Momento de inercia

Medida escalar de la inercia rotacional con respecto a un eje de rotación fijo.

Los equilibristas utilizan el momento de inercia de una varilla larga para mantener el equilibrio mientras caminan sobre la cuerda. Samuel Dixon cruzando el río Niágara en 1890.

Para mejorar su maniobrabilidad, los aviones de combate están diseñados para minimizar los momentos de inercia, mientras que los aviones civiles a menudo no lo hacen.

El momento de inercia , también conocido como momento de inercia de masa , masa angular/rotacional , segundo momento de masa o, más exactamente, inercia rotacional , de un cuerpo rígido es una cantidad que determina el par necesario para una aceleración angular deseada alrededor de un Eje de rotación, similar a cómo la masa determina la fuerza necesaria para una aceleración deseada . Depende de la distribución de masa del cuerpo y del eje elegido, y los momentos mayores requieren más torsión para cambiar la velocidad de rotación del cuerpo en una cantidad determinada.

Es una propiedad extensiva (aditiva): para una masa puntual, el momento de inercia es simplemente la masa multiplicada por el cuadrado de la distancia perpendicular al eje de rotación. El momento de inercia de un sistema compuesto rígido es la suma de los momentos de inercia de los subsistemas que lo componen (todos tomados alrededor del mismo eje). Su definición más simple es el segundo momento de la masa con respecto a la distancia a un eje .

Para los cuerpos obligados a girar en un plano, sólo importa su momento de inercia alrededor de un eje perpendicular al plano, un valor escalar . Para cuerpos libres de girar en tres dimensiones, sus momentos pueden describirse mediante una matriz simétrica de 3 por 3, con un conjunto de ejes principales mutuamente perpendiculares para los cuales esta matriz es diagonal y los pares alrededor de los ejes actúan independientemente uno del otro.

En ingeniería mecánica , se suele utilizar simplemente "inercia" para referirse a " masa inercial " o "momento de inercia". ^[1]

Introducción

Cuando un cuerpo puede girar libremente alrededor de un eje, se debe aplicar un par para cambiar su momento angular . La cantidad de torque necesaria para causar cualquier aceleración angular dada (la tasa de cambio en la velocidad angular ) es proporcional al momento de inercia del cuerpo. Los momentos de inercia se pueden expresar en unidades de kilogramo metro cuadrado (kg·m ² ) en unidades SI y libra-pie-segundo cuadrado (lbf·ft·s ² ) en unidades imperiales o estadounidenses .

El momento de inercia desempeña en la cinética rotacional el mismo papel que la masa (inercia) en la cinética lineal; ambas caracterizan la resistencia de un cuerpo a los cambios en su movimiento. El momento de inercia depende de cómo se distribuye la masa alrededor de un eje de rotación, y variará según el eje elegido. Para una masa puntual, el momento de inercia alrededor de algún eje está dado por , donde es la distancia del punto al eje y es la masa. Para un cuerpo rígido extendido, el momento de inercia es simplemente la suma de todos los pequeños trozos de masa multiplicada por el cuadrado de sus distancias al eje de rotación. Para un cuerpo extendido de forma regular y densidad uniforme, esta suma a veces produce una expresión simple que depende de las dimensiones, la forma y la masa total del objeto. ${\displaystyle mr^{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle m}$

En 1673, Christiaan Huygens introdujo este parámetro en su estudio de la oscilación de un cuerpo colgado de un pivote, conocido como péndulo compuesto . ^[2] El término momento de inercia ("momentum inertiae" en latín ) fue introducido por Leonhard Euler en su libro Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum en 1765, ^{[2] [3]} y se incorpora a la segunda ley de Euler .

La frecuencia natural de oscilación de un péndulo compuesto se obtiene a partir de la relación entre el par impuesto por la gravedad sobre la masa del péndulo y la resistencia a la aceleración definida por el momento de inercia. La comparación de esta frecuencia natural con la de un péndulo simple que consta de un solo punto de masa proporciona una formulación matemática para el momento de inercia de un cuerpo extendido. ^{[4] [5]}

El momento de inercia también aparece en el momento , la energía cinética y en las leyes de movimiento de Newton para un cuerpo rígido como parámetro físico que combina su forma y masa. Existe una diferencia interesante en la forma en que aparece el momento de inercia en el movimiento plano y espacial. El movimiento plano tiene un único escalar que define el momento de inercia, mientras que para el movimiento espacial los mismos cálculos arrojan una matriz de momentos de inercia de 3 × 3, llamada matriz de inercia o tensor de inercia. ^{[6] [7]}

El momento de inercia de un volante giratorio se utiliza en una máquina para resistir variaciones en el par aplicado para suavizar su salida rotacional. El momento de inercia de un avión alrededor de sus ejes longitudinal, horizontal y vertical determina cómo las fuerzas de dirección en las superficies de control de sus alas, elevadores y timones afectan los movimientos del avión en alabeo, cabeceo y guiñada.

Definición

El momento de inercia se define como el producto de la masa de la sección por el cuadrado de la distancia entre el eje de referencia y el centroide de la sección.

Los patinadores artísticos que giran pueden reducir su momento de inercia tirando de sus brazos, lo que les permite girar más rápido debido a la conservación del momento angular .

Vídeo del experimento de la silla giratoria, que ilustra el momento de inercia. Cuando el profesor de hilado tira de sus brazos, su momento de inercia disminuye; para conservar el momento angular, su velocidad angular aumenta.

El momento de inercia I también se define como la relación entre el momento angular neto L de un sistema y su velocidad angular ω alrededor de un eje principal, ^{[8] [9]} es decir

yo = L ω . {\displaystyle I={\frac {L}{\omega }}.}

Si el momento angular de un sistema es constante, a medida que el momento de inercia disminuye, la velocidad angular debe aumentar. Esto ocurre cuando los patinadores artísticos que giran tiran de sus brazos extendidos o los buzos curvan sus cuerpos en una posición doblada durante una inmersión, para girar más rápido. ^{[8] [9] [10] [11] [12] [13] [14]}

Si la forma del cuerpo no cambia, entonces su momento de inercia aparece en la ley del movimiento de Newton como la relación entre un par aplicado τ sobre un cuerpo y la aceleración angular α alrededor de un eje principal, es decir

τ = Yo α . {\displaystyle \tau =I\alpha .}

Para un péndulo simple , esta definición produce una fórmula para el momento de inercia I en términos de la masa m del péndulo y su distancia r desde el punto de pivote como,

$${\displaystyle I=mr^{2}.}$$

Por tanto, el momento de inercia del péndulo depende tanto de la masa m de un cuerpo como de su geometría o forma, definida por la distancia r al eje de rotación.

Esta fórmula simple se generaliza para definir el momento de inercia de un cuerpo de forma arbitraria como la suma de todas las masas puntuales elementales dm , cada una multiplicada por el cuadrado de su distancia perpendicular r a un eje k . Por tanto, el momento de inercia de un objeto arbitrario depende de la distribución espacial de su masa.

En general, dado un objeto de masa m , se puede definir un radio efectivo k , dependiente de un eje de rotación particular, con un valor tal que su momento de inercia alrededor del eje sea

$${\displaystyle I=mk^{2},}$$

kradio de giro

Ejemplos

Péndulo sencillo

Matemáticamente, el momento de inercia de un péndulo simple es la relación entre el par debido a la gravedad alrededor del pivote de un péndulo y su aceleración angular alrededor de ese punto de pivote. Para un péndulo simple, se encuentra que es el producto de la masa de la partícula por el cuadrado de su distancia al pivote, es decir ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle I=mr^{2}.}$$

Esto se puede demostrar de la siguiente manera: la fuerza de gravedad sobre la masa de un péndulo simple genera un par alrededor del eje perpendicular al plano del movimiento del péndulo. Aquí está el vector de distancia desde el eje de torsión hasta el centro de masa del péndulo, y es la fuerza neta sobre la masa. Asociada con este par hay una aceleración angular , , de la cuerda y la masa alrededor de este eje. Como la masa está restringida a un círculo, la aceleración tangencial de la masa es . Dado que la ecuación de torque se convierte en: ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times (m{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} )\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\alpha }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}=I\alpha \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$

donde es un vector unitario perpendicular al plano del péndulo. (El penúltimo paso utiliza la expansión del producto triple del vector con la perpendicularidad de y ). La cantidad es el momento de inercia de esta masa única alrededor del punto de pivote. ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle I=mr^{2}}$

La cantidad también aparece en el momento angular de un péndulo simple, que se calcula a partir de la velocidad de la masa del péndulo alrededor del pivote, donde es la velocidad angular de la masa alrededor del punto de pivote. Este momento angular está dado por ${\displaystyle I=mr^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \left(m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\omega }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}=I\omega \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$

De manera similar, la energía cinética de la masa del péndulo está definida por la velocidad del péndulo alrededor del pivote para producir

$${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.}$$

Esto muestra que la cantidad es cómo la masa se combina con la forma de un cuerpo para definir la inercia rotacional. El momento de inercia de un cuerpo de forma arbitraria es la suma de los valores de todos los elementos de masa del cuerpo. ${\displaystyle I=mr^{2}}$ ${\displaystyle mr^{2}}$

Péndulos compuestos

Péndulos utilizados en el aparato gravímetro de Mendenhall , de una revista científica de 1897. El gravímetro portátil desarrollado en 1890 por Thomas C. Mendenhall proporcionó las mediciones relativas más precisas del campo gravitacional local de la Tierra.

Un péndulo compuesto es un cuerpo formado a partir de un conjunto de partículas de forma continua que gira rígidamente alrededor de un pivote. Su momento de inercia es la suma de los momentos de inercia de cada una de las partículas que lo componen. ^{[15] [16] : 395–396  [17] : 51–53} La frecuencia natural ( ) de un péndulo compuesto depende de su momento de inercia, , ${\displaystyle \omega _{\text{n}}}$ ${\displaystyle I_{P}}$

$${\displaystyle \omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},}$$

^{[18] : 516–517} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle r}$

Así, para determinar el momento de inercia del cuerpo, simplemente suspenderlo de un punto de pivote conveniente para que oscile libremente en un plano perpendicular a la dirección del momento de inercia deseado, luego medir su frecuencia natural o período de oscilación ( ) , para obtener ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle I_{P}={\frac {mgr}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {mgrt^{2}}{4\pi ^{2}}},}$$

${\displaystyle t}$

Centro de oscilación

Un péndulo simple que tiene la misma frecuencia natural que un péndulo compuesto define la longitud desde el pivote hasta un punto llamado centro de oscilación del péndulo compuesto. Este punto también corresponde al centro de percusión . La longitud se determina a partir de la fórmula, ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle \omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {g}{L}}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},}$$

$${\displaystyle L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {I_{P}}{mr}}.}$$

El péndulo de segundos , que proporciona el "tic-tac" de un reloj de pie, tarda un segundo en oscilar de un lado a otro. Este es un período de dos segundos, o una frecuencia natural para el péndulo. En este caso, la distancia al centro de oscilación, , se puede calcular como ${\displaystyle \pi \ \mathrm {rad/s} }$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}\approx {\frac {9.81\ \mathrm {m/s^{2}} }{(3.14\ \mathrm {rad/s} )^{2}}}\approx 0.99\ \mathrm {m} .}$$

Observe que la distancia al centro de oscilación del péndulo de segundos debe ajustarse para acomodar diferentes valores de la aceleración local de la gravedad. El péndulo de Kater es un péndulo compuesto que utiliza esta propiedad para medir la aceleración local de la gravedad, y se llama gravímetro .

Medición del momento de inercia

El momento de inercia de un sistema complejo como un vehículo o un avión alrededor de su eje vertical se puede medir suspendiendo el sistema desde tres puntos para formar un péndulo trifilar . Un péndulo trifilar es una plataforma sostenida por tres alambres diseñados para oscilar en torsión alrededor de su eje centroidal vertical. ^[19] El período de oscilación del péndulo trifilar produce el momento de inercia del sistema. ^[20]

Momento de inercia del área.

El momento de inercia del área también se conoce como segundo momento de área . Estos cálculos se utilizan comúnmente en ingeniería civil para el diseño estructural de vigas y columnas. Áreas de sección transversal calculadas para el momento vertical del eje x y el momento horizontal del eje y . La altura ( h ) y el ancho ( b ) son medidas lineales, excepto en el caso de los círculos, que en realidad se derivan de la mitad del ancho. ${\displaystyle I_{xx}}$ ${\displaystyle I_{yy}}$
${\displaystyle r}$

Momento de áreas seccionales calculado así [21]

1. Cuadrado: ${\displaystyle I_{xx}=I_{yy}={\frac {b^{4}}{12}}}$
   
2. Rectángulo: y; ${\displaystyle I_{xx}={\frac {bh^{3}}{12}}}$ ${\displaystyle I_{yy}={\frac {hb^{3}}{12}}}$
   
3. Triangular: ${\displaystyle I_{xx}={\frac {bh^{3}}{36}}}$
   
4. Circular: ${\displaystyle I_{xx}=I_{yy}={\frac {1}{4}}{\pi }r^{4}={\frac {1}{64}}{\pi }d^{4}}$

Movimiento en un plano fijo.

Masa puntual

Cuatro objetos con masas y radios idénticos corren por un avión mientras ruedan sin resbalar.

De atrás hacia adelante:

•  caparazón esférico,
•  esfera sólida,
•  anillo cilíndrico y
•  cilindro macizo.

El tiempo que tarda cada objeto en llegar a la meta depende de su momento de inercia. ( Versión OGV )

El momento de inercia alrededor de un eje de un cuerpo se calcula sumando cada partícula del cuerpo, donde es la distancia perpendicular al eje especificado. Para ver cómo surge el momento de inercia en el estudio del movimiento de un cuerpo extendido, es conveniente considerar un conjunto rígido de masas puntuales. (Esta ecuación se puede utilizar para ejes que no son ejes principales siempre que se entienda que esto no describe completamente el momento de inercia. ^[22] ) ${\displaystyle mr^{2}}$ ${\displaystyle r}$

Considere la energía cinética de un conjunto de masas que se encuentran a distancias del punto de pivote , que es el punto más cercano en el eje de rotación. Es la suma de la energía cinética de las masas individuales, ^{[18] : 516–517  [23] : 1084–1085  [23] : 1296–1300} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle E_{\text{K}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\left(\omega r_{i}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\,\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.}$$

Esto demuestra que el momento de inercia del cuerpo es la suma de cada uno de los términos, es decir ${\displaystyle mr^{2}}$

$${\displaystyle I_{P}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.}$$

Por tanto, el momento de inercia es una propiedad física que combina la masa y la distribución de las partículas alrededor del eje de rotación. Observe que la rotación alrededor de diferentes ejes del mismo cuerpo produce diferentes momentos de inercia.

El momento de inercia de un cuerpo continuo que gira alrededor de un eje específico se calcula de la misma manera, excepto que se trata de infinitas partículas puntuales. Así, se eliminan los límites de la sumatoria y la suma se escribe de la siguiente manera:

$${\displaystyle I_{P}=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}}$$

Otra expresión reemplaza la suma con una integral ,

$${\displaystyle I_{P}=\iiint _{Q}\rho (x,y,z)\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}dV}$$

Aquí, la función da la densidad de masa en cada punto , es un vector perpendicular al eje de rotación y se extiende desde un punto en el eje de rotación hasta un punto en el sólido, y la integración se evalúa sobre el volumen del cuerpo . El momento de inercia de una superficie plana es similar, reemplazando la densidad de masa por su densidad de masa área con la integral evaluada sobre su área. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Q}$

Nota sobre el segundo momento de área : A menudo se confunden el momento de inercia de un cuerpo que se mueve en un plano y el segundo momento de área de la sección transversal de una viga. El momento de inercia de un cuerpo con la forma de la sección transversal es el segundo momento de esta área con respecto al eje perpendicular a la sección transversal, ponderado por su densidad. Esto también se llama momento polar del área y es la suma de los segundos momentos con respecto a los ejes - y -. ^[24] Las tensiones en una viga se calculan utilizando el segundo momento del área de la sección transversal alrededor del eje -o del eje -, dependiendo de la carga. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Ejemplos

El momento de inercia de un péndulo compuesto construido a partir de un disco delgado montado en el extremo de una varilla delgada que oscila alrededor de un pivote en el otro extremo de la varilla, comienza con el cálculo del momento de inercia de la varilla delgada y el disco delgado. sobre sus respectivos centros de masa. ^[23]

• El momento de inercia de una varilla delgada con sección transversal y densidad constantes y con longitud alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro de masa se determina por integración. ^{[23] : 1301} Alinee el eje con la varilla y ubique el origen, su centro de masa en el centro de la varilla, luego ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle x}$
  $${\displaystyle I_{C,{\text{rod}}}=\iiint _{Q}\rho \,x^{2}\,dV=\int _{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}\rho \,x^{2}s\,dx=\left.\rho s{\frac {x^{3}}{3}}\right|_{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}={\frac {\rho s}{3}}\left({\frac {\ell ^{3}}{8}}+{\frac {\ell ^{3}}{8}}\right)={\frac {m\ell ^{2}}{12}},}$$
  ¿ Dónde está la masa de la varilla? ${\displaystyle m=\rho s\ell }$
• El momento de inercia de un disco delgado de espesor , radio y densidad constantes alrededor de un eje que pasa por su centro y perpendicular a su cara (paralelo a su eje de simetría rotacional ) se determina por integración. ^{[23] : 1301  [ verificación fallida ]} Alinee el eje con el eje del disco y defina un elemento de volumen como , luego ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle dV=sr\,dr\,d\theta }$
  $${\displaystyle I_{C,{\text{disc}}}=\iiint _{Q}\rho \,r^{2}\,dV=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}\rho r^{2}sr\,dr\,d\theta =2\pi \rho s{\frac {R^{4}}{4}}={\frac {1}{2}}mR^{2},}$$
  ¿ Dónde está su masa? ${\displaystyle m=\pi R^{2}\rho s}$
• El momento de inercia del péndulo compuesto ahora se obtiene sumando el momento de inercia de la varilla y el disco alrededor del punto de pivote como, ${\displaystyle P}$
  $${\displaystyle I_{P}=I_{C,{\text{rod}}}+M_{\text{rod}}\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+I_{C,{\text{disc}}}+M_{\text{disc}}(L+R)^{2},}$$
  ¿ Dónde está la longitud del péndulo? Observe que el teorema de los ejes paralelos se utiliza para desplazar el momento de inercia del centro de masa al punto de pivote del péndulo. ${\displaystyle L}$

Una lista de fórmulas de momentos de inercia para formas de cuerpos estándar proporciona una manera de obtener el momento de inercia de un cuerpo complejo como un conjunto de cuerpos de formas más simples. El teorema de los ejes paralelos se utiliza para desplazar el punto de referencia de los cuerpos individuales al punto de referencia del conjunto.

Como ejemplo más, consideremos el momento de inercia de una esfera sólida de densidad constante alrededor de un eje que pasa por su centro de masa. Éste se determina sumando los momentos de inercia de los discos delgados que pueden formar la esfera cuyos centros están a lo largo del eje elegido para su consideración. Si la superficie de la pelota está definida por la ecuación ^{[23] : 1301}

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},}$$

entonces el cuadrado del radio del disco en la sección transversal a lo largo del eje es ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle r(z)^{2}=x^{2}+y^{2}=R^{2}-z^{2}.}$$

Por tanto, el momento de inercia de la bola es la suma de los momentos de inercia de los discos a lo largo del eje -, ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{C,{\text{ball}}}&=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho r(z)^{4}\,dz=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{2}-z^{2}\right)^{2}\,dz\\[1ex]&={\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left[R^{4}z-{\tfrac {2}{3}}R^{2}z^{3}+{\tfrac {1}{5}}z^{5}\right]_{-R}^{R}\\[1ex]&=\pi \rho \left(1-{\tfrac {2}{3}}+{\tfrac {1}{5}}\right)R^{5}\\[1ex]&={\tfrac {2}{5}}mR^{2},\end{aligned}}}$$

${\textstyle m={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }$

Cuerpo rígido

Los cilindros con mayor momento de inercia ruedan cuesta abajo con una aceleración menor, ya que es necesario convertir una mayor parte de su energía potencial en energía cinética de rotación.

Si un sistema mecánico está obligado a moverse paralelo a un plano fijo, entonces la rotación de un cuerpo en el sistema se produce alrededor de un eje paralelo a este plano. En este caso, el momento de inercia de la masa en este sistema es un escalar conocido como momento de inercia polar . La definición del momento polar de inercia se puede obtener considerando el momento, la energía cinética y las leyes de Newton para el movimiento plano de un sistema rígido de partículas. ^{[15] [18] [25] [26]} ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$

Si un sistema de partículas, se ensamblan en un cuerpo rígido, entonces el momento del sistema se puede escribir en términos de posiciones relativas a un punto de referencia y velocidades absolutas : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {V} ={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} ,\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Para un movimiento plano, el vector velocidad angular se dirige a lo largo del vector unitario que es perpendicular al plano de movimiento. Introducimos los vectores unitarios desde el punto de referencia a un punto , y el vector unitario , así ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {e}} _{i}&={\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta r_{i}}},\quad \mathbf {\hat {k}} ={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\omega }},\quad \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} =\omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {V} =\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \end{aligned}}}$$

Esto define el vector de posición relativa y el vector de velocidad para el sistema rígido de partículas que se mueven en un plano.

Nota sobre el producto vectorial : cuando un cuerpo se mueve paralelo a un plano de tierra, las trayectorias de todos los puntos del cuerpo se encuentran en planos paralelos a este plano de tierra. Esto quiere decir que cualquier rotación que sufra el cuerpo debe ser alrededor de un eje perpendicular a este plano. El movimiento plano a menudo se presenta proyectado sobre este plano de tierra, de modo que el eje de rotación aparece como un punto. En este caso, la velocidad angular y la aceleración angular del cuerpo son escalares y se ignora el hecho de que son vectores a lo largo del eje de rotación. Generalmente se prefiere esto para introducciones al tema. Pero en el caso del momento de inercia, la combinación de masa y geometría se beneficia de las propiedades geométricas del producto cruz. Por esta razón, en esta sección sobre movimiento plano la velocidad angular y las aceleraciones del cuerpo son vectores perpendiculares al plano del suelo, y las operaciones del producto cruz son las mismas que se utilizan para el estudio del movimiento espacial de cuerpos rígidos.

Momento angular

El vector de momento angular para el movimiento plano de un sistema rígido de partículas viene dado por ^{[15] [18]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\omega \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {V} .\end{aligned}}}$$

Utilice el centro de masa como punto de referencia para que ${\displaystyle \mathbf {C} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ,\\\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=0,\end{aligned}}}$$

y definir el momento de inercia relativo al centro de masa como ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$

$${\displaystyle I_{\mathbf {C} }=\sum _{i}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2},}$$

entonces la ecuación del momento angular se simplifica a ^{[23] : 1028}

$${\displaystyle \mathbf {L} =I_{\mathbf {C} }\omega \mathbf {\hat {k}} .}$$

El momento de inercia alrededor de un eje perpendicular al movimiento del sistema rígido y que pasa por el centro de masa se conoce como momento polar de inercia . En concreto, es el segundo momento de la masa con respecto a la distancia ortogonal a un eje (o polo). ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$

Para una determinada cantidad de momento angular, una disminución del momento de inercia da como resultado un aumento de la velocidad angular. Los patinadores artísticos pueden cambiar su momento de inercia tirando de los brazos. Por lo tanto, la velocidad angular lograda por un patinador con los brazos extendidos da como resultado una mayor velocidad angular cuando los brazos están apretados, debido al reducido momento de inercia. Sin embargo, un patinador artístico no es un cuerpo rígido.

Energía cinética

Esta cizalla rotativa de 1906 utiliza el momento de inercia de dos volantes para almacenar energía cinética que, cuando se libera, se utiliza para cortar material metálico (Biblioteca Internacional de Tecnología, 1906).

La energía cinética de un sistema rígido de partículas que se mueven en el plano viene dada por ^{[15] [18]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i},\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right),\\&={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\mathbf {\hat {t}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+\omega \mathbf {V} \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .\end{aligned}}}$$

Sea el punto de referencia el centro de masa del sistema para que el segundo término sea cero, e introduzca el momento de inercia para que la energía cinética esté dada por ^{[23] : 1084} ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$

$${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}I_{\mathbf {C} }\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .}$$

El momento de inercia es el momento polar de inercia del cuerpo. ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$

las leyes de newton

Un tractor John Deere de la década de 1920 con volante de radios en el motor. El gran momento de inercia del volante suaviza el funcionamiento del tractor.

Las leyes de Newton para un sistema rígido de partículas, se pueden escribir en términos de una fuerza y ​​un par resultantes en un punto de referencia , para producir ^{[15] [18]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {A} _{i},\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {A} _{i},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

La cinemática de un cuerpo rígido produce la fórmula para la aceleración de la partícula en términos de la posición y la aceleración de la partícula de referencia, así como el vector de velocidad angular y el vector de aceleración angular del sistema rígido de partículas como, ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {A} .}$$

Para sistemas que están restringidos a un movimiento plano, los vectores de velocidad angular y aceleración angular se dirigen perpendicularmente al plano de movimiento, lo que simplifica esta ecuación de aceleración. En este caso, los vectores de aceleración se pueden simplificar introduciendo los vectores unitarios desde el punto de referencia a un punto y los vectores unitarios , así ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{i}&=\alpha \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}-\omega \mathbf {\hat {k}} \times \omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \\&=\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} .\end{aligned}}}$$

Esto produce el par resultante en el sistema como

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}}$$

donde , y es el vector unitario perpendicular al plano para todas las partículas . ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {e}} _{i}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle P_{i}}$

Utilice el centro de masa como punto de referencia y defina el momento de inercia relativo al centro de masa , luego la ecuación para el par resultante se simplifica a ^{[23] : 1029} ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I_{\mathbf {C} }\alpha \mathbf {\hat {k}} .}$$

Movimiento en el espacio de un cuerpo rígido y matriz de inercia.

Los momentos de inercia escalares aparecen como elementos de una matriz cuando un sistema de partículas se ensambla en un cuerpo rígido que se mueve en un espacio tridimensional. Esta matriz de inercia aparece en el cálculo del momento angular, la energía cinética y el par resultante del sistema rígido de partículas. ^{[4] [5] [6] [7] [27]}

Sea el sistema de partículas ubicado en las coordenadas con velocidades relativas a un sistema de referencia fijo. Para un punto de referencia (posiblemente en movimiento) , las posiciones relativas son ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} }$$

$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{R}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Momento angular

Tenga en cuenta que el producto cruzado se puede escribir de manera equivalente como multiplicación de matrices combinando el primer operando y el operador en una matriz simétrica sesgada, construida a partir de los componentes de : ${\displaystyle \left[\mathbf {b} \right]}$ ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y},b_{z})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} \times \mathbf {y} &\equiv \left[\mathbf {b} \right]\mathbf {y} \\\left[\mathbf {b} \right]&\equiv {\begin{bmatrix}0&-b_{z}&b_{y}\\b_{z}&0&-b_{x}\\-b_{y}&b_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

La matriz de inercia se construye considerando el momento angular, siendo el punto de referencia del cuerpo elegido el centro de masa : ^{[4] [7]} ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right)\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right),\end{aligned}}}$$

centro de masa ${\displaystyle \mathbf {V_{R}} }$ ${\displaystyle =\mathbf {C} }$

Luego, la matriz simétrica sesgada obtenida del vector de posición relativa se puede utilizar para definir, ${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} }$

$${\displaystyle \mathbf {L} =\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},}$$

${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$

$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2},}$$

${\displaystyle \mathbf {C} }$

Energía cinética

La energía cinética de un sistema rígido de partículas se puede formular en términos del centro de masa y una matriz de momentos de inercia de masa del sistema. Sea el sistema de partículas ubicado en las coordenadas con velocidades , entonces la energía cinética es ^{[4] [7]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$

$${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right),}$$

${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} }$

Esta ecuación se expande para producir tres términos.

$${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right).}$$

Dado que el centro de masa está definido por , el segundo término de esta ecuación es cero. Introduzca la matriz simétrica sesgada para que la energía cinética se convierta en ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0}$ ${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot \left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }.\end{aligned}}}$$

Por tanto, la energía cinética del sistema rígido de partículas está dada por

$${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{\mathbf {C} }^{2}.}$$

${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$ ${\displaystyle M}$

Torque resultante

La matriz de inercia aparece en la aplicación de la segunda ley de Newton a un conjunto rígido de partículas. El par resultante en este sistema es, ^{[4] [7]}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} \right)\times m_{i}\mathbf {a} _{i},}$$

cinemática ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {R} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$

$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\mathbf {A} _{\mathbf {R} }.}$$

Utilice el centro de masa como punto de referencia e introduzca la matriz simétrica sesgada para representar el producto vectorial , para obtener ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]=\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right]}$ ${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} )\times }$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}}$$

El cálculo utiliza la identidad.

$${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)=0,}$$

identidad de Jacobiproducto cruzado

Prueba

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{i}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+\mathbf {A} _{\mathbf {R} })]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+0)]\\\end{aligned}}}$$

En la última afirmación, porque está en reposo o se mueve a velocidad constante pero no acelerado, o el origen del sistema de referencia de coordenadas fijo (mundial) está colocado en el centro de masa . Y distribuyendo el producto cruzado sobre la suma, obtenemos ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {R} }=0}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}]\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{{\text{tangential}},i})]\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))]\end{aligned}}}$$

Luego, se utiliza la siguiente identidad de Jacobi en el último término:

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times -({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+-[0]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\0&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})\end{aligned}}}$$

El resultado de aplicar la identidad de Jacobi puede continuar de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})]\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}))]\;\ldots {\text{ scalar triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot (0))]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})]\\&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&={\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}))\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))&={\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))\;\ldots {\text{ dot-product commutativity}}\\\end{aligned}}}$$

El resultado final se puede sustituir por la prueba principal de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{0-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})]-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})=0\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})]-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ addition associativity}}\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product distributivity over addition}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})(0)]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ summation distributivity}}\\{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}{\text{ is not characteristic of particle }}P_{i}\end{aligned}}}$$

Observe que para cualquier vector , se cumple lo siguiente: ${\displaystyle \mathbf {u} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\right)\right)\;\ldots {\text{ cross-product as matrix multiplication}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3}\\-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})+\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\+\Delta r_{3,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})-\Delta r_{1,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\-\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})+\Delta r_{1,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}\\-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{2}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{3}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}&\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\mathbf {u} \\[6pt]-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right)\mathbf {u} \;\ldots \;\mathbf {u} {\text{ is not characteristic of }}P_{i}\end{aligned}}}$$

Finalmente, el resultado se utiliza para completar la prueba principal de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}}$$

Por tanto, el par resultante sobre el sistema rígido de partículas está dado por

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},}$$

${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$

Teorema de los ejes paralelos

La matriz de inercia de un cuerpo depende de la elección del punto de referencia. Existe una relación útil entre la matriz de inercia relativa al centro de masa y la matriz de inercia relativa a otro punto . Esta relación se llama teorema de los ejes paralelos. ^{[4] [7]} ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Considere la matriz de inercia obtenida para un sistema rígido de partículas medida con respecto a un punto de referencia , dada por ${\displaystyle \mathbf {I_{R}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right]^{2}.}$$

Sea el centro de masa del sistema rígido, entonces ${\displaystyle \mathbf {C} }$

$${\displaystyle \mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {C} )+\mathbf {C} =\mathbf {d} +\mathbf {C} ,}$$

${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {C} +\mathbf {d} \right)]^{2}=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right)-\mathbf {d} ]^{2}.}$$

Distribuir sobre el producto cruzado para obtener

$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]^{2}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)[\mathbf {d} ]+[\mathbf {d} ]\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[\mathbf {d} ]^{2}.}$$

El primer término es la matriz de inercia relativa al centro de masa. Los términos segundo y tercero son cero por definición del centro de masa . Y el último término es la masa total del sistema multiplicada por el cuadrado de la matriz simétrica sesgada construida a partir de . ${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle [\mathbf {d} ]}$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$

El resultado es el teorema de los ejes paralelos,

$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }-M[\mathbf {d} ]^{2},}$$

${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Nota sobre el signo menos : al utilizar la matriz simétrica oblicua de los vectores de posición con respecto al punto de referencia, la matriz de inercia de cada partícula tiene la forma , que es similar a la que aparece en el movimiento plano. Sin embargo, para que esto funcione correctamente se necesita un signo menos. Este signo menos se puede absorber en el término , si se desea, utilizando la propiedad de simetría sesgada de . ${\displaystyle -m\left[\mathbf {r} \right]^{2}}$ ${\displaystyle mr^{2}}$ ${\displaystyle m\left[\mathbf {r} \right]^{\mathsf {T}}\left[\mathbf {r} \right]}$ ${\displaystyle [\mathbf {r} ]}$

Momento escalar de inercia en un avión.

El momento escalar de inercia, , de un cuerpo alrededor de un eje específico cuya dirección está especificada por el vector unitario y pasa a través del cuerpo en un punto es el siguiente: ^[7] ${\displaystyle I_{L}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle I_{L}=\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,}$$

${\displaystyle \mathbf {I_{R}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} }$

Esto se deriva de la siguiente manera. Sea un conjunto rígido de partículas, , que tenga coordenadas . Elija como punto de referencia y calcule el momento de inercia alrededor de una línea L definida por el vector unitario que pasa por el punto de referencia , . El vector perpendicular de esta línea a la partícula se obtiene eliminando el componente que se proyecta sobre . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} (t)=\mathbf {R} +t\mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$

$${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }=\Delta \mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\mathbf {\hat {k}} =\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)\Delta \mathbf {r} _{i},}$$

${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle L}$

Para relacionar este momento de inercia escalar con la matriz de inercia del cuerpo, introduzca la matriz simétrica sesgada tal que , entonces tenemos la identidad ${\displaystyle \left[\mathbf {\hat {k}} \right]}$ ${\displaystyle \left[\mathbf {\hat {k}} \right]\mathbf {y} =\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {y} }$

$${\displaystyle -\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\equiv \left|\mathbf {\hat {k}} \right|^{2}\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)=\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}},}$$

${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$

La magnitud al cuadrado del vector perpendicular es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}&=\left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\&=\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\end{aligned}}}$$

La simplificación de esta ecuación utiliza la identidad del triple producto escalar.

$${\displaystyle \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\equiv \left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right),}$$

${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\\={}&\left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\={}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} .\end{aligned}}}$$

Así, el momento de inercia alrededor de la línea que pasa en la dirección se obtiene del cálculo ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{L}&=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}\\&=-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} \\&=\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \mathbf {I_{R}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Esto muestra que la matriz de inercia se puede utilizar para calcular el momento de inercia de un cuerpo alrededor de cualquier eje de rotación especificado en el cuerpo.

tensor de inercia

Para el mismo objeto, diferentes ejes de rotación tendrán diferentes momentos de inercia respecto de esos ejes. En general, los momentos de inercia no son iguales a menos que el objeto sea simétrico respecto a todos los ejes. El tensor de momento de inercia es una forma conveniente de resumir todos los momentos de inercia de un objeto en una cantidad. Puede calcularse con respecto a cualquier punto del espacio, aunque a efectos prácticos se utiliza más comúnmente el centro de masa.

Definición

Para un objeto rígido de masas puntuales , el momento de inercia del tensor viene dado por ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m_{k}}$

$${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}.}$$

Sus componentes se definen como

$${\displaystyle I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\left\|\mathbf {r} _{k}\right\|^{2}\delta _{ij}-x_{i}^{(k)}x_{j}^{(k)}\right)}$$

dónde

• ${\displaystyle i}$, es igual a 1, 2 o 3 para , y , respectivamente, ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\left(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)}\right)}$es el vector a la masa puntual desde el punto sobre el cual se calcula el tensor y ${\displaystyle m_{k}}$
• ${\displaystyle \delta _{ij}}$es el delta del Kronecker .

Tenga en cuenta que, por definición, es un tensor simétrico . ${\displaystyle \mathbf {I} }$

Los elementos diagonales se escriben de manera más sucinta como

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{yy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{zz}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right),\end{aligned}}}$$

mientras que los elementos fuera de la diagonal, también llamados productos de inercia , son

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}.\end{aligned}}}$$

Aquí denota el momento de inercia alrededor del eje cuando los objetos giran alrededor del eje x, denota el momento de inercia alrededor del eje cuando los objetos giran alrededor del eje, y así sucesivamente. ${\displaystyle I_{xx}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I_{xy}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Estas cantidades se pueden generalizar a un objeto con masa distribuida, descrito por una función de densidad de masa, de manera similar al momento de inercia escalar. Uno entonces tiene

$${\displaystyle \mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (x,y,z)\left(\|\mathbf {r} \|^{2}\mathbf {E} _{3}-\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)\,dx\,dy\,dz,}$$

donde está su producto exterior , E ₃ es la matriz identidad de 3×3 y V es una región del espacio que contiene completamente el objeto. ${\displaystyle \mathbf {r} \otimes \mathbf {r} }$

Alternativamente, también se puede escribir en términos del operador de momento angular : ${\displaystyle [\mathbf {r} ]\mathbf {x} =\mathbf {r} \times \mathbf {x} }$

$${\displaystyle \mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{\textsf {T}}[\mathbf {r} ]\,dV=-\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{2}\,dV}$$

El tensor de inercia se puede utilizar de la misma manera que la matriz de inercia para calcular el momento de inercia escalar alrededor de un eje arbitrario en la dirección , ${\displaystyle \mathbf {n} }$

$${\displaystyle I_{n}=\mathbf {n} \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {n} ,}$$

donde el producto escalar se toma con los elementos correspondientes en los tensores componentes. Un término producto de inercia tal como se obtiene mediante el cálculo ${\displaystyle I_{12}}$

$${\displaystyle I_{12}=\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {e} _{2},}$$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Los componentes de los tensores de grado dos se pueden ensamblar en una matriz. Para el tensor de inercia, esta matriz viene dada por,

$${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\[1.8ex]I_{21}&I_{22}&I_{23}\\[1.8ex]I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\[1.8ex]I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\[1.8ex]I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.}$$

Es común en mecánica de cuerpos rígidos utilizar notación que identifique explícitamente los ejes , y -, como y , para los componentes del tensor de inercia. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle I_{xx}}$ ${\displaystyle I_{xy}}$

Convención de inercia alternativa

Existen algunas aplicaciones CAD y CAE como SolidWorks, Unigraphics NX/Siemens NX y MSC Adams que utilizan una convención alternativa para los productos de inercia. Según esta convención, el signo menos se elimina del producto de las fórmulas de inercia y en su lugar se inserta en la matriz de inercia:

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k},\\[3pt]\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\[1.8ex]I_{21}&I_{22}&I_{23}\\[1.8ex]I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz}\\[1.8ex]-I_{yx}&I_{yy}&-I_{yz}\\[1.8ex]-I_{zx}&-I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Determinar la convención de inercia (método de los ejes principales)

Si se tienen los datos de inercia sin saber qué convención de inercia se ha utilizado, se puede determinar si también se tienen los ejes principales. Con el método de los ejes principales, se construyen matrices de inercia a partir de los dos supuestos siguientes: ${\displaystyle (I_{xx},I_{yy},I_{zz},I_{xy},I_{xz},I_{yz})}$

1. Se ha utilizado la convención de inercia estándar . ${\displaystyle (I_{12}=I_{xy},I_{13}=I_{xz},I_{23}=I_{yz})}$
2. Se ha utilizado la convención de inercia alternativa . ${\displaystyle (I_{12}=-I_{xy},I_{13}=-I_{xz},I_{23}=-I_{yz})}$

A continuación, se calculan los vectores propios de las dos matrices. La matriz cuyos vectores propios son paralelos a los ejes principales corresponde a la convención de inercia que se ha utilizado.

Derivación de los componentes tensoriales.

La distancia de una partícula desde el eje de rotación que pasa por el origen en la dirección es , donde es el vector unitario. El momento de inercia sobre el eje es ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \left|\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right|}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

$${\displaystyle I=mr^{2}=m\left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)\cdot \left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-2\mathbf {x} \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} +\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\mathbf {\hat {n}} ^{2}\right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\right).}$$

Reescribe la ecuación usando transposición matricial :

$${\displaystyle I=m\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} -\mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {\hat {n}} \right)=m\cdot \mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \cdot \mathbf {E_{3}} -\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {\hat {n}} ,}$$

donde E _{3 es la} matriz identidad de 3×3 .

Esto lleva a una fórmula tensorial para el momento de inercia.

$${\displaystyle I=m{\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\[0.5ex]-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\[0.5ex]-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{1}\\[0.7ex]n_{2}\\[0.7ex]n_{3}\end{bmatrix}}.}$$

Para partículas múltiples, basta recordar que el momento de inercia es aditivo para ver que esta fórmula es correcta.

Tensor de inercia de traducción

Sea el tensor de inercia de un cuerpo calculado en su centro de masa , y sea el vector de desplazamiento del cuerpo. El tensor de inercia del cuerpo trasladado respecto de su centro de masa original viene dado por: ${\displaystyle \mathbf {I} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {I} _{0}+m[(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} )\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} ]}$$

E ₃producto exterior ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \otimes }$

Tensor de inercia de rotación

Sea la matriz que representa la rotación de un cuerpo. El tensor de inercia del cuerpo rotado viene dado por: ^[28] ${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {R} \mathbf {I_{0}} \mathbf {R} ^{\textsf {T}}}$$

Matriz de inercia en diferentes sistemas de referencia.

El uso de la matriz de inercia en la segunda ley de Newton supone que sus componentes se calculan en relación con ejes paralelos al sistema de inercia y no en relación con un sistema de referencia fijo en el cuerpo. ^{[7] [25]} Esto significa que a medida que el cuerpo se mueve, los componentes de la matriz de inercia cambian con el tiempo. Por el contrario, los componentes de la matriz de inercia medidos en un marco fijo al cuerpo son constantes.

estructura del cuerpo

Denotemos la matriz de inercia del marco de la carrocería con respecto al centro de masa y defina la orientación del marco de la carrocería con respecto al marco de inercia mediante la matriz de rotación , de modo que, ${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {y} ,}$$

${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }=\mathbf {A} \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}.}$$

Observe que cambia a medida que el cuerpo se mueve, mientras permanece constante. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}}$

Ejes principales

Medida en la estructura de la carrocería, la matriz de inercia es una matriz simétrica real constante. Una matriz simétrica real tiene la descomposición propia en el producto de una matriz de rotación y una matriz diagonal , dada por ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$

$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}=\mathbf {Q} {\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {Q} ^{\mathsf {T}},}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}.}$$

Las columnas de la matriz de rotación definen las direcciones de los ejes principales del cuerpo, y las constantes , , y se denominan momentos principales de inercia . Este resultado fue demostrado por primera vez por JJ Sylvester (1852) y es una forma de la ley de inercia de Sylvester . ^{[29] [30]} El eje principal con el momento de inercia más alto a veces se llama eje de figura o eje de figura . ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$

Una peonza de juguete es un ejemplo de cuerpo rígido giratorio y la palabra peonza se utiliza en los nombres de tipos de cuerpos rígidos. Cuando todos los momentos principales de inercia son distintos, los ejes principales que pasan por el centro de masa se especifican de forma única y el cuerpo rígido se denomina cima asimétrica . Si dos momentos principales son iguales, el cuerpo rígido se llama cima simétrica y no existe una elección única para los dos ejes principales correspondientes. Si los tres momentos principales son iguales, el cuerpo rígido se llama cima esférica (aunque no es necesario que sea esférico) y cualquier eje puede considerarse eje principal, lo que significa que el momento de inercia es el mismo con respecto a cualquier eje.

Los ejes principales suelen estar alineados con los ejes de simetría del objeto. Si un cuerpo rígido tiene un eje de simetría de orden , es decir, es simétrico bajo rotaciones de 360° / m alrededor del eje dado, ese eje es un eje principal. Cuando , el cuerpo rígido es un top simétrico. Si un cuerpo rígido tiene al menos dos ejes de simetría que no son paralelos ni perpendiculares entre sí, se trata de una cima esférica, por ejemplo, un cubo o cualquier otro sólido platónico . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m>2}$

El movimiento de los vehículos a menudo se describe en términos de guiñada, cabeceo y balanceo, que normalmente corresponden aproximadamente a rotaciones alrededor de los tres ejes principales. Si el vehículo tiene simetría bilateral, entonces uno de los ejes principales corresponderá exactamente al eje transversal (paso).

Un ejemplo práctico de este fenómeno matemático es la tarea rutinaria del automóvil de equilibrar un neumático , que básicamente significa ajustar la distribución de masa de la rueda de un automóvil de modo que su eje principal de inercia esté alineado con el eje para que la rueda no se tambalee.

Las moléculas en rotación también se clasifican en cimas asimétricas, simétricas o esféricas, y la estructura de sus espectros de rotación es diferente para cada tipo.

elipsoide

Un elipsoide con los diámetros semiprincipales etiquetados como , y . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

La matriz de momentos de inercia en coordenadas corporales es una forma cuadrática que define una superficie en el cuerpo llamada elipsoide de Poinsot . ^[31] Sea la matriz de inercia relativa al centro de masa alineado con los ejes principales, entonces la superficie ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$

$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =1,}$$

$${\displaystyle I_{1}x^{2}+I_{2}y^{2}+I_{3}z^{2}=1,}$$

elipsoide

$${\displaystyle \left({\frac {x}{1/{\sqrt {I_{1}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{1/{\sqrt {I_{2}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{1/{\sqrt {I_{3}}}}}\right)^{2}=1,}$$

$${\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {I_{1}}}},\quad b={\frac {1}{\sqrt {I_{2}}}},\quad c={\frac {1}{\sqrt {I_{3}}}}.}$$

Definamos un punto de este elipsoide en términos de su magnitud y dirección, donde es un vector unitario. Entonces, la relación presentada anteriormente, entre la matriz de inercia y el momento de inercia escalar alrededor de un eje en la dirección , produce ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|\mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle I_{\mathbf {n} }}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|^{2}\mathbf {n} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {n} =\|\mathbf {x} \|^{2}I_{\mathbf {n} }=1.}$$

Por tanto, la magnitud de un punto en la dirección del elipsoide de inercia es ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\frac {1}{\sqrt {I_{\mathbf {n} }}}}.}$$

Ver también

• Momento central
• Lista de momentos de inercia
• lámina plana
• Energía rotacional
• Factor de momento de inercia

Referencias

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2. Mach, Ernst (1919). La ciencia de la mecánica. págs. 173–187 . Consultado el 21 de noviembre de 2014 .
3. Euler, Leonhard (1765). Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum: Ex primis nostrae cognitionis principiis stabilita et ad omnes motus, qui in huiusmodi corpora cadere possunt, accommodata [La teoría del movimiento de cuerpos sólidos o rígidos: establecida a partir de los primeros principios de nuestro conocimiento y apropiada para todos los movimientos que puede ocurrir en tales cuerpos.] (en latín). Rostock y Greifswald (Alemania): AF Röse. pag. 166.ISBN​ 978-1-4297-4281-8.De la página 166: "Definitio 7. 422. Momentum inertiae corporis respectu eujuspiam axis est summa omnium productorum, quae oriuntur, si singula corporis elementa per quadrata distantiarum suarum ab ax multiplicentur". (Definición 7. 422. El momento de inercia de un cuerpo con respecto a cualquier eje es la suma de todos los productos que surgen si los elementos individuales del cuerpo se multiplican por el cuadrado de sus distancias al eje).
4. Marion, JB; Thornton, ST (1995). Dinámica clásica de partículas y sistemas (4ª ed.). Thompson. ISBN 0-03-097302-3.
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enlaces externos

• Momento angular y rotación de cuerpo rígido en dos y tres dimensiones.
• Apuntes de conferencias sobre rotación de cuerpos rígidos y momentos de inercia.
• El tensor de momento de inercia.
• Una lección introductoria sobre el momento de inercia: mantener un poste vertical sin caer (simulación Java)
• Tutorial sobre cómo encontrar momentos de inercia, con problemas y soluciones sobre varias formas básicas.
• Notas sobre mecánica de manipulación: el tensor de inercia angular

• Calculadora de momento de inercia gratuita y fácil de usar en línea