Integral de superficie

Integración sobre una región no plana en el espacio 3D

La definición de integral de superficie se basa en dividir la superficie en pequeños elementos de superficie.

En matemáticas , particularmente en cálculo multivariable , una integral de superficie es una generalización de integrales múltiples para la integración sobre superficies . Puede considerarse como el análogo integral doble de la integral de línea . Dada una superficie, se puede integrar sobre esta superficie un campo escalar (es decir, una función de posición que devuelve un escalar como valor), o un campo vectorial (es decir, una función que devuelve un vector como valor). Si una región R no es plana, entonces se llama superficie , como se muestra en la ilustración.

Las integrales de superficie tienen aplicaciones en física , particularmente en las teorías del electromagnetismo clásico .

Una ilustración de un único elemento de superficie. Estos elementos se hacen infinitamente pequeños, mediante el proceso limitante, para aproximarse a la superficie.

Integrales de superficie de campos escalares.

Supongamos que f es un campo escalar, vectorial o tensor definido en una superficie S. Para encontrar una fórmula explícita para la integral de superficie de f sobre S , necesitamos parametrizar S definiendo un sistema de coordenadas curvilíneas en S , como la latitud y longitud en una esfera . Sea tal parametrización r ( s , t ) , donde ( s , t ) varía en alguna región T del plano . Entonces, la integral de superficie está dada por

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

donde la expresión entre las barras del lado derecho es la magnitud del producto cruzado de las derivadas parciales de r ( s , t ) y se conoce como elemento de superficie (que, por ejemplo, produciría un valor más pequeño cerca del polos de una esfera, donde las líneas de longitud convergen más dramáticamente y las coordenadas latitudinales están espaciadas más compactamente). La integral de superficie también se puede expresar en la forma equivalente

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

donde g es el determinante de la primera forma fundamental del mapeo de superficie r ( s , t ) . ^{[1] [2]}

Por ejemplo, si queremos encontrar el área de superficie de la gráfica de alguna función escalar, digamos z = f ( x , y ) , tenemos

${\displaystyle A=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

donde r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y )) . Así que , y . Entonces, ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))}$ ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}$

que es la fórmula estándar para el área de una superficie descrita de esta manera. Se puede reconocer el vector en la penúltima línea de arriba como el vector normal a la superficie.

Debido a la presencia del producto cruzado, las fórmulas anteriores sólo funcionan para superficies incrustadas en un espacio tridimensional.

Esto puede verse como la integración de una forma de volumen de Riemann en la superficie parametrizada, donde el tensor métrico viene dado por la primera forma fundamental de la superficie.

Integrales de superficie de campos vectoriales.

Considere un campo vectorial v sobre una superficie S , es decir, para cada r = ( x , y , z ) en S , v ( r ) es un vector.

La integral de v sobre S se definió en la sección anterior. Supongamos ahora que se desea integrar sólo la componente normal del campo vectorial sobre la superficie, siendo el resultado un escalar, generalmente llamado flujo que pasa a través de la superficie. Por ejemplo, imagine que tenemos un fluido que fluye a través de S , de modo que v ( r ) determina la velocidad del fluido en r . El flujo se define como la cantidad de fluido que fluye a través de S por unidad de tiempo.

Esta ilustración implica que si el campo vectorial es tangente a S en cada punto, entonces el flujo es cero porque el fluido simplemente fluye en paralelo a S , y ni hacia adentro ni hacia afuera. Esto también implica que si v no fluye simplemente a lo largo de S , es decir, si v tiene una componente tangencial y otra normal, entonces sólo la componente normal contribuye al flujo. Con base en este razonamiento, para encontrar el flujo, necesitamos tomar el producto escalar de v con la superficie unitaria normal n a S en cada punto, lo que nos dará un campo escalar e integrar el campo obtenido como se indicó anteriormente. En otras palabras, tenemos que integrar v con respecto al elemento vectorial de superficie , que es el vector normal a S en el punto dado, cuya magnitud es ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} ={\mathbf {n} }\mathrm {d} s}$ ${\displaystyle \mathrm {d} s=\|\mathrm {d} {\mathbf {s} }\|.}$

encontramos la formula

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{S}{\mathbf {v} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {s} }&=\iint _{S}\left({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} }\right)\,\mathrm {d} s\\&{}=\iint _{T}\left({\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot {{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}} \over \left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|}\right)\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\\&{}=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$

El producto cruzado en el lado derecho de esta expresión es una superficie normal (no necesariamente unital) determinada por la parametrización.

Esta fórmula define la integral de la izquierda (observe el punto y la notación vectorial para el elemento de superficie).

También podemos interpretar esto como un caso especial de integración de 2 formas, donde identificamos el campo vectorial con una forma 1 y luego integramos su dual de Hodge sobre la superficie. Esto equivale a integrar sobre la superficie sumergida, donde está la forma de volumen inducido en la superficie, obtenida por la multiplicación interior de la métrica de Riemann del espacio ambiental por la normal exterior de la superficie. ${\displaystyle \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {n} \right\rangle \mathrm {d} S}$ ${\displaystyle \mathrm {d} S}$

Integrales de superficie de 2 formas diferenciales

Dejar

${\displaystyle f=f_{z}\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+f_{x}\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+f_{y}\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x}$

ser una forma diferencial 2 definida en una superficie S , y sea

${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))}$

ser una orientación que preserva la parametrización de S con en D . Cambiando las coordenadas de a , las formas diferenciales se transforman como ${\displaystyle (s,t)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (s,t)}$

${\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {\partial x}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial x}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\partial y}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial y}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

Entonces se transforma en , donde denota el determinante del jacobiano de la función de transición de a . La transformación de las otras formas es similar. ${\displaystyle \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$ ${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\mathrm {d} s\wedge \mathrm {d} t}$ ${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}}$ ${\displaystyle (s,t)}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Entonces, la integral de superficie de f en S viene dada por

${\displaystyle \iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

dónde

${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right)}$

es el elemento de superficie normal a S .

Notemos que la integral de superficie de esta forma 2 es la misma que la integral de superficie del campo vectorial que tiene como componentes , y . ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle f_{z}}$

Teoremas que involucran integrales de superficie

Se pueden derivar varios resultados útiles para integrales de superficie utilizando geometría diferencial y cálculo vectorial , como el teorema de divergencia , y su generalización, el teorema de Stokes .

Dependencia de la parametrización

Notemos que definimos la integral de superficie usando una parametrización de la superficie S. Sabemos que una superficie determinada puede tener varias parametrizaciones. Por ejemplo, si movemos las ubicaciones del Polo Norte y el Polo Sur en una esfera, la latitud y longitud cambian para todos los puntos de la esfera. Una pregunta natural es entonces si la definición de la integral de superficie depende de la parametrización elegida. Para integrales de campos escalares, la respuesta a esta pregunta es sencilla; el valor de la integral de superficie será el mismo sin importar qué parametrización se utilice.

Para las integrales de campos vectoriales, las cosas son más complicadas porque está involucrada la normal a la superficie. Se puede demostrar que dadas dos parametrizaciones de la misma superficie, cuyas normales a la superficie apuntan en la misma dirección, se obtiene el mismo valor para la integral de superficie con ambas parametrizaciones. Sin embargo, si las normales para estas parametrizaciones apuntan en direcciones opuestas, el valor de la integral de superficie obtenida usando una parametrización es el negativo del obtenido mediante la otra parametrización. De ello se deduce que, dada una superficie, no necesitamos ceñirnos a ninguna parametrización única, pero, al integrar campos vectoriales, sí necesitamos decidir de antemano en qué dirección apuntará la normal y luego elegir cualquier parametrización consistente con esa dirección.

Otro problema es que a veces las superficies no tienen parametrizaciones que cubran toda la superficie. La solución obvia es entonces dividir esa superficie en varias partes, calcular la integral de superficie en cada pieza y luego sumarlas todas. De hecho, así es como funcionan las cosas, pero al integrar campos vectoriales, uno debe volver a tener cuidado al elegir el vector que apunta normal para cada pieza de la superficie, de modo que cuando las piezas se vuelvan a juntar, los resultados sean consistentes. Para el cilindro, esto significa que si decidimos que para la región lateral la normal apuntará hacia afuera del cuerpo, entonces para las partes circulares superior e inferior, la normal también debe apuntar hacia afuera del cuerpo.

Por último, hay superficies que no admiten una superficie normal en cada punto con resultados consistentes (por ejemplo, la cinta de Möbius ). Si dicha superficie se divide en pedazos, en cada pedazo se elige una parametrización y la normal de superficie correspondiente, y las piezas se vuelven a juntar, encontraremos que los vectores normales provenientes de diferentes pedazos no se pueden conciliar. Esto significa que en algún cruce entre dos piezas tendremos vectores normales apuntando en direcciones opuestas. Tal superficie se llama no orientable y, en este tipo de superficie, no se puede hablar de integración de campos vectoriales.

Ver también

• Elemento de área
• Teorema de divergencia
• teorema de stokes
• Integral de línea
• elemento de volumen
• Integral de volumen
• sistema de coordenadas Cartesianas
• Elementos de volumen y área de superficie en sistemas de coordenadas esféricas.
• Elementos de volumen y área de superficie en sistemas de coordenadas cilíndricas.
• Método Holstein-Arenque

Referencias

1. Edwards, CH (1994). Cálculo Avanzado de Varias Variables . Mineola, Nueva York: Dover. pag. 335.ISBN _ 0-486-68336-2.
2. Hazewinkel, Michiel (2001). "Integral de superficie". Enciclopedia de Matemáticas . Saltador. ISBN 978-1-55608-010-4.

enlaces externos

• Integral de superficie - de MathWorld
• Integral de superficie: teoría y ejercicios.