En análisis complejo (una rama de las matemáticas), un polo es un cierto tipo de singularidad de una función de valor complejo de una variable compleja . Es el tipo más simple de singularidad no removible de tal función (ver singularidad esencial ). Técnicamente, un punto z 0 es un polo de una función f si es un cero de la función 1/ f y 1/ f es holomórfico (es decir, diferenciable complejo ) en alguna vecindad de z 0 .
Una función f es meromorfa en un conjunto abierto U si para cada punto z de U hay una vecindad de z en la que al menos uno de f y 1/ f es holomórfico.
Si f es meromorfa en U , entonces un cero de f es un polo de 1/ f , y un polo de f es un cero de 1/ f . Esto induce una dualidad entre ceros y polos , que es fundamental para el estudio de funciones meromórficas. Por ejemplo, si una función es meromórfica en todo el plano complejo más el punto del infinito , entonces la suma de las multiplicidades de sus polos es igual a la suma de las multiplicidades de sus ceros.
Una función de una variable compleja z es holomorfa en un dominio abierto U si es diferenciable con respecto a z en cada punto de U. De manera equivalente, es holomorfa si es analítica , es decir, si su serie de Taylor existe en cada punto de U y converge a la función en alguna vecindad del punto. Una función es meromorfa en U si cada punto de U tiene una vecindad tal que al menos uno de f y 1/ f es holomorfo en él.
Un cero de una función meromorfa f es un número complejo z tal que f ( z ) = 0 . Un polo de f es un cero de 1/ f .
Si f es una función meromórfica en la vecindad de un punto del plano complejo , entonces existe un número entero n tal que
es holomorfo y distinto de cero en una vecindad de (esto es una consecuencia de la propiedad analítica). Si n > 0 , entonces es un polo de orden (o multiplicidad) n de f . Si n < 0 , entonces es un cero de orden de f . Cero simple y polo simple son términos utilizados para ceros y polos de orden. Grado a veces se utiliza como sinónimo de orden.
Esta caracterización de ceros y polos implica que los ceros y los polos están aislados , es decir, cada cero o polo tiene una vecindad que no contiene ningún otro cero y polo.
Debido a que el orden de ceros y polos se define como un número no negativo n y la simetría entre ellos, a menudo es útil considerar un polo de orden n como un cero de orden – n y un cero de orden n como un polo. de orden – n . En este caso, un punto que no es ni polo ni cero se considera un polo (o cero) de orden 0.
Una función meromórfica puede tener infinitos ceros y polos. Este es el caso de la función gamma (ver la imagen en el cuadro de información), que es meromorfa en todo el plano complejo y tiene un polo simple en cada número entero no positivo. La función zeta de Riemann también es meromórfica en todo el plano complejo, con un solo polo de orden 1 en z = 1 . Sus ceros en el semiplano izquierdo son todos los números enteros pares negativos, y la hipótesis de Riemann es la conjetura de que todos los demás ceros están a lo largo de Re( z ) = 1/2 .
En una vecindad de un punto, una función meromorfa f distinta de cero es la suma de una serie de Laurent con una parte principal finita como máximo (los términos con valores de índice negativos):
donde n es un número entero, y nuevamente, si n > 0 (la suma comienza con , la parte principal tiene n términos), uno tiene un polo de orden n , y si n ≤ 0 (la suma comienza con , no hay número principal parte), uno tiene un cero de orden .
Una función es meromorfa en el infinito si es meromorfa en alguna vecindad del infinito (es decir, fuera de algún disco ), y hay un número entero n tal que
existe y es un número complejo distinto de cero.
En este caso, el punto en el infinito es un polo de orden n si n > 0 , y un cero de orden si n < 0 .
Por ejemplo, un polinomio de grado n tiene un polo de grado n en el infinito.
El plano complejo extendido por un punto en el infinito se llama esfera de Riemann .
Si f es una función meromórfica en toda la esfera de Riemann, entonces tiene un número finito de ceros y polos, y la suma de los órdenes de sus polos es igual a la suma de los órdenes de sus ceros.
Toda función racional es meromorfa en toda la esfera de Riemann y, en este caso, la suma de los órdenes de los ceros o de los polos es el máximo de los grados del numerador y del denominador.
Todos los ejemplos anteriores excepto el tercero son funciones racionales . Para obtener una discusión general sobre los ceros y los polos de tales funciones, consulte Gráfico polo-cero § Sistemas de tiempo continuo .
El concepto de ceros y polos se extiende naturalmente a funciones sobre una curva compleja , es decir, una variedad analítica compleja de dimensión uno (sobre los números complejos). Los ejemplos más simples de tales curvas son el plano complejo y la superficie de Riemann . Esta extensión se realiza transfiriendo estructuras y propiedades a través de gráficos , que son isomorfismos analíticos .
Más precisamente, sea f una función desde una curva compleja M hasta los números complejos. Esta función es holomorfa (resp. meromórfica) en una vecindad de un punto z de M si hay una carta tal que sea holomorfa (resp. meromórfica) en una vecindad de Entonces, z es un polo o un cero de orden n si la lo mismo es cierto para
Si la curva es compacta y la función f es meromórfica en toda la curva, entonces el número de ceros y polos es finito, y la suma de los órdenes de los polos es igual a la suma de los órdenes de los ceros. Este es uno de los hechos básicos que intervienen en el teorema de Riemann-Roch .
