Argumento (análisis complejo)

Ángulo de un número complejo respecto al eje real

Figura 1. Este diagrama de Argand representa el número complejo que se encuentra en un plano . Para cada punto del plano, arg es la función que devuelve el ángulo . ${\displaystyle \varphi }$

En matemáticas (particularmente en análisis complejo ), el argumento de un número complejo z , denotado arg( z ) , es el ángulo entre el eje real positivo y la línea que une el origen y z , representado como un punto en el plano complejo , como se muestra como en la Figura 1. Por convención, el eje real positivo se dibuja apuntando hacia la derecha, el eje imaginario positivo se dibuja apuntando hacia arriba y se considera que los números complejos con parte real positiva tienen un argumento en sentido antihorario con signo positivo. ${\displaystyle \varphi }$

Cuando se considera cualquier ángulo de valor real, el argumento es una función multivalor que opera en números complejos distintos de cero . El valor principal de esta función es de un solo valor y generalmente se elige como el valor único del argumento que se encuentra dentro del intervalo (− π , π ) . ^{[1] [2]} En este artículo, se denotará la función de múltiples valores. arg( z ) y su valor principal se denominarán Arg( z ) , pero en algunas fuentes se intercambian las mayúsculas de estos símbolos.

Definición

Figura 2. Dos opciones para el argumento ${\displaystyle \varphi }$

Un argumento del número complejo z = x + iy , denotado arg( z ) , se define de dos formas equivalentes:

1. Geométricamente, en el plano complejo , como el ángulo polar 2D desde el eje real positivo al vector que representa z . El valor numérico viene dado por el ángulo en radianes y es positivo si se mide en sentido antihorario. ${\displaystyle \varphi }$
2. Algebraicamente, como cualquier cantidad real tal que ${\displaystyle \varphi }$
   $${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }}$$
   para algún r real positivo (ver fórmula de Euler ). La cantidad r es el módulo (o valor absoluto) de z , denotado | z |:
   $${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$

Los nombres magnitud , para el módulo, y fase , ^{[3] [1]} para el argumento, a veces se usan de manera equivalente.

Bajo ambas definiciones, se puede ver que el argumento de cualquier número complejo distinto de cero tiene muchos valores posibles: en primer lugar, como ángulo geométrico, está claro que las rotaciones de un círculo completo no cambian el punto, por lo que los ángulos que difieren en un múltiplo entero de 2π radianes (un círculo completo) son iguales, como se refleja en la figura 2 de la derecha. De manera similar, a partir de la periodicidad de sen y cos , la segunda definición también tiene esta propiedad. El argumento cero normalmente no se define.

Definición alternativa

El argumento complejo también se puede definir algebraicamente en términos de raíces complejas como:

$${\displaystyle \arg(z)=\lim _{n\to \infty }n\cdot \operatorname {Im} {\sqrt[{n}]{z/|z|}}}$$

la arcotangentepor partesraícesrama principal de la raíz cuadradanormalización ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle \arg(0)}$

Valor principal

Figura 3. El valor principal Arg del punto azul en 1 + i es π/4 . La línea roja aquí es la rama cortada y corresponde a las dos líneas rojas en la figura 4 vistas verticalmente una encima de la otra).

Debido a que una rotación completa alrededor del origen deja un número complejo sin cambios, hay muchas opciones que se pueden tomar rodeando el origen cualquier número de veces. Esto se muestra en la figura 2, una representación de la función multivalor (valor establecido) , donde una línea vertical (no se muestra en la figura) corta la superficie en alturas que representan todas las posibles opciones de ángulo para ese punto. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f(x,y)=\arg(x+iy)}$

Cuando se requiere una función bien definida , entonces la elección habitual, conocida como valor principal , es el valor en el intervalo abierto-cerrado (− π rad, π rad] , es decir, de − π a π radianes , excluyendo − π rad en sí (equiv., de −180 a +180 grados , excluyendo el propio −180°). Esto representa un ángulo de hasta medio círculo completo desde el eje real positivo en cualquier dirección.

Algunos autores definen el rango del valor principal como en el intervalo cerrado-abierto [0, 2 π ) .

Notación

El valor principal a veces tiene la letra inicial en mayúscula, como en Arg z , especialmente cuando también se considera una versión general del argumento. Tenga en cuenta que la notación varía, por lo que arg y Arg pueden intercambiarse en textos diferentes.

El conjunto de todos los valores posibles del argumento se puede escribir en términos de Arg como:

${\displaystyle \arg(z)=\{\operatorname {Arg} (z)+2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \}.}$

Computación desde la parte real e imaginaria

Si un número complejo se conoce en términos de sus partes real e imaginaria, entonces la función que calcula el valor principal Arg se llama función arcotangente de dos argumentos, atan2 :

${\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)}$.

La función atan2 está disponible en las bibliotecas matemáticas de muchos lenguajes de programación, a veces con un nombre diferente, y generalmente devuelve un valor en el rango (−π, π] . ^[1]

En algunas fuentes, el argumento se define como, sin embargo, esto es correcto solo cuando x > 0 , donde está bien definido y el ángulo se encuentra entre y Ampliar esta definición a casos donde x no es positivo es relativamente complicado. Específicamente, se puede definir el valor principal del argumento por separado en el semiplano x > 0 y los dos cuadrantes con x < 0 , y luego unir las definiciones: ${\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\arctan(y/x),}$ ${\displaystyle y/x}$ ${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0,\\[5mu]\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\[5mu]\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\[5mu]+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0,\\[5mu]-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0,\\[5mu]{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}$

Consulte atan2 para obtener más detalles e implementaciones alternativas.

Identidades

Una de las principales motivaciones para definir el valor principal Arg es poder escribir números complejos en forma de módulo-argumento. Por tanto, para cualquier número complejo z ,

${\displaystyle z=\left|z\right|e^{i\operatorname {Arg} z}.}$

Esto sólo es realmente válido si z es distinto de cero, pero puede considerarse válido para z = 0 si Arg(0) se considera como una forma indeterminada , en lugar de indefinida.

A continuación aparecen algunas identidades más. Si z ₁ y z ₂ son dos números complejos distintos de cero, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})&\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }},\\\operatorname {Arg} \left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)&\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }}.\end{aligned}}}$

Si z ≠ 0 y n es cualquier número entero, entonces ^[1]

${\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z^{n}\right)\equiv n\operatorname {Arg} (z){\pmod {\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }}.}$

Ejemplo

${\displaystyle \operatorname {Arg} {\biggl (}{\frac {-1-i}{i}}{\biggr )}=\operatorname {Arg} (-1-i)-\operatorname {Arg} (i)=-{\frac {3\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}=-{\frac {5\pi }{4}}}$

Usando el logaritmo complejo

De , obtenemos , alternativamente . Como estamos tomando la parte imaginaria, cualquier normalización mediante un escalar real no afectará el resultado. Esto es útil cuando se tiene disponible el logaritmo complejo . ${\displaystyle z=|z|e^{i\operatorname {Arg} (z)}}$ ${\displaystyle i\operatorname {Arg} (z)=\ln {\frac {z}{|z|}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Arg} (z)=Im[\ln {\frac {z}{|z|}}]=Im[\ln z]}$

argumento extendido

El argumento extendido de un número z (denotado como ) es el conjunto de todos los números reales congruentes con módulo 2 . ^[4] ${\displaystyle {\overline {\arg }}(z)}$ ${\displaystyle \arg(z)}$ ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle {\overline {\arg }}(z)=\arg(z)+2k\pi ,\forall k\in \mathbb {Z} }$$

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Argumento complejo". mathworld.wolfram.com . Consultado el 31 de agosto de 2020 .
2. "Matemáticas puras". internal.ncl.ac.uk . Consultado el 31 de agosto de 2020 .
3. Diccionario de Matemáticas (2002). fase .
4. "Estructura algebraica de números complejos". www.cut-the-knot.org . Consultado el 29 de agosto de 2021 .

Bibliografía

• Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo: introducción a la teoría de las funciones analíticas de una variable compleja (3ª ed.). Nueva York; Londres: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1.
• Ponnuswamy, S. (2005). Fundamentos del análisis complejo (2ª ed.). Nueva Delhi; Mumbai: Narosa. ISBN 978-81-7319-629-4.
• Beardon, Alan (1979). Análisis complejo: el principio del argumento en análisis y topología . Chichester: Wiley. ISBN 0-471-99671-8.
• Borowski, Efraín; Borwein, Jonathan (2002) [1ª ed. 1989 como Diccionario de Matemáticas ]. Matemáticas . Diccionario Collins (2ª ed.). Glasgow: HarperCollins . ISBN 0-00-710295-X.

enlaces externos

• Argumento en la Enciclopedia de Matemáticas .