Análisis complejo

Rama de las matemáticas que estudia funciones de una variable compleja.

El análisis complejo , conocido tradicionalmente como teoría de funciones de una variable compleja , es la rama del análisis matemático que investiga funciones de números complejos . Es útil en muchas ramas de las matemáticas, incluida la geometría algebraica , la teoría de números , la combinatoria analítica y las matemáticas aplicadas , así como en la física , incluidas las ramas de la hidrodinámica , la termodinámica , la mecánica cuántica y la teoría de twistores . Por extensión, el uso de análisis complejos también tiene aplicaciones en campos de la ingeniería como la ingeniería nuclear , aeroespacial , mecánica y eléctrica . ^[1]

Como una función diferenciable de una variable compleja es igual a su serie de Taylor (es decir, es analítica ), el análisis complejo se ocupa particularmente de las funciones analíticas de una variable compleja, es decir, funciones holomorfas . El concepto se puede extender a funciones de varias variables complejas .

Historia

Augustin-Louis Cauchy , uno de los fundadores del análisis complejo

El análisis complejo es una de las ramas clásicas de las matemáticas, con raíces en el siglo XVIII y justo antes. Los matemáticos importantes asociados con los números complejos incluyen a Euler , Gauss , Riemann , Cauchy , Gösta Mittag-Leffler , Weierstrass y muchos más en el siglo XX. El análisis complejo, en particular la teoría de asignaciones conformes , tiene muchas aplicaciones físicas y también se utiliza en toda la teoría analítica de números . En los tiempos modernos, se ha vuelto muy popular gracias al nuevo impulso de la dinámica compleja y las imágenes de fractales producidas por funciones holomorfas iterantes . Otra aplicación importante del análisis complejo es la teoría de cuerdas , que examina los invariantes conformes en la teoría cuántica de campos .

Funciones complejas

Una función exponencial A ⁿ de una variable discreta ( entera ) n , similar a la progresión geométrica

Una función compleja es una función de números complejos a números complejos. En otras palabras, es una función que tiene un subconjunto de los números complejos como dominio y los números complejos como codominio . Generalmente se supone que las funciones complejas tienen un dominio que contiene un subconjunto abierto no vacío del plano complejo .

Para cualquier función compleja, los valores del dominio y sus imágenes en el rango se pueden separar en partes reales e imaginarias : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle z=x+iy\quad {\text{ and }}\quad f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),}$

donde están todos los de valor real. ${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)}$

En otras palabras, una función compleja se puede descomponer en ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \quad }$y ${\displaystyle \quad v:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,}$

es decir, en dos funciones con valores reales ( , ) de dos variables reales ( , ). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

De manera similar, cualquier función f de valores complejos en un conjunto arbitrario X (es isomorfa y, por lo tanto, en ese sentido, es) puede considerarse como un par ordenado de dos funciones de valores reales : (Re f , Im f ) o, alternativamente, como una función con valores vectoriales de X en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Algunas propiedades de funciones con valores complejos (como la continuidad ) no son más que las propiedades correspondientes de funciones con valores vectoriales de dos variables reales. Otros conceptos de análisis complejo, como la diferenciabilidad , son generalizaciones directas de conceptos similares para funciones reales, pero pueden tener propiedades muy diferentes. En particular, toda función compleja diferenciable es analítica (ver la siguiente sección), y dos funciones diferenciables que son iguales en una vecindad de un punto son iguales en la intersección de su dominio (si los dominios están conectados ). Esta última propiedad es la base del principio de continuación analítica que permite extender cada función analítica real de una manera única para obtener una función analítica compleja cuyo dominio es todo el plano complejo con un número finito de arcos de curva eliminados. Muchas funciones complejas básicas y especiales se definen de esta manera, incluida la función exponencial compleja , las funciones logarítmicas complejas y las funciones trigonométricas .

Funciones holomorfas

Las funciones complejas que son diferenciables en cada punto de un subconjunto abierto del plano complejo se dice que son holomorfas . En el contexto de un análisis complejo, la derivada de at se define como ^[2] ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$

Superficialmente, esta definición es formalmente análoga a la de la derivada de una función real. Sin embargo, las derivadas complejas y las funciones diferenciables se comportan de maneras significativamente diferentes en comparación con sus contrapartes reales. En particular, para que exista este límite, el valor del cociente de diferencias debe aproximarse al mismo número complejo, independientemente de la manera en que nos acerquemos en el plano complejo. En consecuencia, la diferenciabilidad compleja tiene implicaciones mucho más fuertes que la diferenciabilidad real. Por ejemplo, las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables , mientras que la existencia de la n -ésima derivada no tiene por qué implicar la existencia de la ( n + 1)ésima derivada para funciones reales. Además, todas las funciones holomorfas satisfacen la condición más fuerte de analiticidad , lo que significa que la función está, en cada punto de su dominio, localmente dada por una serie de potencias convergentes. En esencia, esto significa que las funciones holomorfas en pueden aproximarse arbitrariamente bien mediante polinomios en alguna vecindad de cada punto en . Esto contrasta marcadamente con las funciones reales diferenciables; hay funciones reales infinitamente diferenciables que en ninguna parte son analíticas; ver Función suave no analítica § Una función suave que en ninguna parte es realmente analítica . ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

La mayoría de las funciones elementales, incluidas la función exponencial , las funciones trigonométricas y todas las funciones polinómicas , extendidas apropiadamente a argumentos complejos como funciones , son holomorfas en todo el plano complejo, lo que las convierte en funciones completas , mientras que las funciones racionales , donde p y q son polinomios, son holomorfos en dominios que excluyen puntos donde q es cero. Las funciones que son holomorfas en todas partes excepto en un conjunto de puntos aislados se conocen como funciones meromórficas . Por otro lado, las funciones , y no son holomorfas en ninguna parte del plano complejo, como puede demostrarse por no satisfacer las condiciones de Cauchy-Riemann (ver más abajo) . ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle z\mapsto \Re (z)}$ ${\displaystyle z\mapsto |z|}$ ${\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}$

Una propiedad importante de las funciones holomorfas es la relación entre las derivadas parciales de sus componentes real e imaginario, conocida como condiciones de Cauchy-Riemann . Si , definido por , donde , es holomorfo en una región , entonces para todos , ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$ ${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle z_{0}\in \Omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})=0,\ {\text{where }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\mathrel {:=} {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).}$

En términos de las partes real e imaginaria de la función, u y v , esto es equivalente al par de ecuaciones y , donde los subíndices indican diferenciación parcial. Sin embargo, las condiciones de Cauchy-Riemann no caracterizan funciones holomorfas, sin condiciones de continuidad adicionales (ver teorema de Looman-Menchoff ). ${\displaystyle u_{x}=v_{y}}$ ${\displaystyle u_{y}=-v_{x}}$

Las funciones holomorfas exhiben algunas características notables. Por ejemplo, el teorema de Picard afirma que el rango de una función completa sólo puede tomar tres formas posibles: , o para algunos . En otras palabras, si dos números complejos distintos y no están en el rango de una función completa , entonces es una función constante. Además, una función holomorfa en un conjunto abierto conectado está determinada por su restricción a cualquier subconjunto abierto no vacío. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}}$ ${\displaystyle \{z_{0}\}}$ ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

mapa conforme

Una cuadrícula rectangular (arriba) y su imagen bajo un mapa conforme (abajo). Se ve que asigna pares de líneas que se cruzan a 90° con pares de curvas que aún se cruzan a 90°. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

En matemáticas , una aplicación conforme es una función que preserva localmente los ángulos , pero no necesariamente las longitudes.

Más formalmente, sean y sean subconjuntos abiertos de . Una función se llama conforme (o preservadora de ángulos) en un punto si preserva los ángulos entre curvas dirigidas que pasan por , además de preservar la orientación. Los mapas conformes preservan tanto los ángulos como las formas de figuras infinitamente pequeñas, pero no necesariamente su tamaño o curvatura . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle u_{0}\in U}$ ${\displaystyle u_{0}}$

La propiedad conforme puede describirse en términos de la matriz derivada jacobiana de una transformación de coordenadas . La transformación es conforme siempre que el jacobiano en cada punto sea un escalar positivo multiplicado por una matriz de rotación ( ortogonal con determinante uno). Algunos autores definen la conformidad para incluir mapeos de inversión de orientación cuyos jacobianos pueden escribirse como cualquier escalar multiplicado por cualquier matriz ortogonal. ^[3]

Para mapeos en dos dimensiones, los mapeos conformes (que preservan la orientación) son precisamente las funciones analíticas complejas localmente invertibles. En tres dimensiones y superiores, el teorema de Liouville limita drásticamente las aplicaciones conformes a unos pocos tipos.

La noción de conformidad se generaliza de forma natural a aplicaciones entre variedades riemannianas o semi-riemannianas .

Resultados principales

Gráfico de rueda de colores de la función f ( x ) =( x ² - 1)( x - 2 - yo ) ²/x ² + 2 + 2 yo.
El tono representa el argumento , el brillo la magnitud.

Una de las herramientas centrales en el análisis complejo es la integral de línea . La integral de línea alrededor de un camino cerrado de una función que es holomorfa en todas partes dentro del área delimitada por el camino cerrado es siempre cero, como lo establece el teorema de la integral de Cauchy . Los valores de dicha función holomorfa dentro de un disco se pueden calcular mediante una integral de trayectoria en el límite del disco (como se muestra en la fórmula integral de Cauchy ). Las integrales de trayectoria en el plano complejo se utilizan a menudo para determinar integrales reales complicadas, y aquí se aplica, entre otras, la teoría de los residuos (ver métodos de integración de contornos ). Un "polo" (o singularidad aislada ) de una función es un punto donde el valor de la función se vuelve ilimitado o "explota". Si una función tiene tal polo, entonces se puede calcular el residuo de la función allí, que puede usarse para calcular integrales de ruta que involucran a la función; este es el contenido del poderoso teorema del residuo . El notable comportamiento de las funciones holomorfas cerca de singularidades esenciales se describe mediante el teorema de Picard . Las funciones que tienen sólo polos pero no singularidades esenciales se llaman meromórficas . Las series de Laurent son el equivalente de valores complejos de las series de Taylor , pero pueden usarse para estudiar el comportamiento de funciones cercanas a singularidades a través de sumas infinitas de funciones mejor comprendidas, como los polinomios.

Una función acotada que sea holomorfa en todo el plano complejo debe ser constante; este es el teorema de Liouville . Puede usarse para proporcionar una prueba natural y breve del teorema fundamental del álgebra que establece que el cuerpo de números complejos es algebraicamente cerrado .

Si una función es holomorfa en todo un dominio conectado , entonces sus valores están completamente determinados por sus valores en cualquier subdominio más pequeño. Se dice que la función en el dominio más grande es una continuación analítica de sus valores en el dominio más pequeño. Esto permite ampliar la definición de funciones, como la función zeta de Riemann , que inicialmente se definen en términos de sumas infinitas que convergen solo en dominios limitados a casi todo el plano complejo. A veces, como en el caso del logaritmo natural , es imposible continuar analíticamente una función holomorfa en un dominio no simplemente conexo en el plano complejo, pero es posible extenderla a una función holomorfa en una superficie estrechamente relacionada conocida como Superficie de Riemann .

Todo esto se refiere a análisis complejos en una sola variable. También existe una teoría muy rica del análisis complejo en más de una dimensión compleja en la que las propiedades analíticas, como la expansión de series de potencias, se conservan, mientras que la mayoría de las propiedades geométricas de las funciones holomorfas en una dimensión compleja (como la conformidad ) no se conservan. . El teorema de mapeo de Riemann sobre la relación conforme de ciertos dominios en el plano complejo, que puede ser el resultado más importante en la teoría unidimensional, falla dramáticamente en dimensiones superiores.

Una aplicación importante de ciertos espacios complejos es la mecánica cuántica como funciones de onda .

Ver también

• Geometría compleja
• Análisis hipercomplejo
• Cálculo vectorial
• Lista de temas de análisis complejos
• Teorema de monodromía
• Análisis reales
• Teorema de Riemann-Roch
• teorema de runge

Referencias

1. "Aplicaciones industriales del análisis complejo". Newton puerta de entrada a las matemáticas . 30 de octubre de 2019 . Consultado el 20 de noviembre de 2023 .
2. Rudin, Walter (1987). Análisis Real y Complejo (PDF) . Educación McGraw-Hill. pag. 197.ISBN​ 978-0-07-054234-1.
3. Blair, David (17 de agosto de 2000). Teoría de la inversión y mapeo conforme . La biblioteca de matemáticas para estudiantes. vol. 9. Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense. doi :10.1090/stml/009. ISBN 978-0-8218-2636-2. S2CID  118752074.

Fuentes

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enlaces externos

• Página de análisis complejo MathWorld de Wolfram Research