Tensor

Objeto algebraico con aplicaciones geométricas.

El tensor de tensión de Cauchy de segundo orden describe la tensión experimentada por un material en un punto determinado. Para cualquier vector unitario , el producto es un vector, denotado , que cuantifica la fuerza por área a lo largo del plano perpendicular a . Esta imagen muestra, para las caras del cubo perpendiculares a , los vectores de tensión correspondientes a lo largo de esas caras. Debido a que el tensor de tensión toma un vector como entrada y da un vector como salida, es un tensor de segundo orden. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} \cdot \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {e} _{1}),\mathbf {T} (\mathbf {e} _{2}),\mathbf {T} (\mathbf {e} _{3})}$

En matemáticas , un tensor es un objeto algebraico que describe una relación multilineal entre conjuntos de objetos algebraicos relacionados con un espacio vectorial . Los tensores pueden asignarse entre diferentes objetos, como vectores , escalares e incluso otros tensores. Existen muchos tipos de tensores, incluidos escalares y vectores (que son los tensores más simples), vectores duales , mapas multilineales entre espacios vectoriales e incluso algunas operaciones como el producto escalar . Los tensores se definen independientemente de cualquier base , aunque a menudo se hace referencia a ellos por sus componentes en una base relacionada con un sistema de coordenadas particular; esos componentes forman una matriz, que puede considerarse como una matriz de alta dimensión .

Los tensores han adquirido importancia en física porque proporcionan un marco matemático conciso para formular y resolver problemas físicos en áreas como la mecánica ( tensión , elasticidad , mecánica cuántica , mecánica de fluidos , momento de inercia ,...), electrodinámica ( tensor electromagnético , Maxwell tensor , permitividad , susceptibilidad magnética ,...), relatividad general ( tensor de tensión-energía , tensor de curvatura ,...), y otros. En las aplicaciones, es común estudiar situaciones en las que puede ocurrir un tensor diferente en cada punto de un objeto; por ejemplo, la tensión dentro de un objeto puede variar de un lugar a otro. Esto lleva al concepto de campo tensorial . En algunas áreas, los campos tensoriales son tan ubicuos que a menudo se les llama simplemente "tensores".

Tullio Levi-Civita y Gregorio Ricci-Curbastro popularizaron los tensores en 1900 (continuando el trabajo anterior de Bernhard Riemann , Elwin Bruno Christoffel y otros) como parte del cálculo diferencial absoluto . El concepto permitió una formulación alternativa de la geometría diferencial intrínseca de una variedad en la forma del tensor de curvatura de Riemann . ^[1]

Definición

Aunque aparentemente diferentes, los diversos enfoques para definir tensores describen el mismo concepto geométrico utilizando un lenguaje diferente y en diferentes niveles de abstracción.

Como matrices multidimensionales

Un tensor se puede representar como una matriz (potencialmente multidimensional). Así como un vector en un espacio de n dimensiones está representado por una matriz unidimensional con n componentes con respecto a una base dada , cualquier tensor con respecto a una base está representado por una matriz multidimensional. Por ejemplo, un operador lineal se representa en una base como una matriz cuadrada bidimensional n × n . Los números de la matriz multidimensional se conocen como componentes del tensor. Se indican mediante índices que dan su posición en la matriz, como subíndices y superíndices , después del nombre simbólico del tensor. Por ejemplo, los componentes de un tensor T de orden 2 podrían denotarse _{por Tij} ,  donde i y j son índices que van de 1 a n , o también por T. ^yo
_j. El hecho de que un índice se muestre como superíndice o subíndice depende de las propiedades de transformación del tensor, que se describen a continuación. _{Así ,} mientras Tij y T ^yo
_jAmbos pueden expresarse como matrices n por n y están relacionados numéricamente mediante malabarismos con índices , la diferencia en sus leyes de transformación indica que sería inadecuado sumarlos.

El número total de índices ( m ) necesarios para identificar cada componente de forma única es igual a la dimensión o el número de formas de una matriz, razón por la cual a veces se hace referencia a una matriz como matriz de m dimensiones o matriz de m vías. El número total de índices también se denomina orden , grado o rango de un tensor, ^{[2] [3] [4]} aunque el término "rango" generalmente tiene otro significado en el contexto de matrices y tensores.

Así como las componentes de un vector cambian cuando cambiamos la base del espacio vectorial, las componentes de un tensor también cambian bajo dicha transformación. Cada tipo de tensor viene equipado con una ley de transformación que detalla cómo responden los componentes del tensor a un cambio de base . Los componentes de un vector pueden responder de dos maneras distintas a un cambio de base (ver Covarianza y contravarianza de vectores ), donde los nuevos vectores de base se expresan en términos de los antiguos vectores de base como, ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}=\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}.}$

Aquí R ^j _i son las entradas de la matriz de cambio de base, y en la expresión más a la derecha se suprimió el signo de suma : esta es la convención de suma de Einstein , que se utilizará a lo largo de este artículo. ^{[Nota 1]} Los componentes vi ^de un vector columna v se transforman con la inversa de la matriz R ,

${\displaystyle {\hat {v}}^{i}=\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}v^{j},}$

donde el sombrero indica los componentes de la nueva base. A esto se le llama ley de transformación contravariante , porque los componentes del vector se transforman por la inversa del cambio de base. Por el contrario, los componentes, wi _, de un covector (o vector de fila), w , se transforman con la propia matriz R ,

${\displaystyle {\hat {w}}_{i}=w_{j}R_{i}^{j}.}$

Esto se llama ley de transformación covariante , porque los componentes del covector se transforman mediante la misma matriz que la matriz de cambio de base. Los componentes de un tensor más general se transforman mediante alguna combinación de transformaciones covariantes y contravariantes, con una ley de transformación para cada índice. Si la matriz de transformación de un índice es la matriz inversa de la transformación de base, entonces el índice se llama contravariante y convencionalmente se denota con un índice superior (superíndice). Si la matriz de transformación de un índice es la propia transformación de base, entonces el índice se denomina covariante y se denota con un índice inferior (subíndice).

Como ejemplo simple, la matriz de un operador lineal con respecto a una base es una matriz rectangular que se transforma bajo una matriz de cambio de base en . Para las entradas individuales de la matriz, esta ley de transformación tiene la forma de que el tensor correspondiente a la matriz de un operador lineal tenga un índice covariante y un índice contravariante: es de tipo (1,1). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R=\left(R_{i}^{j}\right)}$ ${\displaystyle {\hat {T}}=R^{-1}TR}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{j'}^{i'}=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}}$

Las combinaciones de componentes covariantes y contravariantes con el mismo índice nos permiten expresar invariantes geométricas. Por ejemplo, el hecho de que un vector sea el mismo objeto en diferentes sistemas de coordenadas se puede capturar mediante las siguientes ecuaciones, utilizando las fórmulas definidas anteriormente:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {v}}^{i}\,\mathbf {\hat {e}} _{i}=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}{v}^{j}\right)\left(\mathbf {e} _{k}R_{i}^{k}\right)=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}R_{i}^{k}\right){v}^{j}\mathbf {e} _{k}=\delta _{j}^{k}{v}^{j}\mathbf {e} _{k}={v}^{k}\,\mathbf {e} _{k}={v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}}$,

¿Dónde está el delta de Kronecker , que funciona de manera similar a la matriz de identidad y tiene el efecto de cambiar el nombre de los índices ( j a k en este ejemplo)? Esto muestra varias características de la notación de componentes: la capacidad de reorganizar términos a voluntad ( conmutatividad ), la necesidad de usar diferentes índices cuando se trabaja con múltiples objetos en la misma expresión, la capacidad de cambiar el nombre de los índices y la manera en que las contravariantes y los tensores covariantes se combinan de modo que todas las instancias de la matriz de transformación y su inversa se cancelan, de modo que se puede ver inmediatamente que expresiones como son geométricamente idénticas en todos los sistemas de coordenadas. ${\displaystyle \delta _{j}^{k}}$ ${\displaystyle {v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}}$

De manera similar, un operador lineal, visto como un objeto geométrico, en realidad no depende de una base: es simplemente una aplicación lineal que acepta un vector como argumento y produce otro vector. La ley de transformación de cómo la matriz de componentes de un operador lineal cambia con la base es consistente con la ley de transformación de un vector contravariante, de modo que la acción de un operador lineal sobre un vector contravariante se representa en coordenadas como el producto matricial de sus respectivas representaciones de coordenadas. Es decir, los componentes están dados por . Estos componentes se transforman de forma contravariante, ya que ${\displaystyle (Tv)^{i}}$ ${\displaystyle (Tv)^{i}=T_{j}^{i}v^{j}}$

${\displaystyle \left({\widehat {Tv}}\right)^{i'}={\hat {T}}_{j'}^{i'}{\hat {v}}^{j'}=\left[\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}\right]\left[\left(R^{-1}\right)_{k}^{j'}v^{k}\right]=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}(Tv)^{i}.}$

La ley de transformación para un tensor de orden p + q con p índices contravariantes y q índices covariantes viene dada por,

${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1},\ldots ,j'_{q}}^{i'_{1},\ldots ,i'_{p}}=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$ ${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}}$ ${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

Aquí los índices preparados denotan componentes en las nuevas coordenadas, y los índices no preparados denotan los componentes en las coordenadas antiguas. Se dice que tal tensor es de orden o tipo ( p , q ) . Los términos "orden", "tipo", "rango", "valencia" y "grado" se utilizan a veces para el mismo concepto. Aquí, el término "orden" u "orden total" se utilizará para la dimensión total de la matriz (o su generalización en otras definiciones), p + q en el ejemplo anterior, y el término "tipo" para el par que da la número de índices contravariantes y covariantes. Un tensor de tipo ( p , q ) también se llama tensor ( p , q ) para abreviar.

Esta discusión motiva la siguiente definición formal: ^{[5] [6]}

Definición. Un tensor de tipo ( p , q ) es una asignación de una matriz multidimensional

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}[\mathbf {f} ]}$

a cada base f = ( e ₁ , ..., e _n ) de un espacio vectorial n -dimensional tal que, si aplicamos el cambio de base

${\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} \cdot R=\left(\mathbf {e} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {e} _{i}R_{n}^{i}\right)}$

entonces la matriz multidimensional obedece la ley de transformación

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$ ${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]}$ ${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

La definición de tensor como una matriz multidimensional que satisface una ley de transformación se remonta al trabajo de Ricci. ^[1]

Una definición equivalente de tensor utiliza las representaciones del grupo lineal general . Hay una acción del grupo lineal general sobre el conjunto de todas las bases ordenadas de un espacio vectorial de n dimensiones. Si es una base ordenada y es una matriz invertible , entonces la acción viene dada por ${\displaystyle \mathbf {f} =(\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {f} _{n})}$ ${\displaystyle R=\left(R_{j}^{i}\right)}$ ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle \mathbf {f} R=\left(\mathbf {f} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {f} _{i}R_{n}^{i}\right).}$

Sea F el conjunto de todas las bases ordenadas. Entonces F es un espacio principal homogéneo para GL( n ). Sea W un espacio vectorial y sea una representación de GL( n ) en W (es decir, un homomorfismo de grupo ). Entonces un tensor de tipo es un mapa equivariante . La equivalencia aquí significa que ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho :{\text{GL}}(n)\to {\text{GL}}(W)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle T:F\to W}$

${\displaystyle T(FR)=\rho \left(R^{-1}\right)T(F).}$

Cuando es una representación tensorial del grupo lineal general, esto da la definición habitual de tensores como matrices multidimensionales. Esta definición se utiliza a menudo para describir tensores en variedades ^[7] y se generaliza fácilmente a otros grupos. ^[5] ${\displaystyle \rho }$

Como mapas multilineales

Una desventaja de la definición de un tensor utilizando el enfoque de matriz multidimensional es que no se desprende de la definición que el objeto definido sea de hecho independiente de la base, como se espera de un objeto intrínsecamente geométrico. Aunque es posible demostrar que las leyes de transformación efectivamente aseguran la independencia de la base, a veces se prefiere una definición más intrínseca. Un enfoque común en geometría diferencial es definir tensores relativos a un espacio vectorial fijo (de dimensión finita) V , que generalmente se considera un espacio vectorial particular de algún significado geométrico, como el espacio tangente a una variedad. ^[8] En este enfoque, un tensor T de tipo ( p , q ) se define como un mapa multilineal ,

${\displaystyle T:\underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{p{\text{ copies}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{q{\text{ copies}}}\rightarrow \mathbf {R} ,}$

donde V ^∗ es el correspondiente espacio dual de covectores, que es lineal en cada uno de sus argumentos. Lo anterior supone que V es un espacio vectorial sobre los números reales , ℝ . De manera más general, V puede tomarse sobre cualquier campo F (por ejemplo, los números complejos ), reemplazando F a ℝ como codominio de los mapas multilineales.

Aplicando un mapa multilineal T de tipo ( p , q ) a una base { e _j } para V y una cobasis canónica { ε ⁱ } para V ^∗ ,

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\equiv T\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{1}},\ldots ,{\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{p}},\mathbf {e} _{j_{1}},\ldots ,\mathbf {e} _{j_{q}}\right),}$

Se puede obtener una matriz ( p + q ) -dimensional de componentes. Una elección diferente de base producirá componentes diferentes. Pero, debido a que T es lineal en todos sus argumentos, los componentes satisfacen la ley de transformación tensorial utilizada en la definición de matriz multilineal. La matriz multidimensional de componentes de T forma así un tensor según esa definición. Además, dicha matriz puede realizarse como los componentes de algún mapa multilineal T. Esto motiva a ver mapas multilineales como los objetos intrínsecos subyacentes a los tensores.

Al ver un tensor como un mapa multilineal, es convencional identificar el doble dual V ^∗∗ del espacio vectorial V , es decir, el espacio de funcionales lineales en el espacio vectorial dual V ^∗ , con el espacio vectorial V . Siempre existe una aplicación lineal natural desde V hasta su doble dual, dada al evaluar una forma lineal en V ^∗ frente a un vector en V . Este mapeo lineal es un isomorfismo en dimensiones finitas, y a menudo es conveniente identificar V con su doble dual.

Usando productos tensoriales

Para algunas aplicaciones matemáticas, a veces resulta útil un enfoque más abstracto. Esto se puede lograr definiendo los tensores en términos de elementos de productos tensoriales de espacios vectoriales, que a su vez se definen mediante una propiedad universal como se explica aquí y aquí .

Un tensor de tipo ( p , q ) se define en este contexto como un elemento del producto tensorial de espacios vectoriales, ^{[9] [10]}

${\displaystyle T\in \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{p{\text{ copies}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{q{\text{ copies}}}.}$

Una base v _i de V y una base w _j de W inducen naturalmente una base v _i ⊗ w _j del producto tensorial V ⊗ W . Las componentes de un tensor T son los coeficientes del tensor con respecto a la base obtenida de una base { e _i } para V y su base dual { ε ^j } , es decir

${\displaystyle T=T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\;\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{p}}\otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{q}}.}$

Utilizando las propiedades del producto tensorial, se puede demostrar que estos componentes satisfacen la ley de transformación para un tensor de tipo ( p , q ) . Además, la propiedad universal del producto tensorial da una correspondencia uno a uno entre los tensores definidos de esta manera y los tensores definidos como aplicaciones multilineales.

Esta correspondencia 1 a 1 se puede archivar de la siguiente manera, porque en el caso de dimensión finita existe un isomorfismo canónico entre un espacio vectorial y su doble dual:

${\displaystyle U\otimes V\cong \left(U^{**}\right)\otimes \left(V^{**}\right)\cong \left(U^{*}\otimes V^{*}\right)^{*}\cong \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)}$

La última línea utiliza la propiedad universal del producto tensorial, que existe una correspondencia de 1 a 1 entre los mapas de y . ^[11] ${\displaystyle \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(U^{*}\otimes V^{*};\mathbb {F} \right)}$

Los productos tensoriales se pueden definir con gran generalidad, por ejemplo, involucrando módulos arbitrarios sobre un anillo. En principio, se podría definir un "tensor" simplemente como un elemento de cualquier producto tensorial. Sin embargo, la literatura matemática suele reservar el término tensor para un elemento de un producto tensorial de cualquier número de copias de un único espacio vectorial V y su dual, como se indicó anteriormente.

Tensores en infinitas dimensiones

Esta discusión sobre tensores hasta ahora supone una dimensionalidad finita de los espacios involucrados, donde los espacios de tensores obtenidos por cada una de estas construcciones son naturalmente isomórficos . ^{[Nota 2]} Las construcciones de espacios de tensores basadas en el producto tensorial y asignaciones multilineales se pueden generalizar, esencialmente sin modificaciones, a haces de vectores o haces coherentes . ^[12] Para espacios vectoriales de dimensión infinita, las topologías desiguales conducen a nociones desiguales de tensor, y estos diversos isomorfismos pueden ser válidos o no dependiendo de lo que se entiende exactamente por tensor (ver producto tensorial topológico ). En algunas aplicaciones, lo que se pretende es el producto tensorial de los espacios de Hilbert , cuyas propiedades son las más similares al caso de dimensión finita. Una visión más moderna es que es la estructura de los tensores como una categoría monoidal simétrica la que codifica sus propiedades más importantes, en lugar de los modelos específicos de esas categorías. ^[13]

Campos tensoriales

En muchas aplicaciones, especialmente en geometría diferencial y física, es natural considerar un tensor con componentes que son funciones del punto en un espacio. Este fue el escenario de la obra original de Ricci. En la terminología matemática moderna, un objeto de este tipo se denomina campo tensor , a menudo denominado simplemente tensor. ^[1]

En este contexto, a menudo se elige una base de coordenadas para el espacio vectorial tangente . La ley de transformación puede entonces expresarse en términos de derivadas parciales de las funciones coordinadas,

${\displaystyle {\bar {x}}^{i}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right),}$

definiendo una transformación de coordenadas, ^[1]

${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}\left({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{q}}}}T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right).}$

Historia

Los conceptos del análisis tensorial posterior surgieron del trabajo de Carl Friedrich Gauss en geometría diferencial , y la formulación estuvo muy influenciada por la teoría de formas algebraicas e invariantes desarrollada a mediados del siglo XIX. ^[14] La palabra "tensor" en sí fue introducida en 1846 por William Rowan Hamilton ^[15] para describir algo diferente de lo que ahora se entiende por tensor. ^{[Nota 3]} Gibbs introdujo la diádica y el álgebra poliádica , que también son tensores en el sentido moderno. ^[16] El uso contemporáneo fue introducido por Woldemar Voigt en 1898. ^[17]

El cálculo tensorial fue desarrollado alrededor de 1890 por Gregorio Ricci-Curbastro bajo el título de cálculo diferencial absoluto , y presentado originalmente por Ricci-Curbastro en 1892. ^[18] Se hizo accesible a muchos matemáticos gracias a la publicación de Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita. Texto clásico de 1900 Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs apps (Métodos de cálculo diferencial absoluto y sus aplicaciones). ^[19] En la notación de Ricci, se refiere a "sistemas" con componentes covariantes y contravariantes, que se conocen como campos tensoriales en el sentido moderno. ^[dieciséis]

En el siglo XX, el tema pasó a conocerse como análisis de tensores , y logró una aceptación más amplia con la introducción de la teoría de la relatividad general de Einstein , alrededor de 1915. La relatividad general está formulada completamente en el lenguaje de los tensores. Einstein había aprendido sobre ellos, con gran dificultad, del geómetra Marcel Grossmann . ^[20] Levi-Civita luego inició una correspondencia con Einstein para corregir los errores que Einstein había cometido en su uso del análisis tensorial. La correspondencia duró entre 1915 y 1917 y se caracterizó por el respeto mutuo:

Admiro la elegancia de su método de cálculo; Debe ser agradable cabalgar por estos campos sobre el caballo de las verdaderas matemáticas mientras nosotros tenemos que recorrer laboriosamente nuestro camino a pie.

—Albert  Einstein ^[21]

También se descubrió que los tensores eran útiles en otros campos como la mecánica continua . Algunos ejemplos bien conocidos de tensores en geometría diferencial son las formas cuadráticas como los tensores métricos y el tensor de curvatura de Riemann . El álgebra exterior de Hermann Grassmann , de mediados del siglo XIX, es en sí misma una teoría tensorial, y altamente geométrica, pero pasó algún tiempo antes de que se viera, con la teoría de las formas diferenciales , como naturalmente unificada con el cálculo tensorial. El trabajo de Élie Cartan convirtió las formas diferenciales en uno de los tipos básicos de tensores utilizados en matemáticas, y Hassler Whitney popularizó el producto tensorial . ^[dieciséis]

Aproximadamente a partir de la década de 1920, se comprendió que los tensores desempeñan un papel básico en la topología algebraica (por ejemplo, en el teorema de Künneth ). ^[22] En consecuencia, hay tipos de tensores que funcionan en muchas ramas del álgebra abstracta , particularmente en álgebra homológica y teoría de la representación . El álgebra multilineal se puede desarrollar con mayor generalidad que los escalares provenientes de un campo . Por ejemplo, los escalares pueden provenir de un anillo . Pero la teoría es entonces menos geométrica y los cálculos más técnicos y menos algorítmicos. ^[23] Los tensores se generalizan dentro de la teoría de categorías mediante el concepto de categoría monoidal , de los años 1960. ^[24]

Ejemplos

Un ejemplo elemental de un mapeo que se puede describir como un tensor es el producto escalar , que mapea dos vectores a un escalar. Un ejemplo más complejo es el tensor de tensión de Cauchy T , que toma un vector unitario direccional v como entrada y lo asigna al vector de tensión T ^{( v )} , que es la fuerza (por unidad de área) ejercida por el material en el lado negativo del plano ortogonal a v contra el material en el lado positivo del plano, expresando así una relación entre estos dos vectores, como se muestra en la figura (derecha). El producto cruzado , donde dos vectores se asignan a un tercero, estrictamente hablando no es un tensor porque cambia de signo bajo aquellas transformaciones que cambian la orientación del sistema de coordenadas. Sin embargo, el símbolo totalmente antisimétrico permite un manejo cómodo del producto vectorial en sistemas de coordenadas tridimensionales igualmente orientados. ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

Esta tabla muestra ejemplos importantes de tensores en espacios vectoriales y campos tensoriales en variedades. Los tensores se clasifican según su tipo ( n , m ) , donde n es el número de índices contravariantes, m es el número de índices covariantes y n + m da el orden total del tensor. Por ejemplo, una forma bilineal es lo mismo que un tensor (0, 2) ; un producto interno es un ejemplo de un tensor (0, 2) , pero no todos los tensores (0, 2) son productos internos. En la entrada (0, M ) de la tabla, M denota la dimensionalidad del espacio o variedad vectorial subyacente porque para cada dimensión del espacio, se necesita un índice separado para seleccionar esa dimensión y obtener un tensor antisimétrico máximamente covariante.

Elevar un índice en un ( n , m ) -tensor produce un ( n + 1, m − 1) -tensor; esto corresponde a moverse diagonalmente hacia abajo y hacia la izquierda sobre la mesa. Simétricamente, bajar un índice equivale a moverse diagonalmente hacia arriba y hacia la derecha sobre la mesa. La contracción de un tensor superior con un índice inferior de un ( n , m ) produce un tensor ( n − 1, m − 1) ; esto corresponde a moverse diagonalmente hacia arriba y hacia la izquierda en la mesa.

Interpretación geométrica de elementos de grado n en un álgebra exterior real para n = 0 (punto con signo), 1 (segmento de línea dirigido o vector), 2 (elemento plano orientado), 3 (volumen orientado). El producto exterior de n vectores se puede visualizar como cualquier forma n -dimensional (por ejemplo, n - paralelotopo , n - elipsoide ); con magnitud ( hipervolumen ) y orientación definida por su límite n - 1 -dimensional y de qué lado está el interior. ^{[26] [27]}

Propiedades

Suponiendo una base de un espacio vectorial real, por ejemplo, un sistema de coordenadas en el espacio ambiental, un tensor puede representarse como una matriz multidimensional organizada de valores numéricos con respecto a esta base específica. Cambiar la base transforma los valores en la matriz de una manera característica que permite definir tensores como objetos que se adhieren a este comportamiento transformacional. Por ejemplo, hay invariantes de tensores que deben conservarse ante cualquier cambio de base, convirtiendo así en tensor sólo ciertas matrices multidimensionales de números. Compare esto con la matriz que representa no ser un tensor, ya que el cambio de signo en las transformaciones cambia la orientación. ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

Debido a que las componentes de los vectores y sus duales se transforman de manera diferente bajo el cambio de sus bases duales, existe una ley de transformación covariante y/o contravariante que relaciona los arreglos, que representan el tensor con respecto a una base y el tensor con respecto a la otra. . Los números de, respectivamente, vectores: n ( índices contravariantes ) y vectores duales: m ( índices covariantes ) en la entrada y salida de un tensor determinan el tipo (o valencia ) del tensor, un par de números naturales ( n , m ) , que determinan la forma precisa de la ley de transformación. ElEl orden de un tensor es la suma de estos dos números.

El orden (también grado orango ) de un tensor es, por tanto, la suma de los órdenes de sus argumentos más el orden del tensor resultante. Esta es también la dimensionalidad de la matriz de números necesarios para representar el tensor con respecto a una base específica, o de manera equivalente, la cantidad de índices necesarios para etiquetar cada componente en esa matriz. Por ejemplo, en una base fija, un mapa lineal estándar que asigna un vector a un vector está representado por una matriz (una matriz bidimensional) y, por lo tanto, es un tensor de segundo orden. Un vector simple se puede representar como una matriz unidimensional y, por lo tanto, es un tensor de primer orden. Los escalares son números simples y, por tanto, tensores de orden 0. De esta manera el tensor que representa el producto escalar, tomando dos vectores y dando como resultado un escalar tiene orden2 + 0 = 2, al igual que el tensor de tensión, tomando un vector y devolviendo otro1 + 1 = 2. Elsímbolo -,que asigna dos vectores a un vector, tendría orden2 + 1 = 3. ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

La colección de tensores en un espacio vectorial y su dual forma un álgebra tensorial , que permite productos de tensores arbitrarios. Las aplicaciones simples de tensores de orden 2 , que pueden representarse como una matriz cuadrada, pueden resolverse mediante una disposición inteligente de los vectores transpuestos y aplicando las reglas de la multiplicación de matrices, pero el producto tensorial no debe confundirse con esto.

Notación

Existen varios sistemas de notación que se utilizan para describir tensores y realizar cálculos que los involucran.

cálculo de ricci

El cálculo de Ricci es el formalismo y la notación modernos para índices tensoriales: indica productos internos y externos , covarianza y contravarianza , sumas de componentes tensoriales, simetría y antisimetría , y derivadas parciales y covariantes .

Convención de suma de Einstein

La convención de sumatoria de Einstein prescinde de escribir signos de sumatoria , dejando la sumatoria implícita. Cualquier símbolo de índice repetido se suma: si el índice i se usa dos veces en un término dado de una expresión tensorial, significa que el término se debe sumar para todo i . De esta manera se pueden sumar varios pares distintos de índices.

Notación gráfica de Penrose

La notación gráfica de Penrose es una notación esquemática que reemplaza los símbolos de los tensores por formas y sus índices por líneas y curvas. Es independiente de los elementos básicos y no requiere símbolos para los índices.

Notación de índice abstracto

La notación de índice abstracto es una forma de escribir tensores de manera que los índices ya no se consideren numéricos, sino indeterminados . Esta notación captura la expresividad de los índices y la independencia de la base de la notación libre de índices.

Notación sin componentes

Un tratamiento de tensores sin componentes utiliza notación que enfatiza que los tensores no dependen de ninguna base y se define en términos del producto tensorial de espacios vectoriales .

Operaciones

Hay varias operaciones con tensores que nuevamente producen un tensor. La naturaleza lineal del tensor implica que se pueden sumar dos tensores del mismo tipo y que los tensores se pueden multiplicar por un escalar con resultados análogos al escalamiento de un vector . En los componentes, estas operaciones simplemente se realizan componente a componente. Estas operaciones no cambian el tipo de tensor; pero también hay operaciones que producen un tensor de diferente tipo.

Producto tensorial

El producto tensorial toma dos tensores, S y T , y produce un nuevo tensor, S ⊗ T , cuyo orden es la suma de los órdenes de los tensores originales. Cuando se describe como mapas multilineales, el producto tensorial simplemente multiplica los dos tensores, es decir,

$${\displaystyle (S\otimes T)(v_{1},\ldots ,v_{n},v_{n+1},\ldots ,v_{n+m})=S(v_{1},\ldots ,v_{n})T(v_{n+1},\ldots ,v_{n+m}),}$$

$${\displaystyle (S\otimes T)_{j_{1}\ldots j_{k}j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{1}\ldots i_{l}i_{l+1}\ldots i_{l+n}}=S_{j_{1}\ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{l}}T_{j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{l+1}\ldots i_{l+n}}.}$$

S( l , k )T( n , m )S ⊗ T( l + n , k + m )

Contracción

La contracción tensorial es una operación que reduce un tensor de tipo ( n , m ) a un tensor de tipo ( n − 1, m − 1 ) , del cual la traza es un caso especial. De este modo reduce el orden total de un tensor a dos. La operación se logra sumando componentes para los cuales un índice contravariante específico es igual a un índice covariante específico para producir un nuevo componente. Se descartan los componentes para los cuales esos dos índices son diferentes. Por ejemplo, un tensor (1, 1) se puede contraer a un escalar mediante . Donde nuevamente está implícita la sumatoria. Cuando el tensor (1, 1) se interpreta como un mapa lineal, esta operación se conoce como traza . ${\displaystyle T_{i}^{j}}$ ${\displaystyle T_{i}^{i}}$

La contracción se utiliza a menudo junto con el producto tensorial para contraer un índice de cada tensor.

La contracción también se puede entender usando la definición de tensor como elemento de un tensor producto de copias del espacio V con el espacio V ^∗ descomponiendo primero el tensor en una combinación lineal de tensores simples y luego aplicando un factor de V ^∗ a un factor de V . Por ejemplo, un tensor se puede escribir como una combinación lineal. ${\displaystyle T\in V\otimes V\otimes V^{*}}$

${\displaystyle T=v_{1}\otimes w_{1}\otimes \alpha _{1}+v_{2}\otimes w_{2}\otimes \alpha _{2}+\cdots +v_{N}\otimes w_{N}\otimes \alpha _{N}.}$

La contracción de T en la primera y última ranura es entonces el vector

${\displaystyle \alpha _{1}(v_{1})w_{1}+\alpha _{2}(v_{2})w_{2}+\cdots +\alpha _{N}(v_{N})w_{N}.}$

En un espacio vectorial con un producto interno (también conocido como métrica ) g , el término contracción se usa para eliminar dos índices contravariantes o dos covariantes formando una traza con el tensor métrico o su inverso. Por ejemplo, un tensor (2, 0) se puede contraer a un escalar (asumiendo una vez más la convención de suma). ${\displaystyle T^{ij}}$ ${\displaystyle T^{ij}g_{ij}}$

Subir o bajar un índice

Cuando un espacio vectorial está equipado con una forma bilineal no degenerada (o tensor métrico como se le llama a menudo en este contexto), se pueden definir operaciones que convierten un índice contravariante (superior) en un índice covariante (inferior) y viceversa. Un tensor métrico es un tensor (simétrico) ( 0, 2) ; por tanto, es posible contraer un índice superior de un tensor con uno de los índices inferiores del tensor métrico en el producto. Esto produce un nuevo tensor con la misma estructura de índice que el tensor anterior, pero con el índice inferior generalmente mostrado en la misma posición del índice superior contraído. Esta operación se conoce gráficamente como bajar un índice .

Por el contrario, se puede definir la operación inversa y se llama elevar un índice . Esto equivale a una contracción similar del producto con un tensor (2, 0) . Este tensor métrico inverso tiene componentes que son la matriz inversa de las del tensor métrico.

Aplicaciones

Mecánica de Medios Continuos

Ejemplos importantes los proporciona la mecánica del continuo . Las tensiones dentro de un cuerpo sólido o fluido ^[28] se describen mediante un campo tensorial. El tensor de tensión y el tensor de deformación son campos tensoriales de segundo orden y están relacionados en un material elástico lineal general por un campo tensor de elasticidad de cuarto orden . En detalle, el tensor que cuantifica la tensión en un objeto sólido tridimensional tiene componentes que pueden representarse convenientemente como una matriz de 3 × 3. Las tres caras de un segmento de volumen infinitesimal del sólido en forma de cubo están sujetas a una fuerza determinada. Los componentes vectoriales de la fuerza también son tres. Por lo tanto, se requieren 3 × 3, o 9 componentes, para describir la tensión en este segmento infinitesimal en forma de cubo. Dentro de los límites de este sólido hay una masa entera de cantidades de tensión variables, cada una de las cuales requiere 9 cantidades para describir. Por tanto, se necesita un tensor de segundo orden.

Si se selecciona un elemento de superficie particular dentro del material, el material de un lado de la superficie aplicará una fuerza en el otro lado. En general esta fuerza no será ortogonal a la superficie, sino que dependerá de la orientación de la superficie de forma lineal. Esto se describe mediante un tensor de tipo (2, 0) , en elasticidad lineal , o más precisamente mediante un tensor de campo de tipo (2, 0) , ya que las tensiones pueden variar de un punto a otro.

Otros ejemplos de la física

Las aplicaciones comunes incluyen:

• Tensor electromagnético (o tensor de Faraday) en electromagnetismo
• Tensores de deformación finitos para describir deformaciones y tensor de deformación para deformación en mecánica continua
• La permitividad y la susceptibilidad eléctrica son tensores en medios anisotrópicos .
• Cuatro tensores en la relatividad general (por ejemplo, tensor de tensión-energía ), utilizados para representar flujos de impulso
• Los operadores tensoriales esféricos son las funciones propias del operador de momento angular cuántico en coordenadas esféricas
• Los tensores de difusión, la base de las imágenes con tensores de difusión , representan tasas de difusión en entornos biológicos.
• La mecánica cuántica y la computación cuántica utilizan productos tensoriales para combinar estados cuánticos.

Visión por ordenador y óptica.

El concepto de tensor de orden dos a menudo se combina con el de matriz. Sin embargo, los tensores de orden superior capturan ideas importantes en ciencia e ingeniería, como se ha demostrado sucesivamente en numerosas áreas a medida que se desarrollan. Esto ocurre, por ejemplo, en el campo de la visión por ordenador , donde el tensor trifocal generaliza la matriz fundamental .

El campo de la óptica no lineal estudia los cambios en la densidad de polarización del material bajo campos eléctricos extremos. Las ondas de polarización generadas están relacionadas con los campos eléctricos generados a través del tensor de susceptibilidad no lineal. Si la polarización P no es linealmente proporcional al campo eléctrico E , el medio se denomina no lineal . Para una buena aproximación (para campos suficientemente débiles, suponiendo que no haya momentos dipolares permanentes), P viene dada por una serie de Taylor en E cuyos coeficientes son las susceptibilidades no lineales:

${\displaystyle {\frac {P_{i}}{\varepsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots .\!}$

Aquí está la susceptibilidad lineal, da el efecto Pockels y la generación del segundo armónico , y da el efecto Kerr . Esta expansión muestra la forma en que los tensores de orden superior surgen naturalmente en el tema. ${\displaystyle \chi ^{(1)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(2)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(3)}}$

Aprendizaje automático

Las propiedades de los tensores (aprendizaje automático) , especialmente la descomposición de tensores , han permitido su uso en el aprendizaje automático para incorporar datos de dimensiones superiores en redes neuronales artificiales . Esta noción de tensor difiere significativamente de la de otras áreas de las matemáticas y la física, en el sentido de que un tensor generalmente se considera una cantidad numérica de forma fija, y no es necesario que la dimensión de los espacios a lo largo de los diferentes ejes del tensor sea lo mismo.

Generalizaciones

Productos tensoriales de espacios vectoriales.

Los espacios vectoriales de un producto tensorial no tienen por qué ser los mismos y, a veces, los elementos de un producto tensorial más general se denominan "tensores". Por ejemplo, un elemento del espacio producto tensorial V ⊗ W es un "tensor" de segundo orden en este sentido más general, ^[29] y un tensor de orden d también puede definirse como un elemento de un producto tensorial de d diferentes espacios vectoriales. ^[30] Un tensor de tipo ( n , m ) , en el sentido definido anteriormente, es también un tensor de orden n + m en este sentido más general. El concepto de producto tensorial se puede ampliar a módulos arbitrarios sobre un anillo .

Tensores en infinitas dimensiones

La noción de tensor se puede generalizar de diversas formas a dimensiones infinitas . Uno, por ejemplo, es mediante el producto tensorial de los espacios de Hilbert . ^[31] Otra forma de generalizar la idea de tensor, común en el análisis no lineal , es a través de la definición de mapas multilineales donde en lugar de usar espacios vectoriales de dimensión finita y sus duales algebraicos , se usan espacios de Banach de dimensión infinita y su dual continuo . ^[32] Los tensores viven así de forma natural en las variedades de Banach ^[33] y en las variedades de Fréchet .

Densidades tensoriales

Supongamos que un medio homogéneo llena R ³ , de modo que la densidad del medio se describe mediante un único valor escalar ρ en kg⋅m ⁻³ . La masa, en kg, de una región Ω se obtiene multiplicando ρ por el volumen de la región Ω , o de manera equivalente integrando la constante ρ sobre la región:

${\displaystyle m=\int _{\Omega }\rho \,dx\,dy\,dz,}$

donde las coordenadas cartesianas x , y , z se miden en m . Si las unidades de longitud se cambian a cm , entonces los valores numéricos de las funciones de coordenadas deben reescalarse en un factor de 100:

${\displaystyle x'=100x,\quad y'=100y,\quad z'=100z.}$

El valor numérico de la densidad ρ también debe transformarse en 100 ⁻³ m ³ /cm ³ para compensar, de modo que el valor numérico de la masa en kg siga estando dado por la integral de . Por lo tanto (en unidades de kg⋅cm ⁻³ ). ${\displaystyle \rho \,dx\,dy\,dz}$ ${\displaystyle \rho '=100^{-3}\rho }$

De manera más general, si las coordenadas cartesianas x , y , z sufren una transformación lineal, entonces el valor numérico de la densidad ρ debe cambiar en un factor del recíproco del valor absoluto del determinante de la transformación de coordenadas, de modo que la integral permanezca invariante, por la fórmula de cambio de variables para la integración. Una cantidad que escala según el recíproco del valor absoluto del determinante del mapa de transición de coordenadas se llama densidad escalar . Para modelar una densidad no constante, ρ es función de las variables x , y , z (un campo escalar ), y bajo un cambio curvilíneo de coordenadas, se transforma por el recíproco del jacobiano del cambio de coordenadas. Para obtener más información sobre el significado intrínseco, consulte Densidad en una variedad .

Una densidad tensorial se transforma como un tensor bajo un cambio de coordenadas, excepto que además toma un factor del valor absoluto del determinante de la transición de coordenadas: ^[34]

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left|\det R\right|^{-w}\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

Aquí w se llama peso. En general, cualquier tensor multiplicado por una potencia de esta función o su valor absoluto se llama densidad tensor o tensor ponderado. ^{[35] [36]} Un ejemplo de densidad tensorial es la densidad de corriente del electromagnetismo .

Bajo una transformación afín de las coordenadas, un tensor se transforma por la parte lineal de la transformación misma (o su inversa) en cada índice. Estos provienen de las representaciones racionales del grupo lineal general. Pero ésta no es la ley de transformación lineal más general que un objeto así pueda tener: las densidades tensoriales no son racionales, pero siguen siendo representaciones semisimples . Otra clase de transformaciones proviene de la representación logarítmica del grupo lineal general, una representación reducible pero no semisimple, ^[37] que consiste en un ( x , y ) ∈ R ² con la ley de transformación

${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+y\log \left|\det R\right|,y).}$

Objetos geométricos

La ley de transformación de un tensor se comporta como un funtor en la categoría de sistemas de coordenadas admisibles, bajo transformaciones lineales generales (u otras transformaciones dentro de alguna clase, como los difeomorfismos locales ). Esto hace que un tensor sea un caso especial de un objeto geométrico, en el sentido técnico de que es una función del sistema de coordenadas que se transforma funcionalmente bajo cambios de coordenadas. ^[38] Ejemplos de objetos que obedecen tipos más generales de leyes de transformación son los chorros y, de manera más general aún, los haces naturales . ^{[39] [40]}

Espinores

Al cambiar de una base ortonormal (llamada marco ) a otra mediante una rotación, las componentes de un tensor se transforman mediante esa misma rotación. Esta transformación no depende del camino recorrido por el espacio de fotogramas. Sin embargo, el espacio de los marcos no está simplemente conectado (ver entrelazamiento de orientación y truco de placa ): hay caminos continuos en el espacio de los marcos con las mismas configuraciones inicial y final que no son deformables uno en otro. Es posible adjuntar un invariante discreto adicional a cada cuadro que incorpore esta dependencia de la ruta y que resulte (localmente) tener valores de ±1. ^[41] Un espinor es un objeto que se transforma como un tensor bajo rotaciones en el marco, aparte de un posible signo que está determinado por el valor de este invariante discreto. ^{[42] [43]}

De manera sucinta, los espinores son elementos de la representación de espín del grupo de rotación, mientras que los tensores son elementos de sus representaciones tensoriales . Otros grupos clásicos tienen representaciones tensoriales y, por tanto, también tensores que son compatibles con el grupo, pero todos los grupos clásicos no compactos también tienen representaciones unitarias de dimensión infinita.

Ver también

• La definición del diccionario de tensor en Wikcionario
• Tipo de datos de matriz , para almacenamiento y manipulación de tensores.

Fundacional

• tensor cartesiano
• haz de fibras
• Glosario de teoría tensorial
• Proyección multilineal
• Una forma
• Producto tensorial de módulos.

Aplicaciones

• Aplicación de la teoría tensorial en ingeniería.
• Mecánica de Medios Continuos
• Derivada covariante
• Curvatura
• RM con tensor de difusión
• Ecuaciones de campo de Einstein
• Mecánica de fluidos
• Gravedad
• Aprendizaje subespacial multilineal
• geometría riemanniana
• tensor de estructura
• Motor de contracción tensorial
• Descomposición tensorial
• Derivada tensorial
• software tensorial

Notas explicatorias

1. La convención de suma de Einstein, en resumen, requiere que la suma se tome de todos los valores del índice siempre que el mismo símbolo aparezca como subíndice y superíndice en el mismo término. Por ejemplo, bajo esta convención ${\displaystyle B_{i}C^{i}=B_{1}C^{1}+B_{2}C^{2}+\cdots +B_{n}C^{n}}$
2. El isomorfismo de doble dualidad , por ejemplo, se utiliza para identificar V con el doble espacio dual V ^∗∗ , que consta de formas multilineales de grado uno en V ^∗ . Es típico en álgebra lineal identificar espacios que son naturalmente isomorfos, tratándolos como el mismo espacio.
3. Es decir, la operación normal en un espacio vectorial.

Referencias

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