En matemáticas , la magnitud o tamaño de un objeto matemático es una propiedad que determina si el objeto es mayor o menor que otros objetos del mismo tipo. Más formalmente, la magnitud de un objeto es el resultado mostrado de una ordenación (o clasificación) de la clase de objetos a la que pertenece. La magnitud como concepto data de la Antigua Grecia y se ha aplicado como medida de distancia de un objeto a otro. Para los números, el valor absoluto de un número se aplica comúnmente como la medida de unidades entre un número y cero.
En espacios vectoriales, la norma euclidiana es una medida de magnitud utilizada para definir una distancia entre dos puntos en el espacio. En física , la magnitud se puede definir como cantidad o distancia. Un orden de magnitud generalmente se define como una unidad de distancia entre un número y los lugares numéricos de otro en la escala decimal.
Los antiguos griegos distinguían entre varios tipos de magnitud, [1] entre ellos:
Demostraron que los dos primeros no podían ser iguales, ni siquiera sistemas de magnitud isomórficos . [2] No consideraron que las magnitudes negativas fueran significativas, y la magnitud todavía se usa principalmente en contextos en los que cero es el tamaño más pequeño o menor que todos los tamaños posibles.
La magnitud de cualquier número generalmente se llama valor absoluto o módulo , denotado por . [3]
El valor absoluto de un número real r está definido por: [4]
El valor absoluto también se puede considerar como la distancia del número al cero en la recta numérica real . Por ejemplo, el valor absoluto de 70 y −70 es 70.
Un número complejo z puede verse como la posición de un punto P en un espacio bidimensional , llamado plano complejo . El valor absoluto (o módulo ) de z puede considerarse como la distancia de P desde el origen de ese espacio. La fórmula para el valor absoluto de z = a + bi es similar a la de la norma euclidiana de un vector en un espacio euclidiano bidimensional : [5]
donde los números reales a y b son la parte real y la parte imaginaria de z , respectivamente. Por ejemplo, el módulo de −3 + 4 i es . Alternativamente, la magnitud de un número complejo z puede definirse como la raíz cuadrada del producto de sí mismo y su conjugado complejo , donde, para cualquier número complejo , su conjugado complejo es .
(dónde ).
Un vector euclidiano representa la posición de un punto P en un espacio euclidiano . Geométricamente, se puede describir como una flecha desde el origen del espacio (cola del vector) hasta ese punto (punta del vector). Matemáticamente, un vector x en un espacio euclidiano de n dimensiones se puede definir como una lista ordenada de n números reales (las coordenadas cartesianas de P ): x = [ x 1 , x 2 , ..., x n ]. Su magnitud o longitud , denotada por , [6] se define más comúnmente como su norma euclidiana (o longitud euclidiana): [7]
Por ejemplo, en un espacio tridimensional, la magnitud de [3, 4, 12] es 13 porque esto es equivalente a la raíz cuadrada del producto escalar del vector consigo mismo:
La norma euclidiana de un vector es sólo un caso especial de distancia euclidiana : la distancia entre su cola y su punta. Se utilizan dos notaciones similares para la norma euclidiana de un vector x :
Una desventaja de la segunda notación es que también se puede utilizar para denotar el valor absoluto de escalares y los determinantes de matrices , lo que introduce un elemento de ambigüedad.
Por definición, todos los vectores euclidianos tienen una magnitud (ver arriba). Sin embargo, un vector en un espacio vectorial abstracto no posee magnitud.
Un espacio vectorial dotado de una norma , como el espacio euclidiano, se denomina espacio vectorial normado . [8] La norma de un vector v en un espacio vectorial normado puede considerarse como la magnitud de v .
En un espacio pseudoeuclidiano , la magnitud de un vector es el valor de la forma cuadrática de ese vector.
Al comparar magnitudes, se suele utilizar una escala logarítmica . Los ejemplos incluyen el volumen de un sonido (medido en decibeles ), el brillo de una estrella y la escala de Richter de intensidad de un terremoto. Las magnitudes logarítmicas pueden ser negativas. En las ciencias naturales , una magnitud logarítmica normalmente se denomina nivel .
Los órdenes de magnitud denotan diferencias en cantidades numéricas, generalmente medidas, por un factor de 10, es decir, una diferencia de un dígito en la ubicación del punto decimal.
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En matemáticas , el concepto de medida es una generalización y formalización de medidas geométricas ( longitud , área , volumen ) y otras nociones comunes, como magnitud, masa y probabilidad de eventos. Estos conceptos aparentemente distintos tienen muchas similitudes y, a menudo, pueden tratarse juntos en un único contexto matemático. Las medidas son fundamentales en la teoría de la probabilidad y la teoría de la integración y pueden generalizarse para asumir valores negativos , como ocurre con la carga eléctrica . Las generalizaciones de gran alcance (como las medidas espectrales y las medidas con valores de proyección ) de medida se utilizan ampliamente en la física cuántica y la física en general.
La intuición detrás de este concepto se remonta a la antigua Grecia , cuando Arquímedes intentó calcular el área de un círculo [ cita requerida ] . Pero no fue hasta finales del siglo XIX y principios del XX que la teoría de la medida se convirtió en una rama de las matemáticas. Las bases de la teoría de la medida moderna se sentaron en las obras de Émile Borel , Henri Lebesgue , Nikolai Luzin , Johann Radon , Constantin Carathéodory y Maurice Fréchet , entre otros.La idea de pares inconmensurables de longitudes de segmentos de línea se descubrió en la antigua Grecia.
