Mecánica de Medios Continuos

Rama de la física que estudia el comportamiento de materiales modelados como medios continuos.

La mecánica continua es una rama de la mecánica que se ocupa de la deformación y transmisión de fuerzas a través de materiales modelados como un medio continuo (también llamado continuo ) en lugar de partículas discretas . El matemático francés Augustin-Louis Cauchy fue el primero en formular tales modelos en el siglo XIX.

La mecánica continua se ocupa de cuerpos deformables , a diferencia de los cuerpos rígidos . Un modelo continuo supone que la sustancia del objeto llena completamente el espacio que ocupa. Si bien se ignora el hecho de que la materia está hecha de átomos , esto proporciona una descripción suficientemente precisa de la materia en escalas de longitud mucho mayores que las de las distancias interatómicas. El concepto de medio continuo permite el análisis intuitivo de la materia en masa mediante el uso de ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de dicha materia de acuerdo con leyes físicas , como la conservación de la masa, la conservación del momento y la conservación de la energía. La información sobre el material específico se expresa en relaciones constitutivas .

La mecánica continua trata las propiedades físicas de sólidos y fluidos independientemente de cualquier sistema de coordenadas particular en el que se observen. Estas propiedades están representadas por tensores , que son objetos matemáticos con la propiedad destacada de ser independientes de los sistemas de coordenadas. Esto permite la definición de propiedades físicas en cualquier punto del continuo, según funciones continuas matemáticamente convenientes . Las teorías de la elasticidad , la plasticidad y la mecánica de fluidos se basan en los conceptos de la mecánica continua.

Concepto de continuo

El concepto de continuo subyace al marco matemático para estudiar fuerzas y deformaciones a gran escala en materiales. Aunque los materiales están compuestos de átomos y moléculas discretas, separadas por espacios vacíos o grietas microscópicas y defectos cristalográficos , los fenómenos físicos a menudo pueden modelarse considerando una sustancia distribuida a lo largo de alguna región del espacio. Un continuo es un cuerpo que puede subdividirse continuamente en elementos infinitesimales con propiedades materiales locales definidas en cualquier punto particular. Por lo tanto, las propiedades del material a granel pueden describirse mediante funciones continuas y su evolución puede estudiarse utilizando las matemáticas del cálculo .

Además del supuesto de continuidad, en el estudio de la mecánica del continuo a menudo se emplean otros dos supuestos independientes. Estos son la homogeneidad (suposición de propiedades idénticas en todas las ubicaciones) y la isotropía (suposición de propiedades vectoriales direccionalmente invariantes). ^[1] Si estos supuestos auxiliares no son aplicables globalmente, el material puede segregarse en secciones donde sean aplicables para simplificar el análisis. Para casos más complejos, se pueden descartar uno o ambos de estos supuestos. En estos casos, se suelen utilizar métodos computacionales para resolver las ecuaciones diferenciales que describen la evolución de las propiedades de los materiales.

Áreas principales

Un área adicional de la mecánica continua comprende las espumas elastoméricas , que exhiben una curiosa relación hiperbólica tensión-deformación. El elastómero es un verdadero continuo, pero una distribución homogénea de huecos le confiere propiedades inusuales. ^[2]

Formulación de modelos.

Figura 1. Configuración de un cuerpo continuo

Los modelos de mecánica continua comienzan asignando una región en el espacio euclidiano tridimensional al cuerpo material que se está modelando. Los puntos dentro de esta región se llaman partículas o puntos materiales. Diferentes configuraciones o estados del cuerpo corresponden a diferentes regiones del espacio euclidiano. La región correspondiente a la configuración del cuerpo en ese momento está etiquetada . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Una partícula particular dentro del cuerpo en una configuración particular se caracteriza por un vector de posición

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}x_{i}\mathbf {e} _{i},}$

¿Dónde están los vectores de coordenadas en algún marco de referencia elegido para el problema (Ver figura 1)? Este vector se puede expresar como una función de la posición de la partícula en alguna configuración de referencia , por ejemplo la configuración en el momento inicial, de modo que ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \mathbf {x} =\kappa _{t}(\mathbf {X} ).}$

Esta función debe tener varias propiedades para que el modelo tenga sentido físico. necesita ser: ${\displaystyle \kappa _{t}(\cdot )}$

• continuo en el tiempo, para que el cuerpo cambie de una manera realista,
• globalmente invertible en todo momento, de modo que el cuerpo no puede cruzarse consigo mismo,
• preservación de la orientación , ya que las transformaciones que producen reflejos especulares no son posibles en la naturaleza.

Para la formulación matemática del modelo, también se supone que es dos veces continuamente diferenciable , de modo que se puedan formular ecuaciones diferenciales que describan el movimiento. ${\displaystyle \kappa _{t}(\cdot )}$

Fuerzas en un continuo

Un sólido es un cuerpo deformable que posee resistencia al corte, sc. un sólido puede soportar fuerzas cortantes (fuerzas paralelas a la superficie del material sobre la que actúan). Los fluidos, por otra parte, no soportan fuerzas de corte.

Siguiendo la dinámica clásica de Newton y Euler , el movimiento de un cuerpo material se produce por la acción de fuerzas aplicadas externamente que se supone son de dos tipos: fuerzas superficiales y fuerzas corporales . ^[3] Así, la fuerza total aplicada a un cuerpo o a una porción del cuerpo se puede expresar como: ${\displaystyle \mathbf {F} _{C}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{B}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {F} _{C}+\mathbf {F} _{B}}$

Fuerzas superficiales

Las fuerzas superficiales o fuerzas de contacto , expresadas como fuerza por unidad de área, pueden actuar ya sea sobre la superficie delimitadora del cuerpo, como resultado del contacto mecánico con otros cuerpos, o sobre superficies internas imaginarias que unen partes del cuerpo, como resultado de la interacción mecánica entre las partes del cuerpo a ambos lados de la superficie ( principio de tensión de Euler-Cauchy ). Cuando fuerzas de contacto externas actúan sobre un cuerpo, las fuerzas de contacto internas se transmiten de un punto a otro dentro del cuerpo para equilibrar su acción, de acuerdo con la tercera ley del movimiento de Newton de conservación del momento lineal y del momento angular (para cuerpos continuos estas leyes se llaman ecuaciones de movimiento de Euler ). Las fuerzas de contacto internas están relacionadas con la deformación del cuerpo mediante ecuaciones constitutivas . Las fuerzas de contacto internas pueden describirse matemáticamente por cómo se relacionan con el movimiento del cuerpo, independientemente de la composición material del cuerpo. ^{[ cita necesaria ]}

Se supone que la distribución de las fuerzas de contacto internas en todo el volumen del cuerpo es continua. Por tanto, existe una densidad de fuerza de contacto o campo de tracción de Cauchy ^[4] que representa esta distribución en una configuración particular del cuerpo en un momento dado . No es un campo vectorial porque depende no sólo de la posición de un punto material particular, sino también de la orientación local del elemento de superficie definida por su vector normal . ^{[5] [ página necesaria ]} ${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle t\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Cualquier área diferencial con vector normal de un área de superficie interna dada , que limita una porción del cuerpo, experimenta una fuerza de contacto que surge del contacto entre ambas partes del cuerpo a cada lado de , y está dada por ${\displaystyle dS\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle S\,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}\,\!}$ ${\displaystyle S\,\!}$

${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

donde está la tracción superficial , ^[6] también llamada vector de tensión , ^[7] tracción , ^{[8] [ página necesaria ]} o vector de tracción . ^[9] El vector de tensión es un vector indiferente al marco (consulte el principio de tensión de Euler-Cauchy ). ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$

La fuerza de contacto total sobre la superficie interna particular se expresa entonces como la suma ( integral de superficie ) de las fuerzas de contacto sobre todas las superficies diferenciales : ${\displaystyle S\,\!}$ ${\displaystyle dS\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{C}=\int _{S}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

En mecánica continua, un cuerpo se considera libre de tensiones si las únicas fuerzas presentes son aquellas fuerzas interatómicas ( iónicas , metálicas y de van der Waals ) necesarias para mantener el cuerpo unido y mantener su forma en ausencia de influencias externas. , incluida la atracción gravitacional. ^{[9] [10]} Las tensiones generadas durante la fabricación del cuerpo con una configuración específica también se excluyen al considerar las tensiones en un cuerpo. Por tanto, las tensiones consideradas en la mecánica del continuo son sólo las producidas por la deformación del cuerpo, sc. sólo se consideran los cambios relativos en la tensión, no los valores absolutos de la tensión.

Fuerzas corporales

Las fuerzas corporales son fuerzas que se originan en fuentes externas al cuerpo ^[11] y que actúan sobre el volumen (o masa) del cuerpo. Decir que las fuerzas del cuerpo se deben a fuentes externas implica que la interacción entre diferentes partes del cuerpo (fuerzas internas) se manifiesta únicamente a través de las fuerzas de contacto. ^[6] Estas fuerzas surgen de la presencia del cuerpo en campos de fuerza, por ejemplo, un campo gravitacional ( fuerzas gravitacionales ) o un campo electromagnético ( fuerzas electromagnéticas ), o de fuerzas de inercia cuando los cuerpos están en movimiento. Como se supone que la masa de un cuerpo continuo está distribuida continuamente, cualquier fuerza que se origine en la masa también está distribuida continuamente. Así, las fuerzas corporales se especifican mediante campos vectoriales que se supone que son continuos en todo el volumen del cuerpo ^{[12] ,} es decir, que actúan sobre cada punto del mismo. Las fuerzas corporales están representadas por una densidad de fuerza corporal(por unidad de masa), que es un campo vectorial indiferente al marco. ${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$

En el caso de las fuerzas gravitacionales, la intensidad de la fuerza depende o es proporcional a la densidad de masa del material y se especifica en términos de fuerza por unidad de masa ( ) o por unidad de volumen ( ). Estas dos especificaciones están relacionadas a través de la densidad del material mediante la ecuación . De manera similar, la intensidad de las fuerzas electromagnéticas depende de la fuerza ( carga eléctrica ) del campo electromagnético. ${\displaystyle \mathbf {\rho } (\mathbf {x} ,t)\,\!}$ ${\displaystyle b_{i}\,\!}$ ${\displaystyle p_{i}\,\!}$ ${\displaystyle \rho b_{i}=p_{i}\,\!}$

La fuerza corporal total aplicada a un cuerpo continuo se expresa como

${\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

Las fuerzas corporales y las fuerzas de contacto que actúan sobre el cuerpo provocan momentos de fuerza correspondientes ( momentos de torsión ) con respecto a un punto determinado. Por lo tanto, el par total aplicado alrededor del origen está dado por ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbf {M} _{C}+\mathbf {M} _{B}}$

En determinadas situaciones, no comúnmente consideradas en el análisis del comportamiento mecánico de los materiales, se hace necesario incluir otros dos tipos de fuerzas: se trata de tensiones de par ^{[nota 1] [nota 2]} (pares superficiales, ^[11] pares de contacto) ^[12] y momentos corporales . Las tensiones de par son momentos por unidad de área aplicada sobre una superficie. Los momentos corporales, o pares corporales, son momentos por unidad de volumen o por unidad de masa aplicados al volumen del cuerpo. Ambos son importantes en el análisis de tensiones para un sólido dieléctrico polarizado bajo la acción de un campo eléctrico, materiales donde se toma en consideración la estructura molecular ( por ejemplo, huesos), sólidos bajo la acción de un campo magnético externo y la teoría de la dislocación de rieles. ^{[7] [8] [ página necesaria ] [11]}

Los materiales que presentan pares de cuerpos y tensiones de par además de momentos producidos exclusivamente por fuerzas se denominan materiales polares . ^{[8] [ página necesaria ] [12]} Los materiales no polares son entonces aquellos materiales que tienen solo momentos de fuerzas. En las ramas clásicas de la mecánica del continuo el desarrollo de la teoría de las tensiones se basa en materiales apolares.

Por lo tanto, la suma de todas las fuerzas y pares aplicados (con respecto al origen del sistema de coordenadas) en el cuerpo puede estar dada por

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{S}\mathbf {T} \,dS+\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {T} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,dV}$

Cinemática: movimiento y deformación.

Figura 2. Movimiento de un cuerpo continuo.

Un cambio en la configuración de un cuerpo continuo produce un desplazamiento . El desplazamiento de un cuerpo tiene dos componentes: un desplazamiento de cuerpo rígido y una deformación . Un desplazamiento de un cuerpo rígido consiste en una traslación y rotación simultáneas del cuerpo sin cambiar su forma o tamaño. La deformación implica el cambio de forma y/o tamaño del cuerpo desde una configuración inicial o no deformada a una configuración actual o deformada (Figura 2). ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

El movimiento de un cuerpo continuo es una secuencia temporal continua de desplazamientos. Así, el cuerpo material ocupará diferentes configuraciones en diferentes momentos, de modo que una partícula ocupa una serie de puntos en el espacio que describen una línea de trayectoria.

Hay continuidad durante el movimiento o la deformación de un cuerpo continuo en el sentido de que:

• Los puntos materiales que forman una curva cerrada en cualquier instante siempre formarán una curva cerrada en cualquier momento posterior.
• Los puntos materiales que forman una superficie cerrada en cualquier instante siempre formarán una superficie cerrada en cualquier momento posterior y la materia dentro de la superficie cerrada siempre permanecerá dentro.

Es conveniente identificar una configuración de referencia o condición inicial desde la cual se hace referencia a todas las configuraciones posteriores. La configuración de referencia no tiene por qué ser la que el cuerpo ocupará alguna vez. A menudo, la configuración en se considera la configuración de referencia . Las componentes del vector de posición de una partícula, tomadas con respecto a la configuración de referencia, se denominan coordenadas de material o de referencia. ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

Al analizar el movimiento o deformación de sólidos, o el flujo de fluidos, es necesario describir la secuencia o evolución de configuraciones a lo largo del tiempo. Una descripción del movimiento se realiza en términos del material o de las coordenadas referenciales, lo que se denomina descripción material o descripción lagrangiana.

Descripción lagrangiana

En la descripción lagrangiana, la posición y las propiedades físicas de las partículas se describen en términos del material o coordenadas referenciales y del tiempo. En este caso la configuración de referencia es la configuración en ${\displaystyle t=0}$ . Un observador parado en el marco de referencia observa los cambios en la posición y las propiedades físicas a medida que el cuerpo material se mueve en el espacio a medida que avanza el tiempo. Los resultados obtenidos son independientes de la elección del tiempo inicial y de la configuración de referencia . Esta descripción se utiliza normalmente en mecánica de sólidos . ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

En la descripción lagrangiana, el movimiento de un cuerpo continuo se expresa mediante la función de mapeo (Figura 2), ${\displaystyle \chi (\cdot )}$

${\displaystyle \mathbf {x} =\chi (\mathbf {X} ,t)}$

que es un mapeo de la configuración inicial sobre la configuración actual , dando una correspondencia geométrica entre ellas, es decir, dando el vector de posición que una partícula , con un vector de posición en la configuración no deformada o de referencia , ocupará en la configuración actual o deformada en ese momento . Los componentes se llaman coordenadas espaciales. ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Las propiedades físicas y cinemáticas , es decir, las propiedades termodinámicas y la velocidad del flujo, que describen o caracterizan características del cuerpo material, se expresan como funciones continuas de la posición y el tiempo, es decir . ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$ ${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)}$

La derivada material de cualquier propiedad de un continuo, que puede ser un escalar, un vector o un tensor, es la tasa de cambio temporal de esa propiedad para un grupo específico de partículas del cuerpo continuo en movimiento. La derivada material también se conoce como derivada sustancial , o derivada comoving , o derivada convectiva . Puede pensarse como la velocidad a la que cambia la propiedad cuando la mide un observador que viaja con ese grupo de partículas. ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$

En la descripción lagrangiana, la derivada material de es simplemente la derivada parcial con respecto al tiempo, y el vector de posición se mantiene constante ya que no cambia con el tiempo. Así, tenemos ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]}$

La posición instantánea es una propiedad de una partícula y su derivada material es la velocidad de flujo instantánea de la partícula. Por lo tanto, el campo de velocidad del flujo del continuo está dado por ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}={\frac {d\mathbf {x} }{dt}}={\frac {\partial \chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}}$

De manera similar, el campo de aceleración está dado por

${\displaystyle \mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}={\ddot {\mathbf {x} }}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t^{2}}}}$

La continuidad en la descripción lagrangiana se expresa por la continuidad espacial y temporal del mapeo desde la configuración de referencia hasta la configuración actual de los puntos materiales. Todas las cantidades físicas que caracterizan el continuo se describen de esta manera. En este sentido, la función y es univaluada y continua, con derivadas continuas con respecto al espacio y al tiempo en cualquier orden que se requiera, generalmente al segundo o al tercero. ${\displaystyle \chi (\cdot )}$ ${\displaystyle P_{ij\ldots }(\cdot )}$

Descripción euleriana

La continuidad permite a la inversa rastrear hacia atrás dónde estaba ubicada la partícula actualmente ubicada en la configuración inicial o referenciada . En este caso la descripción del movimiento se realiza en términos de las coordenadas espaciales, en cuyo caso se denomina descripción espacial o descripción euleriana, es decir, se toma como configuración de referencia la configuración actual . ${\displaystyle \chi (\cdot )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

La descripción euleriana, introducida por d'Alembert , se centra en la configuración actual , prestando atención a lo que ocurre en un punto fijo del espacio a medida que avanza el tiempo, en lugar de prestar atención a las partículas individuales a medida que se mueven a través del espacio y el tiempo. Este enfoque se aplica convenientemente en el estudio del flujo de fluidos donde la propiedad cinemática de mayor interés es la velocidad a la que se produce el cambio en lugar de la forma del cuerpo de fluido en un tiempo de referencia. ^[14] ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Matemáticamente, el movimiento de un continuo usando la descripción euleriana se expresa mediante la función de mapeo

${\displaystyle \mathbf {X} =\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t)}$

lo que proporciona un seguimiento de la partícula que ahora ocupa la posición en la configuración actual hasta su posición original en la configuración inicial . ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

Una condición necesaria y suficiente para que exista esta función inversa es que el determinante de la matriz jacobiana , a menudo denominada simplemente jacobiana, sea diferente de cero. De este modo,

${\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \chi _{i}}{\partial X_{J}}}\right|=\left|{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{J}}}\right|\neq 0}$

En la descripción euleriana, las propiedades físicas se expresan como ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$

${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)=P_{ij\ldots }[\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t),t]=p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$

donde la forma funcional de en la descripción lagrangiana no es la misma que la forma de en la descripción euleriana. ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$ ${\displaystyle p_{ij\ldots }}$

La derivada material de , usando la regla de la cadena, es entonces ${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]{\frac {dx_{k}}{dt}}}$

El primer término del lado derecho de esta ecuación da la tasa de cambio local de la propiedad que ocurre en la posición . El segundo término del lado derecho es la tasa de cambio convectivo y expresa la contribución del cambio de posición de la partícula en el espacio (movimiento). ${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

La continuidad en la descripción euleriana se expresa por la continuidad espacial y temporal y la diferenciabilidad continua del campo de velocidad del flujo. Todas las cantidades físicas se definen así en cada instante de tiempo, en la configuración actual, en función de la posición del vector . ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Campo de desplazamiento

El vector que une las posiciones de una partícula en la configuración no deformada y en la configuración deformada se llama vector de desplazamiento , en la descripción lagrangiana, o , en la descripción euleriana. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$

Un campo de desplazamiento es un campo vectorial de todos los vectores de desplazamiento de todas las partículas del cuerpo, que relaciona la configuración deformada con la configuración no deformada. Es conveniente hacer el análisis de deformación o movimiento de un cuerpo continuo en términos del campo de desplazamiento. En general, el campo de desplazamiento se expresa en términos de las coordenadas del material como

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$

o en términos de las coordenadas espaciales como

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}\,}$

donde están los cosenos directores entre los sistemas de coordenadas materiales y espaciales con vectores unitarios y , respectivamente. De este modo ${\displaystyle \alpha _{Ji}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{J}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$

y la relación entre y viene dada por ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle U_{J}}$

${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$

Sabiendo que

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$

entonces

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$

Es común superponer los sistemas de coordenadas para las configuraciones deformadas y no deformadas, lo que da como resultado y los cosenos directores se convierten en deltas de Kronecker , es decir ${\displaystyle \mathbf {b} =0}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$

Así, tenemos

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}}$

o en términos de las coordenadas espaciales como

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$

Ecuaciones gubernamentales

La mecánica continua se ocupa del comportamiento de materiales que pueden aproximarse como continuos durante determinadas escalas de longitud y tiempo. Las ecuaciones que gobiernan la mecánica de dichos materiales incluyen las leyes de equilibrio de masa , momento y energía . Se necesitan relaciones cinemáticas y ecuaciones constitutivas para completar el sistema de ecuaciones gobernantes. Se pueden aplicar restricciones físicas sobre la forma de las relaciones constitutivas exigiendo que la segunda ley de la termodinámica se cumpla en todas las condiciones. En la mecánica del continuo de los sólidos, la segunda ley de la termodinámica se cumple si se satisface la forma de Clausius-Duhem de la desigualdad de entropía.

Las leyes del equilibrio expresan la idea de que la tasa de cambio de una cantidad (masa, momento, energía) en un volumen debe surgir de tres causas:

1. la cantidad física misma fluye a través de la superficie que limita el volumen,
2. hay una fuente de la cantidad física en la superficie del volumen, y/y,
3. hay una fuente de la cantidad física dentro del volumen.

Sea el cuerpo (un subconjunto abierto del espacio euclidiano) y sea su superficie (el límite de ). ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Dejemos que el movimiento de los puntos materiales en el cuerpo se describa mediante el mapa.

${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\chi }}(\mathbf {X} )=\mathbf {x} (\mathbf {X} )}$

donde es la posición de un punto en la configuración inicial y es la ubicación del mismo punto en la configuración deformada. ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

El gradiente de deformación está dado por

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}=\nabla \mathbf {x} ~.}$

Leyes de equilibrio

Sea una cantidad física que fluye a través del cuerpo. Sean fuentes en la superficie del cuerpo y fuentes dentro del cuerpo. Sea la unidad exterior normal a la superficie . Sea la velocidad de flujo de las partículas físicas que transportan la cantidad física que fluye. Además, sea la velocidad a la que se mueve la superficie delimitadora (en la dirección ). ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Entonces, las leyes del equilibrio se pueden expresar en la forma general.

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left[\int _{\Omega }f(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}\right]=\int _{\partial \Omega }f(\mathbf {x} ,t)[u_{n}(\mathbf {x} ,t)-\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)]~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }g(\mathbf {x} ,t)~{\text{dA}}+\int _{\Omega }h(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}~.}$

Las funciones , y pueden tener valores escalares, valores vectoriales o valores tensoriales, dependiendo de la cantidad física de la que trata la ecuación de equilibrio. Si en el cuerpo existen límites internos, las discontinuidades de salto también deben especificarse en las leyes del equilibrio. ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$

Si tomamos el punto de vista euleriano , se puede demostrar que las leyes de equilibrio de masa, momento y energía para un sólido se pueden escribir como (asumiendo que el término fuente es cero para las ecuaciones de masa y momento angular)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\rho }}+\rho ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho ~{\dot {\mathbf {v} }}-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-\rho ~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum (Cauchy's first law of motion)}}\\{\boldsymbol {\sigma }}&={\boldsymbol {\sigma }}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum (Cauchy's second law of motion)}}\\\rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

En las ecuaciones anteriores es la densidad de masa (corriente), es la derivada del tiempo del material , es la velocidad de la partícula, es la derivada del tiempo del material , es el tensor de tensión de Cauchy , es la densidad de fuerza del cuerpo, es la energía interna por unidad de masa , es la derivada material del tiempo de , es el vector de flujo de calor y es una fuente de energía por unidad de masa. Los operadores utilizados se definen a continuación. ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle {\dot {\rho }}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle e(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle {\dot {e}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle s(\mathbf {x} ,t)}$

Con respecto a la configuración de referencia (el punto de vista lagrangiano), las leyes del equilibrio se pueden escribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}&={\boldsymbol {P}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {P}}^{T}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

En lo anterior, es el primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff y es la densidad de masa en la configuración de referencia. El primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff está relacionado con el tensor de tensión de Cauchy por ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~{\text{where}}~J=\det({\boldsymbol {F}})}$

Alternativamente, podemos definir el tensor de tensión nominal que es la transpuesta del primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff tal que ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}~.}$

Entonces las leyes del equilibrio se vuelven

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {N}}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}&={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {N}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

Operadores

Los operadores en las ecuaciones anteriores se definen como

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} =\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}=v_{i,j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}=v_{i,i}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial S_{ij}}{\partial x_{j}}}~\mathbf {e} _{i}=\sigma _{ij,j}~\mathbf {e} _{i}~.}$

donde es un campo vectorial, es un campo tensorial de segundo orden y son los componentes de una base ortonormal en la configuración actual. También, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\mathbf {v} =\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial X_{j}}}\mathbf {E} _{i}\otimes \mathbf {E} _{j}=v_{i,j}\mathbf {E} _{i}\otimes \mathbf {E} _{j}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial X_{i}}}=v_{i,i}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {S}}=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial S_{ij}}{\partial X_{j}}}~\mathbf {E} _{i}=S_{ij,j}~\mathbf {E} _{i}}$

donde es un campo vectorial, es un campo tensorial de segundo orden y son los componentes de una base ortonormal en la configuración de referencia. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{i}}$

El producto interior se define como

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}:{\boldsymbol {B}}=\sum _{i,j=1}^{3}A_{ij}~B_{ij}=\operatorname {trace} ({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}^{T})~.}$

Desigualdad de Clausius-Duhem

La desigualdad de Clausius-Duhem se puede utilizar para expresar la segunda ley de la termodinámica para materiales elástico-plásticos. Esta desigualdad es una afirmación sobre la irreversibilidad de los procesos naturales, especialmente cuando se trata de disipación de energía.

Al igual que en las leyes del equilibrio de la sección anterior, asumimos que hay un flujo de una cantidad, una fuente de la cantidad y una densidad interna de la cantidad por unidad de masa. La cantidad de interés en este caso es la entropía. Por lo tanto, suponemos que hay un flujo de entropía, una fuente de entropía, una densidad de masa interna y una entropía interna específica (es decir, entropía por unidad de masa) en la región de interés. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \eta }$

Sea tal región y sea su límite. Entonces, la segunda ley de la termodinámica establece que la tasa de aumento de en esta región es mayor o igual a la suma de la suministrada (como flujo o desde fuentes internas) y el cambio de la densidad de entropía interna debido al material que fluye en y fuera de la región. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \rho \eta }$

Dejemos que se muevan con una velocidad de flujo y dejemos que las partículas del interior tengan velocidades . Sea la unidad normal hacia afuera a la superficie . Sea la densidad de la materia en la región, el flujo de entropía en la superficie y la fuente de entropía por unidad de masa. Entonces la desigualdad de entropía se puede escribir como ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\bar {q}}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }{\bar {q}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }\rho ~r~{\text{dV}}.}$

El flujo de entropía escalar se puede relacionar con el flujo vectorial en la superficie mediante la relación . Bajo el supuesto de condiciones incrementalmente isotérmicas, tenemos ${\displaystyle {\bar {q}}=-{\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )={\cfrac {\mathbf {q} (\mathbf {x} )}{T}}~;~~r={\cfrac {s}{T}}}$

donde es el vector de flujo de calor, es una fuente de energía por unidad de masa y es la temperatura absoluta de un punto material en un momento . ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle t}$

Entonces tenemos la desigualdad de Clausius-Duhem en forma integral:

${\displaystyle {{\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}-\int _{\partial \Omega }{\cfrac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }{\cfrac {\rho ~s}{T}}~{\text{dV}}.}}$

Podemos demostrar que la desigualdad de entropía se puede escribir en forma diferencial como

${\displaystyle {\rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}}$

En términos de la tensión de Cauchy y la energía interna, la desigualdad de Clausius-Duhem puede escribirse como

${\displaystyle {\rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}.}}$

Validez

La validez del supuesto del continuo puede verificarse mediante un análisis teórico, en el que se identifique alguna periodicidad clara o exista homogeneidad estadística y ergodicidad de la microestructura . Más específicamente, la hipótesis del continuo depende de los conceptos de volumen elemental representativo y separación de escalas basada en la condición de Hill-Mandel. Esta condición proporciona un vínculo entre el punto de vista de un experimentalista y un teórico sobre las ecuaciones constitutivas (campos elásticos/inelásticos o acoplados lineales y no lineales), así como una forma de promediar espacial y estadísticamente la microestructura. Cuando la separación de escalas no se cumple, o cuando se quiere establecer un continuo de resolución más fina que el tamaño del elemento de volumen representativo (RVE), se emplea un elemento de volumen estadístico (SVE), que da como resultado campos continuos aleatorios. Estos últimos proporcionan una base micromecánica para elementos finitos estocásticos (SFE). Los niveles de SVE y RVE vinculan la mecánica del continuo con la mecánica estadística . Experimentalmente, el RVE sólo puede evaluarse cuando la respuesta constitutiva es espacialmente homogénea.

Aplicaciones

• Mecánica de Medios Continuos
  • Mecánica sólida
  • Mecánica de fluidos
• Ingeniería
  • Ingeniería civil
  • Ingeniería Mecánica
  • Ingeniería Aeroespacial
  • Ingeniería Biomédica
  • Ingeniería Química

Ver también

• Fenómenos de transporte
• El principio de Bernoulli
• Material elástico Cauchy
• Mecánica configuracional
• Coordenadas curvilíneas
• Ecuación de estado
• Tensores de deformación finita
• Teoría de la deformación finita
• Material hiperelástico
• Especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo.
• Autómata celular móvil
• Peridinámica (una teoría del continuo no local que conduce a ecuaciones integrales)
• Estrés (física)
• Medidas de estrés
• Cálculo tensorial
• Derivada tensorial (mecánica continua)
• Teoría de la elasticidad

Notas explicatorias

1. Maxwell señaló que existen momentos corporales que no desaparecen en un imán en un campo magnético y en un material dieléctrico en un campo eléctrico con diferentes planos de polarización. ^[13]
2. Voigt y Cosserat exploraron por primera vez las tensiones de pareja y las parejas corporales, y luego Mindlin las reintrodujo en 1960 en su trabajo para Bell Labs sobre cristales de cuarzo puro. ^{[ cita necesaria ]}

Referencias

Citas

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2. Dienes y Solem 1999, págs. 155-162.
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11. Irgens 2008.
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Trabajos citados

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Referencias generales

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enlaces externos

• "Objetividad en la mecánica del continuo clásica: movimientos, funciones eulerianas y lagrangianas; gradiente de deformación; derivadas de Lie; fórmula de suma de velocidades, Coriolis; objetividad" por Gilles Leborgne, 7 de abril de 2021: "Parte IV Fórmula de suma de velocidades y objetividad" ^{[ permanente enlace muerto ]}