espacio anillado

Haz de anillos en matemáticas.

En matemáticas , un espacio anillado es una familia de anillos ( conmutativos ) parametrizados por subconjuntos abiertos de un espacio topológico junto con homomorfismos de anillos que desempeñan funciones de restricciones . Precisamente, se trata de un espacio topológico dotado de un haz de anillos llamado haz de estructura . Es una abstracción del concepto de anillos de funciones continuas (con valores escalares) en subconjuntos abiertos.

Entre los espacios anillados, es especialmente importante y destacado un espacio anillado localmente : un espacio anillado en el que es válida la analogía entre el tallo en un punto y el anillo de gérmenes de funciones en un punto.

Los espacios anillados aparecen en el análisis , así como en la geometría algebraica compleja y en la teoría de esquemas de la geometría algebraica .

Nota : En la definición de un espacio anillado, la mayoría de las exposiciones tienden a restringir los anillos para que sean anillos conmutativos , incluidos Hartshorne y Wikipedia. Éléments de géométrie algébrique , por otro lado, no impone el supuesto de conmutatividad, aunque el libro considera principalmente el caso conmutativo. ^[1]

Definiciones

Un espacio anillado es un espacio topológico junto con un haz de anillos . La gavilla se llama estructura de gavilla . ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$

Un espacio anillado localmente es un espacio anillado tal que todos los tallos de son anillos locales (es decir, tienen ideales máximos únicos ). Tenga en cuenta que no es necesario que haya un anillo local para cada conjunto abierto ; de hecho, este casi nunca es el caso. ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle U}$

Ejemplos

Un espacio topológico arbitrario puede considerarse un espacio localmente anillado si se lo considera el haz de funciones continuas de valor real (o de valor complejo ) en subconjuntos abiertos de . El tallo en un punto puede considerarse como el conjunto de todos los gérmenes de funciones continuas en ; este es un anillo local con el ideal máximo único que consta de aquellos gérmenes cuyo valor en es . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$

Si es una variedad con alguna estructura adicional, también podemos tomar el haz de funciones diferenciables u holomorfas . Ambos dan lugar a espacios anillados localmente. ${\displaystyle X}$

Si es una variedad algebraica que lleva la topología de Zariski , podemos definir un espacio localmente anillado tomando como anillo de mapeos racionales definidos en el conjunto abierto de Zariski que no explotan (se vuelven infinitos) dentro . La generalización importante de este ejemplo es la del espectro de cualquier anillo conmutativo; estos espectros también son espacios localmente anillados. Los esquemas son espacios anillados localmente obtenidos "pegando" espectros de anillos conmutativos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Morfismos

Un morfismo de a es un par , donde es un mapa continuo entre los espacios topológicos subyacentes, y es un morfismo de la estructura de haz de a la imagen directa de la estructura de haz de X . En otras palabras, un morfismo de a viene dado por los siguientes datos: ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$ ${\displaystyle (f,\varphi )}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$

• un mapa continuo ${\displaystyle f:X\to Y}$
• una familia de homomorfismos de anillos para cada conjunto abierto de ese viaje con los mapas de restricción. Es decir, si hay dos subconjuntos abiertos de , entonces el siguiente diagrama debe conmutar (los mapas verticales son los homomorfismos de restricción): ${\displaystyle \varphi _{V}:{\mathcal {O}}_{Y}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V_{1}\subseteq V_{2}}$ ${\displaystyle Y}$

Existe un requisito adicional para los morfismos entre espacios localmente anillados:

• los homomorfismos de anillo inducidos por entre los tallos de y los tallos de deben ser homomorfismos locales , es decir, para cada el ideal máximo del anillo local (tallo) en se asigna al ideal máximo del anillo local en . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$

Se pueden componer dos morfismos para formar un nuevo morfismo, y obtenemos la categoría de espacios anillados y la categoría de espacios anillados localmente. Los isomorfismos en estas categorías se definen como de costumbre.

Espacios tangentes

Los espacios localmente anillados tienen la estructura suficiente para permitir la definición significativa de espacios tangentes . Sea un espacio localmente anillado con estructura en haz ; queremos definir el espacio tangente en el punto . Tome el anillo local (tallo) en el punto , con máximo ideal . Entonces es un campo y es un espacio vectorial sobre ese campo (el espacio cotangente ). El espacio tangente se define como el dual de este espacio vectorial. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle T_{x}(X)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle R_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle k_{x}:=R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$ ${\displaystyle T_{x}(X)}$

La idea es la siguiente: un vector tangente en debería indicarle cómo "diferenciar" las "funciones" en , es decir, los elementos de . Ahora basta con saber diferenciar funciones cuyo valor en es cero, ya que todas las demás funciones se diferencian de éstas sólo por una constante, y sabemos diferenciar constantes. Así que sólo tenemos que considerar . Además, si se dan dos funciones con valor cero en , entonces su producto tiene derivada 0 en , según la regla del producto . Así que sólo necesitamos saber cómo asignar "números" a los elementos de , y esto es lo que hace el espacio dual. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$

oh X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -módulos

Dado un espacio anillado localmente , ciertos haces de módulos se producen en las aplicaciones, los módulos. Para definirlos, considere una gavilla F de grupos abelianos en . Si F ( U ) es un módulo sobre el anillo para cada conjunto abierto en , y los mapas de restricción son compatibles con la estructura del módulo, entonces llamamos módulo . En este caso, el tallo de at será un módulo sobre el anillo local (tallo) , para cada . ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$

Un morfismo entre dos de estos módulos es un morfismo de haces que es compatible con las estructuras de módulos dadas. La categoría de módulos sobre un espacio anillado localmente fijo es una categoría abeliana . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Una subcategoría importante de la categoría de módulos es la categoría de haces cuasi coherentes en . Un haz de módulos se llama cuasi coherente si es, localmente, isomorfo al cokernel de un mapa entre módulos libres . Una gavilla coherente es una gavilla cuasi coherente que es, localmente, de tipo finito y para cada subconjunto abierto del núcleo de cualquier morfismo desde un módulo libre de rango finito hasta también es de tipo finito. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$ ${\displaystyle F_{U}}$

Citas

1. Éléments de géométrie algébrique , Capítulo 0, 4.1.1.

Referencias

• Sección 0.4 de Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi :10.1007/bf02684778. SEÑOR  0217083.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157

enlaces externos

• Onishchik, AL (2001) [1994], "Espacio anillado", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press