Espacio métrico

Espacio matemático con noción de distancia.

El plano (un conjunto de puntos) puede equiparse con diferentes métricas. En la métrica del taxi, los caminos rojo, amarillo y azul tienen la misma longitud (12) y son todos caminos más cortos. En la métrica euclidiana, el camino verde tiene una longitud y es el único camino más corto, mientras que los caminos rojo, amarillo y azul todavía tienen una longitud de 12. ${\displaystyle 6{\sqrt {2}}\approx 8.49}$

En matemáticas , un espacio métrico es un conjunto con una noción de distancia entre sus elementos , normalmente llamados puntos . La distancia se mide mediante una función llamada métrica o función de distancia . ^[1] Los espacios métricos son el escenario más general para estudiar muchos de los conceptos de análisis matemático y geometría .

El ejemplo más familiar de espacio métrico es el espacio euclidiano tridimensional con su noción habitual de distancia. Otros ejemplos bien conocidos son una esfera equipada con la distancia angular y el plano hiperbólico . Una métrica puede corresponder a una noción de distancia metafórica, más que física: por ejemplo, el conjunto de cadenas Unicode de 100 caracteres puede equiparse con la distancia de Hamming , que mide el número de caracteres que deben cambiarse para pasar de uno a uno. cuerda a otra.

Dado que son muy generales, los espacios métricos son una herramienta utilizada en muchas ramas diferentes de las matemáticas. Muchos tipos de objetos matemáticos tienen una noción natural de distancia y por lo tanto admiten la estructura de un espacio métrico, incluidas las variedades de Riemann , los espacios vectoriales normados y las gráficas . En álgebra abstracta , los números p -ádicos surgen como elementos de la compleción de una estructura métrica sobre los números racionales . Los espacios métricos también se estudian por derecho propio en geometría métrica ^[2] y análisis de espacios métricos . ^[3]

Muchas de las nociones básicas del análisis matemático , incluidas las bolas , la completitud , así como la continuidad uniforme , Lipschitz y Hölder , se pueden definir en el marco de espacios métricos. Otras nociones, como continuidad , compacidad y conjuntos abiertos y cerrados , pueden definirse para espacios métricos, pero también en el ámbito aún más general de los espacios topológicos .

Definición e ilustración

Motivación

Un diagrama que ilustra la distancia del círculo máximo (en cian) y la distancia en línea recta (en rojo) entre dos puntos P y Q en una esfera.

Para ver la utilidad de diferentes nociones de distancia, consideremos la superficie de la Tierra como un conjunto de puntos. Podemos medir la distancia entre dos de esos puntos por la longitud del camino más corto a lo largo de la superficie , " en línea recta "; esto es particularmente útil para el transporte marítimo y la aviación. También podemos medir la distancia en línea recta entre dos puntos a través del interior de la Tierra; esta noción es, por ejemplo, natural en sismología , ya que corresponde aproximadamente al tiempo que tardan las ondas sísmicas en viajar entre esos dos puntos.

La noción de distancia codificada por los axiomas del espacio métrico tiene relativamente pocos requisitos. Esta generalidad da mucha flexibilidad a los espacios métricos. Al mismo tiempo, la noción es lo suficientemente fuerte como para codificar muchos hechos intuitivos sobre lo que significa la distancia. Esto significa que los resultados generales sobre espacios métricos se pueden aplicar en muchos contextos diferentes.

Como muchos conceptos matemáticos fundamentales, la métrica en un espacio métrico se puede interpretar de muchas maneras diferentes. Es posible que no se considere mejor una métrica particular como una medida de distancia física, sino, en cambio, como el costo de cambiar de un estado a otro (como ocurre con las métricas de Wasserstein en espacios de medidas ) o el grado de diferencia entre dos objetos (por ejemplo, la distancia de Hamming entre dos cadenas de caracteres, o la distancia de Gromov-Hausdorff entre los propios espacios métricos).

Definición

Formalmente, un espacio métrico es un par ordenado ( M , d ) donde M es un conjunto y d es una métrica de M , es decir, una función

$${\displaystyle d\,\colon M\times M\to \mathbb {R} }$$

^{[4] [5]} ${\displaystyle x,y,z\in M}$

1. La distancia de un punto a sí mismo es cero:
   $${\displaystyle d(x,x)=0}$$
2. (Positividad) La distancia entre dos puntos distintos siempre es positiva:
   $${\displaystyle {\text{If }}x\neq y{\text{, then }}d(x,y)>0}$$
3. ( Simetría ) La distancia de x a y es siempre la misma que la distancia de y a x :
   $${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$$
4. La desigualdad del triángulo se cumple:
   $${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$$
   Ésta es una propiedad natural de las nociones físicas y metafóricas de distancia: puedes llegar a z desde x tomando un desvío a través de y , pero esto no hará que tu viaje sea más rápido que el camino más corto.

Si la métrica d es inequívoca, a menudo se hace referencia, por abuso de notación, al "espacio métrico M ".

Tomando todos los axiomas excepto el segundo, se puede demostrar que la distancia siempre es no negativa:

$${\displaystyle 0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)}$$

^[6] ${\textstyle {\text{If }}x\neq y{\text{, then }}d(x,y)\neq 0}$ ${\textstyle d(x,y)=0\iff x=y}$

Ejemplos simples

los numeros reales

Los números reales con la función distancia dada por la diferencia absoluta forman un espacio métrico. Muchas propiedades de los espacios métricos y funciones entre ellos son generalizaciones de conceptos en análisis real y coinciden con esos conceptos cuando se aplican a la recta real. ${\displaystyle d(x,y)=|y-x|}$

Métricas sobre espacios euclidianos

Comparación de las distancias de Chebyshev, Euclidiana y taxi para la hipotenusa de un triángulo 3-4-5 en un tablero de ajedrez

El plano euclidiano puede equiparse con muchas métricas diferentes. La distancia euclidiana familiar de las matemáticas escolares se puede definir mediante ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle d_{2}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}$$

La distancia en taxi o Manhattan está definida por

$${\displaystyle d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=|x_{2}-x_{1}|+|y_{2}-y_{1}|}$$

La distancia máxima de , , o Chebyshev está definida por ${\displaystyle L^{\infty }}$

$${\displaystyle d_{\infty }((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\max\{|x_{2}-x_{1}|,|y_{2}-y_{1}|\}.}$$

rey en un tablero de ajedrez

De hecho, estas tres distancias, si bien tienen propiedades distintas, son similares en algunos aspectos. Informalmente, los puntos que están cerca en uno también lo están en los demás. Esta observación se puede cuantificar con la fórmula

$${\displaystyle d_{\infty }(p,q)\leq d_{2}(p,q)\leq d_{1}(p,q)\leq 2d_{\infty }(p,q),}$$

${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} ^{2}}$

Se puede definir una distancia radicalmente diferente estableciendo

$${\displaystyle d(p,q)={\begin{cases}0,&{\text{if }}p=q,\\1,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

corchetes Iverson

$${\displaystyle d(p,q)=[p\neq q]}$$

métrica discreta

Todas estas métricas tienen sentido tanto en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Subespacios

Dado un espacio métrico ( M , d ) y un subconjunto , podemos considerar que A es un espacio métrico midiendo distancias de la misma manera que lo haríamos en M. Formalmente, la métrica inducida en A es una función definida por ${\displaystyle A\subseteq M}$ ${\displaystyle d_{A}:A\times A\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle d_{A}(x,y)=d(x,y).}$$

S ²S ²(0, 1)[0, 1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Historia

En 1906 Maurice Fréchet introdujo los espacios métricos en su obra Sur quelques point du calcul fonctionnel ^[7] en el contexto del análisis funcional : su principal interés era estudiar las funciones de valor real a partir de un espacio métrico, generalizando la teoría de funciones de varios o incluso infinitas variables, como fueron iniciadas por matemáticos como Cesare Arzelà . La idea fue desarrollada aún más y colocada en su contexto adecuado por Felix Hausdorff en su obra maestra Principios de la teoría de conjuntos , que también introdujo la noción de un espacio topológico (Hausdorff) . ^[8]

Los espacios métricos generales se han convertido en una parte fundamental del plan de estudios de matemáticas. ^[9] Ejemplos destacados de espacios métricos en la investigación matemática incluyen las variedades de Riemann y los espacios vectoriales normados, que son el dominio de la geometría diferencial y el análisis funcional , respectivamente. ^[10] La geometría fractal es una fuente de algunos espacios métricos exóticos. Otros han surgido como límites a través del estudio de objetos discretos o suaves, incluidos los límites invariantes de escala en física estadística , los espacios de Alexandrov que surgen como límites de Gromov-Hausdorff de secuencias de variedades de Riemann y los límites y conos asintóticos en la teoría geométrica de grupos . Finalmente, han surgido en informática muchas aplicaciones nuevas de espacios métricos finitos y discretos .

Nociones básicas

Una función de distancia es suficiente para definir nociones de cercanía y convergencia que se desarrollaron por primera vez en el análisis real . Las propiedades que dependen de la estructura de un espacio métrico se denominan propiedades métricas . Todo espacio métrico es también un espacio topológico , y algunas propiedades métricas también pueden reformularse sin referencia a la distancia en el lenguaje de la topología; es decir, son realmente propiedades topológicas .

La topología de un espacio métrico.

Para cualquier punto x en un espacio métrico M y cualquier número real r > 0 , la bola abierta de radio r alrededor de x se define como el conjunto de puntos que son estrictamente menores que la distancia r de x :

$${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\in M:d(x,y)<r\}.}$$

xvecindadxxrxr > 0 ${\displaystyle N\subseteq M}$

Un conjunto abierto es un conjunto que es vecino de todos sus puntos. De ello se deduce que las bolas abiertas forman una base para una topología en M. En otras palabras, los conjuntos abiertos de M son exactamente las uniones de bolas abiertas. Como en cualquier topología, los conjuntos cerrados son complementos de los conjuntos abiertos. Los conjuntos pueden ser tanto abiertos como cerrados, así como ni abiertos ni cerrados.

Esta topología no contiene toda la información sobre el espacio métrico. Por ejemplo, las distancias d ₁ , d ₂ y d _∞ definidas anteriormente inducen la misma topología en , aunque se comportan de manera diferente en muchos aspectos. De manera similar, con la métrica euclidiana y su subespacio, el intervalo (0, 1) con la métrica inducida son homeomórficos pero tienen propiedades métricas muy diferentes. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Por el contrario, no a todos los espacios topológicos se les puede dar una métrica. Los espacios topológicos que son compatibles con una métrica se denominan metrizables y se comportan particularmente bien en muchos sentidos: en particular, son espacios paracompactos ^[11] de Hausdorff (por lo tanto, normales ) y primeros contables . ^[a] El teorema de metrización de Nagata-Smirnov ofrece una caracterización de la metrización en términos de otras propiedades topológicas, sin referencia a métricas.

Convergencia

La convergencia de secuencias en el espacio euclidiano se define de la siguiente manera:

Una secuencia ( x _n ) converge a un punto x si para cada ε > 0 hay un número entero N tal que para todo n > N , d ( x _n , x ) < ε .

La convergencia de secuencias en un espacio topológico se define de la siguiente manera:

Una secuencia ( x _n ) converge a un punto x si para cada conjunto abierto U que contiene x hay un número entero N tal que para todo n > N , . ${\displaystyle x_{n}\in U}$

En espacios métricos, ambas definiciones tienen sentido y son equivalentes. Este es un patrón general para las propiedades topológicas de los espacios métricos: si bien se pueden definir de una manera puramente topológica, a menudo hay una forma que utiliza la métrica que es más fácil de enunciar o más familiar a partir del análisis real.

Lo completo

Informalmente, un espacio métrico está completo si no le faltan "puntos": cada secuencia que parece que debería converger en algo en realidad converge.

Para hacer esto preciso: una secuencia ( x _n ) en un espacio métrico M es Cauchy si para cada ε > 0 hay un número entero N tal que para todo m , n > N , d ( x _m , x _n ) < ε . Según la desigualdad del triángulo, cualquier secuencia convergente es Cauchy: si x _m y x _n están a menos de ε del límite, entonces están a menos de 2 ε entre sí. Si lo contrario es cierto (toda secuencia de Cauchy en M converge), entonces M es completo.

Los espacios euclidianos están completos, al igual que las otras métricas descritas anteriormente. Dos ejemplos de espacios que no están completos son (0, 1) y los racionales, cada uno con la métrica inducida de . Se puede pensar que (0, 1) "faltan" sus puntos finales 0 y 1. A los racionales les faltan todos los irracionales, ya que cualquier irracional tiene una secuencia de racionales que convergen hacia él (por ejemplo, sus sucesivas aproximaciones decimales). Estos ejemplos muestran que la completitud no es una propiedad topológica, ya que es completa pero el espacio homeomorfo (0, 1) no lo es. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Esta noción de "puntos faltantes" puede precisarse. De hecho, cada espacio métrico tiene una terminación única , que es un espacio completo que contiene el espacio dado como un subconjunto denso . Por ejemplo, [0, 1] es la compleción de (0, 1) y los números reales son la compleción de los racionales.

Dado que generalmente es más fácil trabajar con espacios completos, las terminaciones son importantes en todas las matemáticas. Por ejemplo, en álgebra abstracta, los números p -ádicos se definen como la finalización de los racionales bajo una métrica diferente. La finalización es particularmente común como herramienta en el análisis funcional . A menudo uno tiene un conjunto de funciones interesantes y una forma de medir distancias entre ellas. Al completar este espacio métrico se obtiene un nuevo conjunto de funciones que pueden ser menos agradables, pero no obstante útiles porque se comportan de manera similar a las funciones originales en aspectos importantes. Por ejemplo, las soluciones débiles de ecuaciones diferenciales suelen vivir en una terminación (un espacio de Sobolev ) en lugar del espacio original de funciones agradables para las cuales la ecuación diferencial realmente tiene sentido.

Espacios acotados y totalmente acotados

Diámetro de un conjunto.

Un espacio métrico M está acotado si hay un r tal que ningún par de puntos en M estén separados por más de una distancia r . ^[b] El menor de estos r se llamadiámetro deM.

El espacio M se llama precompacto o totalmente acotado si para todo r > 0 existe una cobertura finita de M por bolas abiertas de radio r . Todo espacio totalmente acotado está acotado. Para ver esto, comience con una cobertura finita de r -balls para algún r arbitrario . Dado que el subconjunto de M que consta de los centros de estas bolas es finito, tiene un diámetro finito, digamos D. Según la desigualdad del triángulo, el diámetro de todo el espacio es como máximo D + 2 r . Lo contrario no se cumple: un ejemplo de un espacio métrico que está acotado pero no totalmente acotado es (o cualquier otro conjunto infinito) con la métrica discreta. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Compacidad

La compacidad es una propiedad topológica que generaliza las propiedades de un subconjunto cerrado y acotado del espacio euclidiano. Existen varias definiciones equivalentes de compacidad en espacios métricos:

1. Un espacio métrico M es compacto si toda cubierta abierta tiene una subcubierta finita (la definición topológica habitual).
2. Un espacio métrico M es compacto si toda secuencia tiene una subsecuencia convergente. (Para espacios topológicos generales, esto se llama compacidad secuencial y no es equivalente a compacidad).
3. Un espacio métrico M es compacto si es completo y totalmente acotado. (Esta definición está escrita en términos de propiedades métricas y no tiene sentido para un espacio topológico general, pero, no obstante, es topológicamente invariante ya que equivale a compacidad).

Un ejemplo de espacio compacto es el intervalo cerrado [0, 1] .

La compacidad es importante por razones similares a la integridad: facilita encontrar límites. Otra herramienta importante es el lema numérico de Lebesgue , que muestra que para cualquier cubierta abierta de un espacio compacto, cada punto está relativamente profundo dentro de uno de los conjuntos de la cubierta.

Funciones entre espacios métricos

Diagrama de Euler de tipos de funciones entre espacios métricos.

A diferencia del caso de espacios topológicos o estructuras algebraicas como grupos o anillos , no existe un único tipo "correcto" de función que preserve la estructura entre espacios métricos. En cambio, se trabaja con diferentes tipos de funciones según los objetivos de cada uno. A lo largo de esta sección, supongamos que y son dos espacios métricos. Las palabras "función" y "mapa" se usan indistintamente. ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

Isometrias

Una interpretación de un mapa que "conserva la estructura" es aquella que preserva completamente la función de distancia:

Una función preserva la distancia [ ₁₂ ^] si para cada par de puntos xey en M 1 , ${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$

$${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))=d_{1}(x,y).}$$

De los axiomas del espacio métrico se deduce que una función que preserva la distancia es inyectiva. Una función biyectiva que preserva la distancia se llama isometría . ^[13] Un ejemplo quizás no obvio de una isometría entre espacios descritos en este artículo es el mapa definido por ${\displaystyle f:(\mathbb {R} ^{2},d_{1})\to (\mathbb {R} ^{2},d_{\infty })}$

$${\displaystyle f(x,y)=(x+y,x-y).}$$

Si existe una isometría entre los espacios M ₁ y M ₂ , se dice que son isométricos . Los espacios métricos que son isométricos son esencialmente idénticos .

mapas continuos

En el otro extremo del espectro, uno puede olvidarse por completo de la estructura métrica y estudiar mapas continuos , que sólo conservan la estructura topológica. Existen varias definiciones equivalentes de continuidad para espacios métricos. Los más importantes son:

• Definición topológica. Una función es continua si para cada conjunto abierto U en M ₂ , la preimagen está abierta. ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$
• Continuidad secuencial . Una funciónes continua si siempre que una secuencia ( x _n ) converge a un punto x en M ₁ , la secuenciaconverge al punto f ( x ) en M ₂ . ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$ ${\displaystyle f(x_{1}),f(x_{2}),\ldots }$

(Estas dos primeras definiciones no son equivalentes para todos los espacios topológicos).

• Definición de ε–δ. Una función es continua si para cada punto x en M ₁ y cada ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo y en M ₁ tenemos ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$
  $${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta \implies d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .}$$

Un homeomorfismo es una biyección continua cuya inversa también es continua; si existe un homeomorfismo entre M ₁ y M ₂ , se dice que son homeomorfismos . Los espacios homeomórficos son iguales desde el punto de vista topológico, pero pueden tener propiedades métricas muy diferentes. Por ejemplo, es ilimitado y completo, mientras que (0, 1) es limitado pero no completo. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Mapas uniformemente continuos

Una función es uniformemente continua si para todo número real ε > 0 existe δ > 0 tal que para todos los puntos xey en M 1 _tales que , tenemos ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$ ${\displaystyle d(x,y)<\delta }$

$${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .}$$

La única diferencia entre esta definición y la definición de continuidad ε-δ es el orden de los cuantificadores: la elección de δ debe depender sólo de ε y no del punto x . Sin embargo, este cambio sutil marca una gran diferencia. Por ejemplo, los mapas uniformemente continuos toman secuencias de Cauchy en M ₁ a secuencias de Cauchy en M ₂ . En otras palabras, la continuidad uniforme preserva algunas propiedades métricas que no son puramente topológicas.

Por otro lado, el teorema de Heine-Cantor establece que si M ₁ es compacto, entonces todo mapa continuo es uniformemente continuo. En otras palabras, la continuidad uniforme no puede distinguir ninguna característica no topológica de espacios métricos compactos.

Mapas y contracciones de Lipschitz.

Un mapa de Lipschitz es aquel que extiende distancias como máximo en un factor acotado. Formalmente, dado un número real K > 0 , la aplicación es K - Lipschitz si ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$

$${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))\leq Kd_{1}(x,y)\quad {\text{for all}}\quad x,y\in M_{1}.}$$

^[14]rectificable

Un mapa de 1-Lipschitz a veces se denomina mapa métrico o no expandible . Los mapas métricos se consideran comúnmente como morfismos de la categoría de espacios métricos .

Un mapa de K -Lipschitz para K < 1 se llama contracción . El teorema del punto fijo de Banach establece que si M es un espacio métrico completo, entonces toda contracción admite un único punto fijo . Si el espacio métrico M es compacto, el resultado es válido para una condición ligeramente más débil en f : un mapa admite un punto fijo único si ${\displaystyle f:M\to M}$ ${\displaystyle f:M\to M}$

$${\displaystyle d(f(x),f(y))<d(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x\neq y\in M_{1}.}$$

Cuasi-isometrías

Una cuasiisometría es un mapa que preserva la "estructura a gran escala" de un espacio métrico. Las cuasiisometrías no tienen por qué ser continuas. Por ejemplo, y su subespacio son cuasi isométricos, aunque uno esté conexo y el otro sea discreto. La relación de equivalencia de la cuasiisometría es importante en la teoría geométrica de grupos : el lema de Švarc-Milnor establece que todos los espacios sobre los que actúa geométricamente un grupo son cuasiisométricos. ^[15] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

Formalmente, el mapa es una incrustación cuasi isométrica si existen constantes A ≥ 1 y B ≥ 0 tales que ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{A}}d_{2}(f(x),f(y))-B\leq d_{1}(x,y)\leq Ad_{2}(f(x),f(y))+B\quad {\text{ for all }}\quad x,y\in M_{1}.}$$

cuasi-isometríacuasi-sobreyectivaC ≥ 0C ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle f(M_{1})}$

Nociones de equivalencia espacial métrica

Dados dos espacios métricos y : ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

• Se llaman homeomorfos (topológicamente isomórficos) si hay un homeomorfismo entre ellos (es decir, una biyección continua con una inversa continua). Si y el mapa de identidad es un homeomorfismo, entonces se dice que y son topológicamente equivalentes . ${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$
• Se llaman uniformes (uniformemente isomórficos) si hay un isomorfismo uniforme entre ellos (es decir, una biyección uniformemente continua con una inversa uniformemente continua).
• Se denominan homeomórficos de bilipschitz si hay una biyección de bilipschitz entre ellos (es decir, una biyección de Lipschitz con una inversa de Lipschitz).
• Se llaman isométricas si existe una isometría (biyectiva) entre ellas. En este caso, los dos espacios métricos son esencialmente idénticos.
• Se llaman cuasi-isométricos si existe una cuasi-isometría entre ellos.

Espacios métricos con estructura adicional.

Espacios vectoriales normados

Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial equipado con una norma , que es una función que mide la longitud de los vectores. La norma de un vector v normalmente se denota por . Cualquier espacio vectorial normado puede equiparse con una métrica en la que la distancia entre dos vectores xey está dada por ${\displaystyle \lVert v\rVert }$

$${\displaystyle d(x,y)=\lVert x-y\rVert .}$$

dinducida^[16]despacio vectorial X ${\displaystyle \lVert {\cdot }\rVert }$

• invariante de traducción: para cada x , y y a en X ; y ${\displaystyle d(x,y)=d(x+a,y+a)}$
• absolutamente homogéneo :para cadaxeyenXynúmerorealα; ${\displaystyle d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)}$

entonces es la métrica inducida por la norma

$${\displaystyle \lVert x\rVert =d(x,0).}$$

las seminormasla pseudometría

Entre ejemplos de métricas inducidas por una norma se encuentran las métricas d ₁ , d ₂ y d _∞ on , que son inducidas por la norma de Manhattan , la norma euclidiana y la norma máxima , respectivamente. De manera más general, la incrustación de Kuratowski permite ver cualquier espacio métrico como un subespacio de un espacio vectorial normado. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Los espacios vectoriales normados de dimensión infinita, particularmente los espacios de funciones, se estudian en el análisis funcional . La completitud es particularmente importante en este contexto: un espacio vectorial normado completo se conoce como espacio de Banach . Una propiedad inusual de los espacios vectoriales normados es que las transformaciones lineales entre ellos son continuas si y sólo si son Lipschitz. Estas transformaciones se conocen como operadores acotados .

Espacios de longitud

Una posible aproximación a la longitud del arco de una curva. La aproximación nunca es más larga que la longitud del arco, lo que justifica la definición de longitud del arco como suprema .

Una curva en un espacio métrico ( M , d ) es una función continua . La longitud de γ se mide por ${\displaystyle \gamma :[0,T]\to M}$

$${\displaystyle L(\gamma )=\sup _{0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=T}\left\{\sum _{k=1}^{n}d(\gamma (x_{k-1}),\gamma (x_{k}))\right\}.}$$

rectificable^[17]γγgeodésica^[15][C]

Un espacio métrico geodésico es un espacio métrico que admite una geodésica entre dos de sus puntos cualesquiera. Los espacios y son ambos espacios métricos geodésicos. En , las geodésicas son únicas, pero en , a menudo hay infinitas geodésicas entre dos puntos, como se muestra en la figura en la parte superior del artículo. ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{2})}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{2})}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$

El espacio M es un espacio de longitud (o la métrica d es intrínseca ) si la distancia entre dos puntos cualesquiera xey es el mínimo de longitudes de caminos entre ellos. A diferencia de un espacio métrico geodésico, no es necesario alcanzar el mínimo. Un ejemplo de un espacio de longitud que no es geodésico es el plano euclidiano menos el origen: los puntos (1, 0) y (-1, 0) pueden estar unidos por caminos de longitud arbitrariamente cercana a 2, pero no por un camino de longitud 2. Un ejemplo de un espacio métrico que no es un espacio de longitud lo da la línea recta métrica en la esfera: la línea recta entre dos puntos que pasan por el centro de la Tierra es más corta que cualquier camino a lo largo de la superficie.

Dado cualquier espacio métrico ( M , d ) , se puede definir una nueva función de distancia intrínseca d _intrínseca en M estableciendo la distancia entre los puntos xey como mínima de las d longitudes de los caminos entre ellos. Por ejemplo, si d es la distancia en línea recta en la esfera, entonces d _intrínseca es la distancia del círculo máximo. Sin embargo, en algunos casos d _intrínseco puede tener valores infinitos. Por ejemplo, si M es el copo de nieve de Koch con la métrica subespacial d inducida desde , entonces la distancia intrínseca resultante es infinita para cualquier par de puntos distintos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

variedades de Riemann

Una variedad de Riemann es un espacio equipado con un tensor métrico de Riemann , que determina las longitudes de los vectores tangentes en cada punto. Se puede pensar en definir una noción de distancia de manera infinitesimal. En particular, una ruta diferenciable en una variedad de Riemann M tiene una longitud definida como la integral de la longitud del vector tangente a la ruta: ${\displaystyle \gamma :[0,T]\to M}$

$${\displaystyle L(\gamma )=\int _{0}^{T}|{\dot {\gamma }}(t)|dt.}$$

las métricas subriemannianas

La métrica de Riemann está determinada únicamente por la función de distancia; esto significa que, en principio, toda la información sobre una variedad de Riemann se puede recuperar a partir de su función de distancia. Una dirección en la geometría métrica es encontrar formulaciones puramente métricas ( "sintéticas" ) de las propiedades de las variedades de Riemann. Por ejemplo, una variedad de Riemann es un espacio CAT( k ) (una condición sintética que depende puramente de la métrica) si y sólo si su curvatura seccional está limitada arriba por k . ^[20] Así, los espacios CAT( k ) generalizan los límites de curvatura superiores a espacios métricos generales.

Espacios de medida métrica

El análisis real hace uso tanto de la métrica on como de la medida de Lebesgue . Por lo tanto, las generalizaciones de muchas ideas del análisis residen naturalmente en espacios de medidas métricas: espacios que tienen tanto una medida como una métrica que son compatibles entre sí. Formalmente, un espacio de medida métrica es un espacio métrico equipado con una medida regular de Borel de modo que cada bola tiene medida positiva. ^[21] Por ejemplo, los espacios euclidianos de dimensión n , y más generalmente las variedades de Riemann n -dimensionales, tienen naturalmente la estructura de un espacio de medidas métricas, equipado con la medida de Lebesgue . Ciertos espacios métricos fractales , como la junta de Sierpiński , pueden equiparse con la medida de Hausdorff α-dimensional donde α es la dimensión de Hausdorff . Sin embargo, en general, es posible que un espacio métrico no tenga una elección de medida "obvia". ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Una aplicación de los espacios de medidas métricas es generalizar la noción de curvatura de Ricci más allá de las variedades de Riemann. Así como los espacios CAT( k ) y Alexandrov generalizan los límites de curvatura seccional, los espacios RCD son una clase de espacios de medidas métricas que generalizan los límites inferiores de la curvatura de Ricci. ^[22]

Otros ejemplos y aplicaciones

Gráficos y espacios métricos finitos.

AEl espacio métrico es discreto si su topología inducida es la topología discreta . Aunque muchos conceptos, como completitud y compacidad, no son interesantes para tales espacios, son objeto de estudio en varias ramas de las matemáticas. En particular,Los espacios métricos finitos (los que tienen un número finito de puntos) se estudian en combinatoria e informática teórica . ^[23] Las incrustaciones en otros espacios métricos están particularmente bien estudiadas. Por ejemplo, no todo espacio métrico finito puede incrustarse isométricamente en un espacio euclidiano o en un espacio de Hilbert . Por otra parte, en el peor de los casos la distorsión requerida (constante de bilipschitz) es sólo logarítmica en el número de puntos. ^{[24] [25]}

Para cualquier gráfico conectado no dirigido G , el conjunto V de vértices de G se puede convertir en un espacio métrico definiendo la distancia entre los vértices xey como la longitud del camino de borde más corto que los conecta . A esto también se le llama distancia del camino más corto o distancia geodésica . En la teoría de grupos geométricos, esta construcción se aplica al gráfico de Cayley de un grupo (típicamente infinito) finitamente generado , lo que produce la palabra métrica . Hasta un homeomorfismo bilipschitz, la palabra métrica depende sólo del grupo y no del conjunto generador finito elegido. ^[15]

Distancias entre objetos matemáticos

En las matemáticas modernas, a menudo se estudian espacios cuyos puntos son en sí mismos objetos matemáticos. Una función de distancia en dicho espacio generalmente tiene como objetivo medir la disimilitud entre dos objetos. Aquí hay unos ejemplos:

• Funciones en un espacio métrico. Si X es cualquier conjunto y M es un espacio métrico, entonces el conjunto de todas las funciones acotadas (es decir, aquellas funciones cuya imagen es un subconjunto acotado de ) se puede convertir en un espacio métrico definiendo la distancia entre dos funciones acotadas f y g a ser ${\displaystyle f\colon X\to M}$ ${\displaystyle M}$
  $${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}d(f(x),g(x)).}$$
  Esta métrica se llama métrica uniforme o métrica suprema. ^[26] Si M está completo, entonces este espacio funcional también lo está; además, si X es también un espacio topológico, entonces el subespacio que consta de todas las funciones continuas acotadas de X a M también está completo. Cuando X es un subespacio de , este espacio funcional se conoce como espacio de Wiener clásico . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Encadenar métricas y editar distancias . Hay muchas formas de medir distancias entre cadenas de caracteres , que pueden representar oraciones en lingüística computacional o palabras clave en teoría de codificación . Las distancias de edición intentan medir la cantidad de cambios necesarios para pasar de una cadena a otra. Por ejemplo, la distancia de Hamming mide el número mínimo de sustituciones necesarias, mientras que la distancia de Levenshtein mide el número mínimo de eliminaciones, inserciones y sustituciones; Ambos pueden considerarse como distancias en un gráfico apropiado.
• La distancia de edición de gráficos es una medida de disimilitud entre dos gráficos , definida como el número mínimo de operaciones de edición de gráficos necesarias para transformar un gráfico en otro.
• Las métricas de Wasserstein miden la distancia entre dos medidas en el mismo espacio métrico. La distancia de Wasserstein entre dos medidas es, a grandes rasgos, el coste de transportar una a la otra.
• El conjunto de todas las matrices m por n sobre algún campo es un espacio métrico con respecto a la distancia de rango . ${\displaystyle d(A,B)=\mathrm {rank} (B-A)}$
• La métrica de Helly en teoría de juegos mide la diferencia entre estrategias en un juego.

Distancia Hausdorff y Gromov-Hausdorff

La idea de espacios de objetos matemáticos también se puede aplicar a subconjuntos de un espacio métrico, así como a los propios espacios métricos. La distancia de Hausdorff y Gromov-Hausdorff define métricas en el conjunto de subconjuntos compactos de un espacio métrico y el conjunto de espacios métricos compactos, respectivamente.

Supongamos que ( M , d ) es un espacio métrico y sea S un subconjunto de M. La distancia de S a un punto x de M es , informalmente, la distancia de x al punto más cercano de S. Sin embargo, dado que puede que no haya un único punto más cercano, se define mediante un mínimo :

$${\displaystyle d(x,S)=\inf\{d(x,s):s\in S\}.}$$

xclausuraS. ${\displaystyle d(x,S)=0}$

$${\displaystyle d(x,S)\leq d(x,y)+d(y,S),}$$

completamente regulares ${\displaystyle d_{S}:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d_{S}(x)=d(x,S)}$

Dados dos subconjuntos S y T de M , su distancia de Hausdorff es

$${\displaystyle d_{H}(S,T)=\max\{\sup\{d(s,T):s\in S\},\sup\{d(t,S):t\in T\}\}.}$$

STSTSTred εSM. ${\displaystyle d_{H}(S,T)<\varepsilon }$ ${\displaystyle d_{H}(S,T)}$

La métrica de Gromov-Hausdorff define una distancia entre (clases de isometría de) espacios métricos compactos. La distancia de Gromov-Hausdorff entre espacios compactos X e Y es el mínimo de la distancia de Hausdorff sobre todos los espacios métricos Z que contienen X e Y como subespacios. Si bien rara vez es útil conocer el valor exacto de la distancia Gromov-Hausdorff, la topología resultante ha encontrado muchas aplicaciones.

Ejemplos varios

• Dado un espacio métrico ( X , d ) y una función cóncava creciente tal que f ( t ) = 0 si y sólo si t = 0 , entonces también es una métrica en X. Si f ( t ) = t ^α para algún número real α < 1 , dicha métrica se conoce como copo de nieve de d . ^[27] ${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle d_{f}(x,y)=f(d(x,y))}$
• El espacio reducido de un espacio métrico es otro espacio métrico que puede considerarse como una versión abstracta del casco convexo .
• La métrica de movimiento del caballo , el número mínimo de movimientos del caballo para llegar de un punto a otro, es una métrica de . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$
• La métrica de British Rail (también llamada "métrica de la oficina de correos" o " métrica SNCF ") en un espacio vectorial normado viene dada por para puntos distintos y , y . De manera más general, se puede reemplazar con una función que toma un conjunto arbitrario de reales no negativos y toma el valor como máximo una vez: entonces la métrica se define en por para puntos distintos y , y . El nombre alude a la tendencia de los viajes en tren a pasar por Londres (o París) independientemente de su destino final. ${\displaystyle d(x,y)=\lVert x\rVert +\lVert y\rVert }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle d(x,x)=0}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d(x,y)=f(x)+f(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle d(x,x)=0}$
• La métrica de Robinson-Foulds utilizada para calcular las distancias entre árboles filogenéticos en Filogenética ^[28]

Construcciones

Espacios métricos del producto

Si son espacios métricos y N es la norma euclidiana de , entonces es un espacio métrico, donde la métrica del producto está definida por ${\displaystyle (M_{1},d_{1}),\ldots ,(M_{n},d_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\bigl (}M_{1}\times \cdots \times M_{n},d_{\times }{\bigr )}}$

$${\displaystyle d_{\times }{\bigl (}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}){\bigr )}=N{\bigl (}d_{1}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{n}(x_{n},y_{n}){\bigr )},}$$

topología del productoNnorma del taxinorma pnorma máximan

De manera similar, se puede obtener una métrica sobre el producto topológico de un número contable de espacios métricos utilizando la métrica

$${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {d_{i}(x_{i},y_{i})}{1+d_{i}(x_{i},y_{i})}}.}$$

El producto topológico de incontables espacios métricos no tiene por qué ser metrizable. Por ejemplo, un producto incontable de copias de no es contable primero y, por lo tanto, no es metrizable. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Espacios métricos cocientes

Si M es un espacio métrico con métrica d y es una relación de equivalencia en M , entonces podemos dotar al conjunto cociente de una pseudométrica. La distancia entre dos clases de equivalencia y se define como ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle M/\!\sim }$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle [y]}$

$${\displaystyle d'([x],[y])=\inf\{d(p_{1},q_{1})+d(p_{2},q_{2})+\dotsb +d(p_{n},q_{n})\},}$$

mínimo^[29]pseudométrica ${\displaystyle (p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$ ${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$ ${\displaystyle p_{1}\sim x}$ ${\displaystyle q_{n}\sim y}$ ${\displaystyle q_{i}\sim p_{i+1},i=1,2,\dots ,n-1}$ ${\displaystyle d'([x],[y])=0}$ ${\displaystyle [x]=[y]}$ ${\displaystyle d'}$

La métrica del cociente se caracteriza por la siguiente propiedad universal . Si es una aplicación métrica (es decir, 1-Lipschitz) entre espacios métricos que satisfacen f ( x ) = f ( y ) siempre que , entonces la función inducida , dada por , es una aplicación métrica ${\displaystyle d'}$ ${\displaystyle f\,\colon (M,d)\to (X,\delta )}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle {\overline {f}}\,\colon {M/\sim }\to X}$ ${\displaystyle {\overline {f}}([x])=f(x)}$ ${\displaystyle {\overline {f}}\,\colon (M/\sim ,d')\to (X,\delta ).}$

La métrica del cociente no siempre induce la topología del cociente . Por ejemplo, el cociente topológico del espacio métrico que identifica todos los puntos de la forma no es metrizable ya que no es contable en primer lugar , pero la métrica del cociente es una métrica bien definida en el mismo conjunto que induce una topología más burda . Además, diferentes métricas en el espacio topológico original (una unión disjunta de un número contable de intervalos) conducen a diferentes topologías en el cociente. ^[30] ${\displaystyle \mathbb {N} \times [0,1]}$ ${\displaystyle (n,0)}$

Un espacio topológico es secuencial si y sólo si es un cociente (topológico) de un espacio métrico. ^[31]

Generalizaciones de espacios métricos.

Hay varias nociones de espacios que tienen menos estructura que un espacio métrico, pero más que un espacio topológico.

• Los espacios uniformes son espacios en los que las distancias no están definidas, pero sí la continuidad uniforme.
• Los espacios de aproximación son espacios en los que se definen distancias de punto a punto, en lugar de distancias de punto a punto. Tienen propiedades particularmente buenas desde el punto de vista de la teoría de categorías .
• Los espacios de continuidad son una generalización de espacios y posets métricos que pueden usarse para unificar las nociones de espacios y dominios métricos .

También existen numerosas formas de relajar los axiomas de una métrica, dando lugar a diversas nociones de espacios métricos generalizados. Estas generalizaciones también se pueden combinar. La terminología utilizada para describirlos no está completamente estandarizada. En particular, en el análisis funcional , las pseudométricas a menudo provienen de seminormas en espacios vectoriales, por lo que es natural llamarlas "semimétricas". Esto entra en conflicto con el uso del término en topología .

Métricas extendidas

Algunos autores definen métricas para permitir que la función de distancia d alcance el valor ∞, es decir, las distancias son números no negativos en la recta numérica real extendida . ^[4] Esta función también se denomina métrica extendida o "∞-métrica". Cada métrica extendida se puede reemplazar por una métrica de valor real que sea topológicamente equivalente. Esto se puede hacer usando una función acotada subaditiva que aumenta monótonamente y que es cero en cero, por ejemplo, o . ${\displaystyle d'(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y))}$ ${\displaystyle d''(x,y)=\min(1,d(x,y))}$

Métricas valoradas en estructuras distintas a los números reales

El requisito de que la métrica tome valores se puede relajar para considerar métricas con valores en otras estructuras, que incluyen: ${\displaystyle [0,\infty )}$

• Campos ordenados , dando lugar a la noción de métrica generalizada .
• Conjuntos dirigidos más generales . En ausencia de una operación de suma, la desigualdad del triángulo no tiene sentido y se reemplaza por una desigualdad ultramétrica . Esto lleva a la noción de una ultrametría generalizada . ^[32]

Estas generalizaciones todavía inducen una estructura uniforme en el espacio.

Pseudometría

Una pseudométrica on es una función que satisface los axiomas de una métrica, excepto que en lugar del segundo (identidad de indiscernibles) solo se requiere para todos . ^[33] En otras palabras, los axiomas de una pseudométrica son: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,x)=0}$ ${\displaystyle x}$

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,x)=0}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$.

En algunos contextos, las pseudométricas se denominan semimétricas ^[34] debido a su relación con las seminormas .

Cuasimetría

Ocasionalmente, una función cuasimétrica se define como una función que satisface todos los axiomas de una métrica con la posible excepción de la simetría. ^[35] El nombre de esta generalización no está del todo estandarizado. ^[36]

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$

Las cuasimétricas son comunes en la vida real. Por ejemplo, dado un conjunto X de pueblos de montaña, los tiempos típicos de caminata entre elementos de X forman un cuasimétrico porque viajar cuesta arriba lleva más tiempo que viajar cuesta abajo. Otro ejemplo es la duración de los viajes en automóvil en una ciudad con calles de un solo sentido: aquí, el camino más corto del punto A al punto B recorre un conjunto de calles diferente al camino más corto de B a A y puede tener una longitud diferente.

Un cuasimétrico en los reales se puede definir estableciendo

$${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}x-y&{\text{if }}x\geq y,\\1&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

subaditiva de y - x, ${\displaystyle 1+{\sqrt {y-x}}}$

Dado un cuasimétrico en X , se puede definir una bola R alrededor de x como el conjunto . Como en el caso de una métrica, dichas bolas forman la base para una topología en X , pero esta topología no necesita ser metrizable. Por ejemplo, la topología inducida por lo cuasimétrico sobre los reales descrita anteriormente es la línea de Sorgenfrey (invertida) . ${\displaystyle \{y\in X|d(x,y)\leq R\}}$

Metamétricas o métricas parciales

En una metamétrica , se satisfacen todos los axiomas de una métrica excepto que la distancia entre puntos idénticos no es necesariamente cero. En otras palabras, los axiomas de una metamétrica son:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\implies x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).}$

La metametría aparece en el estudio de los espacios métricos hiperbólicos de Gromov y sus límites. La metamétrica visual en dicho espacio satisface los puntos en el límite, pero por lo demás es aproximadamente la distancia desde el límite. La metametría fue definida por primera vez por Jussi Väisälä. ^[37] En otros trabajos, una función que satisface estos axiomas se llama métrica parcial ^{[38] [39]} o métrica dislocada . ^[33] ${\displaystyle d(x,x)=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle d(x,x)}$ ${\displaystyle x}$

Semimetricos

Una on semimétrica es una función que satisface los primeros tres axiomas, pero no necesariamente la desigualdad del triángulo: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$

Algunos autores trabajan con una forma más débil de la desigualdad triangular, como por ejemplo:

La desigualdad ρ-inframétrica implica la desigualdad triangular ρ-relajada (suponiendo el primer axioma), y la desigualdad triangular ρ-relajada implica la desigualdad 2ρ-inframétrica. Los semimétricos que satisfacen estas condiciones equivalentes a veces se denominan cuasimétricos , ^[40] casimétricos ^[41] o inframétricos . ^[42]

Las desigualdades ρ-inframétricas se introdujeron para modelar tiempos de retraso de ida y vuelta en Internet . ^[42] La desigualdad triangular implica la desigualdad 2-inframétrica, y la desigualdad ultramétrica es exactamente la desigualdad 1-inframétrica.

Premétricas

Relajar los últimos tres axiomas conduce a la noción de premétrica , es decir, una función que satisface las siguientes condiciones:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,x)=0}$

Este no es un término estándar. En ocasiones se utiliza para referirse a otras generalizaciones de métricas como pseudosemimétricas ^[43] o pseudométricas; ^[44] en las traducciones de libros rusos a veces aparece como "pramétrico". ^[45] Una premétrica que satisface la simetría, es decir, una pseudosemimétrica, también se llama distancia. ^[46]

Cualquier premétrica da lugar a una topología de la siguiente manera. Para un real positivo , la bola centrada en un punto se define como ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x|d(x,p)<r\}.}$

Un conjunto se llama abierto si para cualquier punto del conjunto hay una bola centrada en la que está contenida en el conjunto. Todo espacio premétrico es un espacio topológico y, de hecho, un espacio secuencial . En general, las propias bolas no necesitan ser conjuntos abiertos con respecto a esta topología. En cuanto a las métricas, la distancia entre dos conjuntos y , se define como ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle d(A,B)={\underset {x\in A,y\in B}{\inf }}d(x,y).}$

Esto define una premétrica en el conjunto de potencias de un espacio premétrico. Si comenzamos con un espacio (pseudosemi-)métrico, obtenemos un espacio pseudosemimétrico, es decir, un premétrico simétrico. Cualquier premétrica da lugar a un operador de precierre de la siguiente manera: ${\displaystyle cl}$

${\displaystyle cl(A)=\{x|d(x,A)=0\}.}$

Pseudocuasimetría

Los prefijos pseudo- , cuasi- y semi- también se pueden combinar, por ejemplo, un pseudocuasimétrico (a veces llamado hemimétrico ) relaja tanto el axioma de indiscernibilidad como el axioma de simetría y es simplemente un premétrico que satisface la desigualdad del triángulo. Para espacios pseudocuasimétricos, las bolas abiertas forman una base de conjuntos abiertos. Un ejemplo muy básico de espacio pseudocuasimétrico es el conjunto con la premétrica dada por y El espacio topológico asociado es el espacio de Sierpiński . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle d(0,1)=1}$ ${\displaystyle d(1,0)=0.}$

William Lawvere estudió los conjuntos equipados con un pseudocuasimétrico extendido como "espacios métricos generalizados". ^[47] Desde un punto de vista categórico , los espacios pseudométricos extendidos y los espacios pseudocuasimétricos extendidos, junto con sus correspondientes mapas no expansivos, son los que mejor se comportan de las categorías de espacios métricos . Se pueden tomar productos y coproductos arbitrarios y formar objetos cocientes dentro de la categoría dada. Si se deja de lado "extendido", sólo se pueden tomar productos y coproductos finitos. Si se deja caer "pseudo", no se pueden tomar cocientes.

Lawvere también dio una definición alternativa de dichos espacios como categorías enriquecidas . El conjunto ordenado puede verse como una categoría con un morfismo si y ninguno en caso contrario. Usar + como producto tensorial y 0 como identidad convierte esta categoría en una categoría monoide . Cada espacio (pseudocuasi-)métrico extendido ahora puede verse como una categoría enriquecida en : ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ ${\displaystyle a\to b}$ ${\displaystyle a\geq b}$ ${\displaystyle R^{*}}$ ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M^{*}}$ ${\displaystyle R^{*}}$

• Los objetos de la categoría son los puntos de M .
• Para cada par de puntos x e y tales que , hay un único morfismo al que se le asigna el objeto de . ${\displaystyle d(x,y)<\infty }$ ${\displaystyle d(x,y)}$ ${\displaystyle R^{*}}$
• La desigualdad del triángulo y el hecho de que para todos los puntos x derivan de las propiedades de composición e identidad en una categoría enriquecida. ${\displaystyle d(x,x)=0}$
• Dado que es un poset, todos los diagramas necesarios para una categoría enriquecida conmutan automáticamente. ${\displaystyle R^{*}}$

Métricas en conjuntos múltiples

La noción de métrica se puede generalizar desde una distancia entre dos elementos hasta un número asignado a un conjunto múltiple de elementos. Un multiconjunto es una generalización de la noción de conjunto en el que un elemento puede aparecer más de una vez. Defina la unión multiconjunto de la siguiente manera: si un elemento x ocurre m veces en X y n veces en Y , entonces ocurre m + n veces en U. Una función d sobre el conjunto de multiconjuntos finitos no vacíos de elementos de un conjunto M es una métrica ^[48] si ${\displaystyle U=XY}$

1. ${\displaystyle d(X)=0}$si todos los elementos de X son iguales y en caso contrario ( definición positiva ) ${\displaystyle d(X)>0}$
2. ${\displaystyle d(X)}$depende sólo del conjunto múltiple (desordenado) X ( simetría )
3. ${\displaystyle d(XY)\leq d(XZ)+d(ZY)}$( desigualdad triangular )

Al considerar los casos de los axiomas 1 y 2 en los que el multiconjunto X tiene dos elementos y el caso del axioma 3 en el que los multiconjuntos X , Y y Z tienen un elemento cada uno, se recuperan los axiomas habituales para una métrica. Es decir, cada métrica multiconjunto produce una métrica ordinaria cuando se restringe a conjuntos de dos elementos.

Un ejemplo simple es el conjunto de todos los multiconjuntos finitos no vacíos de números enteros con . Ejemplos más complejos son la distancia de información en conjuntos múltiples; ^[48] ​​y distancia de compresión normalizada (NCD) en series múltiples. ^[49] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(X)=\max(X)-\min(X)}$

Ver también

• Métrica acústica  : tensor que caracteriza las propiedades portadoras de señales en un medio.
• Métrica completa  – Geometría métricaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Diversidad (matemáticas)  – Generalización de espacios métricos
• Glosario de geometría riemanniana y métrica  – Glosario de matemáticas
• Cuarto problema de Hilbert  : construir todos los espacios métricos donde las líneas se parezcan a las de una esfera
• árbol métrico
• Distancia de Minkowski  : métrica matemática en el espacio vectorial normado
• Función de distancia con signo  : distancia desde un punto hasta el límite de un conjunto
• Medida de similitud  : función de valor real que cuantifica la similitud entre dos objetos
• Espacio (matemáticas)  : conjunto matemático con alguna estructura adicional
• Espacio ultramétrico  – Tipo de espacio métrico

Notas

1. Las bolas con radio racional alrededor de un punto x forman una base de vecindad para ese punto.
2. En el contexto de intervalos en la línea real, o más generalmente regiones en el espacio euclidiano, los conjuntos acotados a veces se denominan "intervalos finitos" o "regiones finitas". Sin embargo, normalmente no tienen un número finito de elementos y, si bien todos tienen un volumen finito , también lo tienen muchos conjuntos ilimitados. Por tanto, esta terminología es imprecisa.
3. Esto difiere del uso en la geometría de Riemann , donde las geodésicas son solo caminos más cortos localmente. Algunos autores definen de la misma forma las geodésicas en espacios métricos. ^{[18] [19]}

Citas

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2. Burago, Burago e Ivanov 2001.
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9. Rudin 1976, pag. 30.
10. Por ejemplo, Burago, Burago e Ivanov 2001, p. xiii:

    ... durante la mayor parte del siglo pasado fue una creencia común que la "geometría de variedades" se reducía básicamente al "análisis de variedades". Los métodos geométricos dependían en gran medida de maquinaria diferencial, como se puede deducir del nombre "Geometría diferencial".

11. Rudin, María Elena. Una nueva prueba de que los espacios métricos son paracompactos Archivado el 12 de abril de 2016 en Wayback Machine . Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense, vol. 20, núm. 2. (febrero de 1969), pág. 603.
12. Burago, Burago e Ivanov 2001, pág. 2.
13. Burago, Burago e Ivanov 2001, pág. 2.
    Algunos autores se refieren a cualquier función que preserve la distancia como isometría, por ejemplo, Munkres 2000, p. 181.
14. Grómov 2007, pag. xvii.
15. Margalit y Thomas 2017.
16. Narici y Beckenstein 2011, págs. 47–66.
17. Burago, Burago e Ivanov 2001, Definición 2.3.1.
18. Burago, Burago e Ivanov 2001, Definición 2.5.27.
19. Gromov 2007, Definición 1.9.
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29. Burago, Burago e Ivanov 2001, Definición 3.1.12.
30. Véase Burago, Burago & Ivanov 2001, Ejemplo 3.1.17, aunque en este libro se afirma incorrectamente que el cociente es homeomorfo al cociente topológico. ${\displaystyle \mathbb {N} \times [0,1]/\mathbb {N} \times \{0\}}$
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32. Hitzler & Seda 2016, Definición 4.3.1. sfn error: no target: CITEREFHitzlerSeda2016 (help)
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Referencias

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enlaces externos

• "Espacio métrico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Lejos y cerca: varios ejemplos de funciones de distancia al cortar el nudo .