Singularidad removible

Punto indefinido en una función holomorfa que puede hacerse regular

Gráfica de una parábola con una singularidad removible en x = 2

En el análisis complejo , una singularidad removible de una función holomorfa es un punto en el que la función no está definida , pero es posible redefinir la función en ese punto de tal manera que la función resultante sea regular en un entorno de ese punto.

Por ejemplo, la función sinc (no normalizada) , tal como se define por

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {\sin z}{z}}}$

tiene una singularidad en z = 0. Esta singularidad se puede eliminar definiendo cuál es el límite de sinc cuando z tiende a 0. La función resultante es holomorfa. En este caso, el problema se debió a que se le dio a sinc una forma indeterminada . Tomando una expansión en serie de potencias para alrededor del punto singular se muestra que ${\displaystyle {\text{sinc}}(0):=1,}$ ${\textstyle {\frac {\sin(z)}{z}}}$

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {1}{z}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k+1)!}}=1-{\frac {z^{2}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{7!}}+\cdots .}$

Formalmente, si es un subconjunto abierto del plano complejo , un punto de , y es una función holomorfa , entonces se llama singularidad removible para si existe una función holomorfa que coincide con en . Decimos que es holomorfamente extensible sobre si existe tal función . ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g:U\rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\setminus \{a\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g}$

Teorema de Riemann

El teorema de Riemann sobre singularidades removibles es el siguiente:

Teorema  —  Sea un subconjunto abierto del plano complejo, un punto de y una función holomorfa definida en el conjunto . Las siguientes son equivalentes: ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a\in D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D\setminus \{a\}}$

1. ${\displaystyle f}$es holomorfamente extensible sobre . ${\displaystyle a}$
2. ${\displaystyle f}$es continuamente extensible sobre . ${\displaystyle a}$
3. Existe un vecindario de en el cual está delimitado . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$
4. ${\displaystyle \lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0}$.

Las implicaciones 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 son triviales. Para demostrar 4 ⇒ 1, primero recordamos que la holomorfía de una función en es equivalente a que sea analítica en ( prueba ), es decir, que tenga una representación en serie de potencias. Definir ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\end{cases}}}$

Claramente, h es holomorfo en , y existe ${\displaystyle D\setminus \{a\}}$

${\displaystyle h'(a)=\lim _{z\to a}{\frac {(z-a)^{2}f(z)-0}{z-a}}=\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0}$

por 4, por lo tanto h es holomorfo en D y tiene una serie de Taylor sobre a :

${\displaystyle h(z)=c_{0}+c_{1}(z-a)+c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.}$

Tenemos c ₀ = h ( a ) = 0 y c ₁ = h ' ( a ) = 0; por lo tanto

${\displaystyle h(z)=c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.}$

Por lo tanto, donde , tenemos: ${\displaystyle z\neq a}$

${\displaystyle f(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.}$

Sin embargo,

${\displaystyle g(z)=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.}$

es holomórfico en D , por lo tanto una extensión de . ${\displaystyle f}$

Otros tipos de singularidades

A diferencia de las funciones de una variable real, las funciones holomorfas son lo suficientemente rígidas como para que sus singularidades aisladas puedan clasificarse por completo. La singularidad de una función holomorfa no es realmente una singularidad en absoluto, es decir, una singularidad removible, o es de uno de los dos tipos siguientes:

1. A la luz del teorema de Riemann, dada una singularidad no removible, uno podría preguntarse si existe un número natural tal que . Si es así, se llama polo de y el más pequeño de ellos es del orden de . Por lo tanto, las singularidades removibles son precisamente los polos de orden 0. Una función holomorfa explota uniformemente cerca de sus otros polos. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}(z-a)^{m+1}f(z)=0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a}$
2. Si una singularidad aislada de no es ni removible ni un polo, se denomina singularidad esencial . El Gran Teorema de Picard muestra que tal singularidad asigna cada vecindad abierta perforada a todo el plano complejo, con la posible excepción de, como máximo, un punto. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\setminus \{a\}}$

Véase también

• Capacidad analítica
• Discontinuidad removible

Enlaces externos

• Punto singular removible en Enciclopedia de Matemáticas