Espacio tangente

Asignación de campos vectoriales a variedades.

En matemáticas , el espacio tangente de una variedad es una generalización de líneas tangentes a curvas en un espacio bidimensional y planos tangentes a superficies en un espacio tridimensional en dimensiones superiores. En el contexto de la física, el espacio tangente a una variedad en un punto puede verse como el espacio de posibles velocidades para una partícula que se mueve sobre la variedad.

descripción informal

Una representación pictórica del espacio tangente de un solo punto en una esfera . Un vector en este espacio tangente representa una posible velocidad (de algo que se mueve sobre la esfera) en . Después de moverse en esa dirección hasta un punto cercano, la velocidad estaría dada por un vector en el espacio tangente de ese punto (un espacio tangente diferente que no se muestra). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

En geometría diferencial , se puede adjuntar a cada punto de una variedad diferenciable un espacio tangente , un espacio vectorial real que intuitivamente contiene las posibles direcciones en las que se puede pasar tangencialmente . Los elementos del espacio tangente en se llaman vectores tangentes en . Se trata de una generalización de la noción de vector , basada en un punto inicial dado, en un espacio euclidiano . La dimensión del espacio tangente en cada punto de una variedad conectada es la misma que la de la variedad misma. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Por ejemplo, si la variedad dada es una esfera , entonces uno puede imaginarse el espacio tangente en un punto como el plano que toca la esfera en ese punto y es perpendicular al radio de la esfera que pasa por el punto. De manera más general, si se piensa que una variedad dada es una subvariedad incrustada del espacio euclidiano , entonces se puede representar un espacio tangente de esta manera literal. Éste era el enfoque tradicional para definir el transporte paralelo . Muchos autores de geometría diferencial y relatividad general lo utilizan. ^{[1] [2]} Más estrictamente, esto define un espacio tangente afín, que es distinto del espacio de vectores tangentes descrito por la terminología moderna. ${\displaystyle 2}$

En geometría algebraica , por el contrario, existe una definición intrínseca del espacio tangente en un punto de una variedad algebraica que da un espacio vectorial con dimensión al menos la de sí mismo. Los puntos en los que la dimensión del espacio tangente es exactamente la de se denominan puntos no singulares ; los demás se llaman puntos singulares . Por ejemplo, una curva que se corta a sí misma no tiene una línea tangente única en ese punto. Los puntos singulares de son aquellos en los que falla la "prueba de ser múltiple". Véase espacio tangente de Zariski . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Una vez que se han introducido los espacios tangentes de una variedad, se pueden definir campos vectoriales , que son abstracciones del campo de velocidad de las partículas que se mueven en el espacio. Un campo vectorial adjunta a cada punto de la variedad un vector del espacio tangente en ese punto, de manera suave. Un campo vectorial de este tipo sirve para definir una ecuación diferencial ordinaria generalizada en una variedad: una solución a dicha ecuación diferencial es una curva diferenciable en la variedad cuya derivada en cualquier punto es igual al vector tangente unido a ese punto por el campo vectorial.

Todos los espacios tangentes de una variedad se pueden "pegar" para formar una nueva variedad diferenciable con el doble de dimensión que la variedad original, llamada haz tangente de la variedad.

Definiciones formales

La descripción informal anterior se basa en la capacidad de una variedad para incrustarse en un espacio vectorial ambiental de modo que los vectores tangentes puedan "sobresalir" de la variedad hacia el espacio ambiental. Sin embargo, es más conveniente definir la noción de espacio tangente basándose únicamente en la variedad misma. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Hay varias formas equivalentes de definir los espacios tangentes de una variedad. Si bien la definición a través de la velocidad de las curvas es intuitivamente la más simple, también es la más complicada de manejar. A continuación se describen enfoques más elegantes y abstractos.

Definición mediante curvas tangentes

En la imagen de la variedad incrustada, un vector tangente en un punto se considera como la velocidad de una curva que pasa por el punto . Por lo tanto, podemos definir un vector tangente como una clase de equivalencia de curvas que pasan y son tangentes entre sí en . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Supongamos que es una variedad diferenciable (con suavidad ) y que . Elija un gráfico de coordenadas , donde haya un subconjunto abierto de contenido . Supongamos además que se dan dos curvas con de manera que ambas son diferenciables en el sentido ordinario (a estas curvas las llamamos inicializadas en ). Entonces se dice que y son equivalentes en si y sólo si las derivadas de y en coinciden. Esto define una relación de equivalencia en el conjunto de todas las curvas diferenciables inicializadas en , y las clases de equivalencia de tales curvas se conocen como vectores tangentes de en . La clase de equivalencia de cualquier curva de este tipo se denota por . El espacio tangente de en , denotado por , se define entonces como el conjunto de todos los vectores tangentes en ; no depende de la elección del gráfico de coordenadas . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}:(-1,1)\to M}$ ${\displaystyle {\gamma _{1}}(0)=x={\gamma _{2}}(0)}$ ${\displaystyle \varphi \circ \gamma _{1},\varphi \circ \gamma _{2}:(-1,1)\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi \circ \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \varphi \circ \gamma _{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma '(0)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$

El espacio tangente y un vector tangente , a lo largo de una curva que lo atraviesa . ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle v\in T_{x}M}$ ${\displaystyle x\in M}$

Para definir operaciones en el espacio vectorial , utilizamos un gráfico y definimos un mapa según dónde . El mapa resulta ser biyectivo y puede usarse para transferir las operaciones del espacio vectorial a , convirtiendo así este último conjunto en un espacio vectorial real -dimensional. Nuevamente, es necesario comprobar que esta construcción no depende del gráfico particular ni de la curva que se utilice, y de hecho no es así. ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle {\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0)):=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[(\varphi \circ \gamma )(t)]\right|_{t=0},}$ ${\displaystyle \gamma \in \gamma '(0)}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \gamma }$

Definición mediante derivaciones

Supongamos ahora que es una variedad. Se dice que una función de valor real pertenece a si y sólo si para cada gráfico de coordenadas , el mapa es infinitamente diferenciable. Tenga en cuenta que es un álgebra asociativa real con respecto al producto puntual y suma de funciones y multiplicación escalar. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\circ \varphi ^{-1}:\varphi [U]\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$

Una derivación en se define como un mapa lineal que satisface la identidad de Leibniz. ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle D:{C^{\infty }}(M)\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \forall f,g\in {C^{\infty }}(M):\qquad D(fg)=D(f)\cdot g(x)+f(x)\cdot D(g),}$$

regla del producto

(Para cada función idénticamente constante se sigue que ). ${\displaystyle f={\text{const}},}$ ${\displaystyle D(f)=0}$

Denota el conjunto de todas las derivaciones en Configuración. ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle x.}$

• ${\displaystyle (D_{1}+D_{2})(f):={D}_{1}(f)+{D}_{2}(f)}$y
• ${\displaystyle (\lambda \cdot D)(f):=\lambda \cdot D(f)}$

se convierte en un espacio vectorial. ${\displaystyle T_{x}M}$

Generalizaciones

Las generalizaciones de esta definición son posibles, por ejemplo, a variedades complejas y variedades algebraicas . Sin embargo, en lugar de examinar derivaciones del álgebra completa de funciones, hay que trabajar al nivel de los gérmenes de funciones. La razón de esto es que la estructura puede no ser adecuada para tales estructuras. Por ejemplo, sea una variedad algebraica con estructura gavilla . Entonces el espacio tangente de Zariski en un punto es el conjunto de todas las derivaciones , donde es el campo de tierra y es el tallo de en . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle \mathbb {k} }$ ${\displaystyle D:{\mathcal {O}}_{X,p}\to \mathbb {k} }$ ${\displaystyle \mathbb {k} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle p}$

Equivalencia de las definiciones

Para y una curva diferenciable tal que define (donde la derivada se toma en el sentido ordinario porque es una función de a ). Se puede comprobar que se trata de una derivación en el punto y que las curvas equivalentes producen la misma derivación. Así, para una clase de equivalencia podemos definir dónde se ha elegido la curva de forma arbitraria. El mapa es un isomorfismo en el espacio vectorial entre el espacio de las clases de equivalencia y el de las derivaciones en el punto ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x,}$ ${\displaystyle {D_{\gamma }}(f):=(f\circ \gamma )'(0)}$ ${\displaystyle f\circ \gamma }$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D_{\gamma }(f)}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \gamma '(0),}$ ${\displaystyle {D_{\gamma '(0)}}(f):=(f\circ \gamma )'(0),}$ ${\displaystyle \gamma \in \gamma '(0)}$ ${\displaystyle \gamma '(0)\mapsto D_{\gamma '(0)}}$ ${\displaystyle \gamma '(0)}$ ${\displaystyle x.}$

Definición mediante espacios cotangentes

Nuevamente comenzamos con una variedad y un punto . Considere el ideal de que consiste en que todas las funciones suaves desaparezcan en , es decir, . Entonces y son ambos espacios vectoriales reales, y se puede demostrar que el espacio cociente es isomorfo al espacio cotangente mediante el uso del teorema de Taylor . El espacio tangente puede entonces definirse como el espacio dual de . ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I^{2}}$ ${\displaystyle I/I^{2}}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle I/I^{2}}$

Si bien esta definición es la más abstracta, también es la que más fácilmente es transferible a otros ámbitos, por ejemplo, a las variedades consideradas en geometría algebraica .

Si es una derivación en , entonces para cada , lo que significa que da lugar a un mapa lineal . Por el contrario, si es un mapa lineal, entonces define una derivación en . Esto produce una equivalencia entre espacios tangentes definidos mediante derivaciones y espacios tangentes definidos mediante espacios cotangentes. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D(f)=0}$ ${\displaystyle f\in I^{2}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle I/I^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r:I/I^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D(f):=r\left((f-f(x))+I^{2}\right)}$ ${\displaystyle x}$

Propiedades

Si es un subconjunto abierto de , entonces es una variedad de manera natural (tome los gráficos de coordenadas como mapas de identidad en subconjuntos abiertos de ), y todos los espacios tangentes se identifican naturalmente con . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Vectores tangentes como derivadas direccionales.

Otra forma de pensar en los vectores tangentes es como derivadas direccionales . Dado un vector en , se define la derivada direccional correspondiente en un punto por ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(\mathbb {R} ^{n}):\qquad (D_{v}f)(x):=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[f(x+tv)]\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(x).}$

Este mapa es naturalmente una derivación en . Además, toda derivación en un punto es de esta forma. Por lo tanto, existe una correspondencia uno a uno entre vectores (considerados vectores tangentes en un punto) y derivaciones en un punto. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Como los vectores tangentes a una variedad general en un punto pueden definirse como derivaciones en ese punto, es natural pensar en ellos como derivadas direccionales. Específicamente, si es un vector tangente a en un punto (considerado como una derivación), entonces defina la derivada direccional en la dirección por ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D_{v}}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f):=v(f).}$

Si pensamos en la velocidad inicial de una curva diferenciable inicializada en , es decir, , entonces, en lugar de eso, la definimos por ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v=\gamma '(0)}$ ${\displaystyle D_{v}}$

${\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f):=(f\circ \gamma )'(0).}$

Base del espacio tangente en un punto.

Para una variedad , si se da un gráfico con , entonces se puede definir una base ordenada de por ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi =(x^{1},\ldots ,x^{n}):U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p\in U}$ ${\textstyle \left\{\left.{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}\right|_{p},\dots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right|_{p}\right\}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\},~\forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}}(f):=\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big (}f\circ \varphi ^{-1}{\Big )}\right){\Big (}\varphi (p){\Big )}.}$

Entonces para cada vector tangente , se tiene ${\displaystyle v\in T_{p}M}$

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}.}$

Por lo tanto, esta fórmula se expresa como una combinación lineal de los vectores tangentes base definidos por el gráfico de coordenadas . ^[4] ${\displaystyle v}$ ${\textstyle \left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}\in T_{p}M}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$

La derivada de un mapa.

Cada aplicación suave (o diferenciable) entre variedades suaves (o diferenciables) induce aplicaciones lineales naturales entre sus correspondientes espacios tangentes: ${\displaystyle \varphi :M\to N}$

${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N.}$

Si el espacio tangente se define mediante curvas diferenciables, entonces este mapa se define por

${\displaystyle {\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0)):=(\varphi \circ \gamma )'(0).}$

Si, en cambio, el espacio tangente se define mediante derivaciones, entonces este mapa se define por

${\displaystyle [\mathrm {d} {\varphi }_{x}(D)](f):=D(f\circ \varphi ).}$

El mapa lineal se denomina de diversas formas derivada , derivada total , diferencial o avance de at . Con frecuencia se expresa usando una variedad de otras notaciones: ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle D\varphi _{x},\qquad (\varphi _{*})_{x},\qquad \varphi '(x).}$

En cierto sentido, la derivada es la mejor aproximación lineal a cerca de . Tenga en cuenta que cuando , entonces el mapa coincide con la noción habitual de diferencial de la función . En coordenadas locales la derivada de viene dada por el jacobiano . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Un resultado importante con respecto al mapa de derivadas es el siguiente:

Teorema  :  si es un difeomorfismo local en in , entonces es un isomorfismo lineal . Por el contrario, si es continuamente diferenciable y es un isomorfismo, entonces hay una vecindad abierta de tal que se asigna difeomórficamente a su imagen. ${\displaystyle \varphi :M\to N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N}$ ${\displaystyle \varphi :M\to N}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$

Esta es una generalización del teorema de la función inversa para aplicaciones entre variedades.

Ver también

• Base inducida por coordenadas
• Espacio cotangente
• Geometría diferencial de curvas.
• mapa exponencial
• Espacio vectorial

Notas

1. do Carmo, Manfredo P. (1976). Geometría Diferencial de Curvas y Superficies . Prentice Hall.:
2. Dirac, Paul AM (1996) [1975]. Teoría General de la Relatividad . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-01146-X.
3. Chris J. Isham (1 de enero de 2002). Geometría diferencial moderna para físicos. Editores aliados. págs. 70–72. ISBN 978-81-7764-316-9.
4. Lerman, Eugenio. "Introducción a la geometría diferencial" (PDF) . pag. 12.

Referencias

• Lee, Jeffrey M. (2009), Colectores y geometría diferencial , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 107, Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense.
• Michor, Peter W. (2008), Temas de geometría diferencial , Estudios de posgrado en Matemáticas, vol. 93, Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense.
• Spivak, Michael (1965), Cálculo sobre variedades: un enfoque moderno de los teoremas clásicos del cálculo avanzado, WA Benjamin, Inc., ISBN 978-0-8053-9021-6.

enlaces externos

• Planos tangentes en MathWorld