Integral múltiple

Generalización de integrales definidas a funciones de múltiples variables.

Integral como área entre dos curvas.

Integral doble como volumen bajo una superficie z = 10 − (x ² − y ²/8) . La región rectangular en la parte inferior del cuerpo es el dominio de integración, mientras que la superficie es la gráfica de la función de dos variables a integrar.

En matemáticas ( específicamente cálculo multivariable ), una integral múltiple es una integral definida de una función de varias variables reales , por ejemplo, f ( x , y ) of ( x , y , z ) . Interpretación física (filosofía natural): S cualquier superficie, V cualquier volumen, etc. Incl. variable al tiempo, posición, etc.

Las integrales de una función de dos variables sobre una región en (el plano de números reales ) se llaman integrales dobles , y las integrales de una función de tres variables sobre una región en (el espacio 3D de números reales) se llaman integrales triples . ^[1] Para integrales múltiples de una función de una sola variable, consulte la fórmula de Cauchy para integración repetida . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Introducción

Así como la integral definida de una función positiva de una variable representa el área de la región entre la gráfica de la función y el eje x , la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región entre la superficie definida por la función (en el plano cartesiano tridimensional donde z = f ( x , y ) ) y el plano que contiene su dominio . ^[1] Si hay más variables, una integral múltiple producirá hipervolúmenes de funciones multidimensionales.

La integración múltiple de una función en n variables: f ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) sobre un dominio D se representa más comúnmente mediante signos integrales anidados en el orden inverso de ejecución (el signo integral más a la izquierda se calcula al final ), seguido de los argumentos de la función y el integrando en el orden correcto (la integral con respecto al argumento más a la derecha se calcula en último lugar). El dominio de integración se representa simbólicamente para cada argumento sobre cada signo integral o se abrevia mediante una variable en el signo integral más a la derecha: ^[2]

${\displaystyle \int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}$

Dado que el concepto de primitiva sólo se define para funciones de una única variable real, la definición habitual de integral indefinida no se extiende inmediatamente a la integral múltiple.

Definición matemática

Para n > 1 , considere el llamado dominio hiperrectangular n -dimensional T "semiabierto" , definido como:

${\displaystyle T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$

Divida cada intervalo [ a _j , b _j ) en una familia finita I _j de subintervalos i _{j α} que no se superpongan , con cada subintervalo cerrado en el extremo izquierdo y abierto en el extremo derecho.

Entonces la familia finita de subrectángulos C dada por

${\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$

es una partición de T ; es decir, los subrectángulos C _k no se superponen y su unión es T .

Sea f  : T → R una función definida en T . Considere una partición C de T como se definió anteriormente, tal que C es una familia de m subrectángulos C _m y

${\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}}$

Podemos aproximar el volumen total ( n + 1 ) -dimensional limitado abajo por el hiperrectángulo n -dimensional T y arriba por la gráfica n -dimensional de f con la siguiente suma de Riemann :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}$

donde P _k es un punto en C _k y m( C _k ) es el producto de las longitudes de los intervalos cuyo producto cartesiano es C _k , también conocido como medida de C _k .

El diámetro de un subrectángulo C _k es la mayor de las longitudes de los intervalos cuyo producto cartesiano es C _k . El diámetro de una partición dada de T se define como el mayor de los diámetros de los subrectángulos en la partición. Intuitivamente, a medida que el diámetro de la partición C se hace cada vez más pequeño, el número de subrectángulos m aumenta y la medida m( C _k ) de cada subrectángulo se hace más pequeña. Se dice que la función f es integrable de Riemann si el límite

${\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}$

existe, donde el límite se toma sobre todas las particiones posibles de T de diámetro como máximo δ . ^[3]

Si f es integrable de Riemann, S se llama integral de Riemann de f sobre T y se denota

${\displaystyle \int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}$

Con frecuencia esta notación se abrevia como

${\displaystyle \int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} .}$

donde x representa la n -tupla ( x ₁ , ..., x _n ) y d ⁿ x es el diferencial de volumen de n dimensiones .

La integral de Riemann de una función definida sobre un conjunto arbitrario acotado de n dimensiones se puede definir extendiendo esa función a una función definida sobre un rectángulo medio abierto cuyos valores son cero fuera del dominio de la función original. Entonces la integral de la función original sobre el dominio original se define como la integral de la función extendida sobre su dominio rectangular, si existe.

En lo que sigue, la integral de Riemann en n dimensiones se llamará integral múltiple .

Propiedades

Las integrales múltiples tienen muchas propiedades comunes a las de las integrales de funciones de una variable (linealidad, conmutatividad, monotonicidad, etc.). Una propiedad importante de las integrales múltiples es que el valor de una integral es independiente del orden de los integrandos bajo ciertas condiciones. Esta propiedad se conoce popularmente como teorema de Fubini . ^[4]

Casos particulares

En el caso de , la integral ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy}$

es la integral doble de f en T , y si la integral ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}$

es la integral triple de f en T .

Observe que, por convención, la integral doble tiene dos signos de integral y la integral triple tiene tres; esta es una convención de notación que resulta útil al calcular una integral múltiple como una integral iterada, como se muestra más adelante en este artículo.

Métodos de integración

La resolución de problemas con integrales múltiples consiste, en la mayoría de los casos, en encontrar una forma de reducir la integral múltiple a una integral iterada , una serie de integrales de una variable, siendo cada una de ellas directamente solucionable. Para funciones continuas, esto está justificado por el teorema de Fubini . A veces es posible obtener el resultado de la integración mediante examen directo sin ningún cálculo.

Los siguientes son algunos métodos simples de integración: ^[1]

Integrando funciones constantes

Cuando el integrando es una función constante c , la integral es igual al producto de c y la medida del dominio de integración. Si c = 1 y el dominio es una subregión de R ² , la integral da el área de la región, mientras que si el dominio es una subregión de R ³ , la integral da el volumen de la región.

Ejemplo. Sea f ( x , y ) = 2 y

${\displaystyle D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}}$

en ese caso

${\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {area} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12,}$

ya que por definición tenemos:

${\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {area} (D).}$

Uso de simetría

Cuando el dominio de integración es simétrico con respecto al origen con respecto a al menos una de las variables de integración y el integrando es impar con respecto a esta variable, la integral es igual a cero, ya que las integrales sobre las dos mitades del dominio tienen el mismo valor absoluto pero de signos opuestos. Cuando el integrando es par con respecto a esta variable, la integral es igual al doble de la integral sobre la mitad del dominio, ya que las integrales sobre las dos mitades del dominio son iguales.

Ejemplo 1. Considere la función f ( x , y ) = 2 sin( x ) − 3 y ³ + 5 integrada en el dominio

${\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}$

un disco con radio  1 centrado en el origen con el límite incluido.

Usando la propiedad de linealidad, la integral se puede descomponer en tres partes:

${\displaystyle \iint _{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy}$

La función 2 sin( x ) es una función impar en la variable x y el disco T es simétrico con respecto al eje y , por lo que el valor de la primera integral es 0. De manera similar, la función 3 y ³ es una función impar de y , y T es simétrico con respecto al eje x , por lo que la única contribución al resultado final es la de la tercera integral. Por lo tanto, la integral original es igual al área del disco multiplicada por 5, o 5 π .

Ejemplo 2. Considere la función f ( x , y , z ) = x exp( y ² + z ² ) y como región de integración la bola de radio 2 centrada en el origen,

${\displaystyle T=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\}.}$

La "bola" es simétrica con respecto a los tres ejes, pero es suficiente integrarla con respecto al eje x para mostrar que la integral es 0, porque la función es una función impar de esa variable.

Dominios normales en R 2

Este método es aplicable a cualquier dominio D para el cual:

• la proyección de D sobre el eje x o el eje y está limitada por los dos valores, a y b
• cualquier recta perpendicular a este eje que pase entre estos dos valores corta el dominio en un intervalo cuyos puntos finales están dados por las gráficas de dos funciones, α y β .

Un dominio de este tipo se denominará aquí dominio normal . En otras partes de la literatura, los dominios normales a veces se denominan dominios de tipo I o tipo II, según el eje sobre el que se fije el dominio. En todos los casos, la función a integrar debe ser integrable de Riemann en el dominio, lo cual es cierto (por ejemplo) si la función es continua.

eje x

Si el dominio D es normal con respecto al eje x , y f  : D → R es una función continua ; entonces α ( x ) y β ( x ) (ambas definidas en el intervalo [ a , b ] ) son las dos funciones que determinan D. Entonces, según el teorema de Fubini: ^[5]

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy.}$

eje y

Si D es normal con respecto al eje y y f  : D → R es una función continua; entonces α ( y ) y β ( y ) (ambas definidas en el intervalo [ a , b ] ) son las dos funciones que determinan D. Nuevamente, según el teorema de Fubini:

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx.}$

Dominios normales en R ³

Si T es un dominio normal con respecto al plano xy y determinado por las funciones α ( x , y ) y β ( x , y ) , entonces

${\displaystyle \iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iint _{D}\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy}$

Esta definición es la misma para los otros cinco casos de normalidad en R ³ . Se puede generalizar de forma sencilla a dominios en R ⁿ .

Cambio de variables

Los límites de la integración muchas veces no son fácilmente intercambiables (sin normalidad o con fórmulas complejas para integrar). Se hace un cambio de variables para reescribir la integral en una región más "cómoda", que se puede describir con fórmulas más simples. Para ello es necesario adaptar la función a las nuevas coordenadas.

Ejemplo 1a. La función es f ( x , y ) = ( x − 1 ) ² + √ y ; si se adopta la sustitución u = x − 1 , v = y entonces x = u + 1 , y = v se obtiene la nueva función f ₂ ( u , v ) = ( u ) ² + √ v .

• Lo mismo ocurre con el dominio porque está delimitado por las variables originales que se transformaron antes ( xey en el ejemplo ) .
• los diferenciales dx y dy se transforman mediante el valor absoluto del determinante de la matriz jacobiana que contiene las derivadas parciales de las transformaciones respecto de la nueva variable (considérese, como ejemplo, la transformación diferencial en coordenadas polares).

Existen tres "tipos" principales de cambios de variable (uno en R ² , dos en R ³ ); sin embargo, se pueden realizar sustituciones más generales utilizando el mismo principio.

Coordenadas polares

Transformación de coordenadas cartesianas a polares.

En R ² si el dominio tiene simetría circular y la función tiene algunas características particulares se puede aplicar la transformación a coordenadas polares (ver el ejemplo en la imagen) lo que significa que los puntos genéricos P ( x , y ) en coordenadas cartesianas cambian a sus respectivos puntos en coordenadas polares. Eso permite cambiar la forma del dominio y simplificar las operaciones.

La relación fundamental para realizar la transformación es la siguiente:

${\displaystyle f(x,y)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ).}$

Ejemplo 2a. La función es f ( x , y ) = x + y y aplicando la transformación se obtiene

${\displaystyle f(x,y)=f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )=\rho \cos \varphi +\rho \sin \varphi =\rho (\cos \varphi +\sin \varphi ).}$

Ejemplo 2b. La función es f ( x , y ) = x ² + y ² , en este caso se tiene:

${\displaystyle f(x,y)=\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \right)=\rho ^{2}}$

usando la identidad trigonométrica pitagórica (muy útil para simplificar esta operación).

La transformación del dominio se realiza definiendo la longitud de la corona del radio y la amplitud del ángulo descrito para definir los intervalos ρ , φ a partir de x , y .

Ejemplo de transformación de dominio de cartesiano a polar.

Ejemplo 2c. El dominio es D = { x ² + y ² ≤ 4} , o sea una circunferencia de radio 2; Es evidente que el ángulo cubierto es el ángulo del círculo, por lo que φ varía de 0 a 2 π , mientras que el radio de la corona varía de 0 a 2 (la corona con el radio interior nulo es solo un círculo).

Ejemplo 2d. El dominio es D = { x ² + y ² ≤ 9, x ² + y ² ≥ 4, y ≥ 0} , que es la corona circular en el semiplano y positivo (consulte la imagen del ejemplo); φ describe un ángulo plano mientras que ρ varía de 2 a 3. Por lo tanto, el dominio transformado será el siguiente rectángulo :

${\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq \pi \}.}$

El determinante jacobiano de esa transformación es el siguiente:

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho }$

que se ha obtenido insertando las derivadas parciales de x = ρ cos( φ ) , y = ρ sin( φ ) en la primera columna respecto a ρ y en la segunda respecto a φ , por lo que los diferenciales dx dy en esta transformación pasan a ser ρ dρ dφ .

Una vez transformada la función y evaluado el dominio, es posible definir la fórmula para el cambio de variables en coordenadas polares:

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )\rho \,d\rho \,d\varphi .}$

φ es válida en el intervalo [0, 2π] mientras que ρ , que es una medida de longitud, sólo puede tener valores positivos.

Ejemplo 2e. La función es f ( x , y ) = x y el dominio es el mismo que en el ejemplo 2d. Del análisis anterior de D conocemos los intervalos de ρ (de 2 a 3) y de φ (de 0 a π ). Ahora cambiamos la función:

${\displaystyle f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi .}$

finalmente apliquemos la fórmula de integración:

${\displaystyle \iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \varphi \rho \,d\rho \,d\varphi .}$

Una vez conocidos los intervalos, tienes

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0.}$

Coordenadas cilíndricas

Coordenadas cilíndricas.

En R ³ la integración en dominios con base circular se puede realizar mediante el paso a coordenadas cilíndricas ; la transformación de la función se realiza mediante la siguiente relación:

${\displaystyle f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)}$

La transformación del dominio se puede lograr gráficamente, porque sólo varía la forma de la base, mientras que la altura sigue la forma de la región inicial.

Ejemplo 3a. La región es D = { x ² + y ² ≤ 9, x ² + y ² ≥ 4, 0 ≤ z ≤ 5} (ese es el "tubo" cuya base es la corona circular del Ejemplo 2d y cuya altura es 5) ; si se aplica la transformación se obtiene esta región:

${\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq z\leq 5\}}$

(es decir, el paralelepípedo cuya base es similar al rectángulo del ejemplo 2d y cuya altura es 5).

Debido a que la componente z no varía durante la transformación, los diferenciales dx dy dz varían como en el paso a coordenadas polares: por lo tanto, se convierten en ρ dρ dφ dz .

Finalmente, es posible aplicar la fórmula final a coordenadas cilíndricas:

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.}$

Este método es conveniente en caso de dominios cilíndricos o cónicos o en regiones donde es fácil individualizar el intervalo z e incluso transformar la base circular y la función.

Ejemplo 3b. La función es f ( x , y , z ) = x ² + y ² + z y como dominio de integración este cilindro : D = { x ² + y ² ≤ 9, −5 ≤ z ≤ 5} . La transformación de D en coordenadas cilíndricas es la siguiente:

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}.}$

mientras que la función se convierte

${\displaystyle f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z}$

Finalmente se puede aplicar la fórmula de integración:

${\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\left(\rho ^{2}+z\right)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz;}$

desarrollando la fórmula que tienes

${\displaystyle \int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi .}$

Coordenadas esféricas

Coordenadas esféricas.

En R ³ algunos dominios tienen simetría esférica, por lo que es posible especificar las coordenadas de cada punto de la región de integración mediante dos ángulos y una distancia. Por tanto, es posible utilizar el paso a coordenadas esféricas ; la función se transforma por esta relación:

${\displaystyle f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )}$

Los puntos en el eje z no tienen una caracterización precisa en coordenadas esféricas, por lo que θ puede variar entre 0 y 2 π .

El mejor dominio de integración para este pasaje es la esfera.

Ejemplo 4a. El dominio es D = x ² + y ² + z ² ≤ 16 (esfera con radio 4 y centro en el origen); aplicando la transformación se obtiene la región

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}.}$

El determinante jacobiano de esta transformación es el siguiente:

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \varphi &0&-\rho \sin \varphi \end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi }$

Por lo tanto, los diferenciales dx dy dz se transforman en ρ ² sin( φ ) dρ dθ dφ .

Esto produce la fórmula de integración final:

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .}$

Es mejor utilizar este método en el caso de dominios esféricos y en el caso de funciones que pueden simplificarse fácilmente mediante la primera relación fundamental de trigonometría extendida a R ³ (ver Ejemplo 4b); en otros casos puede ser mejor usar coordenadas cilíndricas (ver Ejemplo 4c).

${\displaystyle \iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .}$

El extra ρ ² y el pecado φ provienen del jacobiano.

En los siguientes ejemplos se han invertido los papeles de φ y θ .

Ejemplo 4b. D es la misma región que en el Ejemplo 4a y f ( x , y , z ) = x ² + y ² + z ² es la función a integrar. Su transformación es muy fácil:

${\displaystyle f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )=\rho ^{2},}$

mientras conocemos los intervalos de la región transformada T de D :

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}.}$

Por tanto aplicamos la fórmula de integración:

${\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi ,}$

y, desarrollándonos, obtenemos

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4096\pi }{5}}.}$

Ejemplo 4c. El dominio D es la bola con centro en el origen y radio 3 a ,

${\displaystyle D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\right\}}$

y f ( x , y , z ) = x ² + y ² es la función a integrar.

Mirando el dominio, parece conveniente adoptar el paso a coordenadas esféricas, de hecho, los intervalos de las variables que delimitan la nueva región T son obviamente:

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}.}$

Sin embargo, aplicando la transformación obtenemos

${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta .}$

Aplicando la fórmula de integración obtenemos:

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi }$

que se puede resolver convirtiéndolo en una integral iterada.

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\underbrace {\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho } _{I}\,\underbrace {\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta } _{II}\,\underbrace {\int _{0}^{2\pi }d\varphi } _{III}}$.

${\displaystyle I=\left.\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho ={\frac {\rho ^{5}}{5}}\right\vert _{0}^{3a}={\frac {243}{5}}a^{5}}$,

${\displaystyle II=\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta =-\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \,d(\cos \theta )=\int _{0}^{\pi }(\cos ^{2}\theta -1)\,d(\cos \theta )=\left.{\frac {\cos ^{3}\theta }{3}}\right|_{0}^{\pi }-\left.\cos \theta \right|_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}}$,

${\displaystyle III=\int _{0}^{2\pi }d\varphi =2\pi }$.

Recolectando todas las partes,

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =I\cdot II\cdot III={\frac {243}{5}}a^{5}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot 2\pi ={\frac {648}{5}}\pi a^{5}}$.

Alternativamente, este problema se puede resolver utilizando el paso a coordenadas cilíndricas. Los nuevos intervalos T son

${\displaystyle T=\left\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\right\};}$

el intervalo z se obtuvo dividiendo la pelota en dos hemisferios simplemente resolviendo la desigualdad de la fórmula de D (y luego transformando directamente x ² + y ² en ρ ² ). La nueva función es simplemente ρ ² . Aplicando la fórmula de integración

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.}$

Entonces obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0}^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}.\end{aligned}}}$

Gracias al paso a coordenadas cilíndricas fue posible reducir la integral triple a una integral más sencilla de una variable.

Véase también la entrada de volumen diferencial en nabla en coordenadas cilíndricas y esféricas .

Ejemplos

Integral doble sobre un rectángulo

Supongamos que deseamos integrar una función multivariable f sobre una región A :

${\displaystyle A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ and }}f(x,y)=x^{2}+4y\,}$

A partir de esto formulamos la integral iterada.

${\displaystyle \int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy}$

Primero se realiza la integral interna, integrando respecto de x y tomando y como constante, al no ser la variable de integración . El resultado de esta integral, que es una función que depende únicamente de y , se integra luego con respecto a y .

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}}$

Luego integramos el resultado con respecto a y .

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}}$

En los casos en que la integral doble del valor absoluto de la función es finita, el orden de integración es intercambiable, es decir, integrar primero con respecto a x e integrar primero con respecto a y produce el mismo resultado. Ése es el teorema de Fubini . Por ejemplo, haciendo el cálculo anterior con el orden invertido da el mismo resultado:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}}$

Integral doble sobre un dominio normal

Ejemplo: integral doble sobre la región normal D

Considere la región (consulte el gráfico en el ejemplo):

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}}$

Calcular

${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy.}$

Este dominio es normal con respecto a los ejes x e y . Para aplicar las fórmulas es necesario encontrar las funciones que determinan D y los intervalos en los que se definen estas funciones. En este caso las dos funciones son:

${\displaystyle \alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1}$

mientras que el intervalo está dado por las intersecciones de las funciones con x  = 0, por lo que el intervalo es [ a ,  b ] = [0, 1] (se ha elegido la normalidad con respecto al eje x para una mejor comprensión visual).

Ahora es posible aplicar la fórmula:

${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}}$

(en un principio se calcula la segunda integral considerando x como constante). El resto de operaciones consisten en aplicar las técnicas básicas de integración:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}.}$

Si elegimos la normalidad con respecto al eje y podríamos calcular

${\displaystyle \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx.}$

y obtener el mismo valor.

Ejemplo de dominio en R ³ que es normal con respecto al plano xy .

Calcular el volumen

Utilizando los métodos descritos anteriormente, es posible calcular los volúmenes de algunos sólidos comunes.

• Cilindro : El volumen de un cilindro con altura h y base circular de radio R se puede calcular integrando la función constante h sobre la base circular, usando coordenadas polares.

${\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}$

Esto está de acuerdo con la fórmula para el volumen de un prisma .

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\text{base area}}\times {\text{height}}.}$

• Esfera : El volumen de una esfera con radio R se puede calcular integrando la función constante 1 sobre la esfera, usando coordenadas esféricas.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}}$

• Tetraedro ( pirámide triangularo 3- simplex ): El volumen de un tetraedro con su vértice en el origen y aristas de longitud ℓ a lo largo de los ejes x , y y z se puede calcular integrando la función constante 1 sobre el tetraedro.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}\end{aligned}}}$

Esto está de acuerdo con la fórmula para el volumen de una pirámide .

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{base area}}\times {\text{height}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}.}$

Ejemplo de dominio inadecuado.

Integral impropia múltiple

En el caso de dominios ilimitados o funciones no acotadas cerca del límite del dominio, tenemos que introducir la integral impropia doble o la integral impropia triple .

Integrales múltiples e integrales iteradas

El teorema de Fubini establece que si ^[4]

${\displaystyle \iint _{A\times B}\left|f(x,y)\right|\,d(x,y)<\infty ,}$

es decir, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral múltiple dará el mismo resultado que cualquiera de las dos integrales iteradas:

${\displaystyle \iint _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy.}$

En particular, esto ocurrirá si | f ( x , y ) | es una función acotada y A y B son conjuntos acotados .

Si la integral no es absolutamente convergente, es necesario tener cuidado de no confundir los conceptos de integral múltiple e integral iterada , especialmente porque a menudo se usa la misma notación para ambos conceptos. la notación

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx}$

significa, en algunos casos, una integral iterada en lugar de una integral doble verdadera. En una integral iterada, la integral exterior

${\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \,dx}$

es la integral con respecto a x de la siguiente función de x :

${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy.}$

Por otra parte, una integral doble se define con respecto al área en el plano xy . Si la integral doble existe, entonces es igual a cada una de las dos integrales iteradas (ya sea " dy dx " o " dx dy ") y, a menudo, se calcula calculando cualquiera de las integrales iteradas. Pero a veces las dos integrales iteradas existen cuando la integral doble no existe, y en algunos casos las dos integrales iteradas son números diferentes, es decir, una tiene

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy.}$

Este es un ejemplo de reordenamiento de una integral condicionalmente convergente .

Por otro lado, algunas condiciones aseguran que las dos integrales iteradas sean iguales aunque no sea necesario que exista la integral doble. Según el teorema de Fichtenholz - Lichtenstein , si f está acotado en [0, 1] × [0, 1] y ambas integrales iteradas existen, entonces son iguales. Además, la existencia de las integrales internas asegura la existencia de las integrales externas. ^{[6] [7] [8]} La integral doble no tiene por qué existir en este caso, incluso como integral de Lebesgue , según Sierpiński . ^[9]

la notación

${\displaystyle \int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy}$

se puede utilizar si se desea ser enfático en la intención de una integral doble en lugar de una integral iterada.

integrales triples

La integral triple quedó demostrada por el teorema de Fubini. ^{[10] [11]} Teorema de Drichlet y teorema de extensión de Liouville sobre la integral triple.

Algunas aplicaciones prácticas

En general, al igual que con una variable, se puede utilizar la integral múltiple para encontrar el promedio de una función en un conjunto dado. Dado un conjunto D ⊆ R ⁿ y una función integrable f sobre D , el valor promedio de f sobre su dominio viene dado por

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx,}$

donde m ( D ) es la medida de D .

Además, las integrales múltiples se utilizan en muchas aplicaciones de la física . Los ejemplos siguientes también muestran algunas variaciones en la notación.

En mecánica , el momento de inercia se calcula como la integral de volumen (triple integral) de la densidad pesada con el cuadrado de la distancia al eje:

${\displaystyle I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV.}$

El potencial gravitacional asociado con una distribución de masa dada por una medida de masa dm en el espacio euclidiano tridimensional R ³ es ^[12]

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,dm(\mathbf {y} ).}$

Si hay una función continua ρ ( x ) que representa la densidad de la distribución en x , de modo que dm ( x ) = ρ ( x ) d ³ x , donde d ³ x es el elemento de volumen euclidiano , entonces el potencial gravitacional es

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\rho (\mathbf {y} )\,d^{3}\mathbf {y} .}$

En electromagnetismo , las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir utilizando integrales múltiples para calcular los campos magnéticos y eléctricos totales. ^[13] En el siguiente ejemplo, el campo eléctrico producido por una distribución de cargas dada por la densidad de carga volumétrica ρ ( r → ) se obtiene mediante una integral triple de una función vectorial:

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{3}r'.}$

Esto también se puede escribir como una integral con respecto a una medida firmada que representa la distribución de carga.

Ver también

• Principales teoremas de análisis que relacionan múltiples integrales:
  • Teorema de divergencia
  • teorema de stokes
  • teorema de verde

Referencias

1. Stewart, James (2008). Cálculo: primeros trascendentales (6ª ed.). Aprendizaje de Brooks Cole Cengage. ISBN 978-0-495-01166-8.
2. Larson; Edwards (2014). Cálculo multivariable (10ª ed.). Aprendizaje Cengage. ISBN 978-1-285-08575-3.
3. Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Serie de estudiantes de Walter Rudin en Matemáticas Avanzadas (3ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
4. Jones, Frank (2001). Integración de Lebesgue en el espacio euclidiano . Jones y Bartlett. págs. 527–529. ISBN 9780763717087.^{[ Falta el ISBN ]}
5. Stewart, James (7 de mayo de 2015). Cálculo, octava edición . Aprendizaje Cengage. ISBN 978-1285740621.
6. Lewin, Jonathan (2003). Una introducción interactiva al análisis matemático . Cambridge. Secta. 16.6. ISBN 978-1107694040.
7. Lewin, Jonathan (1987). "Algunas aplicaciones del teorema de convergencia acotada para un curso de introducción al análisis". El Mensual Matemático Estadounidense . AMS. 94 (10): 988–993. doi :10.2307/2322609. JSTOR  2322609.
8. Sinclair, George Edward (1974). "Una generalización finitamente aditiva del teorema de Fichtenholz-Lichtenstein". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . AMS. 193 : 359–374. doi : 10.2307/1996919 . JSTOR  1996919.
9. Bogachev, Vladimir I. (2006). Teoría de la medida . vol. 1. Saltador. Artículo 3.10.49.^{[ Falta el ISBN ]}
10. Universidad Rai (17 de marzo de 2015). "Btech_II_ ingeniería matemáticas_unit2". {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
11. "5.4 Integrales triples - Cálculo Volumen 3 | OpenStax". openstax.org . Consultado el 25 de agosto de 2022 .
12. Croquetas, Tom WB; Berkshire, Frank H. (2004). Mecánica clásica (5ª ed.). Prensa del Colegio Imperial . ISBN 978-1-86094-424-6.
13. Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.

Otras lecturas

• Adams, Robert A. (2003). Cálculo: un curso completo (5ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-79131-5.
• Jainista, RK; Iyengar, SRK (2009). Matemáticas de ingeniería avanzada (3ª ed.). Editorial Narosa. ISBN 978-81-7319-730-7.
• Herman, Edwin “Jed” y Strang, Gilbert (2016): Cálculo: Volumen 3  : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, EE. UU. ISBN 978-1-50669-805-2 . (PDF) 

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Integral múltiple". MundoMatemático .
• LD Kudryavtsev (2001) [1994], "Integral múltiple", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Asistente Matemático en Web evaluación en línea de integrales dobles en coordenadas cartesianas y polares (incluye pasos intermedios en la solución, impulsado por Maxima (software) )
• Calculadora de integral doble en línea de WolframAlpha
• Calculadora de integral triple en línea de WolframAlpha