toma la forma de una cuádrica .
En un espacio afín o euclidiano de dimensión superior, los puntos en el infinito son los puntos que se suman al espacio para conseguir la finalización proyectiva . [ cita necesaria ] El conjunto de los puntos en el infinito se denomina, según la dimensión del espacio, recta en el infinito , plano en el infinito o hiperplano en el infinito , en todos los casos un espacio proyectivo de una dimensión menos. [2]
Como un espacio proyectivo sobre un campo es una variedad algebraica suave , lo mismo ocurre con el conjunto de puntos en el infinito. De manera similar, si el campo terrestre es el campo real o el complejo, el conjunto de puntos en el infinito es una variedad .
En el dibujo artístico y en la perspectiva técnica, la proyección en el plano pictórico del punto en el infinito de una clase de líneas paralelas se denomina punto de fuga . [3]
En geometría hiperbólica , los puntos en el infinito suelen denominarse puntos ideales . [4] A diferencia de las geometrías euclidiana y elíptica , cada línea tiene dos puntos en el infinito: dada una línea l y un punto P que no está en l , los paralelos limitantes derecho e izquierdo convergen asintóticamente a diferentes puntos en el infinito.
Todos los puntos en el infinito juntos forman el absoluto de Cayley o límite de un plano hiperbólico .
En un plano proyectivo surge una simetría de puntos y rectas: así como un par de puntos determinan una recta, un par de rectas determinan un punto. La existencia de rectas paralelas lleva a establecer un punto en el infinito que representa la intersección de dichas paralelas. Esta simetría axiomática surgió de un estudio de perspectiva gráfica donde surge una proyección paralela como proyección central donde el centro C es un punto en el infinito, o punto figurado . [5] La simetría axiomática de puntos y rectas se llama dualidad .
Aunque un punto en el infinito se considera a la par de cualquier otro punto de un rango proyectivo , en la representación de puntos con coordenadas proyectivas se advierte una distinción: los puntos finitos se representan con un 1 en la coordenada final mientras que un punto en el infinito tiene un 0 allí. La necesidad de representar puntos en el infinito requiere que se necesite una coordenada adicional más allá del espacio de puntos finitos.
Esta construcción se puede generalizar a espacios topológicos . Pueden existir diferentes compactaciones para un espacio dado, pero el espacio topológico arbitrario admite la extensión de Alexandroff , también llamada compactación de un punto cuando el espacio original no es compacto en sí mismo . La línea proyectiva (sobre un campo arbitrario) es la extensión de Alexandroff del campo correspondiente. Así, el círculo es la compactación en un punto de la línea real , y la esfera es la compactación en un punto del plano. Los espacios proyectivos P n para n > 1 no son compactaciones de un punto de espacios afines correspondientes por el motivo mencionado anteriormente en § Geometría afín, y las terminaciones de espacios hiperbólicos con puntos ideales tampoco son compactaciones de un punto.