Análisis matemático

rama de las matemáticas

Un atractor extraño que surge de una ecuación diferencial . Las ecuaciones diferenciales son un área importante del análisis matemático con muchas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

El análisis es la rama de las matemáticas que se ocupa de funciones continuas , límites y teorías relacionadas, como diferenciación , integración , medida , secuencias infinitas , series y funciones analíticas . ^{[1] [2]}

Estas teorías suelen estudiarse en el contexto de funciones y números reales y complejos . El análisis evolucionó a partir del cálculo , que involucra los conceptos y técnicas elementales del análisis. El análisis puede distinguirse de la geometría ; sin embargo, se puede aplicar a cualquier espacio de objetos matemáticos que tenga una definición de cercanía (un espacio topológico ) o distancias específicas entre objetos (un espacio métrico ).

Historia

Arquímedes utilizó el método de agotamiento para calcular el área dentro de un círculo encontrando el área de polígonos regulares con cada vez más lados. Este fue un ejemplo temprano pero informal de límite , uno de los conceptos más básicos del análisis matemático.

Antiguo

El análisis matemático se desarrolló formalmente en el siglo XVII durante la Revolución Científica , ^[3] pero muchas de sus ideas se remontan a matemáticos anteriores. Los primeros resultados del análisis estaban implícitamente presentes en los primeros días de las matemáticas griegas antiguas . Por ejemplo, una suma geométrica infinita está implícita en la paradoja de la dicotomía de Zenón . ^[4] (Estrictamente hablando, el objetivo de la paradoja es negar que exista la suma infinita). Más tarde, matemáticos griegos como Eudoxo y Arquímedes hicieron un uso más explícito, pero informal, de los conceptos de límites y convergencia cuando utilizaron la Método de agotamiento para calcular el área y el volumen de regiones y sólidos. ^[5] El uso explícito de infinitesimales aparece en El método de los teoremas mecánicos de Arquímedes , obra redescubierta en el siglo XX. ^[6] En Asia, el matemático chino Liu Hui utilizó el método de agotamiento en el siglo III d.C. para encontrar el área de un círculo. ^[7] De la literatura jainista, parece que los hindúes estaban en posesión de las fórmulas para la suma de las series aritméticas y geométricas ya en el siglo IV a.C. [ ^8] Ācārya Bhadrabāhu utiliza la suma de una serie geométrica en su Kalpasūtra en 433  a.C. ^[9]

Medieval

Zu Chongzhi estableció un método que más tarde se llamaría principio de Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera en el siglo V. ^[10] En el siglo XII, el matemático indio Bhāskara II utilizó el infinitesimal y utilizó lo que hoy se conoce como teorema de Rolle . ^[11]

En el siglo XIV, Madhava de Sangamagrama desarrolló expansiones en series infinitas , ahora llamadas series de Taylor , de funciones como seno , coseno , tangente y arcotangente . ^[12] Además de desarrollar las series de funciones trigonométricas de Taylor , también estimó la magnitud de los términos de error resultantes de truncar estas series y dio una aproximación racional de algunas series infinitas. Sus seguidores en la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala ampliaron aún más sus obras, hasta el siglo XVI.

Moderno

Cimientos

Los fundamentos modernos del análisis matemático se establecieron en la Europa del siglo XVII. ^[3] Esto comenzó cuando Fermat y Descartes desarrollaron la geometría analítica , que es la precursora del cálculo moderno. El método de adecuación de Fermat le permitió determinar los máximos y mínimos de funciones y las tangentes de curvas. ^[13] La publicación de Descartes de La Géométrie en 1637, que introdujo el sistema de coordenadas cartesianas , se considera el establecimiento del análisis matemático. Serían unas décadas más tarde que Newton y Leibniz desarrollaron de forma independiente el cálculo infinitesimal , que creció, con el estímulo del trabajo aplicado que continuó durante el siglo XVIII, hacia temas de análisis como el cálculo de variaciones , las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales , el análisis de Fourier. y funciones generadoras . Durante este período se aplicaron técnicas de cálculo para aproximar problemas discretos por continuos.

Modernización

En el siglo XVIII, Euler introdujo la noción de función matemática . ^[14] El análisis real comenzó a surgir como un tema independiente cuando Bernard Bolzano introdujo la definición moderna de continuidad en 1816, ^[15] pero el trabajo de Bolzano no se hizo ampliamente conocido hasta la década de 1870. En 1821, Cauchy comenzó a dar al cálculo una base lógica firme al rechazar el principio de generalidad del álgebra ampliamente utilizado en trabajos anteriores, particularmente por Euler. En cambio, Cauchy formuló el cálculo en términos de ideas geométricas e infinitesimales . Por tanto, su definición de continuidad requería que un cambio infinitesimal en x correspondiera a un cambio infinitesimal en y . También introdujo el concepto de secuencia de Cauchy e inició la teoría formal del análisis complejo . Poisson , Liouville , Fourier y otros estudiaron ecuaciones diferenciales parciales y análisis armónicos . Las contribuciones de estos matemáticos y otros, como Weierstrass , desarrollaron la definición (ε, δ) del enfoque límite, fundando así el campo moderno del análisis matemático. Casi al mismo tiempo, Riemann introdujo su teoría de la integración y logró avances significativos en el análisis complejo.

Hacia finales del siglo XIX ^, los matemáticos empezaron a preocuparse de que estuvieran asumiendo la existencia de un continuo de números reales sin pruebas. Luego, Dedekind construyó los números reales mediante cortes de Dedekind , en los que se definen formalmente los números irracionales, que sirven para llenar los "huecos" entre los números racionales, creando así un conjunto completo : el continuo de los números reales, que ya había sido desarrollado por Simon Stevin. en términos de expansiones decimales . Por esa época, los intentos de refinar los teoremas de integración de Riemann llevaron al estudio del "tamaño" del conjunto de discontinuidades de funciones reales.

Además, se comenzaron a investigar varios objetos patológicos (como funciones continuas en ninguna parte , funciones continuas pero diferenciables en ninguna parte y curvas que llenan el espacio ), comúnmente conocidos como "monstruos". En este contexto, Jordan desarrolló su teoría de la medida , Cantor desarrolló lo que ahora se llama teoría ingenua de conjuntos y Baire demostró el teorema de la categoría de Baire . A principios del siglo XX, el cálculo se formalizó utilizando una teoría de conjuntos axiomática . Lebesgue mejoró enormemente la teoría de la medida e introdujo su propia teoría de la integración, ahora conocida como integración de Lebesgue , que resultó ser una gran mejora con respecto a la de Riemann. Hilbert introdujo los espacios de Hilbert para resolver ecuaciones integrales . La idea de un espacio vectorial normado estaba en el aire y en la década de 1920 Banach creó el análisis funcional .

Conceptos importantes

Espacios métricos

En matemáticas , un espacio métrico es un conjunto donde se define una noción de distancia (llamada métrica ) entre elementos del conjunto.

Gran parte del análisis ocurre en algún espacio métrico; los más utilizados son la recta real , el plano complejo , el espacio euclidiano , otros espacios vectoriales y los números enteros . Ejemplos de análisis sin métrica incluyen la teoría de la medida (que describe el tamaño en lugar de la distancia) y el análisis funcional (que estudia espacios vectoriales topológicos que no necesitan tener ningún sentido de distancia).

Formalmente, un espacio métrico es un par ordenado donde es un conjunto y es una métrica de , es decir, una función ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

tal que para cualquiera , se cumple lo siguiente: ${\displaystyle x,y,z\in M}$

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$, con igualdad si y sólo si    ( identidad de indiscernibles ), ${\displaystyle x=y}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$    ( simetría ), y
3. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$    ( desigualdad triangular ).

Al tomar la tercera propiedad y dejarla , se puede demostrar que     ( no negativo ). ${\displaystyle z=x}$ ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$

Secuencias y límites

Una secuencia es una lista ordenada. Como un conjunto , contiene miembros (también llamados elementos o términos ). A diferencia de un conjunto, el orden importa y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones de la secuencia. Más precisamente, una secuencia puede definirse como una función cuyo dominio es un conjunto contable totalmente ordenado , como por ejemplo los números naturales .

Una de las propiedades más importantes de una secuencia es la convergencia . Informalmente, una secuencia converge si tiene un límite . Continuando de manera informal, una secuencia (simplemente infinita) tiene un límite si se acerca a algún punto x , llamado límite, cuando n se vuelve muy grande. Es decir, para una secuencia abstracta ( a _n ) ( entendiendo que n va desde 1 hasta el infinito) la distancia entre a _n y x tiende a 0 cuando n → ∞, denotado

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=x.}$

Ramas principales

Cálculo

Análisis reales

El análisis real (tradicionalmente, la "teoría de funciones de una variable real") es una rama del análisis matemático que se ocupa de los números reales y las funciones con valores reales de una variable real. ^{[16] [17]} En particular, se ocupa de las propiedades analíticas de funciones y secuencias reales , incluida la convergencia y los límites de secuencias de números reales, el cálculo de los números reales y la continuidad , suavidad y propiedades relacionadas de funciones con valores reales. .

Análisis complejo

El análisis complejo (tradicionalmente conocido como "teoría de funciones de una variable compleja") es la rama del análisis matemático que investiga funciones de números complejos . ^[18] Es útil en muchas ramas de las matemáticas, incluida la geometría algebraica , la teoría de números y las matemáticas aplicadas ; así como en física , incluyendo hidrodinámica , termodinámica , ingeniería mecánica , ingeniería eléctrica y, particularmente, teoría cuántica de campos .

Complex analysis is particularly concerned with the analytic functions of complex variables (or, more generally, meromorphic functions). Because the separate real and imaginary parts of any analytic function must satisfy Laplace's equation, complex analysis is widely applicable to two-dimensional problems in physics.

Functional analysis

Functional analysis is a branch of mathematical analysis, the core of which is formed by the study of vector spaces endowed with some kind of limit-related structure (e.g. inner product, norm, topology, etc.) and the linear operators acting upon these spaces and respecting these structures in a suitable sense.^[19][20] The historical roots of functional analysis lie in the study of spaces of functions and the formulation of properties of transformations of functions such as the Fourier transform as transformations defining continuous, unitary etc. operators between function spaces. This point of view turned out to be particularly useful for the study of differential and integral equations.

Harmonic analysis

Harmonic analysis is a branch of mathematical analysis concerned with the representation of functions and signals as the superposition of basic waves. This includes the study of the notions of Fourier series and Fourier transforms (Fourier analysis), and of their generalizations. Harmonic analysis has applications in areas as diverse as music theory, number theory, representation theory, signal processing, quantum mechanics, tidal analysis, and neuroscience.

Differential equations

A differential equation is a mathematical equation for an unknown function of one or several variables that relates the values of the function itself and its derivatives of various orders.^[21][22][23] Differential equations play a prominent role in engineering, physics, economics, biology, and other disciplines.

Las ecuaciones diferenciales surgen en muchas áreas de la ciencia y la tecnología, específicamente siempre que se conoce o postula una relación determinista que involucra algunas cantidades que varían continuamente (modeladas por funciones) y sus tasas de cambio en el espacio o el tiempo (expresadas como derivadas). Esto se ilustra en la mecánica clásica , donde el movimiento de un cuerpo se describe por su posición y velocidad a medida que varía el valor del tiempo. Las leyes de Newton permiten (dada la posición, velocidad, aceleración y diversas fuerzas que actúan sobre el cuerpo) expresar estas variables dinámicamente como una ecuación diferencial para la posición desconocida del cuerpo en función del tiempo. En algunos casos, esta ecuación diferencial (llamada ecuación de movimiento ) se puede resolver explícitamente.

Teoría de la medida

Una medida de un conjunto es una forma sistemática de asignar un número a cada subconjunto adecuado de ese conjunto, interpretado intuitivamente como su tamaño. ^[24] En este sentido, una medida es una generalización de los conceptos de longitud, área y volumen. Un ejemplo particularmente importante es la medida de Lebesgue en un espacio euclidiano , que asigna la longitud , el área y el volumen convencionales de la geometría euclidiana a subconjuntos adecuados del espacio euclidiano de dimensiones . Por ejemplo, la medida de Lebesgue del intervalo en los números reales es su longitud en el sentido cotidiano de la palabra: específicamente, 1. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left[0,1\right]}$

Técnicamente, una medida es una función que asigna un número real no negativo o +∞ a (ciertos) subconjuntos de un conjunto . Debe asignar 0 al conjunto vacío y ser ( contablemente ) aditivo: la medida de un subconjunto 'grande' que puede descomponerse en un número finito (o contable) de subconjuntos disjuntos 'más pequeños' es la suma de las medidas del subconjuntos "más pequeños". En general, si se quiere asociar un tamaño consistente a cada subconjunto de un conjunto dado y al mismo tiempo satisfacer los demás axiomas de una medida, sólo se encuentran ejemplos triviales como la medida de conteo . Este problema se resolvió definiendo la medida sólo en una subcolección de todos los subconjuntos; los llamados subconjuntos medibles , que se requieren para formar un -álgebra . Esto significa que el conjunto vacío, las uniones contables, las intersecciones contables y los complementos de subconjuntos mensurables son mensurables. Los conjuntos no mensurables en un espacio euclidiano, en los que la medida de Lebesgue no puede definirse de manera consistente, son necesariamente complicados en el sentido de que están mal mezclados con su complemento. De hecho, su existencia es una consecuencia no trivial del axioma de elección . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$

Análisis numérico

El análisis numérico es el estudio de algoritmos que utilizan aproximación numérica (a diferencia de manipulaciones simbólicas generales ) para los problemas de análisis matemático (a diferencia de las matemáticas discretas ). ^[25]

El análisis numérico moderno no busca respuestas exactas, porque a menudo es imposible obtener respuestas exactas en la práctica. En cambio, gran parte del análisis numérico se ocupa de obtener soluciones aproximadas manteniendo límites razonables de errores.

El análisis numérico naturalmente encuentra aplicaciones en todos los campos de la ingeniería y las ciencias físicas, pero en el siglo XXI, las ciencias de la vida e incluso las artes han adoptado elementos de los cálculos científicos. Las ecuaciones diferenciales ordinarias aparecen en la mecánica celeste (planetas, estrellas y galaxias); el álgebra lineal numérica es importante para el análisis de datos; Las ecuaciones diferenciales estocásticas y las cadenas de Markov son esenciales para simular células vivas para la medicina y la biología.

Análisis vectorial

El análisis vectorial es una rama del análisis matemático que se ocupa de valores que tienen magnitud y dirección. Algunos ejemplos de vectores incluyen velocidad, fuerza y ​​desplazamiento. Los vectores se asocian comúnmente con escalares, valores que describen la magnitud. ^[26]

Análisis escalar

El análisis escalar es una rama del análisis matemático que se ocupa de valores relacionados con la escala en lugar de con la dirección. Valores como la temperatura son escalares porque describen la magnitud de un valor sin tener en cuenta la dirección, fuerza o desplazamiento que ese valor pueda tener o no.

Análisis tensorial

Otros temas

• El cálculo de variaciones se ocupa de funciones extremas , a diferencia del cálculo ordinario que se ocupa de funciones .
• El análisis armónico se ocupa de la representación de funciones o señales como la superposición de ondas básicas .
• El análisis geométrico implica el uso de métodos geométricos en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales y la aplicación de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales a la geometría.
• Análisis de Clifford , el estudio de las funciones valoradas por Clifford que son aniquiladas por Dirac o operadores similares a Dirac, denominadas en general funciones monogénicas o analíticas de Clifford.
• Análisis p -ádico , el estudio del análisis dentro del contexto de números p -ádicos , que difiere en algunas formas interesantes y sorprendentes de sus contrapartes reales y complejas.
• Análisis no estándar , que investiga los números hiperreales y sus funciones y da un tratamiento riguroso de los números infinitesimales y infinitamente grandes.
• Análisis computable , estudio de qué partes del análisis se pueden realizar de manera computable .
• Cálculo estocástico : nociones analíticas desarrolladas para procesos estocásticos .
• Análisis de valores establecidos : aplica ideas del análisis y la topología a funciones de valores establecidos.
• Análisis convexo , el estudio de conjuntos y funciones convexas.
• Análisis idempotente : análisis en el contexto de un semiring idempotente , donde la falta de un inverso aditivo se compensa en cierta medida con la regla idempotente A + A = A.
  • Análisis tropical : análisis del semianillo idempotente llamado semianillo tropical (o álgebra max-plus / álgebra min-plus ).
• Análisis constructivo , que se basa en una base de lógica y teoría de conjuntos constructiva , en lugar de clásica.
• Análisis intuicionista , que se desarrolla a partir de la lógica constructiva como el análisis constructivo pero que también incorpora secuencias de elección .
• Análisis paraconsistente , que se basa en una base de lógica y teoría de conjuntos paraconsistente , en lugar de clásica.
• Análisis infinitesimal suave , que se desarrolla en un topos suave.

Aplicaciones

Las técnicas de análisis también se encuentran en otras áreas como:

Ciencias fisicas

La gran mayoría de la mecánica clásica , la relatividad y la mecánica cuántica se basan en el análisis aplicado, y en las ecuaciones diferenciales en particular. Ejemplos de ecuaciones diferenciales importantes incluyen la segunda ley de Newton , la ecuación de Schrödinger y las ecuaciones de campo de Einstein .

El análisis funcional también es un factor importante en la mecánica cuántica .

Procesamiento de la señal

Al procesar señales, como audio , ondas de radio , ondas de luz, ondas sísmicas e incluso imágenes, el análisis de Fourier puede aislar componentes individuales de una forma de onda compuesta, concentrándolos para detectarlos o eliminarlos más fácilmente. Una gran familia de técnicas de procesamiento de señales consiste en la transformación de Fourier de una señal, la manipulación de los datos transformados de Fourier de una manera sencilla y la inversión de la transformación. ^[27]

Otras áreas de las matemáticas

Las técnicas de análisis se utilizan en muchas áreas de las matemáticas, entre ellas:

• Teoría analítica de números
• combinatoria analítica
• Probabilidad continua
• Entropía diferencial en la teoría de la información.
• Juegos diferenciales
• Geometría diferencial , la aplicación del cálculo a espacios matemáticos específicos conocidos como variedades que poseen una estructura interna complicada pero se comportan de manera simple localmente.
• Colectores diferenciables
• Topología diferencial
• Ecuaciones diferenciales parciales

Libros de texto famosos

• Fundamentos del análisis: la aritmética de números enteros racionales, irracionales y complejos, por Edmund Landau
• Análisis real introductorio, por Andrey Kolmogorov , Sergei Fomin ^[28]
• Cálculo diferencial e integral (3 volúmenes), de Grigorii Fichtenholz ^{[29] [30] [31]}
• Los fundamentos del análisis matemático (2 volúmenes), de Grigorii Fichtenholz ^{[32] [33]}
• Un curso de análisis matemático (2 volúmenes), por Sergey Nikolsky ^{[34] [35]}
• Análisis matemático (2 volúmenes), de Vladimir Zorich ^{[36] [37]}
• Un curso de matemáticas superiores (5 volúmenes, 6 partes), de Vladimir Smirnov ^{[38] [39] [40] [41] [42]}
• Cálculo diferencial e integral, de Nikolai Piskunov ^[43]
• Un curso de análisis matemático, por Aleksandr Khinchin ^[44]
• Análisis matemático: un curso especial, por Georgiy Shilov ^[45]
• Teoría de funciones de una variable real (2 volúmenes), de Isidor Natanson ^{[46] [47]}
• Problemas de análisis matemático, por Boris Demidovich ^[48]
• Problemas y teoremas en análisis (2 volúmenes), por George Polya , Gabor Szegö ^{[49] [50]}
• Análisis matemático: un enfoque moderno para el cálculo avanzado, por Tom Apostol ^[51]
• Principios del análisis matemático, por Walter Rudin ^[52]
• Análisis real: teoría de la medida, integración y espacios de Hilbert, por Elias Stein ^[53]
• Análisis complejo: introducción a la teoría de las funciones analíticas de una variable compleja, por Lars Ahlfors ^[54]
• Análisis complejo, de Elias Stein ^[55]
• Análisis funcional: introducción a otros temas de análisis, por Elias Stein ^[56]
• Análisis (2 volúmenes), de Terence Tao ^{[57] [58]}
• Análisis (3 volúmenes), de Herbert Amann, Joachim Escher ^{[59] [60] [61]}
• Análisis real y funcional, por Vladimir Bogachev, Oleg Smolyanov ^[62]
• Análisis real y funcional, de Serge Lang ^[63]

Ver también

• Portal de matemáticas

• Análisis constructivo
• historia del calculo
• Análisis hipercomplejo
• Múltiples problemas basados ​​en reglas
• Cálculo multivariable
• Lógica paraconsistente
• Análisis infinitesimal suave
• Cronología del cálculo y análisis matemático.

Referencias

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62. Bogachev, Vladimir I.; Smolyanov, Oleg G. (2021). Análisis Real y Funcional . ISBN 978-3030382216.
63. Lang, Serge (2012). Análisis Real y Funcional . ISBN 978-1461269380.

Otras lecturas

• Alexandrov, AD ; Kolmogorov, AN ; Lavrent'ev, MA , eds. (Marzo de 1969). Matemáticas: su contenido, métodos y significado . vol. 1–3. Traducido por Gould, SH (2ª ed.). Cambridge, Massachusetts: MIT Press / Sociedad Matemática Estadounidense .
• Apóstol, Tom M. (1974). Análisis matemático (2ª ed.). Addison-Wesley . ISBN 978-0201002881.
• Binmore, Kenneth George (1981) [1981]. Los fundamentos del análisis: una sencilla introducción . Prensa de la Universidad de Cambridge .
• Johnsonbaugh, Richard ; Pfaffenberger, William Elmer (1981). Fundamentos del análisis matemático . Nueva York: M. Dekker .
• Nikol'skiĭ [Нико́льский], Sergey Mikhailovich [Серге́й Миха́йлович] (2002). "Análisis matemático". En Hazewinkel, Michiel (ed.). Enciclopedia de Matemáticas . Springer-Verlag . ISBN 978-1402006098.
• Fusco, Nicola ; Marcelino, Paolo ; Sbordone, Carlo (1996). Analisi Matematica Due (en italiano). Liguori Editore  [eso] . ISBN 978-8820726751.
• Rombaldi, Jean-Étienne (2004). Éléments d'analyse réelle: CAPES et agrégation interne de mathématiques (en francés). Ciencias EDP . ISBN 978-2868836816.
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill . ISBN 978-0070542358.
• Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill . ISBN 978-0070542341.
• Whittaker, Edmund Taylor ; Watson, George Neville (2 de enero de 1927). Un curso de análisis moderno: introducción a la teoría general de procesos infinitos y de funciones analíticas; con un relato de las principales funciones trascendentales (4ª ed.). Cambridge: en University Press . ISBN 0521067944.(vi+608 páginas) (reimpreso: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
• "Análisis real - Notas del curso" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 19 de abril de 2007.

enlaces externos

• Primeros usos conocidos de algunas de las palabras de matemáticas: cálculo y análisis
• Análisis básico: Introducción al análisis real por Jiri Lebl ( Creative Commons BY-NC-SA )
• Análisis matemático – Encyclopædia Britannica
• Cálculo y análisis