Teorema de Carathéodory (aplicación conforme)

En matemáticas , el teorema de Carathéodory es un teorema de análisis complejo , llamado así por Constantin Carathéodory , que extiende el teorema de aplicación de Riemann . El teorema, publicado por Carathéodory en 1913, establece que cualquier aplicación conforme que envíe el disco unitario a alguna región en el plano complejo delimitada por una curva de Jordan se extiende continuamente a un homeomorfismo desde el círculo unitario hasta la curva de Jordan. El resultado es uno de los resultados de Carathéodory sobre los extremos primos y el comportamiento en el borde de las funciones holomorfas univalentes.

Demostraciones del teorema de Carathéodory

La primera prueba del teorema de Carathéodory presentada aquí es un resumen de la breve explicación autónoma de Garnett y Marshall (2005, pp. 14-15); hay pruebas relacionadas en Pommerenke (1992) y Krantz (2006).

Teorema de Carathéodory. Si f asigna el disco unitario abierto D de manera conforme a un dominio acotado U en C , entonces f tiene una extensión biunívoca continua al disco unitario cerrado si y solo si ∂U es una curva de Jordan.

Claramente, si f admite una extensión a un homeomorfismo, entonces ∂U debe ser una curva de Jordan.

Por el contrario, si ∂U es una curva de Jordan, el primer paso es demostrar que f se extiende de forma continua hasta el cierre de D. De hecho, esto se cumplirá si y solo si f es uniformemente continua en D : porque esto es cierto si tiene una extensión continua hasta el cierre de D ; y, si f es uniformemente continua, es fácil comprobar que f tiene límites en el círculo unitario y que las mismas desigualdades para la continuidad uniforme se cumplen en el cierre de D.

Supóngase que f no es uniformemente continua. En este caso debe haber un ε > 0 y un punto ζ en el círculo unitario y sucesiones z _n , w _n que tienden a ζ con | f ( z _n ) − f ( w _n )| ≥ 2 ε . Como se muestra a continuación, esto conduce a una contradicción, de modo que f debe ser uniformemente continua y, por lo tanto, tiene una extensión continua hasta la clausura de D .

Para 0 < r < 1, sea γ _r la curva dada por el arco de círculo | z − ζ | = r que se encuentra dentro de D . Entonces f ∘ γ _r es una curva de Jordan. Su longitud se puede estimar utilizando la desigualdad de Cauchy–Schwarz :

${\displaystyle \displaystyle {\ell (f\circ \gamma _{r})=\int _{\gamma _{r}}|f^{\prime }(z)|\,|dz|\leq \left(\int _{\gamma _{r}}\,|dz|\right)^{1/2}\cdot \left(\int _{\gamma _{r}}|f^{\prime }(z)|^{2}\,|dz|\right)^{1/2}\leq (2\pi r)^{1/2}\cdot \left(\int _{\{\theta :|\zeta +re^{i\theta }|<1\}}|f^{\prime }(\zeta +re^{i\theta })|^{2}\,r\,d\theta \right)^{1/2}.}}$

Por lo tanto, existe una "estimación de longitud-área":

${\displaystyle \displaystyle {\int _{0}^{1}\ell (f\circ \gamma _{r})^{2}\,{dr \over r}\leq 2\pi \int _{|z|<1}|f^{\prime }(z)|^{2}\,dx\,dy=2\pi \cdot {\rm {Area}}\,f(D)<\infty .}}$

La finitud de la integral del lado izquierdo implica que existe una secuencia r _n que decrece a 0 y tiende a 0. Pero la longitud de una curva g ( t ) para t en ( a , b ) está dada por ${\displaystyle \ell (f\circ \gamma _{r_{n}})}$

${\displaystyle \displaystyle {\ell (g)=\sup _{a<t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{k}<b}\sum _{i=1}^{k-1}|g(t_{i+1})-g(t_{i})|.}}$

La finitud de implica por tanto que la curva tiene puntos límite a _n , b _n en sus dos extremos con , por lo que esta distancia, así como el diámetro de la curva, tiende a 0. Estos dos puntos límite deben estar en ∂U , porque f es un homeomorfismo entre D y U y por tanto una sucesión que converge en U tiene que ser la imagen bajo f de una sucesión que converge en D . Por suposición existe un homeomorfismo β entre el círculo ∂D y ∂U . Como β ⁻¹ es uniformemente continuo, la distancia entre los dos puntos ξ _n y η _n correspondientes a a _n y b _n en ∂U debe tender a 0. Por tanto, finalmente se define el arco circular más pequeño en ∂D que une ξ _n y η _n . Denotemos τ _n como imagen de este arco bajo β . Por continuidad uniforme de β , el diámetro de τ _n en ∂U tiende a 0. Juntos τ _n y f ∘ γ _{r n} forman una curva de Jordan simple. Su interior U _n está contenido en U por el teorema de la curva de Jordan para ∂U y ∂U _n : para ver esto, note que U es el interior de ∂U , ya que es acotado, conexo y es tanto abierto como cerrado en el complemento de ∂U ; por lo que la región exterior de ∂U es ilimitada, conexa y no interseca a ∂U _n , por lo tanto su clausura está contenida en la clausura del exterior de ∂U _n ; tomando complementos, obtenemos la inclusión deseada. El diámetro de ∂U _n tiende a 0 porque los diámetros de τ _n y f ∘ γ _{r n} tienden a 0. Por lo tanto, el diámetro de U _n tiende a 0. (Para es un conjunto compacto, por lo tanto contiene dos puntos u y v tales que la distancia entre ellos es máxima. Es fácil ver que u ${\displaystyle \ell (f\circ \gamma _{r_{n}})}$ ${\displaystyle |a_{n}-b_{n}|\leq \ell (f\circ \gamma _{r_{n}})}$ ${\displaystyle {\bar {U}}_{n}\times {\bar {U}}_{n}}$ ${\displaystyle {\bar {U}}_{n}}$y v debe estar en ∂U y los diámetros de U y ∂U deben ser iguales .) ${\displaystyle |u-v|}$

Ahora bien, si V _n denota la intersección de D con el disco | z − ζ| < r _n , entonces para todo n suficientemente grande f ( V n ₎ = U _n . En efecto, el arco γ _{r n} divide a D en V _n y región complementaria , por lo que bajo el homeomorfismo conforme f la curva f ∘ γ _{r n} divide a U en y una región complementaria ; U _n es un componente conexo de U \ f ∘ γ _{r n} , ya que es conexo y es tanto abierto como cerrado en este conjunto, por lo tanto es igual a o . El diámetro de no disminuye al aumentar n , ya que implica . Dado que el diámetro de U _n tiende a 0 cuando n tiende a infinito, eventualmente es menor que el diámetro de y entonces necesariamente f ( V _n ) = U _n . ${\displaystyle V_{n}'}$ ${\displaystyle f(V_{n})}$ ${\displaystyle f(V_{n}')}$ ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle f(V_{n})}$ ${\displaystyle f(V_{n}')}$ ${\displaystyle f(V_{n}')}$ ${\displaystyle n<n'}$ ${\displaystyle V_{n}'\subset V_{n'}'}$ ${\displaystyle f(V_{n}')}$

Por lo tanto, el diámetro de f ( V _n ) tiende a 0. Por otra parte, si pasamos a subsucesiones de ( z _n ) y ( w _n ) si es necesario, se puede suponer que z _n y w _n están ambas en V _n . Pero esto da lugar a una contradicción, ya que | f ( z _n ) − f ( w _n )| ≥ ε . Por lo tanto, f debe ser uniformemente continua en U .

Por lo tanto, f se extiende continuamente hasta la clausura de D . Como f ( D ) = U , por compacidad f lleva la clausura de D sobre la clausura de U y, por lo tanto, ∂D sobre ∂U . Si f no es uno-uno, hay puntos u , v en ∂D con u ≠ v y f ( u ) = f ( v ). Sean X e Y las líneas radiales de 0 a u y v . Entonces f ( X ∪ Y ) es una curva de Jordan. Argumentando como antes, su interior V está contenido en U y es un componente conexo de U \ f ( X ∪ Y ) . Por otro lado, D \ ( X ∪ Y ) es la unión disjunta de dos sectores abiertos W ₁ y W ₂ . Por lo tanto, para uno de ellos, W ₁ digamos, f ( W ₁ ) = V . Sea Z la porción de ∂W ₁ en el círculo unitario, de modo que Z es un arco cerrado y f ( Z ) es un subconjunto tanto de ∂U como de la clausura de V . Pero su intersección es un único punto y, por lo tanto, f es constante en Z . Por el principio de reflexión de Schwarz, f puede continuarse analíticamente por reflexión conforme a través del arco circular. Dado que las funciones holomorfas no constantes tienen ceros aislados, esto obliga a f a ser constante, una contradicción. Por lo tanto, f es uno a uno y, por lo tanto, un homeomorfismo en la clausura de D . ^{[1] [2]}

En Carathéodory (1954) y Carathéodory (1998) se describen dos demostraciones diferentes del teorema de Carathéodory. La primera demostración sigue el método original de demostración de Carathéodory de 1913 utilizando propiedades de la medida de Lebesgue en el círculo: la extensión continua de la función inversa g de f a ∂U se justifica por el teorema de Fatou sobre el comportamiento en el borde de funciones armónicas acotadas en el disco unitario. La segunda demostración se basa en el método de Lindelöf (1914), donde se estableció una agudización de la desigualdad del módulo máximo para funciones holomorfas acotadas h definidas en un dominio acotado V : si a se encuentra en V , entonces

| h ( a )| ≤ m ^t ⋅ M ^{1 − t} ,

donde 0 ≤ t ≤ 1, M es el módulo máximo de h para límites secuenciales en ∂U y m es el módulo máximo de h para límites secuenciales en ∂U que se encuentran en un sector centrado en a que subtiende un ángulo 2π t en a . ^[3]

Extensión continua y teorema de Carathéodory-Torhorst

Una extensión del teorema establece que un isomorfismo conforme

${\displaystyle g\colon \mathbb {D} \to U}$,

donde es un subconjunto simplemente conexo de la esfera de Riemann , se extiende continuamente hasta el círculo unitario si y solo si el límite de está localmente conexo . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Este resultado también se atribuye a menudo a Carathéodory, pero fue enunciado y demostrado por primera vez por Marie Torhorst en su tesis de 1918, ^[4] bajo la supervisión de Hans Hahn , utilizando la teoría de los extremos primos de Carathéodory . Más precisamente, Torhorst demostró que la conectividad local es equivalente a que el dominio tenga solo extremos primos del primer tipo. Según la teoría de los extremos primos, la última propiedad, a su vez, es equivalente a tener una extensión continua. ${\displaystyle g}$

Notas

1. Krantz 2006, págs. 116-117
2. Garnett y Marshall 2005, pág. 15
3. Ahlfors 2010, págs. 37-40
4. Torhorst, Marie (1921), "Über den Rand der einfach zusammenhängenden ebenen Gebiete", Mathematische Zeitschrift , 9 (1–2): 44–65, doi :10.1007/BF01378335, S2CID  120418797

Referencias

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• Carathéodory, C. (1913b), "Über die gegenseitige Beziehung der Ränder bei der konformen Abbildung des Inneren einer Jordanschen Kurve auf einen Kreis", Mathematische Annalen , 73 (2), Springer Berlin / Heidelberg: 305–320, doi :10.1007/ BF01456720, ISSN  0025-5831, JFM  44.0757.01, S2CID  117117051
• Carathéodory, C. (1954), Teoría de funciones de una variable compleja, Vol. 2 , traducido por F. Steinhardt, Chelsea
• Carathéodory, C. (1998), Representación conforme (reimpresión de la segunda edición de 1952) , Dover, ISBN 0-486-40028-X
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• Garnett, John B.; Marshall, Donald E. (2005), Medida armónica , Nuevas monografías matemáticas, vol. 2, Cambridge University Press, ISBN 0-521-47018-8
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• Krantz, Steven G. (2006), Teoría de funciones geométricas: exploraciones en análisis complejo , Birkhäuser, ISBN 0-8176-4339-7
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