Singularidad aislada

No tiene otras singularidades cercanas.

En análisis complejo , una rama de las matemáticas , una singularidad aislada es aquella que no tiene otras singularidades cercanas. En otras palabras, un número complejo z ₀ es una singularidad aislada de una función f si existe un disco abierto D centrado en z ₀ tal que f es holomorfa en D  \ {z ₀ }, es decir, en el conjunto obtenido de D sacando z ₀ .

Formalmente, y dentro del ámbito general de la topología general , una singularidad aislada de una función holomorfa es cualquier punto aislado del límite del dominio . En otras palabras, si es un subconjunto abierto de y es una función holomorfa, entonces es una singularidad aislada de . ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle f:U\setminus \{a\}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$

Cada singularidad de una función meromorfa en un subconjunto abierto está aislada, pero el aislamiento de las singularidades por sí solo no es suficiente para garantizar que una función sea meromorfa. Muchas herramientas importantes de análisis complejo, como las series de Laurent y el teorema del residuo, requieren que se aíslen todas las singularidades relevantes de la función. Existen tres tipos de singularidades aisladas: singularidades removibles , polos y singularidades esenciales . ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$

Ejemplos

• La función tiene 0 como singularidad aislada. ${\displaystyle {\frac {1}{z}}}$
• La función cosecante tiene cada número entero como una singularidad aislada. ${\displaystyle \csc \left(\pi z\right)}$

Singularidades no aisladas

Además de las singularidades aisladas, las funciones complejas de una variable pueden exhibir otro comportamiento singular. Es decir, existen dos tipos de singularidades no aisladas:

• Puntos de cúmulo , es decir, puntos límite de singularidades aisladas: si todos son polos, a pesar de admitir expansiones en serie de Laurent en cada uno de ellos, no es posible tal expansión en su límite.
• Límites naturales , es decir, cualquier conjunto no aislado (por ejemplo, una curva) alrededor del cual las funciones no pueden continuar analíticamente (o fuera de ellos si son curvas cerradas en la esfera de Riemann ).

Ejemplos

El límite natural de esta serie de potencias es el círculo unitario (lea ejemplos).

• La función es meromorfa en , con polos simples en , para cada . Dado que cada disco perforado centrado en tiene un número infinito de singularidades en su interior, no hay expansión de Laurent disponible para alrededor de , que de hecho es un punto de agrupación de sus polos. ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{z}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\textstyle z_{n}=\left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)^{-1}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle z_{n}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{z}}\right)}$ ${\displaystyle 0}$
• La función tiene una singularidad en 0 que no está aislada, ya que hay singularidades adicionales en el recíproco de cada número entero , que se ubican arbitrariamente cerca de 0 (aunque las singularidades en estos recíprocos están aisladas). ${\textstyle \csc \left({\frac {\pi }{z}}\right)}$
• La función definida mediante la serie de Maclaurin converge dentro del disco unitario abierto centrado en y tiene el círculo unitario como límite natural. ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}}$ ${\displaystyle 0}$

enlaces externos

• Ahlfors, L. , Análisis complejo, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979).
• Rudin, W. , Análisis real y complejo, 3 ed. (McGraw-Hill, 1986).
• Weisstein, Eric W. "Singularidad". MundoMatemático .