elemento de volumen

En matemáticas , un elemento de volumen proporciona un medio para integrar una función con respecto al volumen en varios sistemas de coordenadas, como coordenadas esféricas y coordenadas cilíndricas . Así, un elemento de volumen es una expresión de la forma

${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}$

donde están las coordenadas, de modo que el volumen de cualquier conjunto se puede calcular mediante ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \operatorname {Volume} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$

Por ejemplo, en coordenadas esféricas , etc. ${\displaystyle \mathrm {d} V=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}$ ${\displaystyle \rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}}$

La noción de elemento de volumen no se limita a tres dimensiones: en dos dimensiones a menudo se le conoce como elemento de área , y en este contexto es útil para hacer integrales de superficie . Bajo cambios de coordenadas, el elemento de volumen cambia según el valor absoluto del determinante jacobiano de la transformación de coordenadas (mediante la fórmula de cambio de variables ). Este hecho permite definir elementos de volumen como una especie de medida en una variedad . En una variedad diferenciable orientable , un elemento de volumen surge típicamente de una forma de volumen : una forma diferencial de grado superior . En una variedad no orientable, el elemento de volumen suele ser el valor absoluto de una forma de volumen (definida localmente): define una densidad 1 .

Elemento de volumen en el espacio euclidiano.

En el espacio euclidiano , el elemento volumen viene dado por el producto de los diferenciales de las coordenadas cartesianas

${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.}$

En diferentes sistemas de coordenadas de la forma ,, el elemento de volumen cambia según el jacobiano (determinante) del cambio de coordenadas: ${\displaystyle x=x(u_{1},u_{2},u_{3})}$ ${\displaystyle y=y(u_{1},u_{2},u_{3})}$ ${\displaystyle z=z(u_{1},u_{2},u_{3})}$

${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$

Por ejemplo, en coordenadas esféricas (convención matemática)

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}}$

el determinante jacobiano es

${\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\phi ,\theta )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi }$

de modo que

${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi .}$

Esto puede verse como un caso especial del hecho de que las formas diferenciales se transforman a través de un retroceso como ${\displaystyle F^{*}}$

${\displaystyle F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$

Elemento de volumen de un subespacio lineal.

Considere el subespacio lineal del espacio euclidiano de n dimensiones R ⁿ que está abarcado por una colección de vectores linealmente independientes

${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}.}$

Para encontrar el elemento de volumen del subespacio, es útil saber del álgebra lineal que el volumen del paralelepípedo abarcado por es la raíz cuadrada del determinante de la matriz de Gramian de : ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle {\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.}$

A cualquier punto p en el subespacio se le pueden dar coordenadas tales que ${\displaystyle (u_{1},u_{2},\dots ,u_{k})}$

${\displaystyle p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.}$

En un punto p , si formamos un pequeño paralelepípedo de lados , entonces el volumen de ese paralelepípedo es la raíz cuadrada del determinante de la matriz grammiana ${\displaystyle \mathrm {d} u_{i}}$

${\displaystyle {\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\cdots \,\mathrm {d} u_{k}.}$

Por lo tanto, esto define la forma del volumen en el subespacio lineal.

Elemento de volumen de colectores.

En una variedad de Riemann orientada de dimensión n , el elemento de volumen es una forma de volumen igual al dual de Hodge de la función constante unitaria ,: ${\displaystyle f(x)=1}$

${\displaystyle \omega =\star 1.}$

De manera equivalente, el elemento volumen es precisamente el tensor de Levi-Civita . ^[1] En coordenadas, ${\displaystyle \epsilon }$

$${\displaystyle \omega =\epsilon ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$$

determinantetensor métrico g ${\displaystyle \det g}$

Elemento de área de una superficie

Se puede explorar un ejemplo simple de un elemento de volumen considerando una superficie bidimensional incrustada en un espacio euclidiano de n dimensiones . A este elemento de volumen a veces se le llama elemento de área . Considere un subconjunto y una función de mapeo. ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$

definiendo así una superficie incrustada en . En dos dimensiones, el volumen es solo área y un elemento de volumen proporciona una forma de determinar el área de partes de la superficie. Así, un elemento de volumen es una expresión de la forma ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}}$

que permite calcular el área de un conjunto B que se encuentra en la superficie calculando la integral

${\displaystyle \operatorname {Area} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}.}$

Aquí encontraremos el elemento de volumen en la superficie que define el área en el sentido habitual. La matriz jacobiana del mapeo es

${\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}}$

con índice i que va de 1 a n , y j que va de 1 a 2. La métrica euclidiana en el espacio n -dimensional induce una métrica en el conjunto U , con elementos de matriz ${\displaystyle g=\lambda ^{T}\lambda }$

${\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{ki}\lambda _{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}.}$

El determinante de la métrica viene dado por

${\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(\lambda ^{T}\lambda )}$

Para una superficie regular, este determinante no desaparece; de manera equivalente, la matriz jacobiana tiene rango 2.

Consideremos ahora un cambio de coordenadas en U , dado por un difeomorfismo

${\displaystyle f\colon U\to U,}$

de modo que las coordenadas estén dadas en términos de por . La matriz jacobiana de esta transformación viene dada por ${\displaystyle (u_{1},u_{2})}$ ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$ ${\displaystyle (u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})}$

${\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}.}$

En las nuevas coordenadas tenemos

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}}$

y entonces la métrica se transforma como

${\displaystyle {\tilde {g}}=F^{T}gF}$

¿Dónde está la métrica de retroceso en el sistema de coordenadas v ? El determinante es ${\displaystyle {\tilde {g}}}$

${\displaystyle \det {\tilde {g}}=\det g\left(\det F\right)^{2}.}$

Dada la construcción anterior, ahora debería ser sencillo comprender cómo el elemento de volumen es invariante ante un cambio de coordenadas que preserva la orientación.

En dos dimensiones, el volumen es sólo el área. El área de un subconjunto está dada por la integral ${\displaystyle B\subset U}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\;\mathrm {d} u_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\left|\det F\right|\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, en cualquier sistema de coordenadas, el elemento de volumen toma la misma expresión: la expresión del elemento de volumen es invariante ante un cambio de coordenadas.

Tenga en cuenta que no había nada particular sobre dos dimensiones en la presentación anterior; lo anterior se generaliza trivialmente a dimensiones arbitrarias.

Ejemplo: esfera

Por ejemplo, considere la esfera con radio r centrada en el origen en R ³ . Esto se puede parametrizar usando coordenadas esféricas con el mapa.

${\displaystyle \phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_{2}).}$

Entonces

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}},}$

y el elemento área es

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}.}$

Ver también

• Sistema de coordenadas cilíndricas § Elementos de línea y volumen.
• Sistema de coordenadas esféricas § Integración y diferenciación en coordenadas esféricas
• Integral de superficie
• Integral de volumen

Referencias

• Besse, Arthur L. (1987), Variedades de Einstein , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3)], vol. 10, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8

1. Carroll, Sean. Espaciotiempo y Geometría . Addison Wesley, 2004, pág. 90