Georg Friedrich Bernhard Riemann ( alemán: [ˈɡeːɔʁk ˈfʁiːdʁɪç ˈbɛʁnhaʁt ˈʁiːman] ;[1][2]17 de septiembre de 1826 - 20 de julio de 1866) fue unmatemáticoque realizó profundas contribuciones alanálisis,la teoría de númerosyla geometría diferencial. En el campo delanálisis real, es conocido principalmente por la primera formulación rigurosa de la integral, laintegral de Riemann, y su trabajo sobrelas series de Fourier. Sus contribuciones alanálisis complejoincluyen, sobre todo, la introducción delas superficies de Riemann, abriendo nuevos caminos en un tratamiento geométrico natural del análisis complejo. Suartículo de 1859sobre lafunción de conteo de primos, que contiene el enunciado original de lahipótesis de Riemann, se considera un artículo fundacional deteoría analítica de números. A través de suscontribuciones pioneras a la geometría diferencial, Riemann sentó las bases de las matemáticas dela relatividad general.[3]Muchos lo consideran uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos.[4][5]
Riemann nació el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz , un pueblo cerca de Dannenberg en el Reino de Hannover . Su padre, Friedrich Bernhard Riemann, era un pastor luterano pobre de Breselenz que luchó en las guerras napoleónicas . Su madre, Charlotte Ebell, murió en 1846. Riemann fue el segundo de seis hijos, tímido y sufría numerosas crisis nerviosas. Riemann exhibió un talento matemático excepcional, como habilidades de cálculo, desde una edad temprana, pero sufría de timidez y miedo a hablar en público.
En 1840, Riemann se trasladó a Hannover para vivir con su abuela y asistir al liceo (años de escuela secundaria), ya que un tipo de escuela así no era accesible desde su pueblo natal. Tras la muerte de su abuela en 1842, se trasladó al Johanneum Lüneburg, un instituto de Lüneburg . Allí, Riemann estudió la Biblia intensivamente, pero a menudo se distraía con las matemáticas. Sus profesores se asombraban por su capacidad para realizar operaciones matemáticas complicadas, en las que a menudo superaba los conocimientos de su instructor. En 1846, a la edad de 19 años, comenzó a estudiar filología y teología cristiana para convertirse en pastor y ayudar con las finanzas de su familia.
Durante la primavera de 1846, su padre, después de reunir suficiente dinero, envió a Riemann a la Universidad de Gotinga , donde planeaba estudiar para obtener un título en teología . Sin embargo, una vez allí, comenzó a estudiar matemáticas con Carl Friedrich Gauss (específicamente sus conferencias sobre el método de mínimos cuadrados ). Gauss recomendó que Riemann abandonara su trabajo teológico y entrara en el campo matemático; después de obtener la aprobación de su padre, Riemann se trasladó a la Universidad de Berlín en 1847. [6] Durante su tiempo de estudio, Carl Gustav Jacob Jacobi , Peter Gustav Lejeune Dirichlet , Jakob Steiner y Gotthold Eisenstein enseñaban. Permaneció en Berlín durante dos años y regresó a Gotinga en 1849.
Riemann dio sus primeras conferencias en 1854, que fundaron el campo de la geometría de Riemann y, por lo tanto, sentaron las bases para la teoría general de la relatividad de Albert Einstein . [7] En 1857, hubo un intento de promover a Riemann al estatus de profesor extraordinario en la Universidad de Göttingen . Aunque este intento fracasó, resultó en que Riemann finalmente recibiera un salario regular. En 1859, tras la muerte de Dirichlet (que ocupaba la cátedra de Gauss en la Universidad de Göttingen), fue ascendido a director del departamento de matemáticas de la Universidad de Göttingen. También fue el primero en sugerir el uso de dimensiones superiores a solo tres o cuatro para describir la realidad física. [8] [7]
En 1862 se casó con Elise Koch; su hija Ida Schilling nació el 22 de diciembre de 1862. [9]
Riemann huyó de Gotinga cuando los ejércitos de Hannover y Prusia se enfrentaron allí en 1866. [10] Murió de tuberculosis durante su tercer viaje a Italia en Selasca (ahora una aldea de Verbania en el lago Maggiore ), donde fue enterrado en el cementerio de Biganzolo (Verbania).
Riemann era un cristiano consagrado, hijo de un ministro protestante, y consideraba que su vida como matemático era otra forma de servir a Dios. Durante su vida, se mantuvo fiel a su fe cristiana y la consideró el aspecto más importante de su vida. En el momento de su muerte, estaba recitando el Padrenuestro con su esposa y murió antes de que terminaran de decir la oración. [11] Mientras tanto, en Gotinga, su ama de llaves desechó algunos de los papeles de su oficina, incluidos muchos trabajos inéditos. Riemann se negó a publicar trabajos incompletos, y es posible que se hayan perdido algunas ideas profundas. [10]
La lápida de Riemann en Biganzolo (Italia) hace referencia a Romanos 8:28: [12]
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Profesor en Göttingen
Nacido en Breselenz el 17 de septiembre de 1826
Fallecido en Selasca el 20 de julio de 1866
Las obras publicadas de Riemann abrieron áreas de investigación que combinaban el análisis con la geometría. Estas posteriormente se convertirían en partes importantes de las teorías de la geometría de Riemann , la geometría algebraica y la teoría de variedades complejas . La teoría de las superficies de Riemann fue elaborada por Felix Klein y, en particular, Adolf Hurwitz . Esta área de las matemáticas es parte de la base de la topología y todavía se aplica de formas novedosas a la física matemática .
En 1853, Gauss le pidió a Riemann, su alumno, que preparara un Habilitationsschrift sobre los fundamentos de la geometría. Durante muchos meses, Riemann desarrolló su teoría de dimensiones superiores y pronunció su conferencia en Gotinga el 10 de junio de 1854, titulada Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen . [13] [14] [15] No fue publicada hasta doce años después, en 1868, por Dedekind, dos años después de su muerte. Su recepción inicial parece haber sido lenta, pero ahora se reconoce como una de las obras más importantes en geometría.
El tema fundado por este trabajo es la geometría de Riemann . Riemann encontró la forma correcta de extender a n dimensiones la geometría diferencial de superficies, que el propio Gauss demostró en su teorema egregium . Los objetos fundamentales se denominan métrica de Riemann y tensor de curvatura de Riemann . Para el caso de la superficie (bidimensional), la curvatura en cada punto puede reducirse a un número (escalar), siendo las superficies de curvatura positiva o negativa constante modelos de las geometrías no euclidianas .
La métrica de Riemann es una colección de números en cada punto del espacio (es decir, un tensor ) que permite medir la velocidad en cualquier trayectoria, cuya integral da la distancia entre los puntos finales de la trayectoria. Por ejemplo, Riemann descubrió que en cuatro dimensiones espaciales, se necesitan diez números en cada punto para describir distancias y curvaturas en una variedad , sin importar cuán distorsionada esté.
En su disertación, estableció una base geométrica para el análisis complejo a través de superficies de Riemann , a través de las cuales las funciones multivaluadas como el logaritmo (con infinitas láminas) o la raíz cuadrada (con dos láminas) podrían convertirse en funciones uno a uno . Las funciones complejas son funciones armónicas [ cita requerida ] (es decir, satisfacen la ecuación de Laplace y, por lo tanto, las ecuaciones de Cauchy-Riemann ) en estas superficies y se describen por la ubicación de sus singularidades y la topología de las superficies. El "género" topológico de las superficies de Riemann está dado por , donde la superficie tiene hojas que se unen en puntos de ramificación. Para la superficie de Riemann tiene parámetros (los " módulos ").
Sus contribuciones a este campo son numerosas. El famoso teorema de aplicación de Riemann dice que un dominio simplemente conexo en el plano complejo es "biholomórficamente equivalente" (es decir, hay una biyección entre ellos que es holomorfa con una inversa holomorfa) a cualquiera de los dos o al interior del círculo unitario. La generalización del teorema a las superficies de Riemann es el famoso teorema de uniformización , que fue demostrado en el siglo XIX por Henri Poincaré y Felix Klein . Aquí, también, las primeras demostraciones rigurosas se dieron después del desarrollo de herramientas matemáticas más ricas (en este caso, la topología). Para la demostración de la existencia de funciones en las superficies de Riemann, utilizó una condición de minimalidad, a la que llamó principio de Dirichlet . Karl Weierstrass encontró una laguna en la demostración: Riemann no se había dado cuenta de que su hipótesis de trabajo (que existía el mínimo) podría no funcionar; el espacio de funciones podría no estar completo y, por lo tanto, la existencia de un mínimo no estaba garantizada. El principio de Dirichlet se estableció finalmente gracias al trabajo de David Hilbert en el Cálculo de variaciones. Por lo demás, Weierstrass quedó muy impresionado por Riemann, especialmente por su teoría de las funciones abelianas . Cuando apareció el trabajo de Riemann, Weierstrass retiró su artículo del Crelle's Journal y no lo publicó. Cuando Riemann lo visitó en Berlín en 1859, ambos se entendieron bien. Weierstrass animó a su alumno Hermann Amandus Schwarz a encontrar alternativas al principio de Dirichlet en el análisis complejo, algo en lo que tuvo éxito. Una anécdota de Arnold Sommerfeld [16] muestra las dificultades que tenían los matemáticos contemporáneos con las nuevas ideas de Riemann. En 1870, Weierstrass se había llevado la tesis de Riemann de vacaciones a Rigi y se quejó de que era difícil de entender. El físico Hermann von Helmholtz lo ayudó en el trabajo durante la noche y regresó con el comentario de que era "natural" y "muy comprensible".
Otros puntos destacados incluyen su trabajo sobre funciones abelianas y funciones theta en superficies de Riemann. Riemann había estado en una competencia con Weierstrass desde 1857 para resolver los problemas inversos jacobianos para integrales abelianas, una generalización de las integrales elípticas . Riemann utilizó funciones theta en varias variables y redujo el problema a la determinación de los ceros de estas funciones theta. Riemann también investigó matrices de período y las caracterizó a través de las "relaciones de período de Riemann" (simétricas, parte real negativa). Por Ferdinand Georg Frobenius y Solomon Lefschetz la validez de esta relación es equivalente a la incrustación de (donde es la red de la matriz de período) en un espacio proyectivo por medio de funciones theta. Para ciertos valores de , esta es la variedad jacobiana de la superficie de Riemann, un ejemplo de una variedad abeliana.
Muchos matemáticos, como Alfred Clebsch, continuaron el trabajo de Riemann sobre las curvas algebraicas. Estas teorías dependían de las propiedades de una función definida en superficies de Riemann. Por ejemplo, el teorema de Riemann-Roch (Roch fue alumno de Riemann) dice algo sobre el número de diferenciales linealmente independientes (con condiciones conocidas en los ceros y polos) de una superficie de Riemann.
Según Detlef Laugwitz , [17] las funciones automorfas aparecieron por primera vez en un ensayo sobre la ecuación de Laplace en cilindros cargados eléctricamente. Sin embargo, Riemann utilizó dichas funciones para aplicaciones conformes (como la aplicación de triángulos topológicos al círculo) en su conferencia de 1859 sobre funciones hipergeométricas o en su tratado sobre superficies mínimas .
En el campo del análisis real , descubrió la integral de Riemann en su habilitación . Entre otras cosas, demostró que toda función continua por partes es integrable. De manera similar, la integral de Stieltjes se remonta al matemático de Göttinger, por lo que se las denomina en conjunto integral de Riemann-Stieltjes .
En su trabajo de habilitación sobre las series de Fourier , donde siguió el trabajo de su maestro Dirichlet, demostró que las funciones integrables de Riemann son "representables" mediante series de Fourier. Dirichlet ha demostrado esto para funciones continuas, diferenciables por partes (es decir, con un número contable de puntos no diferenciables). Riemann dio un ejemplo de una serie de Fourier que representa una función continua, casi no diferenciable en ninguna parte, un caso no cubierto por Dirichlet. También demostró el lema de Riemann-Lebesgue : si una función es representable mediante una serie de Fourier, entonces los coeficientes de Fourier tienden a cero para n grande .
El ensayo de Riemann también fue el punto de partida del trabajo de Georg Cantor con las series de Fourier, que fue el impulso para la teoría de conjuntos .
En 1857 también trabajó con ecuaciones diferenciales hipergeométricas empleando métodos analíticos complejos y presentó las soluciones a través del comportamiento de trayectorias cerradas en torno a singularidades (descritas por la matriz de monodromía ). La prueba de la existencia de tales ecuaciones diferenciales mediante matrices de monodromía previamente conocidas es uno de los problemas de Hilbert.
Riemann realizó algunas contribuciones famosas a la teoría analítica de números moderna . En un solo artículo breve , el único que publicó sobre el tema de la teoría de números, investigó la función zeta que ahora lleva su nombre, estableciendo su importancia para comprender la distribución de los números primos . La hipótesis de Riemann fue una de una serie de conjeturas que hizo sobre las propiedades de la función.
En la obra de Riemann hay muchos más desarrollos interesantes. Demostró la ecuación funcional de la función zeta (ya conocida por Leonhard Euler ), detrás de la cual se encuentra una función theta. Mediante la suma de esta función de aproximación sobre los ceros no triviales en la línea con la parte real 1/2, dio una "fórmula explícita" exacta para .
Riemann conocía el trabajo de Pafnuty Chebyshev sobre el teorema de los números primos . Había visitado a Dirichlet en 1852.
Las obras de Riemann incluyen:
